结构力学力矩分配法

1、第第8 8章章 力矩分配法力矩分配法属于位移法类型的渐近解法。属于位移法类型的渐近解法。8.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念1. 理论基础：位移法2. 解题方法：渐进法3. 适用范围：连续梁、无结点线位移的刚架4. 计算对象：杆端弯矩，正负号规定与位移法相同（一）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。数值上等于使杆端产生单位转角时在转动端需施加的力矩。用用SAB表示，表示，施力端施力端A称为近端，称为近端，B端称为远端。端称为远端。ABSAB)(a远端固定远端固定SAB = 4 iABSAB)(b远端铰支远端铰支SAB = 3 iABS远端定向支承远端定向支承SAB = iAB

2、)(cABSB)(dA远端自由远端自由SAB = 01. SAB与线刚度与线刚度i=EI/l有关，还与远端的支承情况有关。有关，还与远端的支承情况有关。2.SAB是指施力端是指施力端A在在没有线位移没有线位移的条件下的转动刚度。的条件下的转动刚度。（二）分配系数：（二）分配系数：如图，设如图，设A结点上作用有一结点上作用有一集中力偶，试求杆端弯矩集中力偶，试求杆端弯矩MAB、MAC、MAD。解：解： 设集中力偶使结点设集中力偶使结点A产生产生转角转角q qA A， 则由转动刚度定义：则由转动刚度定义： ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3)(aACDBMA

3、3. A端可为固定铰或可动铰支座，也可为可转动（但端可为固定铰或可动铰支座，也可为可转动（但不能移动）的刚结点。不能移动）的刚结点。由由)(aACDBMA 0AMAMABMACMADMADACABMMMM AADAACAABSSS AADACABSSS)( AAS 用用 AS表示各杆表示各杆A端转动刚度之和。端转动刚度之和。 AASM ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3将将q qA代入代入MAB、MAC、MAD的表达式中，得：的表达式中，得：)(aACDBMA AASMMSSMAABAB MSSMAACAC MSSMAADAD 分配弯矩分配弯矩令令)(D

4、C,B,jSSAAjAj Aj 称为称为分配系数分配系数，它表示本杆的转动刚度除以，它表示本杆的转动刚度除以 围绕此结点所有杆的转动刚度之和。围绕此结点所有杆的转动刚度之和。 ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3则分配弯矩为：则分配弯矩为：MSSMAABAB MSSMAACAC MSSMAADAD 令令)(DC,B,jSSAAjAj MMABAB MMACAC MMADAD 分配系数的特点：分配系数的特点：汇交于同一结点的各杆的分配系数之和等于汇交于同一结点的各杆的分配系数之和等于1 1。)(aACDBMA1010图示结构，各杆线刚度均为图示结构，各杆线刚

5、度均为I, ,用力矩分配法计用力矩分配法计算时，分配系数算时，分配系数AB为（）为（）101A81B41C83D训训 练练B)(aACDBM（三）传递系数：（三）传递系数： (a)图中图中A结点作用集中结点作用集中力偶力偶M，使结点使结点A产生转角产生转角q qA A时，各杆近端产生弯矩，时，各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。同时也使各杆远端产生弯矩。A BAMAABi2 CAMAACi DAM021 ABABBACMM把把CAB称为传递系数。称为传递系数。传递系数传递系数 当近端有当近端有转角转角时，远端弯矩和近端弯时，远端弯矩和近端弯矩的比值。用符号矩的比值。用符号C表示。表示。

6、 ABMAABSAABi4 ADMAADSAADi3 ACMAACSAACi21ABBAABMMCMAB = 3iABqA0ABBAABMMCMAB= iABqAMBA = - iAB qA1ABBAABMMCqAlAB近端近端远端远端ABqAqAAB传递系数与远端的支承情况有关：传递系数与远端的支承情况有关：（三）传递系数：（三）传递系数：MAB = 4 iAB qAMBA = 2 iAB qA基本概念总结：基本概念总结：规律：规律：分配系数要计算；分配系数要计算；计算围绕一个点；计算围绕一个点；传递系数凭观看；传递系数凭观看；观看只看杆远端。观看只看杆远端。 在结点上的外力矩（不平衡力矩）

7、按各杆分配在结点上的外力矩（不平衡力矩）按各杆分配系数分配给各杆近端截面；各杆远端弯矩分别等于系数分配给各杆近端截面；各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。各杆近端弯矩乘以传递系数。8.2 单结点力矩分配法单结点力矩分配法基本运算基本运算用力矩分配法计算下列结构，并作用力矩分配法计算下列结构，并作M图。图。PEIABCEIl2l2l)(a（一）确定基本结构（在（一）确定基本结构（在B结点增加附加刚臂），再加结点增加附加刚臂），再加 上荷载。如图上荷载。如图b。PBAC)(bRgBAMgBCMBgBCgBAMMR 此时：此时： R 等于固端弯矩之和，以等于固端弯矩之和，以顺时针顺时针为正

8、为正，称，称R为为结点不平衡力矩结点不平衡力矩或或固端固端弯矩引起的不平衡力矩弯矩引起的不平衡力矩。（一）确定基本结构（在（一）确定基本结构（在B结点增加附加刚臂），再加结点增加附加刚臂），再加 上荷载。如图上荷载。如图b。PBAC)(bgBCgBAMMR 此时：此时：BAC)(bR)(cBAM BCM B)( RMBABA 此时：此时：R)( RMBCBC （二）放松结点（二）放松结点B，产生，产生反向反向力矩力矩R：同时：各杆远端产生传递弯矩：同时：各杆远端产生传递弯矩：BAMMAB 210 CBM（三）（三）(b)图图+(c)图图=(a)图，即：图，即： BAM ABM BCM gABM

9、ABM BCM 0 CBM gBAMBAM PEIABCEIl2l2l)(a 、 叫分配弯矩：叫分配弯矩：它等于分配它等于分配系数乘以系数乘以负的负的R。BAM BCM 力矩分配法的计算步骤：力矩分配法的计算步骤：1.由转动刚度计算分配系数：由转动刚度计算分配系数：AAjSSAj2.固端弯矩固端弯矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 计算：计算：AgMR3.计算分配弯矩和传递弯矩：计算分配弯矩和传递弯矩：)( RMAjAj 4.叠加求和，计算杆端弯矩：叠加求和，计算杆端弯矩： 5.校核。（结点平衡）校核。（结点平衡）分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传

10、递方向。（通常列表计算）（通常列表计算）AjAjjAMCM 归纳： ，传递弯矩。放松节点，分配弯矩衡力矩。固端弯矩，有节点不平固定节点，各杆端有，传递弯矩。放松节点，分配弯矩衡力矩。固端弯矩，有节点不平固定节点，各杆端有例例1、用力矩分配法求解图示结构，并作、用力矩分配法求解图示结构，并作M图：图：解：解：BEIACEIm4m4kN/m10074731、计算分配系数：、计算分配系数： BBASSBA74 iii34473741 BC2、计算固端弯矩：、计算固端弯矩：3 .1331212 qlMgAB3 .133 gBAM3、计算不平衡力矩：、计算不平衡力矩：3 .133 R分配系数分配系数gM

11、固固端端弯弯矩矩3 .133 3 .13300分配传递分配传递结点一次结点一次B09.38 17.76 13.57 0 MM 或或总总4 .171 13.57013.57 4 .17113.5720081 2ql73.85图M)(mkN 力矩分配法是直接计算力矩分配法是直接计算各杆的杆端弯矩。各杆的杆端弯矩。反号的不平衡力矩：反号的不平衡力矩：-133.3总总 结：结：回顾：基本概念总结：回顾：基本概念总结：规律：规律：分配系数要计算；计算围绕一个点；传递系数凭观看；观看只看杆远端。 在结点上的外力矩（不平衡力矩）乘以各杆分在结点上的外力矩（不平衡力矩）乘以各杆分配系数得各杆近端截面的分配弯矩

12、；分配弯矩分别配系数得各杆近端截面的分配弯矩；分配弯矩分别乘以传递系数等于各杆远端截面的传递弯矩乘以传递系数等于各杆远端截面的传递弯矩转动刚度转动刚度S与传递系数与传递系数C：回顾：回顾：力矩分配法的计算步骤：力矩分配法的计算步骤：1.由转动刚度计算由转动刚度计算分配系数分配系数：AAjSSAj2.固端弯矩固端弯矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 计算：计算：AgMR3.计算计算分配弯矩分配弯矩和和传递弯矩传递弯矩：)( RMAjAj 4.叠加求和，计算杆端弯矩：叠加求和，计算杆端弯矩：5.校核。（结点平衡）校核。（结点平衡）分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。分配弯矩下划横线表示已平衡

13、，箭头表示传递方向。（通常列表计算）（通常列表计算）AjAjjAMCM 例例2、用力矩分配法计算图示结构，并作、用力矩分配法计算图示结构，并作M图。图。解：解：4 . 06 . 01、计算分配系数：、计算分配系数： BBASSBA4 . 0 iii23446 . 0 BC2、计算固端弯矩：、计算固端弯矩：60163 PlMgBC3、计算不平衡力矩：、计算不平衡力矩：分配系数分配系数gM固固端端弯弯矩矩060 0分配传递分配传递结点一次结点一次B1836 540 M杆杆端端弯弯矩矩1806 kN80EIBACEI2mkN 30m2m4m2图M)(mkN 060 gBCMRB300 0BM由由：得

14、06030 R90 R90 R反号的不平衡力矩：反号的不平衡力矩：90368041 Pl7736186 用力矩分配法用力矩分配法计算图示刚架各计算图示刚架各杆端弯矩。杆端弯矩。15kN/m50kN4m4m3m2mACBDiAB=2iAC=1.5iAD=2解：基本结构分配系数分配系数3 . 05 . 14242323AB3 . 05 . 1424235 . 14AC4 . 03 . 03 . 01AD固端弯矩和结点不平衡力矩RmkNMgAB30mkNMMgADgAC240mkNMgDA 36mkNMmkNMmkNMgDAgADgAB362430固端弯矩和结点不平衡力矩R mkN.M,mkN.Mm

15、kN.M,mkN.MM,mkN.MCAACDAADBAAB 90818344260228杆端弯矩+300-24+36MABMACMADMDAMCA R反号分配反号分配-1.8 -1.8-2.4-1.2-0.9-0.9+28.2 -1.8 -26.4+34.8RgADMgABMmkNR 6放松结点，计算分配弯矩和传递弯矩PABCDPABCD(1)在B，C加约束，施加荷载；PABCDPABCD(2)放松B约束C点不动，按一结点分配弯矩；(3)重新固定B（在当前变形上）放松C按一结点分配弯矩；(4)重复(2),(3)直到接近平衡，将各步骤杆端弯矩叠加。RBRCRC RB+ RC8.3 8.3 多结点

16、力矩分配法多结点力矩分配法渐进运算渐进运算例例: 试绘制连续梁的试绘制连续梁的弯矩图。弯矩图。Ai=2i=1i=180kN160kN30kN/MBD分配系数分配系数固端弯矩固端弯矩B点一次分、传点一次分、传C点一次分、传点一次分、传B点二次分、传点二次分、传C点二次分、传点二次分、传B点三次分、传点三次分、传C点第三次分配点第三次分配叠加求杆端弯矩叠加求杆端弯矩0.6 0.40.5 0.590.0 -250.0250.0 -187.5112.50096.0 64.032.0-23.7-47.3-23.7-47.3014.2 9.54.8-1.2-2.4-1.2-2.400.70.50.3-0.

17、2-0.20200.9 -200.9237.4 -237.487.63m3m10m3m5mABCD120200.9375237.430087.6CM图图(kN.m)回顾：基本概念总结：回顾：基本概念总结：规律：规律：分配系数要计算；计算围绕一个点；传递系数凭观看；观看只看杆远端。 在结点上的外力矩（不平衡力矩）乘以各杆分在结点上的外力矩（不平衡力矩）乘以各杆分配系数得各杆近端截面的分配弯矩；分配弯矩分别配系数得各杆近端截面的分配弯矩；分配弯矩分别乘以传递系数等于各杆远端截面的传递弯矩乘以传递系数等于各杆远端截面的传递弯矩转动刚度转动刚度S与传递系数与传递系数C：回顾：回顾：力矩分配法的计算步骤

18、：力矩分配法的计算步骤：1.由转动刚度计算由转动刚度计算分配系数分配系数：AAjSSAj2.固端弯矩固端弯矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 计算：计算：AgMR3.计算计算分配弯矩分配弯矩和和传递弯矩传递弯矩：)( RMAjAj 4.叠加求和，计算杆端弯矩：叠加求和，计算杆端弯矩：5.校核。（结点平衡）校核。（结点平衡）分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。（通常列表计算）（通常列表计算）AjAjjAMCM CB例例. .用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图，并用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图，并求求B支座反力支座反力。ABCD6m6m4m4mE

19、I=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 .04 .032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333M-6060 -100100分配与传递分配与传递-33.3-66.7-33.429.4 442214.7-14.7 -7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3 -41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（kNm）ABCD6m6m4m4mE

20、I=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）计算支座反力:68.2=QBAQBC=56.4BYB=124.6lMMQQBAABABAB0 画图示连续梁的弯矩图。20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常数（1）计算分配系数 （各杆线刚度相同， 令i =1） 571. 0429. 01 ,429. 0343 :BCBAB 500. 0444 :CDCBC429. 0571. 01 ,571. 0344 :DFDCD20kN/m40kN40kN4m

21、4m4m4m1.2mABCDEF基本结构解：40kNDEF48kNm（2）固端弯矩mkNMgBA40420812（3）列表计算20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常数常数基本结构基本结构mkNMgEF482 . 140mkNMMgCDgDC2044081mkNMgDE24482120kN/m40kN40kNABCDEFEI=常数常数40-2020 24480 -11.4 -12.6-17.2 -22.8-25.1 -18.911 11-4.7 -6.3-4.7-6.3 -3.2 -3.2 3.2 3.21.6 1.622 22-0.7 -0.9 -0.5 -0

22、.5 -0.7-0.90.3 0.30.5 0.5-0.1 -0.2-0.2 -0.148017.3 -17.310.6 -10.60.4 -0.4480.434.510.617.331.3M(kNm)弯矩很小弯矩很小停止分配停止分配B,D一次分,传C一次分,传B,D二次分,传C二次分,传B,D三次分,传C三次分,传B，D四次分配力矩分配法小结：力矩分配法小结： 1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不

23、平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩要变号分配。 4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：结点不平结点不平衡力矩衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第一结点）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）固端弯矩之和加传递弯矩固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩传递弯矩 （其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总和等于附加刚臂上的约束力矩总和等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以加快收敛速

24、度。力矩分配法小结：力矩分配法小结：例例 如下图所示刚架，试作如下图所示刚架，试作M图。图。(1)简化简化解：解：(3)计算分配系数计算分配系数(2)计算固端弯距计算固端弯距查表查表（4）分配、传递）分配、传递 （A-C-A-C-A次序）次序）（5）绘弯距图）绘弯距图时间： 周一原上课时间地点：3实410室填空题计算题作图题时间：6月18日(星期三) 下午: 14:0015:35地点：3教102,103,104自带：自带：计算器、直尺、铅笔和橡皮。计算器、直尺、铅笔和橡皮。例 画出图示结构弯矩图。CABD2.5m2.5m5mi=1i=1i=3i=3P=80kNi=6i=6EABFi=140kN简化结构简化结构解法一：利用对称性简化结构CABD81.218.818.86.36.36.36.3M(kNm)解法二：利用两个对称轴简化结构CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN反对称反对称CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN对称对称+CABD80kN40kN40kNAGFi=220kNi=61/4结构结构CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN反对称反对称1. 反对称荷载解：AB12.5M1 (k