Ch6.3抽样分布

1、第二节第二节 抽样分布抽样分布统计量与经验分布函数统计量与经验分布函数统计三大抽样分布统计三大抽样分布几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理课堂练习课堂练习 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.1. 统计量统计量 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为统不含任何未知参数的样本的函数称为统计量计量. 它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.一、统计量与经验分布函数一、统计量与经验分布函数

2、定义定义.),(,),(,21212121个个统统计计量量称称是是一一中中不不含含未未知知参参数数，则则的的函函数数，若若是是的的一一个个样样本本，是是来来自自总总体体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX请注意请注意 :.),X(),(,X21212121的的观观察察值值计计量量也也是是统统则则是是一一个个样样本本的的观观察察值值的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设nnnnXXgxxxgxxxXXX 几个常见统计量几个常见统计量样本平均值样本平均值niiXnX11它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息样本方差样本方差niiXXnS122)(11它反映了总体它反映了总体方差

3、的信息方差的信息 niiXnXn12211样本标准差样本标准差 niiXXnS12)(11nikikXnA11它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息统计量的观察值统计量的观察值2211211111;()111() ;1,2,11()1,2,nniiiinnkikiiinkkiixxsxxnnsxxxknnbxxkn 请注意请注意 :., 2 , 11)(1 kXnAnXEkXkpnikikkk时时，存存在在，则则当当阶阶矩矩的的若若总总体

4、体.),(),(2121为连续函数为连续函数其中其中可将上述性质推广为可将上述性质推广为由依概率收敛性质知，由依概率收敛性质知，再再ggAAAgkpk ., 2 , 1)(,2121上述结论上述结论再由辛钦大数定律可得再由辛钦大数定律可得同分布同分布独立且与独立且与有有同分布，同分布，独立且与独立且与由由事实上事实上nkXEXXXXXXXXkkikknkkn 2. 经验分布函数经验分布函数.,)(,2121的的随随机机变变量量的的个个数数中中不不大大于于表表示示的的一一个个样样本本，用用是是总总体体设设xxxxxxsFXXXnn xxsnxFn)(1)(经验分布函数为经验分布函数为定义定义 2

5、, 121,321, 0)()(21133xxxxFxFF若若若若若若的观察值为的观察值为，则经验分布函数，则经验分布函数，具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体例例)1, 2 , 1(, 1, 0)()(.,)()1()()1()()2()1(21 nkxxxxxnkxxxFxFxxxnxxxnkknnnn若若若若若若的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数如下：如下：将它们按大小次序排列将它们按大小次序排列值值的样本的样本是总体的一个容量为是总体的一个容量为一般，设一般，设. 10)()(suplim , )( 1 )( , , xFxFPxFxFnxnxnn即即一致收敛于分布函

6、数一致收敛于分布函数以概率以概率时时当当对于任一实数对于任一实数. )( , )( )( , 使使用用来来从从而而在在实实际际上上可可当当作作只只有有微微小小的的差差别别与与总总体体分分布布函函数数数数的的任任一一个个观观察察值值经经验验分分布布函函时时充充分分大大当当对对于于任任一一实实数数xFxFxFnxn3.格里汶科定理格里汶科定理 二、统计三大抽样分布二、统计三大抽样分布)(22n记为记为2分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX

7、,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其其他他yynyfynn.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2分布的性质分布的性质2 ).(21221nnXX 则则),(),(222121nXnX1设设 且且X1,X2相互独立，相互独立，E(X)=n, D(X)=2n.1)()(),1 , 0(2 iiiXDXENX故故事事实实上上，由由213)()()(2242 iiiXEXEXD.2)()(,)

8、()(122122nXDDnXEEniinii 2. 若若X , 则则2( )n分布的分位点分布的分位点 2 .)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn .,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 n3.分分位位点点满满足足的的上上设设 )(),(22nnZ,d);()()(222 nynynZP .,)(2可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求n )8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 ,535.17 ,247. 3

9、.382.34 例例).(,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记记为为分分布布的的服服从从自自由由度度为为则则称称随随机机变变量量独独立立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布. tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t2.分布的性质：分布的性质：t)2()2()(, 0)(),(. 1 nnntDtEntttn与与方方差差为为：其其数数学学期期望望分分布布的的具具有有自自由由度度为为.21)(lim,.0. 222tnethntt 函函数数的的性性质质有有由由再再分分布布概概率率密密

10、度度的的图图形形，其其图图形形近近似似于于标标准准正正态态充充分分大大时时当当对对称称分分布布的的密密度度函函数数关关于于).1 , 0(Ntn近近似似足足够够大大时时，即即当当图图分分布布的的概概率率密密度度曲曲线线如如t.)()(如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 ntnt )()()(ntdtthnttp称称满满足足条条件件，对对于于给给定定的的分分布布的的分分位位点点, 10. 3 t)()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上.1315. 2)15()(025. 0 tntt求求得得，例例可可查查表表分分位位点点分分布布的的上上 zntn)

11、(45的的值值，可可用用正正态态近近似似时时，对对于于常常用用的的当当).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记记为为布布分分的的服服从从自自由由度度为为随随机机变变量量则则称称独独立立且且设设 分分布布F3.定义定义图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F ., 0, 0,1222)(2212112221212111其他其他ynynnnynnnnynnnn 分分布布的的概概率率密密度度为为),(21nnF即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.2.F分布的数学期望为分布的数学期望为:2)(22 nnFE若

12、若n22分分布布的的性性质质F).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若1. ),(21nnF F分布的分位数分布的分位数称称满满足足条条件件，对对于于给给定定的的, 10 ),(2121)(),(nnFdyynnFFp.),(),(2121如如图图所所示示分分位位点点分分布布的的上上为为的的点点 nnFnnF分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上 F),(1),(12211nnFnnF 357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(,.05. 095. 0 FFF例例分位点可查表求得分位点可查表求得分布的上分布的上三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理有有和

13、和样样本本方方差差则则样样本本均均值值来来自自总总体体的的一一个个样样本本，是是，方方差差为为的的均均值值为为设设总总体体2212,XSXXXXn 2 (),(),E XD Xn 22)( SE niiXnXnEsE122211)(事事实实上上 niiXnEXEn122)()(11 21222211 ninnn 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即 设设 X1, X2, , Xn 是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本，的样本， 是样本均值，则有是样本均值，则有X 当总体为当总体为正态分布正态分布时，给出几个重要的抽样分时，给出几个

14、重要的抽样分布定理布定理. 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, 则有则有.)2(2独独立立与与 SX).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则则有有方方差差分分别别是是样样本本均均值值和和样样本本样样本本的的是是总总体体设设证明证明),1 , 0(/NnX 因因为为),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt定

15、理定理3 定理定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布) 这两个样本的样本方差这两个样本的样本方差,则有则有X1,X2,1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,Y1,Y2,2nYYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的2221SS 和样本均值，样本均值，分别是分别是221122(,)(,)XNYN ，且且X与与Y独立独立,设设, (2);1, 1(/(1)222212122212221时时当当 nnFSS.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中 证明

16、证明 (1) 由定理由定理2),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn , , 2221独独立立由由假假设设SS 分布的定义知分布的定义知则由则由F1), 1()1()1()1()1(21222222211211 nnFnSnnSn . )1, 1(/ 2122212221 nnFSS 即即 221221, nnNYX 因为因为212111)()( nnYXU 所所以以),1 , 0( N(2),1()1( 122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, 2211)1( SnV2

17、222)1( Sn ),2(212 nn .,分分布布的的定定义义按按相相互互独独立立与与由由于于tVU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt四、例题四、例题例例1.57. 522)1(.5 .12,25),12(22 SXNX未未止止，但但已已知知样样本本方方差差）；（知知已已如如果果的的概概率率大大于于求求样样本本均均值值的的样样本本抽抽取取容容量量为为服服从从正正态态分分布布设设总总体体解解 1212.512(1)12.5225225XP XP 1063. 0)25. 1(125. 14 . 012 XP 059. 1255 .1225125 .12

18、)2( TPSSXPXP .15. 05 .12.15. 0059. 1,059. 1)24(,2415. 0 XPTPtt故故有有即即分分布布表表的的查查自自由由度度为为例例2.85. 2)(2;401.,)5 . 0 ,(101210121012 iiiiXXpXpXXN）未未知知，求求概概率率（，求求概概率率）已已知知（中中抽抽取取样样本本从从正正态态总总体体解解)10(5 . 01)1 , 0(5 . 00)1(2101222 iiiXYNX，则则有有，由由 165 . 045 . 01421012221012 YpXpXpiiii.10. 04.16)10(1012210. 0 ii

19、Xp由此可得由此可得查表求查表求)9()(5 . 015 . 092)2(22101222 iiXXSZ，由由题题设设及及定定理理 10122210125 . 085. 2)(5 . 0185. 2)(iiiiXXpXXp 4 .112 ZP由由此此可可求求得得查查表表得得, 4 .11)9(225. 0 .25. 085. 2)(1012 iiXXp例例3).()(),(2,1,)(211SEXDXEXXXXnn和和）计计算算（的的概概率率分分布布；）写写出出（是是一一个个样样本本：，设设总总体体服服从从泊泊松松分分布布 解解 0, 2 , 1 , 01 iixiixexxXPi）由由于于（

20、的的概概率率分分布布为为因因此此样样本本nXX,1 niniixnixxeexniii11!1 niiixXP1例例4.)()(,6)1 , 0(226542321621分分布布服服从从，使使随随机机变变量量试试决决定定常常数数设设，的的样样本本量量为为，从从此此总总体体中中取取一一个个容容若若总总体体 CYCXXXXXXYXXXNXnnXDXDXEXEXDXE )()(,)()(,)()()2(则则有有由由于于， niiXXnESE122)(11)()2(33312232123212 XXXXXXY分分布布的的性性质质可可知知由由.31 C故故解解)1 , 0(3)3 , 0(321321N

21、XXXNXXX 所以所以因为因为)1(322321 XXX从从而而)1(322654 XXX同同理理可可知知五、课堂练习五、课堂练习 .10),min(;15),max(211.,5)4 ,12(1543215432151 XXXXXPXXXXXPXXN）求概率）求概率（的概率；的概率；值之差的绝对值大于值之差的绝对值大于）求样本均值与总体均）求样本均值与总体均（的样本的样本中随机抽一容量为中随机抽一容量为、在总体、在总体不是统计量，为什么？不是统计量，为什么？哪些哪些之中哪些是统计量之中哪些是统计量试指出试指出的简单随机样本的简单随机样本是来自是来自数，数，是未知参是未知参，其中，其中服从两点分布服从两点分布、设总体、设总体,)( ,2,ma