简明电路分析基础_06电容元件与电感元件

1、电电 路路 分分 析析 基基 础础 电路分析基础第六章动态电路分析第二部分 动态电路分析 六、电容元件与电感元件 七、一阶电路 八、二阶电路 九、冲击函数在动态电路分析中的应用 十、交流动态电路 电路分析基础课程内容介绍电路分析基础第二部分：第六章 回 顾 本教材第一部分讨论了电阻电路的分析方法。包括：集总电路模型、基尔霍夫定律、欧姆定律、以此为基础的各种分析方法和等效变换方法。 电阻电路是用代数方程来描述的，这意味着：如果外加的激励源（电压源或电流源）为常量，那么，在激励作用到电路的瞬间，电路的响应也为某个常量。即：电阻电路是“无记忆的”，或说是“即时的”(instantaneous)。 许

2、多实际电路并不能只用电阻元件和电源元件来构成其模型。在模型中往往不可避免地要包含电容元件和电感元件。 这两种元件的伏安关系都涉及对电流、电压的微分或积分，我们称这种元件为动态元件(dynamic element)。电路分析基础第二部分：第六章主要内容电路模型中出现动态元件的原因： （1）在实际电路中有意接入电容器、电感器等器件，这是由于要求电路能够实现某种功能的需要，例如，电阻电路不能完成滤波，必须利用动态元件才能实现这个功能。 （2）当信号变化很快时，一些实际器件已不能再利用电阻模型来表示。例如，一个电阻器不能只用电阻元件来表示，而必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型中应增加电容、电感

3、等动态元件；当信号变化很快时，晶体管也不能再用电阻模型来表示。动态电路：至少包含一个动态元件的电路。电路只有电路只有电阻电路和和动态电路两种类型！两种类型！电路分析基础第二部分：第六章主要内容动态电路的记忆性：动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关。即使输入已不再起作用，但仍然有输出，因为输入曾经作用过。也就是说，动态电路具有记忆性。第二部分主要内容：主要讨论动态电路的分析，但只限于一阶和二阶动态电路，共分五章。回顾：在本书第一章中早已指出，两类约束是电路分析的基本依据。基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路的连接方式而与构成电路的元件性质无关，也就是说，无论是电阻电路还是动态

4、电路，都必须服从这两个定律。本章主要内容：为解决动态电路的分析问题，必须知道电容元件和电感元件的定义、伏安关系，并引入记忆、状态等概念，为动态电路的分析奠定基础。电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-1 1/46-1 电 容 元 件电容器：把两块金属板用绝缘介质隔开，就可构成一个简单的电容器。由于介质不

5、导电，因此通电后，两块极板上能分别存储等量的、极性相反的电荷。当电源撤走后，由于介质的阻挡，使两块极板上的电荷不能被中和而依靠电场力的作用而长久地存储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。电容元件：电路理论中的电容元件（capacitor），是对实际电容的一种理想化，即只具有存储电荷从而在电容器中建立电场的作用，而没有其它作用，不考虑介质的损耗等因素。 由极板间的电荷建立的电场储藏着能量，因此，我们也可以说电容器是一种能储存电场能量的器件。u(t)q(t)i(t)+理想电容器：是一种电荷与电压相约束的器件。电路分析基础第二部分：6-1 2/4电容元件的定义：一个二端元件，如果在任意时刻t，

6、它的电荷 q(t) 同它的端电压 u(t) 之间的关系可以用uQ平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。瞬时值：在某个时刻t，q(t) 和 u(t) 分别称为电荷和端电压在此时的瞬时值。其他的关于时间的函数都可以这么说。 我们可以说电容元件的电荷瞬时值和电压瞬时值之间存在一种代数关系。u(t)q(t)i(t)+图6-1 电容元件符号电路分析基础第二部分：6-1 3/4注意关联参考方向：在图中所设定的电流电压参考方向关系，也即电荷与电流的参考方向关系称为关联参考方向。线性非时变电容元件：如果uq平面上的特性曲线是一条过原点的直线，且不随时间变化的电容元件。即q(t) = Cu(t) （

7、6-1）电容容量：C为正常数，用来度量图形曲线的斜率，称为电容（capacitance），C的国际单位为法拉（简称法，缩写F 或 f）。习惯上：我们通常将电容元件简称为电容，而且若不加申明，就是指线性非时变电容。q(t) = Cu(t)u(t)q(t)u(t)q(t)i(t)+电路分析基础第二部分：6-1 4/4实际电容：除了存储电荷的特性外，还有一些漏电现象，那时因为介质不可能为理想绝缘体，多少有一点导电能力。电容器的额定参数：一个电容器，除了标明它的电容量C外，还需标明它的额定工作电压。因为，电容器两端电压越高，聚集的电荷就越多，对应的电场电压就越大，而电容器介质的耐压是有限的，过高的电压

8、将使介质击穿而成为导体！电解电容器：有些电容器为进一步增大电容量，在介质内部填充有固定的电解质，电解质决定了介质的耐压和漏电流还与所加的电压极性有关。这些电容器称为电解电容器，电解电容器除标明电容量和耐压外，还需标明“+”和“”极性。 因此，电容器模型是由电容元件并联电阻元件组成的。实际电容模型电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12 电路的

9、对耦性电路分析基础第二部分：6-2 1/136-2 电容的伏安关系 虽然电容是根据qu关系来定义的，如（6-1）式所示，但在电路分析中，我们感兴趣的往往是元件的 VAR，即 i-u 关系。 设电容如图6-1所示，且设电流i(t)的参考方向箭头指向标注q(t) 的极板，这意味着当 i(t) 为正值时，正电荷向这个极板聚集，因而电荷q(t)的变化率为正。于是，我们有又设电压 u(t) 和 q(t) 参考方向一致，则对线性电容，得q(t) = Cu(t) （6-3）以（6-3）式代入（6-2）式，得i(t) =dCudt（6-4）=du(t)dtCi(t) =dqdt（6-2）u(t)q(t)i(t

10、)+电路分析基础第二部分：6-2 2/13i(t) =dCudt（6-4）=du(t)dtC这就是电容的 VAR，其中涉及对电压的微分。显然，这一公式在 u 和 i 参考方向一致的前提下才能使用。若 u 和 i 的参考方向不一致，则（6-4）式表明：在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。如果电压不变，那么 du /dt = 0 ，虽有电压，但电流为零，因此，电容有隔直流的作用。 我们也可以把电容的电压 u 表示为电流 i 的函数。对（6-4）式积分可得u(t) = （6-6）i()dC1ti(t) = （6-5）du(t)dtCu(t)q(t)i(t)+电路分析基础第二部分：6-2

11、 3/13 若我们只需了解在某个任意选定的初始时刻 t0 以后电容电压与电流的关系情况，我们可以把（6-6）式写为（6-7）i()d t t0C1t= u(t0)t0+i()dC1tt0+u(t) = i()dC1t0u(t) = （6-6）i()dC1t（6-6）式告诉我们：在某个时刻 t 电容电压 u 的数值并不取决于该时刻电流 i 的值，而是取决于从 到 t 所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。 这是因为电容是聚集电荷的元件，电容电压反映聚集电荷的多寡，而电荷的聚集是电流从 到 t 长期作用的结果。电路分析基础第二部分：6-2 4/13也就是说：我们若知道了由初始时刻 t0

12、 开始作用的电流 i(t) 以及电容的初始电压u(t0)，就能确定 t t0 时的电容电压u(t)。实际上：根据电容是聚集电荷的元件，（6-4）式和（6-6）式分别从电荷的变化角度和电荷积累的角度来描述电容的伏安关系。例6-1 电容与电压源相接如图6-3(a)所示，电压源电压随时间按三角波方式变化如图(b)，求电容电流。 我们研究问题总有个起点，即总有一个起始时间 t0 ，那么，（6-7）式又告诉我们：没有必要去了解 t0 以前电流的情况， t0以前全部历史情况对未来产生的效果可以由 u(t0)，即电容的初始电压来反映。（6-7）i()d t t0C1tu(t) = u(t0)t0+u(t)(

13、a)+C=1F电路分析基础第二部分：6-2 5/13解：已知电压源两端电压u(t)，求电流可以用（6-4）式。u(t)(a)+C=1F 从0.25到0.75ms期间，电压 u 由 +100V线性下降到 100V，其变化率= du(t)dt2000.5103= 4105故知在此期间，电流i = Cdu(t)dt= 4 105 10-6= 0.4 AOu(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A电路分析基础第二部分：6-2 6/13从0.75到1.5ms期间= du(t)dt2000.5103= 4105故知在此期间i = Cdu(t)dt=

14、 4 105 10 -6= 0.4 AOu(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A电路分析基础第二部分：6-2 7/13这种曲线称为波形图。 从本例图中可见，电容的电压波形和电流波形是不一样的，这个情况与电阻元件的情况是不同的，图(d)还给出了电容元件上的功率波形图。Oi(A)t(ms)0.4+0.40.511.5Ou(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A电路分析基础第二部分：6-2 8/13Op(W)t(ms)图6-3 例6-1所示电容电路及电压、电流及功率波形图Ou(V)t

15、(ms)100+1000.250.50.7511.251.5wC(t)Ou(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A电路分析基础第二部分：6-2 9/13i(t)(a)C=1FOi(A)t(ms)1+1(b)0.250.50.7511.251.5例6-2 设图6-3所示的电容改为与电流源相接，如图6-4(a)所示，电流源电流随时波形图如图(b)中所示，求电容电压。解：已知电容电流求电压时可以用（6-7）式。为此必须写出i(t)的函数式，对所示三角波形可分段写为电路分析基础第二部分：6-2 10/13i =10.2510-3= 4000t

16、0 t 0.2510-3 s t= 2 4000t 0.2510-3 t 0.7510-3 s i =10.2510-3 ( 0.510-3 t )= 4000t 4 0.7510-3 t 1.2510-3 s i =10.2510-3 ( t 10-3 )Oi(A)t(ms)1+10.250.50.7511.251.5电路分析基础第二部分：6-2 11/13Ou(V)t(ms)250125(c)0.250.50.7511.251.5利用（6-7）式，分段计算u(t)：t0 t 0.2510-3 s期间u(t) = u(0) +i()dC104000d = 2109 t2u(t) = 106t

17、0电压随时间按抛物线规律上升，当t=0.25ms时，电压为125V电路分析基础第二部分：6-2 12/13u(t) = u(0.2510-3 )i()dC1t 0.2510-3 += 250 + 2106 t 2109 t2( 2 4000 ) d= 125 + 106t0.2510-3此为一开口向下的抛物线方程，其顶点在t=0.5ms，u=250V处。当t=0.75ms时，电压降为125V。Ou(V)t(ms)2501250.250.50.7511.251.5 0.2510-3 s t 0.7510-3 s期间电路分析基础第二部分：6-2 13/13 0.7510-3 s t 1.2510-

18、3 s期间u(t) = u(0.7510-3 )i()dC1t 0.7510-3 += 2000 4106 t + 2109 t2( 4000 4 ) d= 125 + 106t0.7510-3开口向上的抛物线，其顶点在t=1ms，u=0V处。Ou(V)t(ms)2501250.250.50.7511.251.5电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安

19、关系 12 电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-3 1/46-3 电容电压的连续性质和记忆性质电容的VARi()d t t0C1t= u(t0)t0+uC = i()dC1t反映电容电压的两个重要性质，即连续性质和记忆性质。 设想作用于电容的电流波形如图6-8(a)所示，若u(0)=0，则不难根据例6-2的方法求得电容电压如图(b)所示。Oi(A)t(ms)510(a)2468Ou(V)t(ms)20(b)2468图6-8 1F电容的电流电压波形电路分析基础第二部分：6-3 2/4 十分明显，电容电流波形是不连续的，而电压波形却是连续的。这是电容电压的连续性质的表现。电容电压的连续性质描述：

20、 若电容电流在闭区间 ta、tb内为有界，则电容电压uC(t)在开区间 (ta、tb) 内为连续的。特别是，对任何时间 t， ta t tb，uC(t ) = uC(t +) （6-8）Oi(A)t(ms)510(a)2468Ou(V)t(ms)20(b)2468图6-8 1F电容的电流电压波形电路分析基础第二部分：6-3 3/4证明 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间的连续函数。任取一点 t，以 t 和 t+dt 分别作为（6-7）式中积分的上下限，且tat tb 和 ta t+dt tb，则i()dC1t+dtuC(t+dt) = uC(t) +tt+dti()dC1uC(t+dt)

21、 uC(t) =t即 由于 i(t) 在 ta、tb内有界，对所有 ta、tb 内的 t，必存在一个有限常数M，i(t) M。 因而在曲线 i(t) 下由 t 轴和上下限所界定的图形面积充其量为Mdt，且当dt 0时， uC(t+dt) uC(t) ，亦即 t 处， uC 是连续的。 （6-8）式常归结为“电容电压不能跃变”，在动态电路分析中常常用到这一结论，但需注意应用的前提条件。 当电容电流为无界时就不能运用！电路分析基础第二部分：6-3 4/4从（6-6）式可知：电容电压取决于电流的全部历史，因此，我们说电容电压有“记忆”电流的性质，电容是一种记忆元件。+u(t)i(t)u(t0)=U具

22、有初始电压U=u(t0) 我们只知道在某一初始时刻 t0 后作用于电容的电流 情况，对以前的电流并不了解，故（6-7）式更有实际意义。（6-7）i()d = u(t0) + u1(t) t t0C1tu(t) = u(t0)t0+u1(t)i(t)U=u(t0)对应等效电路+u1(t0)=0+u(t)Oi(A)t(ms)5102468Ou(V)t(ms)202468电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电

23、感5电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12 电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-4 1/56-4 电 容 的 储 能 电容是一种储能元件，已如6-1节中描述的那样。本节讨论电容的储能公式。 我们从电容的功率谈起。由1-2节可知，任何元件都可由该元件两端的电压 u 与流过的电流 i 的乘积来计算。 若电压、电流是时变的，那么，算得的功率也是时变的。瞬时功率：每个瞬间的功率称谓瞬时功率，用符号 p 表示。p(t) = u(t)i(t) （6-11）式中，u、i 用关联参考方向，p 为正说明该元件消耗或吸收功率；p 为负表明该元件产生或释放功率。 对例6-1所示电容，把同一瞬

24、间的电压和电流相乘可逐点绘出功率随时间变化的曲线，称为功率波形图，如图6-3(d)所示。电路分析基础第二部分：6-4 2/5从波形图可以看到：功率有时正，有时负，这和电阻的功率总为正值是大不相同的。电容功率的特点表明：电容有时吸收功率，有时却又释放功率。确实，如果考虑到 p =dwdt（6-12）Ou(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5wC能量 wC电压 uOp(W)t(ms)能量 wC功率 pwC电路分析基础第二部分：6-4 3/5 尽管有一段时期电容吸收了能量，但在另一段时期电容又把能量退还给电源（或电路其它部分）。由此，该例表明了电容是一种储能元件。根

25、据第一章所述无源元件的定义，电容属于无源元件。 电容的能量 wC(t) 应为功率对时间的积分，并由此绘出 wC(t) 的波形图如图6-3(b)中蓝线所示（与 u 绘在一起），我们可以看到电容的能量总是正值，但有时增加，有时减少。 在其增长期间，即吸收能量期间，功率 p 为正；在其减少期间，即释放能量期间，功率 p 为负。Op(W)t(ms)能量 wC功率 pwC电路分析基础第二部分：6-4 4/5由（6-13）式可知：在 t1 到 t2 期间供给电容的能量只与时间端点的电压值 u(t1) 和 u(t2) 有关，与此间其它电压值无关。 电容是储能元件，t1 到 t2 期间供给电容的能量是用来改变

26、电容的储能状况的，因此（6-13）式中的第一项应是表示 t2 时刻电容的储能，即wC(t2) =12Cu2(t2)p()dwC(t1,t2) =t1t2u()i()dt1t2=Cu()t1t2=ddud=12Cu2u(t2)u(t1)=12Cu2(t2) u2(t1) （6-13）Cudu=u(t1)u(t2) 下面，我们进一步讨论电容储能的有关情况。设在 t1到 t2期间对电容C进行充电，充电电压为 u(t)，电流为 i(t)，则在此期间供给电容的能量为电路分析基础第二部分：6-4 5/5 （6-14）式即为电容储能公式。电容电压反映了电容的储能状态。 由上述可知，正是电容的储能本质使电容电

27、压具有了记忆性质；正是电容电流在有界条件下储能不能跃变，使电容电压具有连续性质。 如果储能跃变，能量变化的速率即功率 p=dw/dt 将为无穷大，这在电容电流为有界值时是不可能的。亦即电容 C 在某个时刻 t 的储能只与该时刻的电压有关，即wC(t) =12Cu2(t) （6-14）而（6-13）式中的另一项是表示 t1 时刻电容的储能，即wC(t1) =12Cu2(t1)电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10

28、非线性电感5 电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12 电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-5 主要内容电路模型中出现动态元件的原因： （1）在实际电路中有意接入电容器、电感器等器件，这是由于要求电路能够实现某种功能的需要，例如，电阻电路不能完成滤波，必须利用动态元件才能实现这个功能。 （2）当信号变化很快时，一些实际器件已不能再利用电阻模型来表示。例如，一个电阻器不能只用电阻元件来表示，而必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型中应增加电容、电感等动态元件；当信号变化很快时，晶体管也不能再用电阻模型来表示。动态电路：至少包含一个动态元件的电路。电路只有电路只有电阻电路

29、和和动态电路两种类型！两种类型！电路分析基础第二部分：6-5 主要内容动态电路的记忆性：动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关。即使输入已不再起作用，但仍然有输出，因为输入曾经作用过。也就是说，动态电路具有记忆性。内容回顾：前面几节讨论了电容的定义、伏安关系、电压电压的连续性质和记忆性质。再一次强调：在电容电流有限时，电容电压与全部电流历史有关，电容电压不能突变突变。主要内容：这几节主要讨论电感的定义、伏安关系、电流电流的连续性质和记忆性质。电路分析基础第二部分：6-5 1/46-5 电 感 元 件电感器：导线中有电流流过时，在周围形成磁场。由导线绕成的线圈用以增强磁场，称为电感器或

30、电感线圈（图6-13）。磁场也储存能量。因此，电感器是一种能储存磁场能量的器件。电感元件：电路理论中的电感元件（inductor），是对实际电感器的一种理想化，即只具有存储磁能从而在电感器中建立磁场的作用，而没有其它作用。理想电感器：应是一种电流与磁链（flux linkage）相约束的器件。i图6-13 电感线圈及磁通线电路分析基础第二部分：6-5 2/4电感元件的定义：一个二端元件，如果在任意时刻t，它的电流 i(t) 同它的磁链 (t) 之间的关系可以用 i 平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。右手螺旋法则：在讨论 i(t) 和 (t) 的关系时，通常用关联参考方向，即两者

31、的参考方向应符合右手螺旋法则。 我们可以说电感元件的电流瞬时值和磁链瞬时值之间存在一种代数关系。u(t)(t)i(t)+图6-14 电感元件符号 由于在图中电感元件的符号并不显示绕行方向。我们假定电流的入端处标以磁链的“+”号，表示电感线圈中的电流和磁链满足右手螺旋法则。i图6-13 电感线圈及磁通线电路分析基础第二部分：6-5 3/4注意关联参考方向：在图中所设定的电流电压参考方向关系，也即电流与磁链的参考方向关系称为关联参考方向。线性非时变电感元件：如果 i 平面上的特性曲线是一条过原点的直线，且不随时间变化的电感元件。即(t) = Li(t) （6-15）电感容量：L为正常数，用来度量图

32、形曲线的斜率，称为电感（inductance），L的单位为亨利（中文简称亨，国际代号H）。习惯上：我们通常将电感元件简称为电感，而且若不加申明，就是指线性非时变电感。 在图6-14中，+、号既表示磁链也表示电压的参考方向。i(t)(t) (t) = Li(t)u(t)(t)i(t)+图6-14 电感元件符号电路分析基础第二部分：6-5 4/4实际电感：除了存储磁能的特性外，还有一些能量损耗，因为构成电感的导体不可能为理想导体，多少有一点电阻的缘故。电感器的额定参数：一个电感器，除了标明它的电感量L外，还需标明它的额定工作电流。因为，流过电感器的电流越大，对应的内阻发热就越多，有可能烧毁绝缘层，

33、直至烧毁整个电感器，过大的电流将毁坏电感器！磁芯电感器：有些电感器为进一步增大电感量，在线圈内部填充铁氧体等磁性材料，这些电感器称为磁芯电感器，磁芯电感器在同样的电流下能产生比没有磁芯时大千百倍的磁链。 因此，电感器模型是由电感元件串联电阻元件组成的。电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5 电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12 电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-6 1/5

34、6-6 电感的伏安关系 虽然电感是根据 i 关系来定义的，如（6-15）式所示，但在电路分析中，我们感兴趣的往往是元件的 VAR。 设电感如图6-14所示，当通过电感的电流变化时，磁链也发生变化，根据电磁感应定律，电感两端产生感应电压；当电流不变时，磁链不变，此时有电流但没电压。当电压与磁链参考方向满足右手螺旋法则时，由电磁感应定律可得u(t) =ddt（6-16）若电流 i(t) 和磁链 (t) 参考方向符合右手螺旋法则，将以上的i 关系代入可得u(t) =dLidt（6-17）didt= L电路分析基础第二部分：6-6 2/5这就是电感的 VAR，其中涉及对电流的微分。显然，这一公式在 u

35、 和 i 参考方向一致的前提下才能使用。若 u 和 i 的参考方向不一致，则u(t) = di(t)dtL（6-17）式表明：在某一时刻电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率。如果电流不变，那么 di /dt = 0 ，虽有电流，但电压为零，因此，电感有通直流、阻交流的作用。 电感的以上这种特性与电阻、电容元件完全不同，电阻是有电压一定有电流，电容是电压的变化才能有电流；电感则是电流变化才有电压。电路分析基础第二部分：6-6 3/5 我们也可以把电感的电流 i 表示为电压 u 的函数。对（6-17）式积分可得在某个任意选定的初始时刻 t0 以后，我们可把（6-18）式写为（6-19）u()d

36、t t0L1t= i(t0)t0+u()dL1tt0+i(t) = u()dL1t0i(t) = （6-18）u()dL1t=L(t)L1=(t0) +tt0u()d电路分析基础第二部分：6-6 4/5 这是因为电感是聚集磁链的元件，电感电流反映聚集磁链的多寡，而磁链的聚集是电压从 到 t 长期作用的结果。也就是说：某一时刻 t 时的电感电流 i(t) 取决于初始电流 i(t0)以及在t0，t 区间所有的电压u(t)的值。（6-18）式告诉我们：在某个时刻 t 电感电流 i 的数值并不取决于该时刻电压 u 的值，而是取决于从 到 t 所有时刻的电压值，也就是说与电压全部过去历史有关。i(t)

37、= u()dL1t=L(t) 我们研究问题总有个起点，即总有一个起始时间 t0 ，那么，（6-19）式又告诉我们：没有必要去了解 t0 以前电流的情况，t0以前全部历史情况对未来产生的效果可以由 i(t0)，即电感的初始电流来反映。u()d t t0L1ti(t) = i(t0)t0+电路分析基础第二部分：6-6 5/5 （6-17）式必须在 u、i 为关联参考方向时才能使用，这样才能真正反映楞次定律感应电动势试图阻止磁通的变化。 在物理学中，感应电动势与磁链的关系表示为e = ddt（6-20）didt= L它与我们这里所用的u =Ldi / dt又如何统一呢？ 首先，感应电压 u 和感应电

38、动势 e 数值是相等的，在电路理论中，我们关心的是器件的对外表现，而对其内在物理过程不感兴趣，因此，我们只用感应电压 u 而不考虑感应电动势 e。 其次，（6-20）式实际上也是有参考方向规定的，那就是 e 与 i 的参考方向应一致，由此符合楞次定律。由于 e 是电压升，所以此时的极性必然如此：e = - u。电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5 电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安

39、关系 12 电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-7 1/66-7 电感电流的连续性质和记忆性质电感的VARu()d t t0L1t= i(t0)t0+iL = u()dL1t反映电感电流的两个重要性质，即电感电流的连续性质和记忆性质。电感电流的连续性质描述如下： 若电感电压在闭区间 ta、tb内为有界，则电感电流iL(t)在开区间 (ta、tb) 内为连续的。特别是，对任何时间 t， ta t tb，iL(t ) = iL(t +) （6-21）电路分析基础第二部分：6-7 2/6 证明过程与电感电流的连续性质的证明相似。由此从略。 （6-21）式常归结为“电感电流不能跃变”，在动态电路分析

40、中常常用到这一结论，但需注意应用的前提条件。当电感电压为无界时就不能运用。 （6-18）式还反映出电感电流的另一性质记忆性质。 从（6-18）式可知，电感电流有“记忆”电压的性质，电感是一种记忆元件。 （6-19）式是更有实际意义、反映电感电流的记忆性质的关系式。该式利用了初始电流 iL(t0) 对t t0 时电压的记忆作用，使我们毋需了解t t0 时电压的具体情况即能在确定t t0 时的 iL(t)时考虑到它的影响。电路分析基础第二部分：6-7 3/6 在含电感的动态电路分析问题中，知道电感的初始电流经常是一个必备的条件。 （6-19）式所示的关系可以用等效电路来表明。设电感的初始电流为iL

41、(t0) = I(图6-18a)，由（6-19）式可得+u(t)i(t)i(t0)=IL图6-18(a) 具有初始电流 Iu()dL1ti(t) = i(t0)t0+= i(t0) + i1(t) +u(t)i(t)i1(t0)=0Li1(t)I图6-18(b) 对应等效电路= I + i1(t)，t t0（6-22）电路分析基础第二部分：6-7 4/6设想一下，设想一下， t = t0 时的等效电时的等效电路又该如何？路又该如何？例6-4 若2H电感的电压波形如图6-19(a)所示，已知i(0)=0，试绘出电流波形。解：已知电容电流波形求电容电压波形，或已知电感电压波形求电感电流波形都涉及到

42、积分问题。 任一时刻 t 的电感电流，与在到 t 之间电感电压曲线所覆盖的面积成比例，由于已经给定 i(0) 的值，故只需从t=0开始考虑。+u(t0)i(t0)It = t0 等效电路Ou(V)t(s)1图6-19(a) 例6-4电压波形12341电路分析基础第二部分：6-7 5/6Ou(V)t(s)1图6-19(a) 例6-4电压波形12341 本例所示电压波形在t=0与t=1s 之间随时间成线性增加，可知此间电压曲线所覆盖的面积随时间平方增加。因此，i(t) 波形为抛物线。由于 u(t) 为正，可知 i(t) 是增加的。 从定量关系看，对0t1s，面积S=t2/2。而i(t)=S/L=

43、t2/4，因此最大i=1/4A。 对1t2s，u(t)为负常数， i(t) 线性下降，面积S=1/2- (t-1)，而i(t)=S/L= 1/4-(t-1)/2，因此最小i= - 1/4A。Oi(V)t(s)1/4图6-19(b) 例6-4电流波形12341/41/2电路分析基础第二部分：6-7 6/6Oi(V)t(s)1/4图6-19(b) 例6-4电流波形12341/41/2 对2t3s，u(t)为正常数， i(t) 线性上升，面积S= (t-2)-1/2，而i(t)=S/L= (t-2)/2-1/4 ，因此最大i=1/4A。 对3t0但线性下降， i(t) 为开口向下的抛物线，在该区间还

44、是增加的，直到顶点t=4，面积S= 1-(4-t)2/2，而i(t)=S/L= 1/2-(4-t)2/4，因此最大i=1/2A。 显然，虽然电压u(t)在t=1和t=2两处不连续，但电流总是连续的从而也验证了关于电感电流不能突变的结论。Ou(V)t(s)1图6-19(a) 例6-4电压波形12341电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5 电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12

45、电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-8 1/76-8 电感的储能 电路的状态 电感是存储磁能的元件，储能公式的推导与6-4节中电容储能公式的推导类似。 图6-14所示的电感的功率为p(t) = u(t)i(t) （6-23）因此在 t1到 t2期间所供给的能量表示为p()dwL(t1,t2) =t1t2u()i()dt1t2=（6-24）对线性电感，可以（6-17）式代入，得电路分析基础第二部分：6-8 2/7Li()t1t2wL(t1,t2) =ddid=12Li2i(t2)i(t1)=12Li2(t2) i2(t1) （6-25）Lidi=i(t1)i(t2) 电感也属于无源元件。wL(

46、t) =12Li2(t) （6-26）上式表明电感 L 在某一时刻 t 的储能只与此刻的电流i(t)有关。电感电流反映了电感的储能状态。此即为在t1到 t2期间电感储能的改变量。由此可知，电感的储能公式应为电路分析基础第二部分：6-8 3/7 电感电流的连续性质和记忆性质正是电感储能的本质表现。 在动态电路的诸电压、电流变量中，电容电压uC(t)和电感电流iL(t)占有特殊重要的地位，它们是电路的状态(state)变量。状态变量：在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在 t0 时的数值，则连同所有在 t t0 时的输入就能确定在 t t0 时电路中的任何电路变量，电容电压u

47、C(t)和电感电流iL(t)是符合这一定义的。 全面论述状态变量的分析已超出了本书的范围，但本书将在随后的动态电路分析中把电容电压和电感电流作为主要的分析对象。电路分析基础第二部分：6-8 4/7例6-5 在图6-23所示电路中，已知t 0 时电感电压 u 为 etV，且在某一时刻 t1 电压 u=0.4V。试问在这一时刻：(1)电流iL的变化率是多少？(2)电感的磁链是多少？(3)电感的储能是多少？(4)从电感磁场放出能量的速度是多少？(5)在电阻中消耗能量的速率是多少？解：我们应先求出iL(t)。已知电感电压求电流可用（6-19）式，并设t0=0。必须注意本题电感电压和电感电流的参考方向不

48、一致，为方便计，令u= u，如图中所示，则+uiLL=1H图6-23 例6-5+uR=1u = et电路分析基础第二部分：6-8 5/7从（6-19）式可得udL1tiL(t) = iL(0)0+其中iL(0) = iR(0) = u(0)Ret | 0R=11= 1A故得udL1tiL(t) = 1 +0e dt= 1 0t= 1 + e 0|= 1 + (e t 1) = e tA顺便指出， iL(0)0表示初始时刻电感有储能，这一储能正是该电路在没有电源情况下仍能有电压、电流的原因。(1) 电流变化率：电路分析基础第二部分：6-8 6/7在t=t1 时u= 0.4V，即e t1 = 0.

49、4，故得电流变化率为=diL(t)dtd e t dt= e t diL(t)dt= 0.4 A/s t1(2) 磁链：(3) 储能：(t) = LiL(t) = L e t = e t 在t=t1 时u= 0.4V，即e t1 = 0.4时，磁链为 = 0.4 WbwL =12LiL2(t)12L(e t)2=电路分析基础第二部分：6-8 7/7(5) 在电阻耗能的速率，即功率为(4) 磁场能量的变化率，即功率为当e t1 = 0.4时，wL =12L(0.4)212(0.4)2= 0.08J=12LiL2(t)dwLdtddt12=L iL(t)diL(t)dt= e tde tdt= e

50、 2t当e t1 = 0.4时，= (e t1)2 = (0.4)2 = 0.16WdwLdtpR = iL2(t)R = e 2t e t1 = 0.4= (0.4)2 = 0.16W电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5 电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12 电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-9 主要内容动态电路的记忆性：动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有

51、关。即使输入已不再起作用，但仍然有输出，因为输入曾经作用过。也就是说，动态电路具有记忆性。 (1) 14节讨论了电容的定义、伏安关系、电压电压的连续性质和记忆性质。再一次强调：在电容电流有限时，电容电压与全部电流历史有关，电容电压不能突变突变。内容回顾： (2) 58节讨论了电感的定义、伏安关系、电流电流的连续性质和记忆性质。再一次强调：在电感电压有限时，电感电流与全部电压历史有关，电感电流不能突变突变。电路分析基础第二部分：6-9 1/36-9* 非线性电容 非线性电容不能用单一的电容值来表征，而应该用uq平面上的一条曲线来表征。这与线性非时变电容不同。 在晶体管的精确模型中包含非线性电容，

52、同样，变容二极管(varactor)也要用非线性电容来作为其模型。 设非线性电容uq特性可表示为q = f(u)则i(t) =dtdqdu=dfdtdu或i(t) = C(u)dtdu（6-27）电路分析基础第二部分：6-9 2/3增量电容：为uq特性曲线的斜率，它是电容电压 u 的函数。 在许多实际应用中，施加于电容的电压 u 包含两项：(1)由电池供给的恒定电压U0（通常称为直流偏置）；(2)时变的小电压信号 u1 。如果 u1 充分小，则根据泰勒级数展开可得q = f(u) = f ( U0 + u1 ) f(U0) + u1 （6-29）dfduU0其中称为该电容元件的增量电容。C(u

53、) =dfdu（6-28）OquU0+u1U0f(U0)f(U0+u1)斜率=U0dfdu|电路分析基础第二部分：6-9 3/3在级数的展开式中我们略去了二阶以上的所有项。在这种情况下，由i=dq/dt，可得式中 C(U0) 是增量电容，它等于uq特性曲线工作点处的斜率，是一个取决于直流电压值 U0 的常数。因此，就小信号 u1 而言，非线性电容的表现如同一个线性电容。i(t) =dtdq=du1dfduU0dt（6-30）= C(U0)du1dt 这就是说，由于 u1 充分小，使与横坐标U0 + u1相对应的那部分特性曲线可以用一条经过点(U0 , f(U0) )、斜率为df/du | u=

54、U0的直线来近似，见图6-24。OquU0+u1U0f(U0)f(U0+u1)斜率=U0dfdu|电路分析基础第二部分：第六章 目录第六章 电容元件与电感元件1 电容元件 7 电感电流的连续性质和记忆性质2 电容的伏安关系 8 电感的储能 电路的状态3 电容电压的连续性质 9 非线性电容 和记忆性质4 电容的储能 10 非线性电感5电感元件 11 电感器和电容器的模型6 电感的伏安关系 12 电路的对耦性电路分析基础第二部分：6-10 1/36-10* 非线性电感 非线性电感不能用单一的电感值来表征，而应该用i平面上的一条曲线来表征。这与线性非时变电感不同。 严格地说，含磁性材料的电感器的i特性曲线都是曲线，而且有些在电流增减变化时的曲线不重合（见图6-25）。 设非线性电感 i 特性可表示为 = f(i)则u(t) =dtddi=dfdtdi或u(t) = L(i)dtdi（6-31）Oi(a)电路分析基础第二部分：6-10 2/3图6-25 非线性i特性曲线Oi(a)Oi(c)Oi(b)其中称为该电感元件的增量电感。增