计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法ppt课件

1、计算流膂力学讲义计算流膂力学讲义 第九讲第九讲 有限体积法有限体积法1李新亮李新亮lixlimech.ac ；力学所主楼；力学所主楼219； 82543801 知识点：知识点： 1讲义、课件上传至讲义、课件上传至 cfluid (流体中文网流体中文网 - “流体论坛流体论坛 -“ CFD根底实际根底实际 讲课录像及讲义上传至网盘讲课录像及讲义上传至网盘 cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live/browse.aspx/.PublicCopyright by Li Xinliang有限体积法的根本概念有限体积法的根本概念 重构和反演重构和反演迎风型有限体积法迎风型有限

2、体积法Riemann求解器；求解器；Roe格式的新了解：近似格式的新了解：近似Riemann解解多维迎风型有限体积法多维迎风型有限体积法坐标旋转坐标旋转Copyright by Li Xinliang2知识回想知识回想1. 差分方法的根本概念：差分方法的根本概念：差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理等价定理0 xuatu011xuuatuunjnjnjnj2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析修正波数精度分析、稳定性分析与分辨率分析修正波数Taylor分析分析Fourier分析分析jjikxnneAu jjikxnneAu11n

3、nAAG/1jjikxjikxjexkFeu,xikk修正波数修正波数 激波捕捉格式激波捕捉格式 GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENOEuler (N-S) 方程的通量分裂方程的通量分裂 逐点分裂、特征投影分裂逐点分裂、特征投影分裂 建议运用建议运用Roe平均平均5. 隐格式求解的隐格式求解的LU-SGS方法方法要点：要点： a. 引入差量，方程线性化引入差量，方程线性化 b. 单边差分，隐式代数方程显式推进化单边差分，隐式代数方程显式推进化0)(xuftu以一维为例，多维可直接推行以一维为例，多维可直接推行012/112/11xfftuunjnjnj

4、nj方法方法1：直接隐式离散：直接隐式离散直接求解非线性方程组，计算量大非线性方程组，计算量大)()()(11nnnnnufxufufxtuu方法方法2nnnnnnnnnuuuufAuAufuf11,)()(差量化线性化线性化nnnnnRHSufxtqAxtq)(知项线化微分方程线化微分方程nnuqCopyright by Li Xinliang3Copyright by Li Xinliang4求解思绪：假设直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大多维情况求解思绪：假设直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大多维情况njnjnnjnnjRHSxqAqAtqjj21111多对角

5、方程组，不好解多对角方程组，不好解多维情况多维情况njnjnnjnnjRHSxqAqAtqjj11xtAqARHSqnjnnjnjnjj/),1/()(11nnnnRHSqAxtq中心双侧离散Copyright by Li Xinliang5nnnnRHSqAxtqnnnRHSqAAxtq)(nnjjnjjnjjnjjnjRHSqAqAqAqAq)(1111强行单侧差分会不稳定的强行单侧差分会不稳定的njnjjnjjnjRHSqAqAq1111*)1 (*)(21分裂：AAAALF近似近似LU分解分解xt /Step 1:RHS)UL(DQRHS)QU(D)DL(D1近似LU分解RHSUQLD

6、1njnjjnjRHSqAq11*)1 (Step 2:QUQDRHSQL1njnjjnjqqAq)1 ()1 (*11*均为递推求解均为递推求解 两次扫描，免受解方程组之苦两次扫描，免受解方程组之苦j -1 - jj+1 j以上描画适用于求解定常问题，求解非定常以上描画适用于求解定常问题，求解非定常问题该过程可用于内迭代。问题该过程可用于内迭代。迭代收敛后迭代收敛后q趋于趋于0，精度由右端项决议精度由右端项决议Copyright by Li Xinliang6 9.1 有限体积法入门有限体积法入门有限体积法主要优势：有限体积法主要优势： 处置复杂网格处置复杂网格差分法处置复杂外形差分法处置复

7、杂外形 坐标变换坐标变换),(),(),(zzyyxx321321VVVffftU)(32111fffJfzyx),(),(1zyxJ坐标变换函数必需足够光滑坐标变换函数必需足够光滑 否那么损失精否那么损失精度度实践问题：实践问题： 外形复杂，外形复杂， 光滑的构造网格生成困难光滑的构造网格生成困难差分法差分法有限体积法有限体积法优点优点简单、计算量小、易简单、计算量小、易于提高精度于提高精度本身包含几何信息，本身包含几何信息，易处置复杂网格易处置复杂网格缺乏缺乏差分别散与几何解耦，差分别散与几何解耦，难以处置复杂网格难以处置复杂网格复杂、不易提高精度复杂、不易提高精度Copyright by

8、 Li Xinliang79.1.1 有限体积法有限体积法 的根本概念的根本概念本质：本质： 把几何信息包含于离散过程中把几何信息包含于离散过程中虽然简单，但有助于建立根本概念0)(xuftu j-1 j j+1j-1/2 j+1/21. 全离散型过程全离散型过程0)(12/12/1 nnjjttxxdxdtxuftu0)()(12/12/12/12/11nnjjttjjxxnndtffdxuu含义：含义： f在在j+1/2点的值点的值留意与差分法的区别留意与差分法的区别在控制体上积分原方程在控制体上积分原方程2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu定义：定义：空间平均空间平均1)(12/

9、12/1nnttjnjdttftf时间平均时间平均02/12/11xfftuunjnjnjnj准确推导，不含误差准确推导，不含误差提示：提示：为区间内的空间及时为区间内的空间及时间平均值，假设把它间平均值，假设把它们了解为某点的值，们了解为某点的值，会产生误差会产生误差 njunjf2/1Copyright by Li Xinliang80)(xuftu02/12/11xfftuunjnjnjnj积分准确积分准确2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu 重构重构Reconstruction)有限差分法的离散：数值微分过程有限差分法的离散：数值微分过程有限体积法的离散：数值积分过程有限体积法

10、的离散：数值积分过程积分方程积分方程离散化离散化2/12/1)(12/12/1jjttjnjdtxftf 反演反演evolution)(xuunnj2/12/1)(1)(2/12/1jjttjnjndtxftfxu(1) 重构过程重构过程A. 零阶重构，假设分片常数零阶重构，假设分片常数 j-1 2/12/1)(jjjnxxxuxu B. 线性重构，假设分片线性函数线性重构，假设分片线性函数零阶重构与一阶重构表示图零阶重构与一阶重构表示图 j j+1)()(jjnjnxxDuxuxuuDnjnjj1xuuDnjnjj1orxuuDnjnjj211or或其他方法或其他方法C. 更高阶的重构例如更

11、高阶的重构例如: 分片二次函数分片二次函数 PPM, WENO等等重构是有限体积的空间离散化重构是有限体积的空间离散化过程，有多种方法过程，有多种方法Copyright by Li Xinliang92 演化过程演化过程 以线性方程为例以线性方程为例 1)(12/12/1nnttjnjdttftf0,)(, 0)(aauufxuftu需求得知时间演化信息，通常利用特征方程需求得知时间演化信息，通常利用特征方程0, 0axuatu)(),(0atxutxu)()()(2/12/12/1njnjjttaxautautf假设采用零阶重构：假设采用零阶重构：2/12/1)(jjjnxxxuxu那么：那

12、么：jnjnuttaxu)(2/1jjuaf2/1假设时间步长足够小假设时间步长足够小,)(2/12/12/1jjnjxxttax那么方程为：那么方程为：011xuuatuunjnjnjnj等价于一阶迎风差分等价于一阶迎风差分Riemann解解Copyright by Li Xinliang10假设采用线性重构假设采用线性重构)()(jjnjnxxDuxu)(),(0atxutxu)(2()()()(2/12/12/1njnjjnjjnjnjnjttaxDuxttaxDuttaxututDaxDuadttautfjjnjttjnjnn2)2()(122/12/1102/12/11xfftuun

13、jnjnjnjxDDtaxDDxuuatuujjjjnjnjnjnj2)(2/ )(12111假设假设xuuDnjnjj1xuuutaxuuatuunjnjnjnjnjnjnj2)2(112111xuuDnjnjj1xuuutaxuuuatuunjnjnjnjnjnjnjnj2)2(234122121Warming-BeamLax-Wendroff0阶重构阶重构 1阶精度阶精度线性重构线性重构 2阶精度阶精度 一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法Euler方程：方程：演化过程可经过演化过程可经过Riemann解或近似解或近似Riemann解进展解进展

14、Copyright by Li Xinliang112. 半离散方法半离散方法全离散：全离散： 积分方程积分方程 代数方程代数方程 守恒性好，但复杂守恒性好，但复杂半离散：半离散： 积分方程积分方程 常微分方程常微分方程 简便，便于运用简便，便于运用R-K等成熟方法等成熟方法0)(xuftu0)(2/12/1jjxxdxxuftu仅空间积分02/12/1xfftunjnjnj2/12/1),(1)(jjxxjdxtxuxtuf 在在j+1/2点的值，仍需求点的值，仍需求运用周围点运用周围点 进展插值进展插值njf2/1 通常无法准确计算， 可采用近似值 替代njf2/102/12/1xfftu

15、njnjnj212/1njnjnjuuaf0211xuuatunjnjnj等价于二阶中心差分等价于二阶中心差分半离散 j-1 j j+1j-1/2 j+1/2)(kuf)()(2/12/1jnjnnjxuffxuu重构重构Copyright by Li Xinliang129.1.2 一维一维Euler方程的迎风型有限体积法方程的迎风型有限体积法 j-1 j j+1j-1/2 j+1/20 xtf(U)U02/12/1xtnjnjnjffU半离散1. 重构重构控制体积 j-1 j j+1左重构值左重构值右重构值右重构值选择不同的模板会得到不同的重构方案选择不同的模板会得到不同的重构方案向左偏的

16、模板产生向左偏的模板产生向右偏的模板产生向右偏的模板产生差分法差分法 同一点的导数可运用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之同一点的导数可运用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之Lj2/1URj2/1U例如：例如： 0阶重构阶重构 1阶单边重构阶单边重构12/12/1,jRjjLjUUUU)3(21),3(21212/112/1jjRjjjLjUUUUUU根据特征方向，选择左通量或右通量根据特征方向，选择左通量或右通量Lj2/1URj2/1Unj2/1f途径途径1： FVS途径途径2：FDSCopyright by Li Xinliang132. 分裂方法分裂方法 1: FVS方法方法 流

17、通矢量分裂流通矢量分裂 逐点分裂逐点分裂 fff 详细方法： Steger-Warming 分裂 Lax-Friedrichs分裂 Van Leer分裂： Liou-Steffen分裂： 压力项与其他项分开， AUSM类格式的根底2kkkwcucuucucuu232221321321)(2)(2) 1()()() 1(2) 1(22)(f2/ )(*Uff根据当地根据当地Mach数分裂数分裂保证保证 的的Jocabian阵特征值为正，阵特征值为正， 的为负的为负ffUAf)2/12/12/1RjLjnj(Uf(Uff正通量：正通量： 向左偏斜重构；向左偏斜重构； 负通量：负通量： 向右偏斜重构

18、向右偏斜重构 偏重向上游偏重向上游 与迎风差分法类似：与迎风差分法类似： 网格基或权重偏重上游网格基或权重偏重上游差分、有限体积都可运用差分、有限体积都可运用一个参数，反映全部特征一个参数，反映全部特征Copyright by Li Xinliang14小知识：小知识： Liou-Steffen分裂分裂)()(2200)()(pcFFpupEuuupEpuuf(U)对流项压力项思绪：思绪： 决议特征的关键参数决议特征的关键参数 当地当地Mach数数1 1 , 00 , 11cuMa超音速，超音速，x-方向方向超音速，超音速，x+方向方向0, 0, 0321cucuu321,0, 0, 0321

19、因此，对因此，对Mach数进展分裂更为简约！数进展分裂更为简约！1当01当4/) 1(1当2MMMMMMaHauaMFc)(114/) 1(102MMMMMM1012/ )1 (1MMMpMpp112/ )1 (10MpMMpMp显然：显然： pppMMMfff010paHauaMf参考文献：参考文献：Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, section 8.4.4Liou: Ten Years in the making AUSM family, NASA TM-2001-210977类似类似 Van

20、Leer分裂，但压力单独处置分裂，但压力单独处置MM保证光滑过渡保证光滑过渡M=1Copyright by Li Xinliang15(3) FDS 方法方法 通量差分分裂通量差分分裂特征投影分裂特征投影分裂 1. 利用准确利用准确Riemann解解Godnov格式格式目的：Lj2/1URj2/1Unj2/1f j-1 j j+1j-1/2 j+1/2控制体积 j-1 j j+1左重构值左重构值右重构值右重构值 1 准确求解Riemann问题Lj2/1URj2/1U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU2)f(Uf),()(1/2j2/1txtnj精度：精度： 取决于重

21、构的精度取决于重构的精度 原那么上可恣意阶原那么上可恣意阶 差分法：Godnov格式运用分片常数，精度1阶 有限体积法：先重构，再解Riemann问题，可高阶准确准确Riemann解见本讲座第解见本讲座第2讲需迭代求解，计算量大讲需迭代求解，计算量大 - 近似近似Riemann解解整体思绪：整体思绪： 先重构自变量两种方案得到先重构自变量两种方案得到 ，再求解再求解Riemann问题或用问题或用FVS得到通量的方法通得到通量的方法通常称为常称为MUSCL方法。方法。Lj2/1URj2/1UCopyright by Li Xinliang16差分法与有限体积法区别与差分法与有限体积法区别与联络二

22、阶迎风联络二阶迎风+FVS为例为例差分、有限体积差分、有限体积0 xtf(U)U0 xtf(U)U0 xxtffU02/12/12/12/1xxtiiiiiffffU差分通常做法：差分通常做法： 直接插值通量直接插值通量fi+1/2)/2f(3ff)/2f(3ff2i1i1/2i1ii1/2i有限体积：先插值自变量有限体积：先插值自变量U，然后计，然后计算通量算通量f：)/2U(3U)()/2U(3U)(2i1i2/11ii2/1ffffff1/2i1/2iRiLiUU先插值自变量，再计算通量的先插值自变量，再计算通量的方法，称为方法，称为MUSCL类方法。类方法。是有限体积法的常用方法差是有

23、限体积法的常用方法差分法也可以用分法也可以用单偏重构，以防止跨过激波单偏重构，以防止跨过激波还可运用还可运用FDS方法，重构后求解方法，重构后求解Riemann问题问题当f=f(U) 延续时，对f插值与对U插值精度一样。UGUfUUf)()( 称为数值流通量称为数值流通量 的含义的含义Copyright by Li Xinliang17重要概念廓清：重构与插值0)(xuftuA. 有限差分法：有限差分法：xffxfjjj2/12/1j+1/2切线切线j-1/2jj-12/1jf)(2/1jxf2/1jf2/1jf 留意： 与 f 在xj+1/2点的值含义不同！2/1jf用周围几个点的值用周围几

24、个点的值 计算计算 的过程称为的过程称为“重构，不能了重构，不能了解为用解为用 来插值来插值2/1jf jf jf)(2/1jxf记号记号 确实容易混淆，让人容易联想起确实容易混淆，让人容易联想起 。记为。记为 更好些更好些2/1jf)(2/1jxf2/1jf否那么，最高只否那么，最高只能到达能到达2阶精度了！阶精度了！ 是控制体内的平均值 称为数值流通量称为数值流通量 的含义的含义Copyright by Li Xinliang18重要概念廓清：重构与插值0)(xuftuB. 有限体积法：有限体积法：02/12/1xfftujjjj+1/2j-1/2)(2/12/1jjxff2/1jf2/1

25、)(2/12/1jxxjjfxuff确实为确实为f在在xj+1/2点的值点的值 ！ 通常做法： 1 用 计算出 2 ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjxuuu在xj+1/2点的值！关键：关键： 是用是用 计算计算 称为重构称为重构 ，而不是用，而不是用 计算计算 是规范的插值；否那么最高也只能到达是规范的插值；否那么最高也只能到达2阶精度。阶精度。 ju2/1ju ju2/12/1)(1jjxxjdxxuxujuju1ju1ju2/1ju19概念：MUSCL与非MUSC类方法0)(xuftuxffxujjj2/12/1j+1/2切线切线j-1/2j-12/1jf2/1

26、jf2/1jfxffxujjj2/12/1差分差分有限体积有限体积juju方法方法1 非非MUSCL类：类： 直接利用周围几个点的函数值直接利用周围几个点的函数值 或或 直接计算直接计算 或或 如何计算如何计算 或或 ？2/1jf2/1jf方法方法2 MUSCL类：类： 利用周围几个点的自变量值利用周围几个点的自变量值 或或 计算出计算出 或或 ；然后再计算然后再计算 或或 jf)(juf2/1jf2/1jfjuju2/1ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjuff当当f=f(u)是连函数时，二者精度一样是连函数时，二者精度一样uCufuuff)()(00f的误差与的误差

27、与u的误差同阶的误差同阶Copyright by Li Xinliang202. 近似近似Riemann解解 例：例： Roe格式格式)U(U21)f(U)f(U21fLjRjRjLjjSS2/12/112/12/12/1)UA(A )/()()/()(2/ )(2RLRRLLRLRRLLRLHHHuuu与差分法的与差分法的Roe格式方式一样格式方式一样了解：了解： 近似近似Riemann解解Euler方程方程 常系数线性化解常系数线性化解uf(u)uLuRuRoe0 xtf(U)U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU0 xtnU)A(UU利用利用Roe平均，平均，

28、刚好是左刚好是左右两点间的平均增长率，实现右两点间的平均增长率，实现了常系数线性化。了常系数线性化。常系数双曲方程组，易解！常系数双曲方程组，易解！思绪：思绪： 用平均增长率矩阵用平均增长率矩阵 取代瞬时增长率矩阵取代瞬时增长率矩阵A,不但实现了线性化，而且实现了常系数不但实现了线性化，而且实现了常系数化。化。 利用二次齐函数的性质，可找到了利用二次齐函数的性质，可找到了Roe点即点即Roe平均点，该点处的增长率刚好等于平均点，该点处的增长率刚好等于平均增长率。平均增长率。ARoe平均)UA(0 xtU)UA(U常系数化常系数化线性化线性化)()()(LRLRUfUfUU)UA(常系数线性单波

29、方程的常系数线性单波方程的Riemann问题问题太简单了太简单了210 xtU)UA(U常系数方程组的常系数方程组的Riemann问题问题0 xtUSSU1SUV 0 xtVV0 xvtvkkk解耦了的单波方程，有准确解解耦了的单波方程，有准确解2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU初值初值2/12/12/12/1)()(),(jRjkjLjknkxxvxxvtxvLjkv2/1)(Rjkv2/1)(Copyright by Li Xinliang22Ljkv2/1)(Rjkv2/1)(解为解为)()(sgn(21)()(210)(0)(),(2/12/12/12/12

30、/12/12/1LjkRjkkRjkLjkkRjkkLjkjkvvvvfvifvtxv)(sgn(21)(212/12/12/12/12/1LjRjRjLjjVVVVV)()sgn(21)(212/12/112/12/12/1LjRjRjLjjUUSSUUUSUV VSU1)U(U21)f(U)f(U21fLjRjRjLjjSS2/12/112/12/12/12/12/12/1jjjUAf线性化条件线性化条件 并利用齐函数性质并利用齐函数性质与差分法的与差分法的Roe格式一样格式一样)sgn(还有各种其他类型的近似还有各种其他类型的近似Riemann解今后引见解今后引见Copyright by

31、 Li Xinliang239.1.3 多维问题的有限体积法多维问题的有限体积法0y(U)fx(U)ftU21二维问题二维问题1111,pvu2222,pvu一维一维Riemann问题，坐标选取不当，问题，坐标选取不当，变为变为 “二维二维Riemann问题问题xy差分法：差分法： 独立计算独立计算只思索各自的特征方向只思索各自的特征方向 由于非线性，由于非线性， 实践二维特征方向并非实践二维特征方向并非x,y方向特征量的线性方向特征量的线性组合。组合。 特征方向计算不严厉，带来误差特征方向计算不严厉，带来误差差分方法：差分方法： 多维情况，特征实际复杂，通常多维情况，特征实际复杂，通常x,y

32、方向独立计算方向独立计算转化为转化为 x方向与方向与y方方向的两个一维问题向的两个一维问题xUAx(U)f11逐点分裂逐点分裂特征投影分裂特征投影分裂yyUA(U)f22完全按照一维情况独立处置完全按照一维情况独立处置部分坐标旋转？部分坐标旋转？ 差分算法设计呵斥部分旋转困难差分算法设计呵斥部分旋转困难差分法差分法的多维的多维处置方法处置方法1. 小知识：小知识： 差分方法如何处置高维问题的差分方法如何处置高维问题的 ？优缺陷？优缺陷？优点：优点： 简单简单缺陷：特征方缺陷：特征方向计算不准向计算不准Copyright by Li Xinliang242. 二维有限体积方法的离散过程二维有限体

33、积方法的离散过程0y(U)fx(U)ftU210F(U)tU在以某节点为中心的控制体上积分在以某节点为中心的控制体上积分i,jk非构造网格的控制体非构造网格的控制体i+1,ji-1,ji,j+1i,j-1k3k1k2k4k5构造网格的控制体构造网格的控制体0dF(U)tU01dsnFtUdUU1dsdnFF(U)xyn01mmijHtU体积平均)()(1ymxmmmmnUnUss2ffnFH控制体边境垂控制体边境垂直于节点连线直于节点连线也可选其他也可选其他方式方式垂直平分线垂直平分线n1) 建立控制体建立控制体 mx2) 在控制体上积分在控制体上积分离散方程离散方程重构：重构： 由节点上平均

34、值由节点上平均值 给出函数分布，最终给出函数分布，最终给出通量给出通量ijU表示第m个界面上的值1m2m3m4m1 重构重构 两种不同的重构方案，向左偏及向右偏。两种不同的重构方案，向左偏及向右偏。 给出两种结果：给出两种结果： 及及Copyright by Li Xinliang25i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1n左重构左重构右重构LmU2 由左右重构得到的自变量：由左右重构得到的自变量： 和和 给给出通量出通量 方案方案A: FVS 方案方案B: 解解Riemann问题问题 常用常用LjiU,2/1RjiU,2/13. 二维迎风型有限体积法二维迎风型有限体积法 LjU2/1

35、RjU2/1例如：例如： 0阶重构：阶重构：jiLjiUU,2/1jiRjiUU, 1,2/1 线性重构: )(21, 1, 2/1jijijiLjiUUUU)(21, 1,2, 1,2/1jijijiRjiUUUU用用i, i-1点的值点的值 插插i+1/2点的值点的值网格猛烈变化时，该当用实践坐标插值网格猛烈变化时，该当用实践坐标插值)()(2)(, 1, 1, 1, 2/1jijijijijjijiLjiUUxxxxUU用用i, i+1点的值点的值 插插i+1/2点的值点的值1111,pvu2222,pvuxy看似二维看似二维Riemann问题，其实是一维问题，其实是一维的，坐标旋转一下

36、的，坐标旋转一下就行了就行了RmU)(RmLmmU(Uf(UffCopyright by Li Xinliang261111,pvu2222,pvuxyxy 通常进展坐标旋转通常进展坐标旋转旋转旋转q角后的坐标系角后的坐标系 (x,y)性质：性质： Euler方程的旋转不变性方程的旋转不变性0y(U)fx(U)ftU21cossinsincosyxyyxxcossinsincosvuvvuu0y)U(fx)U(ftU21方式上完全不变方式上完全不变 仅需把仅需把u,v,x,y换成换成u,v,x,y即可即可TTTpEvpvuvvpEuvupuuEvu)(,(,)( ,(,),(222)U(f)U

37、(fU110000cossin00sincos00001)(T10000cossin00sincos00001)()(1TTTUU 其中：旋转矩阵其中：旋转矩阵0y(TU)fx(TU)ftTU21旋转旋转 q 角角矩阵表示Copyright by Li Xinliang27i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重构左重构右重构LmURmU部分坐标系xy1111,pvu2222,pvuxyxy旋转旋转q角后的坐标系角后的坐标系 (x,y)(TU)fT(U)f(U)fnF(U)1121sincos习题：习题： 设设 n 为平行为平行x轴的向量，试证明：轴的向量，试证明：证明：证明：Evu

38、vuEvucossinsincosTUsin)(cos)()(sincos)(cossin)(sincos)()()(222221vpEpvuvvupEuvpuuupEpvupuuuupEvupuvupuuupEvupuu11TTUfT2222vuvu坐标旋转，标量不变坐标旋转，标量不变向量的模不变向量的模不变cossinsincosvuvvuucossinsincosvuvvuuCopyright by Li Xinliang2801dsnFtU0)(1mmmijsnFtUi,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重构左重构右重构LjU2/1xy于是：01mmmmijs)U(fTtU1

39、11111,pvu2222,pvuxyxy旋转旋转q角后的坐标系角后的坐标系 (x,y)其中下标其中下标m表示控制体第表示控制体第m个面线，个面线， 表示该面的面积表示该面的面积 长度长度ms于是，问题转化为求控制面上的于是，问题转化为求控制面上的TUU ULjU2/1这个量有两个重构方案这个量有两个重构方案LjLjTUU2/12/1RjRjTUU2/12/1方法方法1： FVS:方法方法2： 需求求解需求求解Riemann问题，旋转后，问题，旋转后，转化为转化为“扩展的扩展的1维维Riemann问题问题0 xt)U(fU12/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxUEvuT

40、UU)(RmLmmUU(fU(ffCopyright by Li Xinliang29解释：解释： “扩展的一维扩展的一维Riemann问题问题1111,pvu2222,pvuxyxy旋转旋转q角后的坐标系角后的坐标系 (x,y)0 xt)U(fU12/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxUEvuTUU 问题本身是一维的问题本身是一维的 ： 一切变量都只沿着一切变量都只沿着x方向分布，沿方向分布，沿y方向均匀方向均匀 允许有允许有y方向的速度方向的速度v (比纯一维问题多一个变量比纯一维问题多一个变量v的存在对流动的一的存在对流动的一维性质无任何影响维性质无任何影响举例：举

41、例： Sod激波管问题一维。激波管问题一维。假设在沿假设在沿y方向匀速运动的坐标系中察看，那么方向匀速运动的坐标系中察看，那么方程为方程为“扩展的一维问题，但不影响其一维性扩展的一维问题，但不影响其一维性质质坐标系沿坐标系沿y方向匀速运动方向匀速运动xy可用准确可用准确Riemann解，也可用解，也可用Roe等近似解等近似解Copyright by Li Xinliang30二维迎风型有限体积法求解步骤二维迎风型有限体积法求解步骤1 对对n时辰的平均量时辰的平均量 进展重构，给出控制面上的进展重构，给出控制面上的左、右重构值左、右重构值 ， 2将以上值旋转到每个控制面法向的部分坐标将以上值旋转

42、到每个控制面法向的部分坐标系下：系下： 3 求解上述求解上述“扩展的一维扩展的一维Riemann问题，给出后问题，给出后续时辰控制面上的值续时辰控制面上的值4利用积分型方程：利用积分型方程： 计算下一时辰的平均量计算下一时辰的平均量i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重构左重构右重构LjU2/1xyRjU2/1LmURmU0阶重构：阶重构：jiLjiUU,2/1jiRjiUU, 1,2/11阶重构阶重构 线性重构：线性重构：)(21, 1, 2/1jijijiLjiUUUU)(21, 1,2, 1,2/1jijijiRjiUUUU更复杂的重构更复杂的重构WENO等等10000cos

43、sin00sincos00001)(T),(tUUUULmRmmm01mmmmijs)U(fTtU111nijUnijU下标下标m指的是第指的是第m个控制面上的值个控制面上的值LjLjTUU2/12/1RjRjTUU2/12/1Copyright by Li Xinliang31知识回想：知识回想：Riemann问题准确解问题准确解0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuputRiemann问题问题问题描画：问题描画： 初始时辰，物理量分布存在初始时辰，物理量分布存在单个延续；延续两侧物理量为常数。单个延续；延续两侧物理量为常数。 求

44、解思绪：求解思绪： 采用积分方程采用积分方程 单个延续，且延续两侧物理量为常数情况下：单个延续，且延续两侧物理量为常数情况下： 积分方程转化为代数方程积分方程转化为代数方程代数方程：代数方程： 质量、动量、能量守恒质量、动量、能量守恒计算出计算出 ， 将将 与这三个值进与这三个值进展比较，判别会产生的情况。详细见以下图：展比较，判别会产生的情况。详细见以下图：Copyright by Li Xinliang32Riemann问题的详细计算步骤问题的详细计算步骤 全流场全流场0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuput1. 判别能够会

45、出现的情况五种情形之一判别能够会出现的情况五种情形之一 iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(),(),()(22*11*ppfppfpF a. 定义函数 b. 进展判别12pp 21uu )0(F)(2pF)(1pF情况5情况4情况3情况121uu )0(F)(1pF)(2pF情况5情况4情况2情况112pp 单调增函数，性质很好)(),(),0(21pFpFF21uu Copyright by Li Xinliang332. 求解中心区的压力和速度求解中心区的压力和速度21*)(uupF单未知数的代数方程，迭代求解例如单未知数的代

46、数方程，迭代求解例如Newton法，法，F(p)性质好，求解不困难性质好，求解不困难pF(p)00.511.52-12-8-404Function F(p) (Eq. 2.4.11 )with p1=rho1=1, p2=0.1,rho2=0.125*p*p*p*p*u*u),(),(2111*22*21*ppfppfuuu3. 确定中心区接触延续两侧的密度确定中心区接触延续两侧的密度 以及左、右波传播的速度以及左、右波传播的速度 a. 左波为激波的情况情况左波为激波的情况情况1,3 *2*1,*2*1,*2*1,)(*11111*1uuAA)2 , 1(2121*ippcAiiii1111/

47、AuZ b. 左波为稀疏波的情况左波为稀疏波的情况 情况情况2，4，52*1*1/cp2/ )(1(*11*1uucc*1*11111;cuZcuZtailhead中中心心区区接接触触延延续续左左侧侧的的物物理理量量膨胀波的波头及波尾速度膨胀波的波头及波尾速度激波的传播速度激波的传播速度对于情况对于情况5，波尾速度为：，波尾速度为：11)5(112cuZtail中心区为真空，音中心区为真空，音速速 无定义，改由无定义，改由该式计算该式计算*1cCopyright by Li Xinliang34c. 右波为激波的情况情况右波为激波的情况情况1，2 中中心心区区接接触触延延续续右右侧侧的的物物理

48、理量量2222/AuZ)2 , 1(2121*ippcAiiii)(*22222*2uuAA b. 右波为稀疏波的情况右波为稀疏波的情况 情况情况2，4，52*2*2/cp2/ )(1(*22*2uucc*2*22222;cuZcuZtailhead4. 计算稀疏波区域的值假设有稀疏波的话a. 左稀疏波左稀疏波 b. 右稀疏波右稀疏波情况2，422)5(212cuZtail情况5：1211),(),()(),(/),(112121122ctxutxccptxccptxpctxtxutZxtZtailhead1211),(),()(),(/),(222122222cutxtxccptxccptxpctxtxutZxtZheadtail留意： 教科书32页c的公式有误！Copyright by Li Xinliang35有限体积法有限体积法 “扩展的扩展的Riemann问题