D1-7=1=函数的连续性与间断点

1、11. 函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy 自变量自变量0 x称差称差0 xxx 为自变量在为自变量在, x0 x的增量的增量; 函数随着从函数随着从)(0 xf),(xf称差称差)()(00 xfxxf 为函数的为函数的增量增量. .如图如图:xxx 0一、函数的连续性一、函数的连续性xyOxyO)(xfy 0 xxx 0 x y )(0 xf0 xxx 0)(xfy y )(0 xfx 2连续连续, ,2. 连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy 0 x定义定义1 1设函数设函数 f (x)在在)(0 xU 内有定义内有定义,0lim0 yx若若则称函数则称

2、函数f(x)在在x0处处并称并称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点. .,0 xx 即为即为0 y).()(0 xfxf即为即为定义定义2 2若若),()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数f(x)在在x0处处连续连续. . 把极限与连续性联系起来了把极限与连续性联系起来了,且提且提供了连续函数求极限的简便方法供了连续函数求极限的简便方法只需求出该点函数特定值只需求出该点函数特定值. 自变量在自变量在x0点的增量为无穷小时点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小函数的增量也为无穷小.形象地表示了形象地表示了连续性的特征连续性的特征.采用了无穷小定义法采用了无穷小定义法充分必要条件

3、充分必要条件3连续性的三种定义形式不同连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有这三种定义中都含有但本质相同但本质相同.f (x)在在)(0 xU 内有定义内有定义;(1)(lim0 xfxx(2)(lim0 xfxx(3)(0 xf 三个要素三个要素: :)( , 0 定义定义3 3,0时时使当使当 xx, 0 .)()(0 xfxf恒有恒有 把极限定义严密化把极限定义严密化,便于分析论证便于分析论证.存在存在;4注注 一般讲一般讲,证明的命题用函数连续的定证明的命题用函数连续的定义义1方便方便;是判断分段函数在分界点处是否连续用是判断分段函数在分界点处是否连续用判断函数在某点是否连续判断

4、函数在某点是否连续,尤其尤其定义定义2方便方便.某一邻域而言某一邻域而言.由上述定义可知由上述定义可知, f(x)在在x0点的连续性点的连续性是描述是描述 f(x)在在x0点邻域的性态的点邻域的性态的. 即它是对即它是对因此在孤立点处无连续可言因此在孤立点处无连续可言.5例例.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取 y)2cos(2sin2xxx 1)2cos( xx ),(sin xxy对对任任意意函函数数即即内内在区间在区间函数函数),(cos xy)sin(xx xsin 都是连续的都是连续的.类似可证类似可证,是连续的是连续的.0lim0 yx

5、122 x x 0 x 即即0lim0 yx 022sinxx 6例例0, 0, 0, 0,1sin)( xxxxxxf在在证证 xxx1sinlim0, 0)0( f又又定义定义2.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx )(lim0 xfxx)(0 xf , 0试证函数试证函数处连续处连续.73. 左、右连续左、右连续)()(lim000 xfxfxx 若若处处在在点点则则称称0)(xxf)()(lim000 xfxfxx 若若处处在在点点则则称称0)(xxf ,)()0(00 xfxf ,)()0(00 xfxf 左连续左连续右连续右连续0 x左连续左连续0

6、x右连续右连续xyOxyO8定理定理1处处连连续续在在函函数数0)(xxf处既左连续处既左连续在在函数函数0)(xxf 此定理常用于此定理常用于判定分段函数在分段点判定分段函数在分段点.又又右右连连续续 )()0()0(000 xfxfxf 处的连续性处的连续性.9例例 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf讨论函数讨论函数解解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 右不连续右不连续.1)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf)1(lim1 xx1lim21 xx1)( xxf在在所以所以左连续左连续,1 x在在.1处的连续性处的连续性在在 xxyO110例

7、例.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a114. 连续函数与连续区间连续函数与连续区间上的上的或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续. . 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, 称该区间称该区间在开区间在开区间),(ba右连续右连续 )(lim(xfax )(lim(xfbx左端点左端

8、点ax 右端点右端点bx ,)(baCxf 这时也称该区间为这时也称该区间为左连续左连续连续函数连续函数, ,连续区间连续区间. .),()(baCxf )(af)(bf内连续内连续)(xf12关于连续函数关于连续函数, 有一个对某些问题的推理有一个对某些问题的推理定理定理2 2, 0)(,)(00 xfxxf且且连续连续在在设设0 x则存在则存在 )(xf很有用的定理很有用的定理. .的一个邻域的一个邻域,使得在此邻域内使得在此邻域内是一条无缝隙的连绵而不断的曲线是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.连续函数的图形连续函数的图形. 02)(0 xfxyO0 x)(0 xf2)(0 xf13例如例如

9、, ,有理整函数有理整函数(多项式多项式)内是连续的内是连续的.因此因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数有理分式函数, ),(0 xnnxaxaaxP 10)(),( )()(lim00 xPxPxx )()()(xQxPxR 只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx 因此有理整函数因此有理整函数在在都是连续的都是连续的.第五节中已证第五节中已证14定义定义4 4处处在在若若0)(xxf出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:处处在点在点0)()1(xxf)(lim)2(0 xfxx)(lim)3(0 xfxx的的为为则则称

10、称)(0 xfx二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类无定义无定义;不存在不存在;).(0 xf 间断点间断点. .15间断点分为两类间断点分为两类: :第二类第二类间断点间断点第一类第一类间断点间断点)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在, ,及及中至少一个不存在中至少一个不存在.)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf若若, )0(0 xf称称 为为可去间断点可去间断点. .0 x)0(0 xf若若称称 为为跳跃间断点跳跃间断点. .0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡, ,若其中有一个为若其中有一个为, 称称 为为无穷间断点无穷间断点. .0 x称称 为为振荡间断

11、点振荡间断点. .0 x0(0),f x16可能是连续点可能是连续点, 初等函数无定义的孤立点是初等函数无定义的孤立点是间断点间断点.分段函数的分段点分段函数的分段点可能是间断点可能是间断点, 也也需要判定需要判定.17例例,1)(xxf 函数函数xxf1)( 由于函数由于函数处处在在0)( xxf无定义无定义,)(0处无定义处无定义在点在点xxf.)(0的的间间断断点点为为则则称称xfx0 x故故为为f(x)的的 间断点间断点.)(lim0 xfx )(lim0 xfx 且且皆不存在皆不存在.第二类第二类第二类间断点第二类间断点:),0(0 xf)0(0 xf至少有至少有之之中中有有若若)0

12、(),0(00 xfxf.0称称为为无无穷穷型型间间断断点点则则xx 且是无穷型间断点且是无穷型间断点.一个不存在一个不存在., 一个为一个为, xyO18例例 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxf函数函数处处在在0)( xxf有定义有定义,xx1sinlim0不存在不存在,0 x故故为为f (x)的的 间断点间断点.)(0的的间间断断点点为为则则称称xfx,)(lim0不存在不存在xfxx第二类第二类且是无穷次振荡型间断点且是无穷次振荡型间断点.在在时时但当但当xx1sin,01 , 1 xy1sin 之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡,xy1sin19例例 , 0,1, 0,)(x

13、xxxxf函数函数),00()00( ff处处在在0)( xxf有定义有定义,0)(lim0 xx1)1(lim0 xx.)(0的的间间断断点点为为则则称称xfx,)(lim0不存在不存在xfxx0 x故故为为f (x)的的 间断点间断点.第一类第一类的第一类间断点的第一类间断点.),0()0(00 xfxf但但则点则点x0为函数为函数 f(x) 的的且是跳跃间断点且是跳跃间断点.跳跃型间断点跳跃型间断点)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在, 则点则点x0为为)(xfxyO120例例.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在 xxxxxxxf讨论函数讨论函数解解,

14、2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 1 x),()(lim00 xfxfxx .)(0的的间间断断点点为为则则称称xfx为函数的为函数的 间断点间断点.第一类第一类 且是可去间断点且是可去间断点2)1( f , 1,1, 10,2)(xxxxxf则则连续连续.1)1( f,)(0处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xxf)()(lim00 xfxfxx 但但0)(xxf在点在点或或的的为函数为函数则称点则称点)(0 xfx处无定义处无定义,可去间断点可去间断点.xyO112xy2 xy 1处处在在1 x21则可使则可使x0变为连续点变为连续点.注注对可去间断点

15、对可去间断点x0,如果如果,)(lim0Axfxx 设设于于A, (这就是为什么将这种间断点称为这就是为什么将这种间断点称为使之等使之等可去间断点的理由可去间断点的理由.)补充补充 x0的函数值的函数值,或或改变改变22,1112处没有定义处没有定义在点在点函数函数 xxxy11lim21 xxx如如补充补充定义定义:, 2)1( f令令.1处处连连续续所所给给函函数数在在则则 x.1称称为为函函数数的的可可去去间间断断点点所所以以 x.1,不连续不连续函数在点函数在点所以所以 x如如 21lim1 xx但但xyO11223总结两类间断点总结两类间断点:第一类间断点第一类间断点: 跳跃型跳跃型

16、,第二类间断点第二类间断点: 无穷型无穷型,可去型可去型无穷次振荡型无穷次振荡型极限与连续之间的关系极限与连续之间的关系: f(x)在在x0点连续点连续 f(x)在在x0点存在极限点存在极限24设设 01sin00sin)(xxxbxaxxxxf, 为何值时为何值时问问ba;)(lim)1(0存在存在xfx.0)()2(处连续处连续在在 xxf解解 因为因为)(lim0 xfx )(lim0 xfx 所以所以)1(,)(lim0存在存在要要xfx必需且只需必需且只需 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即即1 b).( 可任取可任取a)2(,0)(处连续处连续在在要要 xxf必需且只需必需且只需 )(lim0 xfx)(lim0 xfx ),0(f 即即. 1 ba, 1 ,