《数理统计》第8章§4一元线性回归

1、12345,x x x x x, y1x2x4x5x3xyixyyix,yr.v12345( ,)yf x x x x x12345( ,)( )f x x x x xE yfffyix2( )0 ,( )0ED)(xfy xYxYxYxYxYxYxxYYxYxYx),(2NY),(2xNYxY)(x), 0()(2NxY( )( )E YxxY( )( )E Yxxy2( ), (0,)yf xNxy( )yf x1x2x3x( )f x2, (0,)yaxbN( )0.51633.73f xx20.51633.( ,)730yxNyxxx10)(), 0(210NxY( )x)(x)(x)

2、(x10,( )x89857874706661545145190180170160150140130120110100Yx 得得率率温温度度xYxYY100120140160180406080100 x(%)Y ( C)xxx10)()()(YEx ), 0(210NxY210,1122(,) , (,) , , (,)nnx Yx Yx Yxn12,nx xxnY12,nY YY12,nY YY12,nY YY201(,) , 1, 2, iiYNxin12,nY YY201012111(,)exp() 22niiiLYx201211( 2)exp() 2nniiiYx01212, (0,)

3、iiiniYxN niiixYQ121010)(),(0101,max(,)L0101,min(,)Q12,nxxxniiixYQ121010)(),(22121111 ninniiinniiiiiinxnxxxx0)(12niixxn12 ,nxxx0111201111()()()nniiiinnniiiiiiinxYxxx Y11112211()()()nnniiiiiiinniiiinx YxYnxx01,121()()()niiiniixxYYxxxY10010101112()02()0niiiniiiiQYxQYxx xY1011112211()()()nnniiiiiiinniii

4、inx YxYnxx121()()()niiiniixxYYxx01,MLE1111,.nniiiixx YYnn)(xxx10)(xy10YxniixxxxL12)(2112)(1niiniixnx211212)(1)(niiniiniiYYYnYYYL)(1)(1111niiniiniiiniiixYYxnYxYYxxL 01, Yx1121()() ()niiiniixxYYxxxYxxLL11xYxxLL1()niiixxxxYL111()()()niiixxxxEE YL22200111,xxxxxNNnLL，201CovxxxL ，220001 001 01 ()xxxxyxNxn

5、L，关于最小二乘估计的一些性质在如下定理之中 0 0是是E(Y0) 的一个无偏估计的一个无偏估计对总体回归函数总体回归函数E(Y)=0+1X，X=X0时 E(Y0)=0+1X00100XY于是0101000100)()()()(XEXEXEYE可见，可见，0是是E(Y0)的无偏估计。的无偏估计。 分别是0, 1的无偏估计； 01, 是E(y0)=0+ 1 x0的无偏估计； 0 y 除 外， 与 是相关的； 0 x10 要提高 的估计精度（即降低它们的方 差）就要求n大，Lxx大（即要求x1, x2, xn较 分散）。 01,89857874706661545145190180170160150

6、140130120110100Yx 得得率率温温度度x(%)YxYnxxLiixx/)( 221450ix673 ,iY2185002ix47225,2iY101570,iiYx825010/)1450(2185002nYxYxLiiiixY/ )(398510/673145010157048303. 0/1xxxYLL73935. 210/145048303. 010/673 10 xYxY.48303. 073935. 2xyniiixYQQ1210,10,10)(min),(min),(1010),(min ),(max10,10,1010QL01212,(0,)iiiniYxN ),(

7、max),(10,1010LL10,ba,ba, 10,10,10,10,YOxniiixYQQ1210,10,10)(min),(min),(1010ixiYix10)()(2210ExYE), 0(210NxY2)( D2x10)(x2)(21exp)2(),(121022/2210niiinxYL0)(212)(ln0ln0ln121042210niiixYnLLLniiixYn12102)(12niiiniiiexYYYS121012)()()2(22nSe22eSn222nSEeiYiixY10nixYii, 2 , 1 , 1022eSnniiiexYS1210)(22nSe2eS

8、niiixxYY121)(niiniiiniixxYYxxYY12211112)()()(2)(xxxYLL/1xYYYeLLS1)(211 xYYYLLnxY1089857874706661545145190180170160150140130120110100Yx 得得率率温温度度x(%)Y), 0(,210NxY1 .193210/67347225/)(222nYYLiiYY48303.0 ,39851xYL23. 71xYYYeLLS220.72310/ )(12xYYYLL20.903758/ )(12xYYYLL8.4.4 回归方程的显著性检验 在一元线性回归中有三种等价的检验方法

9、，下面分别加以介绍。2()TiyySyyL2()RiSyy2()eiiSyy偏差的分解y关于SR 和 Se所含有的成分可由如下定理说明。 221()RxxE SL2()(2)eE Sn2/(2)eSn进一步，有关SR 和 Se的分布，有如下定理。 yy1/(2)ReSFSn89857874706661545145190180170160150140130120110100Yx 得得率率温温度度x(%)YxY48303. 073935. 2)05. 0(01110 , 0HH：dfSSMSFSignificance F回归分析11924.8761924.8762131.573835.35253E

10、-11残差87.2242420.90303 总计91932.1 )(xxY), 0(210NxYxY10110 , 0HH：xY010H), 0(210NxY0H0H210,210,)/,(211xxLN)2(,22nSeeS,1)2(/)2/(/11211ntLnSLxxexx0H)2(/|2/11ntLxx22nSe20H|189857874706661545145190180170160150140130120110100Yx 得得率率温温度度x(%)YxY48303. 073935. 20241. 048303. 0 | 1)05. 0(01110 , 0HH：0H)2( |2/11ntLxx0.0241306. 282509 . 00H22()()()()xyiixxyyiiLxxyyrL Lxxyy2(2)FrFn111(1,2)(2)(1,2) 1FncrnFn00()1P yy 010()yyxx22000100101()xxxxyxNxnl，2000002021()() / (2)1()/ (2)xxexxxxyEynlyEyt nSxxnnl0 y2001/21()(2)xxxxtnnL0000,yy0 y0 y00(,)yy2001/21()()(2)1xxxxxtnnL2、总体个值预测值的预测区