第一章复数与复变函数new

1、 复变函数复变函数 与积与积分变换分变换 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件2021-10-152参考用书参考用书2021-10-153 目目 录录2021-10-154 内容提要： 复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广 2021-10-1551.1 复数1.2 复数的三角表示1.3 平面点集的一般概念1.4 无穷大与复球面1.5 复变函数v 本章小结v 思考题2021-10-156一、复数的基本概念 (R

2、e),Rexzalzx称 为 的实部记(Imaginary),Imyzzy称 为 的虚部记2,zi例如：Re2,Im1zz则0,xziy当时 则称为纯虚数；0,yzx特别地，当时 则为实数；1xyxiy定 义 ： 设 与 都 是 实 数 ， 称为 复 数 ，zxiy记为：211iii 称 为虚数单位，且定义或111222zxiyzxiy定义2：设两复数与，121212zzxxyy则，1212ReRe,ImImzzzz即二、复数的代数运算二、复数的代数运算 111222zxiyzxiy设复数与，则1. 复数的和、差、积、商、模 121212()(zzxxi yy)和与差： 积： 12121212

3、21()()zzx xy yi x yx y商： 11212211222222222221222(),0zx xy yx yx yizzxyxyz zz z复数的运算满足交换律、结合律、分配律模： 22xyzxiy称为复数的模，.z记作补 原点、共轭复数2021-10-1582共扼复数及性质 zxiyxiyzz定义3：设复数，则称复数为 的，记做共轭复数重要性质： 1112121 21222(1),zzzzzzz zz zzz (2) zz222(3)(Re )(Im )zzzzz(4)2Rezzz,2 Imzziz复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用 2021-10-159 例1计算复

4、数 3223ii解：112122112222222222()()zx xy yx yx yizxyxy22223 2( 2) 32 ( 2)3 32323ii 法一（商的公式） 法二（共轭性质） _11212_22222|zzzzzzzzz22(32 )(23 )(66)( 49)(23 )(23 )23iiiiii 应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算中要灵活运用共轭2021-10-1510 例222)()0, .xyi xyx y设（求实数解：220,0 xyxy由题意得 12.14xxyy 解得：或 例313,Re( ),Im( ).1izzzzzii 设复数求与解：131izii 因

5、为3 (1)31()(1)(1)22iiiiiiii2231315Re,Im,( )()22222zzzz 所以2021-10-1511 例4111222,zxiy zxiy设为两个任意复数，证明：121 2122Rez zz zz z证明：121 211221122()()()()z zz zxiyxiyxiyxiy1212211212122112()()()()x xy yi x yx yx xy yi x yx y2121212()2Re.x xy yz z121 21212z zz zz zz z121 22Re()2Re().z zz z证法二：2021-10-1512第二节第二节

6、复数的表示法复数的表示法 一、复平面一、复平面 定义：()()xy由实轴轴 ，虚轴轴 按直角坐标系构成的平面，称为复平面（或z平面）o实轴虚轴复平面( , )M x yzxiy在复平面内任一点与复数是一一对应xiyyx复数的模： 22zxyrz复数的幅角： Argz主幅角： (,argz arg2(0, 1, 2,)Argzzkk即：一复数的辐角即：一复数的辐角ArgzArgz是多值的是多值的主幅角值的确定： argtan,0,0,0,arg20arctan,0,0,0,0yxyxxyzzyxyxxy当当0当当当练习 32zi 将化为三角表示式和指数表示式.| 32 |13,ri 22arct

7、anarctan332213cos(arctan)sin(arctan)33zi2(tan)34.arcie主辐角解： 模 18三、复数的三角表示及指数表示作乘除法三、复数的三角表示及指数表示作乘除法 111111(cossin) |,izzize设有两复数222222(cossin) |izzize12zz那么121212(cos()sin()zzi12()12izz e1212,zzzz1212ArgzzArgzArgz即： 模辐角定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和 说明：1212(1)Arg z zArgzArgz多值函数相等的理解：由于幅角是多值的， （）

8、理解为：1212121212(coscossinsin)(cossinsincos)zzi对于左端的任一个值，右端有一值与它对应，反之也一样；2021-10-1519定理2：两复数的商的模等于它们模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差 证明：111izz e设，222,izz e1(0)z 1212()212121|,|iiizzezezzez则2211,zzzz2211.zArgArgzArgzz即： 模辐角12(2)zz当用向量表示复数时，表示乘积的向量是12,zArgz从表示 的向量旋转一个角度2z并伸长(缩短)到陪得到.1z2z11z21 2z z1 2z z2021-10-1520

9、例5用三角表示式和指数表示式计算下列复数 (1) (13 )(3),ii2(2).12ii解： 3132(cossin)233iiie(1)因为565532cos()sin()266iiie 2(13 )(3)4cos()sin()44 .22iiiiei 所以1arg tan211(2) 25 (cos arg tansin arg tan)522iiiearg tan(2)125(cos arg tan( 2)sin arg tan( 2)5iiie211cos(argtanargtan2)sin(argtanargtan2)1 222iii所以2cossin.22iie2021-10-1

10、521四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式 1 1乘方公式乘方公式,izre设复数nz则乘方(cossin)nrnin1z 当时，有(cossin )cossinninin这公式称这公式称棣摩弗公式棣摩弗公式 2 2开方公式开方公式 (cossin ),izreri设复数则11222cossin,kinnnnkkwzrir enn0,1,2,1kn0,1,2,3,1knn(1)当时，得 个相异的根,1,kn n 当时，这些根又重复出现.nzn(2)在几何上， 的 个值是以原点为中心，1nrnn为半径的圆的内接正 边形的 个顶点2021-10-1522 例7计算下列各

11、题： 3(1) (13 ) ,i4( 2 )1. i3(1) (13 ) i解：(2 ) 12 (co ssin)44ii1441 2(cossin)44ii所以822442(cossin),44kki0,1,2,3k 即：802(cossin),1616wi81992(cossin),1616wi8317172(cossin),1616wi8425252(cossin).1616wi32(cossin)33i8(cossin )8i82这四个根是内接于中心在原点，半径为的圆的正方形的顶点，10203040,wiwwwwiwwiw 且2021-10-1523 例8310.z 求方程的根解：33

12、101,zz 方程，即其解为 1331cos0sin0zi22cossin33kki0 23,0,1,2kiek001,ze2312213cos()sin(),3322izeii 4324413cossin.3322izeii 作业习题一1.1 (3) (4) (2) (4)1.8 (2) (3)1.9 (1)（2）(3)（4）1.101.12 (1)（3）1.13 (1)P282021-10-1524第三节第三节 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域 一、开集与闭集

13、一、开集与闭集 00z平面上以 为中心，为半径的00z称为 的的邻域,0,zz圆的内部点的集合000zzz 所确定的点集称为 的去心邻域.1.邻域： 2.内点： 0GzG该邻域内的所有点都属于 ，则称 为 的内点.00GzGz设 是平面点集， 为 中任一点，如果存在 的一个邻域，3.开集： GG如果 中的每一个点都是内点，称 为开集.4.余集： CGGG平面上不属于 的点的全体称为 的余集，记做，开集的余集称为闭集.2021-10-15255边界： .GG的边界点全体称为 的边界0CzGG如果点 的任意邻域内既有 的点又有的点，0,zG则称 是 的边界点6孤立点： 0.zG则称 是 的一个孤立

14、点000,zGzzG若在 的某一邻域内 外不含 的点7有界集与无界集： GG称 为有界集，否则称 为无界集.0zG如果存在一个以点为中心的圆盘包含 ，2021-10-1526二、区域二、区域 1连通： 设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的 2区域： 连通的开集称为区域，记为D 3闭区域： 区域D与它的边界一起构成闭区域，.D记为4圆环域： 112.rzzr满足不等式的所有点构成的区域5.角形域： 0arg3z30arg zo1r2r 例1试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域： (1)0,zz(2)|2| 1,zi 解： (1)20,zzx0.x 即

15、是表示右半平面，这是一个区域(2)|2)| |( 2)| 1zizi 21.i 这表示以为中心，以为半径的圆周连同其外部区域，这是一个闭区域27习题习题一1.11 (1) (3) (4)P282021-10-15三、平面曲线三、平面曲线 ( ),( )xx ttDyy t若平面上曲线的参数方程为： 则定义 ( )( ),zx tiy t tD为复数形式的参数方程.定义：复数形式的参数方程 例2111222zxiyzxiy通过两点与的直线用复数的参数方程来表示2021-10-1529 例2111222zxiyzxiy通过两点与的直线用复数的参数方程来表示解： 1122( ,)(,)x yxy通过

16、两点与的直线方程为112121yyxxyyxx参数方程为 121121()()()xxt xxtyyt yy 由参数式得复数形式参数方程为 121(),zzt zz()t 111222zxiyzxiy所以连接与的直线段的参数方程为:121(),01zzt zzt 12121()zzzzzz t记住：过 与 两点的直线段的参数方程为:2021-10-15 例332xy将直线方程化为复数表示式.解： 2 ,zzx由于2zziy1(),2xzz可得：1()2yzzi32xy代入得：13()()222zzzzi()3()4i zzzzi化简得：(3)( 3)4i zi zi 即：为复数形式的直线方程

17、11(),()( , )022fzzzzF z zi定义：复数形式的一般方程为若平面上曲线的一般方程为： ( , )0f x y 则定义 为复数形式的一般方程。2021-10-1531 例5 ( )cossin(02 )zz ttitt 方程表示怎么样的曲线？cos,sinxtyt02t 参数方程为解： 例4 (1) 01zi tt 方程，表示怎样的曲线？22021.txy 当时，,(01)xttyt解： 直线的参数方程 一 般 方 程 为12(1)0101zi ttzzi 故，表示过点，的直线段.,yx2021-10-1532oxy 例5求下列方程所表示的曲线 (1)2,zi(2)22,zi

18、z 解： 122zii（）表示与点距离为 的点的轨迹，2i即圆心为，半径为 的圆ii2,zi2zxiyzi化为直角坐标方程：将代入中，得：()2xiyi ，22(1)2xy即：，22(1)4.xy化简得：(2)2222zizi 到 与距离相等点的轨迹22i即表示曲线是连接点 和的直段的垂直平分线，yx 化为直角坐标方程为：331光滑曲线 ( ), ( )x ty t设函数满足：1( ),( ) , x ty ta b（）在区间内连续22(2) , ( )( )0ta bx ty t当时，( )( )zx tiy t则称曲线为光滑曲线 由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 三、平面曲线三

19、、平面曲线 2021-10-15342简单闭曲线 ( ), ( )( ),z a z bzz t分别称为曲线的起点与终点( ) ()zz tatb 若曲线，满足下列条件：(1)( )( );z az b1212( )( )ttz tz t(2)当时，有；则称这条曲线为简单闭曲线 简单闭曲线 非简单闭曲线 2021-10-15353单连通区域与多连通区域 设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D， 则称D为单连通区域，否则是多连通区域 单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续变形而缩成一点 单连通区域多连通区域洞典型例题典型例题例例1 1、判断下列命

20、题是否正确？、判断下列命题是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）7512ii )57arg()21arg(ii)57Re()57Im(ii（ ）（ ）（ ）2021-10-1537第四节第四节 无穷大与复球面无穷大与复球面一、无穷远点一、无穷远点 为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数10 记做 ，-无穷大，它是由下式定义的：0,a 它与有限数的四则运算如下：;aa 加法：减法：,;aa 乘法：;aa 除法：0,.aa ,注：(1)对于复数 来说，其模规定为+而实部、虚部和辐角均没有意义， |zzz 因此对于复数 ，都有，则称 为有限复数；2021-10-1538(

21、2)在复平面上我们可以设想复平面上有一个理想点与 对应，这个点称为无穷远点无穷远点， 复平面加上无穷远点称为扩充复平面扩充复平面，扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点. （3）无穷远点的邻域无穷远点的邻域： |(0).zM M包含无穷远点自身在内且满足的所有点的集合复球面定义复球面定义：球面上的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面； 二、复球面二、复球面 NS复球面复平面N 除北极 外复数复平面上的点球面上的点N 无 穷 远 点点2021-10-1539第五节第五节 复变函数复变函数一、复变函数的概念一、复变函数的概念 GzG wuiv( )wf zDxyxyuvuv如果有一个

22、确定的法则都有的复变wuiv( ).wf z存在，按照这一法则， 1定义：设G是一个复数的集合，对于集合中的每一个复数 zG ，与之对应， 那么称w是z记作：一个或几个复数函数，2021-10-1540 例1 .wz研究函数构成的映射000000w zzxiywxiyz平面w平面zwwz若把 平面和 平面重叠在一起，则是关于实轴的一个对称映射.2021-10-15412.复变函数的图像 在高等数学中，常把函数用几何图形来表示，对于复变函数，111zxiy222zxiyz平面w平面111wuiv222wuiv( )wf z由于它反映了两对变量两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面的几何图形

23、表示出来，必须把它看成两个复平面上点集之间对应关系。2021-10-1542 例2 2.wz求复变函数对应的两个二元函数解： ,zxiy设2222()()2wzxiyxyi xy令二元函数：22( , ), ( , )2.u x yxyv x yxyfzw 3复变函数与二元函数的关系 1 1( , ), ( , )wu x yv x y即：xiy( , )x yf ( , )( , )u x yiv x yf ( ( , ), ( , )u x yv x y2021-10-1543 例4 2214wzxywz函数将 平面上曲线映成 平面上怎样的曲线？1wz22zxiyxyzz2222,xyuv

24、xyxy224xy由得：,44xyuv解： 221,4x yuv消去得：2214uv224xy22( , ):4x yC xy2021-10-1544二、复变函数的极限和连续二、复变函数的极限和连续 1复变函数的极限 定义100( )0wf zzzz设函数在 的去心邻域内有定义，A如果有一个确定的复数 存在，0对于任意给定的，( ) (0) 总存在一个正数，0:0zzz使得，( )f zA都有，0( )Af zzz那么称 为函数当 趋向 时的极限，00lim( )( )(zzf zAf zAzz记做或当时).2021-10-1545定理1设函数 00000( )( , )( , ),f zu

25、x yiv x y A uivzxiy00,00,000lim( )lim( , ),lim( , )zzxx yyxx yyf zAu x yuv x yv则证明： 0lim( )zzf zA0000,lim( , )( , )xxyyu x yiv x yuiv000000,lim( , ),lim( , )xxyyxxyyu x yuv x yv说明：这个定理是将复变函数( )( , )( , )f zu x yiv x y的极限问题转化为求两个二元函数( , ),( , )uu x y vv x y的极限问题.2021-10-1546定理2如果 0lim( ),zzf zA0lim ( ),zzg zB则0(1) lim ( )( ),zzf z