《数学方法论》数学模型方法

1、数学方法论教案第三章 数学模型方法在现代社会，随着数学和科学技术的飞速发展，以及电子计算机的广泛使用，科学技术数学化的进程正日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定的数学体系，也就是说建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。从历史上来看，一些传统的自然科学学科，如力学、物理学，是比较容易建立数学模型的，原因是这些学科其对象的各因子之间的界限比较分明，对它们进行量的测定也较为简便。但是在其他一些学科，如生物学、社会学科和人文科学，就不太容易建立数学模型。不过这种情况，由于数学本身的充分发展，尤其是现代数学向高维、高次、多变量的推进，应用

2、数学和模糊数学的建立，统计方法的广泛运用，计算工具的进步。特别是运算能力以数量级速度飞跃提高；再加上系统科学的发展以及各门科学技术自身的深入研究使得数学建模越出了自然科学、工程建设等传统领域，迅速地向经济、管理、社会等领域扩展，成为一种解决问题的强有力的数学方法。我们可以这样说，没有不需使用数学的科学，只有尚未使用数学的科学。一切科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。数学模型方法越来越受到人们的重视，同时也引起了国际数学教育界的高度重视。这是因为：第一，随着科学技术向更高层次发展，要求人们解决各类实际问题更加精确化和定量化，而数学建模正是从定性和定量的角度去分析和解决实际问题；

3、第二，计算技术的日新月异，高速、大型计算机的惊人发展，便得过去即使有了数学模型也无法求解的问题迎刃而解；第三，21世纪，我们面临最大的挑战是人才的培养问题，教育的根本任务是提高人的基本素质，而数学建模在培养学生分析问题和解决问题的能力、创新的思维能力等方面起到很好的作用。3.1 数学模型的意义所谓数学模型（mathematical model），就是用数学的语言和方法对各种实际对象作出抽象或模仿而形成的一种数学结构。建立数学模型的过程叫做数学建模（mathematical modelling）。将所考察的实际问题，化为数学问题，构造出相应数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得

4、以解决，这种解决问题的方法叫做数学模型方法。在许多场合下，数学建模与数学模型方法是作为同义词运用的。数学模型是通过抽象和简化，使用数学语言对实际问题的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。因此它不能等同于实际对象本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素。因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原形，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。然而，正是由于用与之相应的数学模型去代替实际对象，才有可能把所研究的问题表达为数学问题，并使用与对象的质的规定性无关的数学工具去分

5、析和处理问题，才能充分发挥数学工具在解决问题时的巨大作用。使我们能够深化对所研究的实际问题的认识。例如力学中著名的牛顿第二定律就是描述受力物体的运动规律的一个成功的数学模型。其中x(t)表示运动物体在时刻t的位置，m为物体的质量，而F表示运动期间物体所受的外力。模型忽略了物体的形状和大小，由于它抓住了物体受力运动的主要因素，这一定律的出现大大深化了力与物体运动规律的研究工作。又如1.3中的“哥尼斯堡七桥问题”，欧拉成功解决这一问题的精彩之处在于他构造了一个仅由点、线组成的简单图形，欧拉使用的就是典型的数学模型方法，图1.2就是实际的哥尼斯堡七桥问题的一个数学模型。欧拉在构造这一数学模型时，舍弃

6、了那些非本质的因素（例如，两岸的长短，两岛的大小，桥面的宽窄以及岸、岛、桥 的形状等），抓住了问题的本质，把岸、岛、桥抽象为点和线，而这些点和线的连接关系准确地反映了实际问题的本质，正因为这一点，使得我们对数学模型分析求解所得的答案返回到实际问题中去的时候保证是有效的。欧拉解决哥尼斯堡七桥问题不只是解决了一个具体问题，他的方法具有极为重要的意义，这是一件具有开创意义的工作。七桥问题作为一个一笔画问题，实际上是典型的拓扑学问题，它不考虑度量性质，而只考虑在拓扑变换下的不变性质，即不管图形的压缩或延伸，只管点与点的位置关系。欧拉在1751年还证明了另一定理：任何一个闭凸多面体的顶点数、棱数和面数之

7、间有如下关系：这一定理连同七桥问题的解决（在一般意义下），这是组合拓扑学最早的两项重要成果。因此，欧拉为拓扑学的建立做了开创性工作。上述的例子，足以说明数学模型方法的巨大意义，在这里我们还需要指出的是，数学模型能够在研究中代替实际对象，它就必须与所反映的原形具有近似性和一致性，并且能够把通过分析模型所得到的规律和结论返回到原型中去应用和检验，如果由数学模型得到的结论不合原型的实际，就需要调整或重新建立数学模型。3.2 数学模型的类型建立数学模型，会涉及到许多数学分支。一个问题，往往可以利用不同方法建立不同的模型。数学模型可以按照问题本身所处的领域和解决问题的方法，以及按照人们的各种不同意愿有各

8、种不同的分类方式。但作为数学领域来说，数学模型大体可分为三类：第一类是确定性数学模型。这类模型所反映的实体对象（或称现实原型）具有确定性或固定性，这里所反映的是一种必然现象，反映的是因果律。这类模型的数学形式可以是各种各样的方程式、关系式（包括逻辑关系式）、网络图等等。这种模型方法实际上是经典的数学方法。第二类是随机性数学模型。这类模型是处理大数现象的，它所反映的实体对象具有随机性或或然性，它反映的是机遇律（与因果律相别）。这种模型使用的数学工具是概率论与数理统计中的各种概念与方法，也包括随机过程论、随机微分方程式论等。第三类是模糊性数学模型。当涉及人类系统的行为或处理与人类系统行为可相比拟的

9、复杂系统时，确定性、随机性数学模型不再是十分有效的。例如，在研究用电子计算机如何去模拟人脑并代替人去执行一些任务（如识别图像等）时，就需要把人们常用的模糊语言如“个子不高”、“比较年轻”、“胖胖的”等等设计成机器能接受的指令和程序（机器“语言”），以便机器能象人脑那样简捷灵活地作出相应的判断，从而提高机器自动识别和控制模糊现象的效率。这就需要建立模糊性的数学模型，其实体对象及其关系均具有模糊性。这类模型使用的基本数学工具是1965年美国数学家查德提出的模糊集合和模糊逻辑。下面我们就三类数学模型分别列举实例。考虑铀的衰变。问题是：现在铀的质量为，经过多长时间之后衰减到只剩一半？如何构成这一实际问

10、题的数学模型并通过对模型的数学加工（演算和推理）来最后解答问题？首先，实际上还是由观察（或测定）入手的，要先弄清楚衰变有没有一定的规律。这里，实际的观测告诉我们，当铀的质量越大时，其衰减的速度越大；反之，质量越小其衰减的速度较小，而且呈现线性关系。这表明这个问题属于确定性类型，因此必定由经典的数学模型方法解决。用表示时间，表示铀在时刻的质量。和这些符号实际上也就是时间、质量这些物理量的数学模型。而我们要求的是整个问题的数学模型。由微积分知识即知， 表示铀的变化速度，那么，表达上述确定关系的是以下微分方程式0）于是，整个问题就是以下微分方程的初值问题的求解：这就是所要求的教学模型。下一步就是对此

11、模型的数学处理，在此是求解，我们知道，这个初值问题的解是最终要回答“何时衰减到只剩一半？”这个问题实际上是由另一个模型来刻划的：这是一个简单的函数方程，其解为，即经过这段时间之后铀衰减一半。很明显，若经过之后铀便衰减到只剩三分之一。对数学模型的这些分析工作，提供了一系列新的信息。一个好的数学模型就在于它不仅准确地刻划了实体对象，而且能由它进一步得到许多新的信息。概率论中的各种分布分别是一些相应的随机现象的数学模型。举例如下：在同一生产条件下制造的电灯泡，其使用时数随着灯泡的不同而不同，比如说，有的可用1200小时，有的可用1280小时等等，因此是一个变量。然而这个变量是随机的。我们要从随机性中

12、也找出规律（这种规律只是或然律，而区别于具有必然性的因果律）。实践证明，在生产条件固定不变的情况下，使用时数特别长的灯泡和特别短的灯泡都是少数，即呈现出“中间大、两头小”的形态。一般说来，在生产条件不变的前提下，许多产品的某些量度（如砖的抗压强度、细纱的强力、螺丝的口径等等），都呈现出这种形态。这种情况在许多自然科学中也出现。如热力学中理想气体分子的速度分量、射击时命中位置的偏差、物理学中测量同一物体的测量误差、生物学中对同一种生物机体的某一量度（如身高、体重）的测量等等。这些量都有一个共同特点，它们可以视为许多独立的随机因素影响的结果，而每一种随机因素的作用都是微小的，都不起决定性的主导作用

13、。例如灯泡的使用时数受着原料、工艺、保管条件等因素的影响，而每种影响在正常情况下都不起主导作用。刻划这一类现象的数学模型就是所谓正态分布，的分布密度为 有了这一模型可以有效地解决许多问题。例1，某单位有200台电话分机，根据实际使用情况统计，在上班时间内，每个分机平均有5%的时间要使用外线通话。设各分机是否使用外线是彼此不相关的。问总机至少要装多少条外线才能以90%的概率保证各分机在要使用外线时不被占线？此时，每个分机是否使用外线是一次独立试验，而且只有使用与不使用两种结果。因此属于贝努利概型，刻划它的应该是二项式分布，故其中p=0.05,q=0.95.我们的目的要求出满足不等式的最小正数m。

14、可以证明，当n很大时可用正态分布来近似计算。令 =1,2,200 显然所以 其中 由于 故所要求的从以下不等式解出： 由正态分布表查出 因此由 得14.故得答案：总机应至少装14条外线才能以90%的概率保证分机要使用外线时不被占线。例2 服装的综合评判模型。对商店里出售的服装，顾客往往要从衣服的几个方面进行评价。设因素集 评价集 对花色式样这个因素，经过市场调查，有20%的顾客对某类服装很欢迎，70%的顾客表示较欢迎，10%的表示不太欢迎，没有人表示不欢迎，由此可得出的单因素评判向量同样对因素,分别作单因素评判，得到对耐穿程度、价格费用的单因素评判向量 于是构成一个单因素评判矩阵 各种顾客由于

15、性别、年龄、职业和经济条件的不同，对服装的三个因素所赋予的权重也不相同，假设某类顾客对因素集的权重确定如下：花色式样 0.5耐穿程度 0.2价格费用 0.3此时对重分配向量为 =(0.5,0.2,0.3)当合成运算“ ”取为“-”(即“最大最小”)时， 这里T是矩阵转置运算， 进一步将评判结果归一化 0.2+0.5+0.3+0.1=1.1用1.1除各项得 (0.182 0.455 0.272 0.091)从最后的结果知，该类服装顾客很欢迎的占18.2%，比较欢迎的占45.5%，不太欢迎的占27.2%，不欢迎的9.1%，生产厂家和商店可根据这个结果来决定生产或进货销售。3.3 数学模型的构造 数

16、学建模的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析法，一类是测试分析法。所谓机理分析法就是根据实际问题的特性，找出反映内部机理规律的变量以及它们之间的关系和类型，用教学结构的式子表示出来。如果实际问题中变量之间的关系是确定性变量，则建模时所用的数量工具多数是微积分、微分方程、运筹学等；如果实际问题中变量之间的关系是随机性变量，则建模时多数用概率、统计以及与它们有关的一些数学方法。所谓测试分析法就是将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，找不到反映实际问题的变量之间的关系，只是可以测量出输入与输出的数据，并在多次测量的数据基础上运用统计分析法，按照事先确定的标准在某一类模型中选出一个与

17、数据拟合得最好的模型。将这两种方法结合起来也是常用建模方法，即用机理分析法建立模型的结构，用测试分析法确定模型的参数。建立数学模型是一项创造性的劳动，不管用什么方法，都必须根据具体问题具体分析的原则，灵活机动，不断修正，但一般都要经过以下步骤：模型准备 对于要解决解决的实际问题，必需搜集和掌握一定数量的信息（数据、图表及与其他事物的关系等），由此了解问题的背景，确定目的要求，因此，常常需要进行大量的统计工作和调查研究。模型假设 根据所掌握的信息和背景材料及建模的目的要求，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，简化和假设都要适度，不同的简化和假设导致不同的数学模型，从而得出对具体问

18、题的不同解答。此外，若假设不合理或未能反映必要的因素，则模型与实际情况不吻合，或仅部分吻合，在这种情况下，就要修改假设，所以，合理的假设是建立模型最关键的一步。模型构成 根据所作的假设，分析研究对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量之间数学关系或其他数学结构，构建实际问题的数学模型。为了使所建立的数学模型为更多人所了解和运用，应该尽可能使用较简单的数学工具。建立的模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。模型求解 不同的模型用不同的方法求解，例如解方程、画图形、逻辑推理、数值计算等方法，特别要用计算机技术为模型求解服务。在模型求解过程中，需要建立数学命题时，命题叙述要符合

19、数学命题的表述规范，尽可能论证严密。计算过程中，需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。应设法算出合理的数值结果，最终数值结果的正确性或合理性是第一位的。 模型分析 对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。不论以哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。在问题分析推导过程中，所用的原理、依据应正确、明确；模型分析应中肯、确切；所用术语应专业、内行；表述应简明，关键步骤要列出。模型检验 将对数学模型的解的分析结果“译”成有关具体问题的答案，利用已有的

20、资料、数据，验证这一解答的正确程度和适用范围。这一步对于建模的成败是非常重要的。如果发现这一解答不符合实际情况，就应该检查数学模型的求解过程是否有误，若确认无误，则应修改或补充假设，有时可能要去掉一些变量，改变一些变量的性质，如把连续变量改成离散变量，把变量间的非线性关系改为线性关系等，重新建立数学模型。有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。数学模型方法的步骤如下图所示模型准备模型检验模型构成模型假设模型术解模型分析下面我们将给出一些数学建模的例子：例1 方桌平衡问题：一张四条腿等长的方桌放在不平的地面上，是否总有办法使小条腿同时着地？图3.1ABCDA B C

21、D O x y这个问题似乎与数学没有什么关系，但实际情况并非如此，我们完全可以将它数学化，建立一个简单的数学模型，在下列的假设下，可以得到肯定的答案。假设（1）地面是一个连续曲面；（2）对于地面的弯曲程度而言，桌腿有足够的长度；（3）桌腿底部的面积可忽略不计，即当桌腿底部与地面接触时，可看成几何中的点与面的关系。建立模型的关键在于恰当地寻找表示桌脚的位置的变量，并把要证明的“四条腿同时着地”这个结论归结为简单的数学关系。现以、分别表示方桌的四条腿的终端，则是一个正方形，以表示它的中心，如图3.1所示。建立以为原点，为轴，为轴的平面直角坐标系。当方桌绕点转动时，对角线与轴的夹角来表示方桌的位置（

22、在图3.1中，正方形绕点转动至、，此时与轴的夹角为）。“四条腿同时着地”就是四条桌腿的终端与地面的距离都等于零。方桌位于不同的位置，桌腿的终端与地面的距离情况不同，因此这距离是的函数。用与分别表示两腿与两腿到地面的距离之和。由假设（1）可知，与都是非负的连续函数；由假设（2）可知，至少有三条桌腿可以同时着地，即对于任意的，与中总有一个为零，因此=0。特别地，有。如果，则问题已经解决，即四条腿同时着地。因此，不妨设，这样可建立方桌平衡问题的数学模型。问题：已知连续的非负函数与，满足条件=0，问是否存在0，使得，其中00。现在证明，这样的0是存在的。事实上，若将方桌绕O点转动，即与互换位置，则有。

23、记，则也是连续函数，并且满足条件 。利用连续函数的性质，可知必存在0,00 使得 即 又因对任意，均有，对0也应有 由，易得。即总有办法使方桌的四条腿同时着地。此问题解决得非常巧妙而简单，从中可学到一些建立数学模型的具体技巧：用一元变量表示方桌的位置，将距离表示为的函数，桌子有四条腿，但只设两个函数和；证明时转动；设辅助函数并利用连续函数的性质等。例2 核武器竞争问题自从核武器问世以来，核大国之间从未停止过竞争，单纯增加核武器数量的做法是不可取的，因为它将导致财政负担过重，因此，某个国家在安排核武器生产的时候，为保证自身的安全，需要持有某一最少数量的核武器，即在受到敌方第一次核打击后，仍有足够

24、数量的核武器保存下来，以便给敌方致命回击。这样，每个国家都要确定一个下界，当它的核武器数超过这个下界时，它才是安全的，称此下界为安全界。显然安全界与其他国家的核武器数量有关。现在的问题是，如果有两个拥有核武器的敌对国，那么，是否存在一个下界，当两国的核武器都超过这个下界时，它们都是安全的？如若存在的话。称它为稳定界。我们能用数学模型方法说明，在一次打击不可能摧毁对方的假定下，这样的稳定界是存在的。假设（1）双方的核武器数当作实数讨论（因为核武器数是很大的整数，所以这一假设引起的误差是很小的）；（2）双方每一件核武器具有相同的杀伤效果；（3）当一方用其全部核武器打击对方时，对方仍可剩余一些核武器

25、，被打击一方的每件核武器能完好保存的概率都相同。现以和分别表示甲、乙两国的核武器数，显然，甲方为了自身的安全，其拥有的核武器数要随着乙方核武器数的增长，因而它是的单调增加函数，记为。同样道理，存在另一个单调增加函数。以表示曲线和轴的交点，以表示曲线和轴的交点。那么，由安全界的定义可知，当乙国没有核武器时，甲国的核武器数只要不少于，就可给乙国以致命打击。也有同样的意义。yxO图3.3xM（）Oy图3.2给出函数与的图象，如图3.2所示。由安全界的定义可知，在曲线的上方，乙国是安全的。如果这两条曲线相交，那么就存在共同的安全界，如图3.2所示。两曲线的交点 称为竞争的平衡点。和 就是双方都感到安全

26、时，甲、乙两国分别拥有的最少核武器数。现在证明，在我们的假设下，两曲线一定相交，即双方安全区一定存在。为此，只需证明曲线的斜率和曲线的斜率都是无限增加的。对于任意的常数0。直线上的点表示乙国的核武器数是甲国的倍。当乙国的全部核武器打击甲国后，由假设（3）知。甲国的核武器不会被全部摧毁，而且，每个核武器被完好保存的概率相同，设为。于是，甲国在经过乙国的核攻击后保留下件核武器，当时，就可给乙国以致命的还击。这说明此时的对甲国来说是安全的，即当时上的都落在的右方，从而的斜率不会小于的斜率，如图3.3所示。但是任意的正常数，即的斜率是无限增加的。同样可以证明，y=g(x)的斜率也是无限增加的。因此，曲

27、线与必定相交，即如图3.2所示的双方安全区一定存在。M图3.4再考虑，如果甲国对核基地采取加固措施，则增大，核武器可以减少，此时曲线左移（保持不动），如图3.4中所示。如果这时乙国感到要给对方以致命打击，必须拥有比更多的核武器，则曲线将向上平移，如图3.4中所示。于是平衡点从移向，又移向。此时核武器竞争将进一步升级。在核武器竞争中，科学地制定对策十分重要。在60年代，苏联人重视发展亿吨级氢弹，企图以加强核武器威力的方式在竞争中占据优势。此时美国进行多次模拟爆炸试验，推导出一个经验公式：其中为破坏力大小，为爆炸威力，为精确度。由此公式可以看出，若爆炸力提高到8倍，则破坏力增大到4倍；若精确度提高

28、8倍，则破坏力提高到64倍。基于这个分析，美国采取了以提高精确度为主的对策，以后的事实证明，美国所采取的对策是正确的。 例3、市场平衡问题市场供求关系是非常复杂的，我们在自由竞争的市场经济条件下，讨论市场的供求平衡问题。MSD图3.5（A）MSD设某商品的数量为，单价为。站在消费者的角度，价格低就愿意多买，即越小，就越大；反之，价格高就少买，即越大，就越小。两者之间的关系可用图3.5中的曲线表示，称为需求曲线，它是单调下降的；另一方面，从生产者的角度来看，根据价格来决定生产数量越大也越大两者这间的关系可用图3.5中的曲线表示，称为供应曲线，它是单调上升的。曲线与曲线交点称为供求平衡点，此时市场

29、处于供求平衡状态。然而在实际情况中，由于各种因素的影响，生产与销售往往会偏离平衡点，出现供求不平衡的状况，我们要讨论的是，能否通过调节价格的手段使之逐步趋向平衡点？如果需求曲线和供应曲线如图3.5（A）所示，曲线的斜率的绝对值大于曲线的斜率绝对值，从供求不平衡点出发，按需求曲线成交的价格是（消费者认为，东西多，价格应便宜），即，而一旦价格降到，生产者就要将产量由降到，即，而对应在需求曲线D上成交的价格是，即，这一变化过程，即 最后达到平衡点。在图3.5（B）中，供应曲线的斜率的绝对值小于需求曲线的斜率的绝对值，从供求不平衡点出发，变化发展方向，越来越远离平衡点，所以市场将出现紊乱。因此，平衡点

30、是稳定的还是不稳定的，取决于平衡点附近的曲线和曲线和斜率，当时，能够通过调整价格使市场稳定；当 时，市场不稳定，此时可采取行政干预手段。如通过立法或发布行政命令价格使不得改变，于是=0，不管曲线的斜率如何，市场总是趋向稳定的。用供应曲线和需求曲线分析市场供求关系稳定性的图示法，在经济学中称为蛛网模型。曲线和曲线可由一系列的统计数据近似得到，在图3.5中，曲线由点构成，曲线由点 构成。因为价格是市场稳定与否的主要因素，那么，应该如何确定商品的价格？下面给出一个数学模型。假设（1）某商品的价格为，需求函数是的减函数，供应函数是的增函数，是供求平衡点，如图3.6所示；均为线性函数： 其中0，且有 把

31、时间t分为若干相等的时段，设是时的商品价格，则时的商品需求量依赖于此时的商品价格，即；而商品供应量依赖于时的价格，即。要使市场供求平衡，应有 = 由，可得图3.6pS（p）D（p）O即 是一阶线性差分方程，利用递推关系，可得若1，当时即趋于平衡；若 1，当 时，远离平衡点。利用式可合理制定时的价格。应该注意，图3.6中自变量是，而图3-5中的自变量是，因此 与与 分别存在倒数关系，但当时，它们趋向或不趋向平衡点的结论是一致的。例4“节水洗衣机”问题我国淡水资源有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中与有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及、节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的

32、运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水加水漂洗脱水（称“加水漂洗脱水”为运行一轮），请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等），使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。 这个问题是实际生活中的优化问题，我们不对洗衣的微观机制（包括机械的、物理的、化学的、物理化学的）作讨论，而仅仅从宏观的层次去把握。洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带走污物。“溶污物脱污物”是由两个根本要素构成的一个“元动作”，无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的。洗衣的过程就是通过加水来实现上述“溶污物脱污水”动作的反复执行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直到满意的程

33、度。通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助衣物上原有的污物溶解。但应注意的是，洗涤剂本身也是不希望留在衣物上的东西。因此“污物”应是衣物上原有的污物与洗涤剂的总和。有了这种认识之后，我们就可以统一地处理“洗涤”（即通常加洗涤剂以首轮洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各轮洗衣，不再加洗涤剂，但水中还剩余洗涤剂），把二者都看作“溶污物”环节。立足于“溶污物脱污水”这种基本原理，我们可以找出“节水洗衣机”问题的基本要点如下：1、污物的溶解程度如何？我们将用“溶解特性”来刻划。2、每轮脱去污水后污物减少情况如何？这将由系统的动态方程表示。3、如何设计由一系列“溶污物脱污水”构成的节水洗衣程序？这将通过用水程序来反映。为建立模型，我们提出如下假设：1、仅考虑离散的洗衣方案，即“加水洗涤脱水”三个环节是分离的。这本三个环节构成一个洗衣周期，称为“一轮”2、每轮用水量是不能低于，否则洗衣机无法转动；用水量不能高于，否则会溢出，且。3、每轮的洗涤时间是足够的，以便衣物上的污物充分溶入水中，从而使每轮所用的水被充分利用。4、每轮的脱水时间也是足够的