有关球的高考题

1、1. 2021 陕西高考理科T5底面边长为1,侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，那么该球的体积为A. B.4 n C.2 n D.33【解题指南】 根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径，代入球的体积公式求解.【解析】 选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R,那么R； +R；=1可得R：=二又侧棱长为应，所以球心到截面圆的距离 d二手；由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形，根据勾股定理得球半径 R=；二| - r二=1，代入球的体积公式得球的体积为一.% 、亠- 32.2021全国卷文科 T4体积为8

2、的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为( )32A.12 n B. n C.8 n D.4 n3【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为 2,其体对角线长为 2 3 ,所以正3.2021 新课标全国卷U理科T9A,B是球O的球面上两点，/AOB=90 ,C为该球面上的动点，假设三棱锥O-ABC体积的最大值为 36,那么球O 的外表积为A.36 n B.64 nC.144 n D.256 n【解题指南】 当点C位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积 最大，利用VO-abc=Vc-aob列出关于半径 R的方程

3、，求出球的半径，然后求出球的表 面积.【解析】选C.如下图，当点C位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥0-i i 2 i 3ABC的体积最大,设球0的半径为 R,此时Vo-abc=Vc-aob=; X二R X R= R=36,故R=6,那么球0的外表积为S=4 n R=144 n .4.(2021 全国卷川 文科T 11)与(2021 全国卷3理科T 10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为 V的球.假设AB丄BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,那么V的最大值是9冗32冗A.4 n B. C.6 n D.23【解题指南】 注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时，球已不在

4、直三棱柱内【解析】选B.当球的半径最大时，球的体积最大在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时， 因为AB丄BC , AB=6 , BC=8 ,所以AC=10 ,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=10 =2 ,直径为4侧棱所以球的最大直径为 3 ,半径为-，此时体积V=-.2 2 2方体的外接球的半径为3 ,所以球的外表积为 4 n ( 3)2=12 n.5. (2021 辽宁高考文科 T 11)S, A, B, C是球O外表上的点，SA 丄平面ABCAB丄BC, SA=AB=1 , BO-.2,那么球O的外表积等于()(A) 4 二(B ) 3 二(C)2 -(D)二【命题立意】 此题考查了

5、空间两点间距离公式和球的外表积公式【思路点拨】建立空间坐标系1设球心坐标球的半径球的外表积【标准解答】 选A. ； SA丄平面ABC AB, Ab平面ABC,二SA丄AB , SA丄AC ,故可以A为原点，AC所在的直线为y轴，AS所在的直线为z轴建立如下图的空间直角坐标系A-xyz，贝V A(0, 0,0),0) , C(0,3,0), S(0,0,1),设球心 O坐标为(X0,y0,z0),那么点o到各顶点S, A, B, C的距离相等，都等于球的半径R.r 222f2X0 +y +z =RJ6 2寸3 222(X0?) +(y?) +(z0) =R(冷一0)2+(丫0-/3)2+(6-0

6、)2 =只2、(X0 0)2 +(y。0)2 +(zi)2 =R273i 2解得 x0 =0, y 二牙，z0 = , R ，2球的外表积为4二R =4二1 =4二.应选A.【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，2. 也可用另外的方法找到球心，因为/ABC是直角，所以 AC是过A，B，C三点的小圆的直径，所以球心在过AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面 SAC中，又因为球心到 占八、S, A，C的距离都相等，且 SAC是直角三角形，所以球心 就是斜边SC的中点，球的半径为 SC的一半，3. 另外，可将三棱锥 S-ABC补成一个长方体进行求解.6. (20

7、21 海南宁夏高考理科 T10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱 的长为a，顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为()711(A)二a2( B) 7二a2(C)二a2( D) 5：a233【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】 找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的 关系.【标准解答】 选E .设球心为O，设正三棱柱上底面为ABC，中心为O，因为三棱柱所有棱的长为a，那么可知oo遽，OA=a，又由球的相关性质可知，球的半径 R二.00 2 O A2，所以球的外表积为 4二R2=7二a2，故637. 2021 辽宁高考文科10球的直径 SC=4，A，B是该球

8、球面上的两点，AB=2，Z ASC=/ BSC=45，那么棱锥 S-ABC的体积为【思路点拨】(B)2.3(C)4、, 3(D)5.3找到直径SC的垂截面是解决此题的关键.【精讲精析】选C,设球心为0，那么AO,BO是两个全等的等腰直角三角形斜 边上的高，斜边 SC=4,故A0二B0=2，且有 AO_SC , BO _ SC .1 1 J324无 VwVsob V5S aob(so OC) = 3 24 右8. 2021 辽宁高考理科12球的直径 SC=4, A,B是该球球面上的两点，AB = , 3， . ASC - BSC = 30，那么棱锥 S - ABC的体积为(A) 3：3(B) 2

9、,3(D) 1【思路点拨】找到直径SC的垂截面是解决此题的关键.【精讲精析】 选C.由题意可知 SAC和SBC是两个全等的直角三角形，过直角顶点A,B分别作斜边上的高线 AH ,BH，由于 ASC=/BSC=30，求得AH ，所以等边ABH的面积为S ABH讦号，所求棱锥S-ABC的体积等于以“ABH为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC的长，故VsBC二9. 2021 新课标全国高考理科15 矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且 AB = 6,BC = 2 、3 ,那么棱锥O - ABCD的体积为【思路点拨】 画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABC

10、D的体积【精讲精析】如下图，00 垂直于矩形ABCD所在的平面,垂足为0 ,连接 OB , 0B，那么在 Rt.OOB 中，由 0B= 4, 0B =2.、3，可1 1得 00 = 2, . VobcdS OO 6 2、. 3 2=8.3.【答案】8,310. 2021 新课标全国高考文科16两个圆锥有公共底面，且两 个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，假设圆锥底面面积是这个球面 面积的-，那么这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为16【思路点拨】 画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解【精讲精析】如图设球的半径为 R，圆锥的底面圆半径为r，那么依题意得二 r2

11、4- R2，即丄=cos 乙0 C0 ,16R21110C0 =30 , 00 R， A0 二 R - 一 R, B0 二 R R,2 22【答案】丄311. 2021 新课标全国高考理科T11 三棱锥S-ABC的所有顶点都在球 0的球面上， ABC是边长为1的正三角形,SC为球0的直径，且SC=2,那么此棱锥的体积为6(B)(C)3(D)【解题指南】 思路一：取AB的中点为D，将棱锥分割为两局部，利用V =vb_cds vcds求体积；思路二：设点 O到面ABC的距离为d,利用V Js abc 2d3 BC求体积;思路三：利用排除法求解.【解析】 选A.方法一 ：；SC是球0的直径，CAS-

12、 CBS = 90 :BA 二 BC 二 AC=1， SC =2， AS 二 BS3，取 AB 的中点为 D，显然AB CD, AB_SD, AB 平面 CDS.在CDS中，心子DS2SC = 2，利用余弦定理可得cos CDS = -1,J33sin. CDS=4 2 故33，、21 .3 ,11 42=XXX1V 二 Vb -CDS +Va _CDS = X32 22.332S曲DS 汉 BD + S曲DS 江 A- ScdB- 3 3326 r =方法二：ABC的外接圆的半径 3，点O到平面ABC的距离斗2d=SC为球0的直径=点S到平面ABC的距离为 3 ，1、3V w S jabc

13、X 2R = 方法三：3 ABC 6，排除B,C,D.12. (2021 新课标I高考理科T6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口 ，再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，那么球的体积为()A. 50 cm3B.3866 二 3cm3C.31372二 3cmD.2048二 3cm3【解题指南】 结合截面图形，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于球 半径的方程，求出球半径，再利用V二4二R3求出球的体积.3【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知， R2 = (R-2)2 42,解 得R=5，所以球的体积V=4：R3

14、=4： 53二色匹(cm2)3 3313. (2021 新课标全国高考文科8)平面a截球O的球面所得圆的半径为1 ,球心O到平面a的距离为2,那么此球的体积为()(A) 6n(B) 43n(C) 4 6 n( D) 6 3n【解题指南】 利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满 足勾股定理求得球的半径，然后利用公式求得球的体积【解析】选B.设球O的半径为R,那么R12 ( 2)2 *3，故V球二R3 =4、3二球 314. 2021 辽宁高考文科T 16点P, A, B, C, D是球O外表上的点，PAX平面ABCD四边形ABCD是边长为2灵的正方形.假设PA=2胚,那么厶OAB的面

15、积为.【解题指南】 注意到条件中的垂直关系，将点P,A,B,C,D 看作长方体的顶点来考虑.【解析】由题意，PAX平面ABCD那么点P,A,B,C,D,可以视为球O的内 接长方体的顶点，球 O位于该长方体的对角线的交点处，那么 OAB的面积为长方体对角面的四分之一ABB=2233PAg22 65,. P攻OABDi面积=1丄 22 33 66=3 33 .44【答案】3 315. 2021 辽宁高考文科10 与2021 辽宁高考理科10相同三棱柱ABC-ABG的6个顶点都在球0的球面上，假设AB =3, AC =4, AB _ AC, AA =12,，那么球 0 的半径为【解题指南】 对于某些

16、简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有 关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心 0和三棱柱的侧棱中点的 大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形,其外接圆的圆心0为其斜边BC的中点，连接OA,OO ,OA,由勾股定理，OA2 =0 o2 O A2其中OA = R, OO AA “。化訴弓所以球。的半径为16. 2021 新课标I高考文科T 15H是球。的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB丄平面:,H为垂足，：截球。所得截面的面积为n，那么 球。的外表积为.【解析】因为：截球。所得截面的面积为n，所以截面:的半径为1.

17、设 球的半径为R,那么AH二空，BH =4R,由勾股定理得12 -R2,解得333R2 =9.所以球。的外表积为4 :R2=9二.8 2【答案】9二.217. 2021 大纲版全国卷高考文科16 与2021 大纲版全国 卷高考理科16相同圆。和圆K是球。的大圆和小圆，其公共弦长等于球 。的半径，0K，且圆。与圆K所在的平面所成角为60,那么球。的外表积等于.2【解题指南】 解决此题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形，确定圆。与圆K所在平面的二面角，构造直角三角形求出 半径长【解析】如图，设公共弦 MN二R, E为MN的中点，贝卩0E MN， KE MNOEK为圆。与圆K所在平

18、面的二面角所以.OEK =60，又OMN为等边三角形，所以 OE -R.又因为 OK =3, OK _ EK ,2 2 所以OE sin60，即卫仝=3.2 2 2 2解得 R = 2，所以 S R2 =16二.【答案】16二19. 2021 天津高考文科10一个正方体的所有顶点在一个球面上.假设球的体积为,那么正方体的棱长为2 【解题指南】 先根据球的体积求出半径，再根据球的直径与其内接正方体对角线的相等关系求其棱长【解析】设球半径为R,因为球的体积为仝r3=?，所以R=3，又由球3 22的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3,故其棱长为3.【答案】-.320. 2021 福建高考理科T12某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图均如下图，且图中的四边形是边长为2的正方形，那么该球的外表积是 .【解题指南】 如果考球，我们只要清