chapter33中心极限定理

1、 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布.正态分布是最常见的分布。正态分布是最常见的分布。 现在研究独立随机变量之和所特有的规律性问现在研究独立随机变量之和所特有的规律性问题题.3.3 中心极限定理中心极限定理掷掷颗骰子，出现点数颗骰子，出现点数X的分布律为：的分布律为：X123456P中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景61616

2、1616161P654321 61掷掷颗骰子，出现点数和颗骰子，出现点数和X=X1+X2的分布律为：的分布律为：X=X1+X223456789101112P361362363364365366365364363362361P12111098765432 361362363364365366掷掷颗骰子，出现点数和颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为：的分布律为：X345678910P X1112131415161718P21627216252162121615216102166216321612161216321662161021615216212162521627掷掷颗骰子，出现点

3、数和颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为：的分布律为： 2161216321662161021615216212162521627/P中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景20211,),( ipBXi),20(2021pBXXXX 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。中心极限定理。 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不研究不研究n个随机变量之和本身而个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随考虑它的标准化的随机变量机变量，即

4、：，即： nkknknkkknXDXEXY111)()(正态分布正态分布的极限分布是否为标准的极限分布是否为标准讨论讨论nY中心极限定理的意义与作用中心极限定理的意义与作用它不仅提供了计算它不仅提供了计算独立随机变量之和独立随机变量之和的近似的近似概率的简单方法，概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多而且有助于解释为什么很多自然群体的经验自然群体的经验频率呈现出钟形曲线频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.讨论讨论2 2种简单情形种简单情形. .2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(二项分布的正态近似二项分布的正态近似) 若随机变量若随机变量 Xk，k = 1,2,相

5、互独立，相互独立，且且，有有有限有限数学期望数学期望E(Xk)=和方差和方差D(Xk)= . 2 nnN, nnXYnkkn 1 nkkX1近似近似),(10N近似近似独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理设随机变量设随机变量 Xk，k = 1,2,相互独立相互独立，且，且同分布同分布，有限有限数学期望数学期望E(Xk)=和方差和方差D(Xk)= .若随机变量序列若随机变量序列 nnXXDXEXYnkknkknkknkkn 1111)()(lim)(limxYPxFnnnYn 则则定理定理3.3.1（独立同分布中心极限定理）（独立同分布中心极限定理）)(x 的标准化变量的标准化变量 nk

6、kX1111,(0,1).nkknkkXnXnNn 近近似似地地、定定理理表表明明，独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量之之和和当当 充充分分大大时时，),()1 , 0(2nNXNnX 近似地近似地近似地近似地或或定理的另一种形式为定理的另一种形式为 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分的分布的确切形式，但当布的确切形式，但当n很大时，可以求出很大时，可以求出近似分布近似分布. nkkX121(,);nkkXN nn 近近似似地地 nkkXnX11. 2当当Yn = X1 X2 XnXi B( 1, p )，相互独立，并且相互独立，并且 E( Xi )

7、 = p , D( Xi ) = p(1p)()(limxxpnpnpYPnn 1 若随机变量序列若随机变量序列 Yn ，Yn B( n, p ) ，n =1,2，定理定理3.3.2（棣莫佛（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量序列设随机变量序列 Yn ，Yn B( n, p ) ，n =1,2， 对于任意的实数对于任意的实数 x ，有，有 xpnpnpYPnn)(lim1)(x中心极限定理的应用中心极限定理的应用 对于独立的随机变量序列对于独立的随机变量序列 ，不管，不管 服从什么分布，服从什么分布，只要它们只要它们是同分布，且有有限的数学期望是同分布，且有有限的

8、数学期望E(Xi)=和方差和方差D(Xi)=，那么，当那么，当n充分大时，充分大时，nX), 2 , 1(niXi niiX1),(2 nnN近近似似)(211xnnXxPnkk 近似计算公式近似计算公式)()(12xx 若若X B( n, p )，对于足够大的对于足够大的n，有，有21xXxP )()()(pnpnpxpnpnpXpnpnpxP11121 )()(pnpnpxpnpnpx1112 例例1：设某种电器元件的寿命服从：设某种电器元件的寿命服从小时的小时的，现随机地抽取，现随机地抽取，设它们的寿命是相，设它们的寿命是相互独立的，求这互独立的，求这16只元件的只元件的寿命的总和寿命的

9、总和小小时的概率。时的概率。解：解：设各电器元件的寿命为设各电器元件的寿命为 )()(iiXDXE),(24001600N2100100, 161kkX近似近似 )(1920161iiXP).(801 )(400160019201 则则16只元件的寿命的总和只元件的寿命的总和小时的概率为小时的概率为)(400160019204001600161 iiXP 21190788101. ),(24001600N 161kkX近似近似例例2.设某学校有设某学校有1000名住校生，每人每天都以名住校生，每人每天都以80%的概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座位，才的概率去图书馆上自习，问图书馆至少

10、设多少个座位，才能以能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位？的概率保证去上自习的同学都有座位？).,(801000BX )()(XDXE16020801000800801000 .解：解：设每天去图书馆上自习的同学有设每天去图书馆上自习的同学有又设图书馆至少设又设图书馆至少设个座位才能以个座位才能以的概率保证的概率保证去上自习的同学都有座位。去上自习的同学都有座位。 nXP990.由棣莫夫由棣莫夫 拉普拉斯中心极限定理，有拉普拉斯中心极限定理，有 160800 )(,)(XDXE3326512800. n查表查表 nXP160800160800 nXP )65.12800( n990. 8

11、29 n 137XP设射击命中率为设射击命中率为，连续独立射击，连续独立射击次，次，X表示命中的次数表示命中的次数，则用中心极限定理估算，则用中心极限定理估算 1001kkXX )()(kkXDXE),(10021 kXk01pk0.90.109010.),(2310N近似近似则由中心极限定理：则由中心极限定理：310133103107 P13101 P 112 )( 137XP6830. 近似近似100 iiXX),(2310N09010.)(,.)( kkXDXE2.某工厂有某工厂有100台车床彼此独立地工作着，台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间每台车床的实际工作

12、时间占全部工作时间的的80%。利用中心极限定理计算任意时刻利用中心极限定理计算任意时刻有有70至至86台车床在工作的概率。台车床在工作的概率。 8670XP ).().(5251927099380193320.).(. ).,(80100BX.2080100801008620801008010020801008010070 XP.5120801008010052 XP用机器包装味精用机器包装味精,每袋味精净重为随机变每袋味精净重为随机变量量,期望值为期望值为100克克,标准差为标准差为10克克,一箱内装一箱内装200袋味精袋味精,求一箱味精净重大于求一箱味精净重大于20500克的概克的概率率?

13、解解设一箱味精净重为设一箱味精净重为X, 箱中第箱中第i袋味精净重为袋味精净重为Xi,(i=1,2,200)则则 X1,X2,X200独立同分布独立同分布, EXi=100, DXi=102=100, 2001iiXX且由独立同分布的中心极限定理得且由独立同分布的中心极限定理得:所求为所求为)200002000020500(1 002. 0)54. 3(1 故故 一箱味精净重大于一箱味精净重大于20500的概率为的概率为0.0002.20500120500 XPXP3.在次品率为在次品率为 的一大批残品中，任意的一大批残品中，任意抽取抽取件产品，利用件产品，利用中心极限定理中心极限定理计算抽取

14、的产品中次品件数在计算抽取的产品中次品件数在之间的概率之间的概率),(61360B 7050XP6561360613607065613606136065613606136050 XP150102 84280. 1二项分布二项分布(精确结果）精确结果）2中心极限定理中心极限定理3泊松分布泊松分布4切比雪夫不等式切比雪夫不等式9624. 0 9379. 0 7685. 0 9590. 0 010616000.XP的几个近似值的几个近似值比较比较),(616000BX若若例例 设电站供电所有设电站供电所有10000盏电灯盏电灯, 夜晚每一夜晚每一盏盏灯开灯的概率都是灯开灯的概率都是0.7, 而假定开

15、关时间彼此而假定开关时间彼此独立独立, 估计夜晚同时开着的灯数在估计夜晚同时开着的灯数在6800与与7200之间的概率之间的概率. )7 . 0 ,10000(,BXX 则则设设开开着着的的灯灯数数为为83.45,7000 npqnp解解200|7000|72006800 XPXP 36. 483.457000XP99999. 01)36. 4(2 某车间有某车间有200台车床，工作时每台有台车床，工作时每台有60%的时间的时间在开动，每台开动时耗电在开动，每台开动时耗电1千瓦，问应供给这个车间千瓦，问应供给这个车间多少千瓦的电力才能以多少千瓦的电力才能以99.9%的把握保证正常生产？的把握保

16、证正常生产？令应供电令应供电m千瓦，千瓦，X为同时开动的车床数，为同时开动的车床数，X B(200, 0.6)， 099.9%PXm则01201201200484848XmPXmP120120()()4848m 1203.0848m142n120()48m 例例 .105.)10, 0(), 2 , 1(201的近似值的近似值，求，求记记上服从均匀分布上服从均匀分布机变量，且都在区间机变量，且都在区间设它们是相互独立的随设它们是相互独立的随个噪声电压个噪声电压一加法器同时收到一加法器同时收到 VPVVnkVnkkk20151001 2201002052012(),()12(, ,).V(,)k

17、kkkE VD VkVN 近近似似地地易易知知由由定定理理知知，于是于是 20121005201052012100520105VpVP 387. 02012100520Vp解解 387. 020121005201Vp348. 0)387. 0(1 348. 0105VP 即有即有小结小结中中心心极极限限定定理理中心极限定理中心极限定理独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理拉普拉斯拉普拉斯棣莫弗棣莫弗 ),()()(212 nnNXXDXEnkkkk近似地近似地， )1(,(),(pnpnpNpnNnn近似地近似地 注注是相互独立的是相互独立的随机变量随机变量,21XX作业作业，某保险公司

18、开办一年人身保险业务，被保险某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费人每年需交付保险费160元，若一年内发生元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔万元赔金，已知该市人员一年内发生生重大人身金，已知该市人员一年内发生生重大人身事故的概率为事故的概率为0.005，现有，现有5000人参加此项人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务所得保险，问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在到的总收益在20万元到万元到40万元的概率是多万元的概率是多少？少？解解X=一年内发生重大人身事故的人数一年内发生重大人身事故的人数则则XB（5000，0.005), np=25,np(1-p)=4.99 ,近似地近似地, , 1 , 099. 425NX 一年的收益为一年的收益为XX28025000016. 0 30204028020 XPXP 99. 4252099. 42530 99. 4253099. 42599. 42520XP 6839. 010025. 12002