连续时间信号分析

1、测试信号分析与处理测试信号分析与处理课程课程 第二章第二章 连续时间信号分析连续时间信号分析 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析第三节第三节 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换第四节第四节 采样信号分析采样信号分析 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 v只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的

2、全部特性。所以，对周期信以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。号的研究往往是在一个周期内进行。 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函数如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；集找出此信号在各基函数中的分量；v一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是是正交函数集正交函数集 。v从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。定义域里用某个正交函数集来表示。v若此函数集不仅

3、是若此函数集不仅是正交而且完备正交而且完备，则用他来表示，则用他来表示信号时将没有误差。信号时将没有误差。 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v两个函数是否正交，必须指明在什么区间内v三角函数集三角函数集和指数函数集指数函数集是应用最广的完备正交集。第一节第一节 周期信号分析周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数进行傅立叶展开的周期函数f(t)f(t)必须满足必须满足狄里赫利狄里赫利（DirichletDirichlet）条件）条件，即即在周期 内，函数f(t)1）若有间

4、断点存在，则间断点数目必须有限； 2）极大值和极小值数目应该是有限个； 3）应是绝对可积的，即 在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。 , 3 , 2 , 1sincos111ntntn，111Ttt，dttfTtt111)(第一节第一节 周期信号分析周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，0112111210111( )coscos2sinsin2(cossin)nnnf taatatbtbtaantbnt1111111110111111( )2( )cos (1, 2, 3, , )2( )sin tTttTnttTntaf t dtTaf tntdtn

5、Tbf tntdtT111T将同频率项合为一项，即 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析)cos(sincos111nnnntnctnbtna于是 110)cos()(nnntncctf111Tttt0022cossinarctan(/)nnnnnnnnnnnnaccabacbcba ,3 , 2 , 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数二、指数函数形式的傅里叶级数在 内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。式中 111Ttt，11111( )() jntnf tF netttT 1111111()( )tTjnttF nf t edtT第一节第一节 周期信号

6、分析周期信号分析第一节第一节 周期信号分析周期信号分析例例 周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表达式为111, /4( ), /4/2EtTf tETtT第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v周期对称方波的频谱图 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析吉布斯现象(Gibbs)第一节第一节 周期信号分析周期信号分析三、三、 周期信号的功率谱周期信号的功率谱信号能量信号能量能量有限信号能量有限信号 ：平均功率：平均功率：功率有限信号：功率有限信号：信号f(t)在时间（-,+）上的平均功率 2( )Ef tdt/22/21lim( )TTTPf tdtT 2( )f tdt 212211( )

7、TTPf tdtTT第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有右示关系 v这是周期信号的帕斯瓦尔（Parseval）公式。它说明周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波分量有效值的平方和。v 与 的关系图，称为周期信号的功率谱,表示信号各次谐波分量的功率分布规律。 1112122201220121( )1()212tTtnnnnnnnPft dtTaabccF第一节第一节 周期信号分析周期信号分析四、周期信号频谱的基本性质四、周期信号频谱的基本性质 v线性：线性：如果一个周期信号可以分解为几个简单信号如果一个周期信号可以分解为几个简单信号的线性叠加，则原

8、周期信号的频谱为几个简单信号的线性叠加，则原周期信号的频谱为几个简单信号频谱的线性叠加。频谱的线性叠加。 v延时性：延时性：一周期信号，若波形不变，仅延迟了时一周期信号，若波形不变，仅延迟了时间间 ，那么，频谱中各次谐波分量的幅度不变，仅，那么，频谱中各次谐波分量的幅度不变，仅相位平移了一个值。这个相移值与延迟时间相位平移了一个值。这个相移值与延迟时间 和谐和谐波次数波次数n成正比。成正比。v频移特性：频移特性： 乘以乘以 后频谱分量的振幅和相位保后频谱分量的振幅和相位保持不变，但频率都增加了持不变，但频率都增加了 。也就是频谱图在频。也就是频谱图在频率轴上平行移动了距离率轴上平行移动了距离

9、( )f 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析例例 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为 1, /2( )0, /2/2Etf ttT11/2, /2TT第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析一、一、 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换v对于周期为 的周期信号，可以利用傅里叶级数对他进行频域分析，得到它的离散频谱。v对于非周期信号却不能直接利用傅里叶级数来对它进行频域分析，但是，可以将非周期信号看作是周期为无穷大的信号。若仍用傅立叶级数表示，则 式中1T1( )jntnnf tF e1111lim( )jntnTFf t edtT1112limTT第

10、二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v由于信号周期趋于无穷，前述各式有如下变化1） 趋于零，谱线也将由离散频谱变为连续频谱。其离散增量 将变为连续增量 ，即2）谱线长度 趋于零，与 相乘，可表示为1d11112limTdT112limTnTnF1T111111/2/2( )limlim( )( )nTTjntTTj tFT Ff t edtf t 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析因为因为 即它具有即它具有单位频率的振幅单位频率的振幅的量纲，因此的量纲，因此 称称原函数原函数 的的频谱密度函数频谱密度函数，简称频谱函数。，简称频谱函数。 11101( )li

11、mlim 22nTnnFT FFFd( )F( )f 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v非周期信号 的傅立叶积分表达式，它与周期信号的傅立叶级数表达式相当。1110( )( )lim()21( )2jntnnjntnj tf tF eFdeFed( )f 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v频谱函数频谱函数v原函数原函数 111111/2/2( )limlim( )( )nTTjntTTj tFT Ff t edtf t edt1110( )( )lim()21( )2jntnnjntnj tf tF eFdeF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期

12、信号的频域分析v傅立叶正变换傅立叶正变换v傅立叶反变换傅立叶反变换 ( ) ( )( )j tFf tf t edtF1( ) ( )( )2j tf tFFed-1F第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v非周期信号进行傅里叶变换也与周期信号展成傅里非周期信号进行傅里叶变换也与周期信号展成傅里叶级数一样，需要满足叶级数一样，需要满足狄里赫利条件狄里赫利条件，即，即 v它表示信号在全部时间它表示信号在全部时间 内具有有限能量。内具有有限能量。在一般情况下所遇到的实际信号总是能满足狄里赫在一般情况下所遇到的实际信号总是能满足狄里赫利条件的。利条件的。( )f t dt (, )第

13、二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析三、傅里叶变换的性质三、傅里叶变换的性质（一）线性特性（一）线性特性若若则则v若干信号加权和的频谱等于各个信号频谱之加权和，在时域中的线性叠加对应着频域中的线性叠加。 ( )( ) 1, 2, 3,n iiiia f ta FiF 11( )( ) nniiiiiia f ta FF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析 （二）对称特性（二）对称特性若若有有v若 的频谱为 。那么，形状为 的信号波形，其频谱形状同 ( )( ) f tFF ( )2() F tfF( )f t( )F( )F t( )第二节第二节 非周期信号的

14、频域分析非周期信号的频域分析 （三）延时特性（三）延时特性若若有有v信号在时域中延迟时间 ，该信号各频谱分量的幅值大小不变，但各频谱分量的相位却附加了一个与频率分量成线性关系的相移 。这就说明，信号在时域中的延时和在频域中的移相相对应。( )( ) f tFF00()( )j tf tteF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（四）频移特性（四）频移特性若若有有（五）时间尺度变化（五）时间尺度变化若若有有( )( ) f tFF00( )()jtf t eF1010101 ( )cos=()()2f ttFFF ( )( ) f tFF)a(Fa1)at( f 第二节第二节

15、非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（六）奇偶虚实性（六）奇偶虚实性当当 为实函数时为实函数时（七）微分特性（七）微分特性若若则则-( ) ( )( )cos( )sin( )( )j temFf t edtf ttdtjf ttdtRjI( )()( )()eemmRRII ( )f t ( ) ( )f tFF( ) (j )( )nnnd f tFdtF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（八）积分特性（八）积分特性若若 ，且满足，且满足 在在 处是有界处是有界的，或满足的，或满足 ，则，则否则否则（九）时域卷积定理（九）时域卷积定理 ( ) ( )f tFF( )

16、/F(0)0F01( ) ( )tfdFjF1( ) (0) ( ) ( )tfdFFj F1212 ( )( ) ( )( )f tf tFFF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（十）频域卷积定理（十）频域卷积定理（十一）相关定理（十一）相关定理12121( )( ) ( )( )2f t f tFFF1212()( )( )()f tfdFFF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析四、典型非周期函数的傅里叶变换四、典型非周期函数的傅里叶变换v单位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的傅里叶变换 v单边指数函数的傅里叶变换单边指数函数的傅里叶变换 式中， 0

17、( )( )( )1j tjtt edtt edtF0, 0( ), 0attf tet02222() ( )1( )atj tjf teedtajajaaFe F221( )( )arctan()Faa 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v单位阶跃函数的傅里叶变换单位阶跃函数的傅里叶变换 由于 时，u(t)不符合绝对可积条件，即不存在 ，不能直接进行傅里叶变换。为了解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近函数u(t)。 t ( )u t dt0lim1, 0( )0, 0ataetu 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析 222202 ( )lim

18、1( )1( )ajau tjaaje F第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v复指数函数的傅里叶变换复指数函数的傅里叶变换 该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激函数的傅里叶变换对 。 0( )jtf te0()002()2()jtedt 1( )12j tted-1F2( )j 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析 002()jte F000cos ()()t 000sin ()()tj 第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换v周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复

19、指数函数的傅里叶变换问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。对。 傅立叶级数展开式式中，两边傅立叶变换 1( )jntTnnftF e111/2/211( )TjntnTTFft edtT11( )jntTnnjntnnftF eFeFFF1( )2()TnnftFn F第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换v周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。v例例2-52-5 求周期为 的周期单位冲激函数 的傅里叶级数和傅里叶变换。 ( )Tt1T

20、第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换解：解：其傅立叶级数展开式为其傅立叶级数展开式为 式中式中 的傅里叶变换为的傅里叶变换为1( )()TnttmT1( )jntTnntF e112/T111/ 2/ 21111( )TjntnTFt edtTT111( )jntTnteT111111( )2()2()()nnnnFFnnnT ( )T第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换v讨论周期为 的矩形脉冲信号 与它一个周期内的信号 的傅里叶变换间的关系。 周期信号的傅立叶级数表达式为周期信号的傅立叶级数表达式为 式中式中 单脉信号的傅立叶变换表达式为单脉信号的傅立叶变

21、换表达式为 当当 时时1T( )Tft0( )f t101( ), / 2( )0, / 2TfttTfttT01( )()Tnftf tnT1( )jntTnnftF e111/2/211( )TjntnTTFft edtT1111/2/200/2/2( )( )( )TTj tj tTTTFf t edtft edt1011()nnFFT第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析v连续时间信号必须经过采样和模数转换，变成数字连续时间信号必须经过采样和模数转换，变成数字信号后才能用计算机处理。所谓采样信号就是按一信号后才能用计算机处理。所谓

22、采样信号就是按一定时间间隔定时间间隔 对一连续时间信号对一连续时间信号 进行采样所得进行采样所得到的信号。到的信号。v采样信号是一种时间离散信号，它表示只在时间轴采样信号是一种时间离散信号，它表示只在时间轴上的一些离散点上的一些离散点 上才有信号上才有信号值。采样信号也是一种序列，以值。采样信号也是一种序列，以 表示，其定义表示，其定义为为),3 ,2 , 0(ssssnTTTT( )f n( ) , ff nn )(ST)(第四节第四节 采样信号分析采样信号分析 一、连续时间信号的采样过程 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析v采样器可理解为一个开关，则采样器的输出将是一采样器可理解为一个

23、开关，则采样器的输出将是一串重复周期为串重复周期为T T，宽度为，宽度为 的脉冲，脉冲的幅度是时的脉冲，脉冲的幅度是时间间 内连续信号的幅值内连续信号的幅值v 代表输入的连续时间信号，代表输入的连续时间信号， 代表采样输代表采样输出信号，出信号， 是周期为是周期为 ，宽度为，宽度为 ，幅度为，幅度为1 1的矩的矩形脉冲，则形脉冲，则)(tfa)(spnTf( )P tsT)()()(tPtfnT第四节第四节 采样信号分析采样信号分析 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析v 的傅立叶级数形式的傅立叶级数形式 其中，其中，则则两端进行傅里叶变换，得两端进行傅里叶变换，得 ( )P t( )sjn

24、tnnP tc e22 /sin/ssssnssfTnTcTnTntjnnaspsectfnTf)()( )()pnasnFc F第四节第四节 采样信号分析采样信号分析 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析v若采样脉冲的宽度若采样脉冲的宽度 趋于零，采样信号为一系列冲趋于零，采样信号为一系列冲激函数，即激函数，即 将这样的采样信号称为理想采样信号。将这样的采样信号称为理想采样信号。 的傅立叶级数为的傅立叶级数为 式中式中 ()TsnttnT( )( ) ()asanftfttnT ()sTsnjmtmmttnTc e Tt/2/2112 /,( )sssTjmtssmTTssT ct edt

25、TT第四节第四节 采样信号分析采样信号分析即即 v冲激序列具有梳状谱的结构，它的各次谐波都具有冲激序列具有梳状谱的结构，它的各次谐波都具有相同的幅度相同的幅度 。因此，理想采样信号。因此，理想采样信号 的傅里的傅里叶变换叶变换 1sjmtTmsteTmsasmsasaTmFTmFTF)2(1)(1)(sT/1)(第四节第四节 采样信号分析采样信号分析v连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号 的频谱的频谱 的幅值将是连续时间信号频谱的幅值将是连续时间信号频谱 的的 倍，并倍，并 从开始，沿频率轴正、负方从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率向，每隔一个采样频率 重复一次。重复一次。 )(tfa)(aF( )aF1/sT第四节第四节 采样信号分析采样信号分