【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套课件：专题七第1讲排列、组合与二项式定理

1、专题七 概率与统计第 1讲 排列、组合与二项式定理主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法本概念、基本方法(如如“在在”“”“不在不在”问题、相邻问题、相邻问题、相间问题问题、相间问题)为主为主,主要涉及数字问题、样品问主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问项，利用二项式定理展

2、开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力补集思想和逻辑思维能力.考情解读2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等选择题或

3、填空题中，难度为易或中等考情解读主干知识梳理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘步的方法种数相乘.2.排列与组合排列与组合(1)排列：从排列：从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，按个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同

4、元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列.从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数公式是排列数公式是A n(n1)(n2)(nm1)或写成或写成A .(2)组合：从组合：从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素组成个元素组成一组，叫做从一组，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组个元素的一个组合合.从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数公式是个元素的组合数公式是(3)组合数的性质组合数的性质 热点一 两个计数原理 热点二 排列与组合 热点三 二项式定理热点分类突破例1(1)将将1,2,3，9这这9个数字填在

5、如图的个数字填在如图的9个空格中，个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为固定在图中的位置时，填写空格的方法为()热点一 两个计数原理A.6种种 B.12种种C.18种种 D.24种种思维启迪 先确定数字先确定数字1,2,9的位的位置，再分步填写空格；置，再分步填写空格；解析每一行从左到右，每一列从上到下分别依每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，次增大，1,2,9只有一种填法，只有一种填法，5只能填在右上角或只能填在右上角或左下角，左下角，5填后与之相邻的空格可填填后与之相邻的

6、空格可填6,7,8任一个；任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有共有236种结果，故选种结果，故选A.答案A(2)如果一个三位正整数如果一个三位正整数“a1a2a3”满足满足a1a2且且a3a2，则称这样的三位数为凸数则称这样的三位数为凸数(如如120,343,275)，那么所，那么所有凸数的个数为有凸数的个数为()A.240 B.204C.729 D.920思维启迪 按中间数进行分类按中间数进行分类.解析分分8类，当中间数为类，当中间数为2时，有时，有122种；种；当中间数为当中间数为3时，有时，有236种；种；当中间数为当中间数为4时，有时，有3

7、412种；种；当中间数为当中间数为5时，有时，有4520种；种；当中间数为当中间数为6时，有时，有5630种；种；当中间数为当中间数为7时，有时，有6742种；种；当中间数为当中间数为8时，有时，有7856种；种；当中间数为当中间数为9时，有时，有8972种种.故共有故共有26122030425672240种种.答案A(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理分类加法计数原理.(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当对于复杂的两个原理综合使用的问

8、题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.思维升华变式训练1(1)(2014大纲全国大纲全国)有有6名男医生、名男医生、5名女医生，从名女医生，从中选出中选出2名男医生、名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有则不同的选法共有()A.60种种 B.70种种C.75种种 D.150种种C(2)已知函数已知函数f(x)ln(x21)的值域为的值域为0,1,2，则满，则满足这样条件的函数的个数为足这样条件的函数的个数为()A.8 B.9C.26 D.27解析因为值域为因为值域为0,1,2, 即即ln(x21)0 x

9、0，所以定义域取值即在这所以定义域取值即在这5个元素中选取，个元素中选取，当定义域中有当定义域中有5个元素时，有一种情况个元素时，有一种情况.所以共有所以共有4419(个个)这样的函数这样的函数.答案B例2(1)(2014重庆重庆)某次联欢会要安排某次联欢会要安排3个歌舞类个歌舞类节目，节目，2个小品类节目和个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120C.144 D.168热点二 排列与组合思维启迪 将不能相邻的节将不能相邻的节目插空安排；目插空安排；解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节先

10、安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品小品1，小品小品2，相声，相声”“”“小品小品1，相声，小品，相声，小品2”和和“相声，相声，小品小品1，小品，小品2”.”.同理，第三种情况也有同理，第三种情况也有36种安排方法，种安排方法，故共有故共有363648120(种种)安排方法安排方法.答案B(2)数列数列an共有共有12项，其中项，其中a10，a52，a125，且且|ak1ak|1，k1,2,3，11，则满足这种条，则满足这种条件的不同数列的个数为件的不同数列的个数为()A.84 B.168C.76

11、 D.152思维启迪 考虑数列中项的考虑数列中项的增减变化次数增减变化次数.解析|ak1ak|1，k1,2,3，11，前一项总比后一项大前一项总比后一项大1或小或小1，a1到到a5中中4个变化个变化必然有必然有3升升1减，减，a5到到a12中必然有中必然有5升升2减，是组合的减，是组合的问题，问题，答案A解排列、组合的应用题，通常有以下途径：解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素虑其他元素.(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置虑其他

12、位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数去不符合要求的排列或组合数.思维升华变式训练2 (1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，只能出现在第一步或最后一步，程序程序B和和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有法共有()A.24种种 B.48种种C.96种种 D.144种种解析首先安排首先安排A有有2种方法；种方法；第二步在剩余的第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排个

13、位置选取相邻的两个排B，C，有有4种排法，而种排法，而B，C位置互换有位置互换有2种方法；种方法；答案C(2)从从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是其中偶数的个数是_(用数字作答用数字作答).解析0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：数，且为偶数，有两种情况：故共有四位偶数故共有四位偶数60个个.60热点三 二项式定理思维启迪 利用通项公式求常数项；利用通项公式求常数项；1(2)如果如果(1xx2)(xa)5(a为实常数为实常数)的展开式中所有项

14、的展开式中所有项的系数和为的系数和为0，则展开式中含，则展开式中含x4项的系数为项的系数为_.思维启迪 可用赋值法求二项展开式所有项的系数和可用赋值法求二项展开式所有项的系数和.解析令令x1得得(1xx2)(xa)5的展开式中所有项的展开式中所有项的系数和为的系数和为(1112)(1a)50，a1，(1xx2)(xa)5(1xx2)(x1)5(x31)(x1)4x3(x1)4(x1)4，5(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项它表示二项展开式的任意项,只要只要n与与r确定，确定，该项就随之确定；该项就随之确定；Tr1是展开式中的第是展

15、开式中的第r1项，而不是第项，而不是第r项；项；公式中，公式中，a，b的指数和为的指数和为n且且a，b不能随便颠不能随便颠倒位置；倒位置；思维升华对二项式对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注展开式的通项公式要特别注意符号问题意符号问题.(2)在二项式定理的应用中，在二项式定理的应用中，“赋值思想赋值思想”是一是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法经典方法.思维升华变式训练3令令72r3，得，得r5.答案C(2)(2014浙江浙江)在在(1x)6(1y)4的展开式中，记的展开式中，记xmyn项的系数为项的系数为f(m，n)，则，则f(3

16、,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于等于()A.45 B.60 C.120 D.210所以所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)C1.排列、组合应用题的解题策略排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类分类”还还是是“分步分步”，接着还要搞清楚，接着还要搞清楚“分类分类”或者或者“分步分步”的具体标准是什么的具体标准是什么.(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关出的元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置对若交换某两个元素的位置

17、对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列也就是说排列本讲规律总结问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关无关.(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素特殊元素(特特殊位置殊位置)优先安排法；优先安排法；合理分类与准确分步；合理分类与准确分步；排列、组排列、组合混合问题先选后排法；合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；相邻问题捆绑法；不相邻问不相邻问题插空法

18、；题插空法；定序问题倍缩法；定序问题倍缩法；多排问题一排法；多排问题一排法；“小集团小集团”问题先整体后局部法；问题先整体后局部法；构造模型法；构造模型法；正正难则反、等价转化法难则反、等价转化法.2.二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路思路一是利用恒等定理一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数两个多项式恒等，则对应项系数相等相等)；二是赋值；二是赋值.这两种思路相结合可以使得二项展这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解开式的系数问题迎刃而解.另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条另外，通项公式主要用于求二项

19、式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：式时要注意以下几点：(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意，计算时要注意n和和r的取值范围及它们之间的大小关系的取值范围及它们之间的大小关系. 真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014浙江浙江)在在8张奖券中有一、二、三等奖各张奖券中有一、二、三等奖各1张，张，其余其余5张无奖张无奖.将这将这8张奖券分配给张奖券分配给4个人，每人个人，每人2张，张，不同的获奖情况有不同的获奖情况有_种种(用数字作答用数字作答).解析把把8张奖券分张奖券分4组有两种分法，一种是分组有两种分法，一种是分(一等一等奖，无奖奖，无奖)、(二等奖，无奖二等奖，无奖)、(三等奖，无奖三等奖，无奖)、(无无奖，无奖奖，无奖)四组，分给四组，分给4人有人有A种分法；种分法；12真题感悟答案60真题感悟212押题精练1231.给一个正方体的六个面涂上给一个正方体的六个面涂上4种不同