卡方拟合优度检验

1、生物统计学生物统计学第七章第七章 拟合优度检验拟合优度检验- 2检验检验 拟合优度检验的意义拟合优度检验的意义 判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说的假设检验。性类别分配理论或学说的假设检验。 简单的说：简单的说：用于检验总体是否服从某个指定用于检验总体是否服从某个指定分布。分布。 .检测观察数与理论数之间的一致性；检测观察数与理论数之间的一致性；.通过检测观察数与理论数之间的一致性来判定事通过检测观察数与理论数之间的一致性来判定事物之间的独立性。物之间的独立性。 7.1、拟合优度检验的一般原理、拟合优度检验的一般原理7.1.1

2、什么是拟合优度检验什么是拟合优度检验（P92） 一、一、 2统计量的意义统计量的意义 为了便于理解，现结合一实例说明为了便于理解，现结合一实例说明 2 (读作卡方读作卡方) 统计量的意义。根据遗传学理论，动物的性别比例统计量的意义。根据遗传学理论，动物的性别比例是是1:1。统计某一年所产的。统计某一年所产的876只实验动物，有雄性只实验动物，有雄性428只，雌性只，雌性448只。按只。按1:1的性别比例计算，雌雄均的性别比例计算，雌雄均应为应为438只。以只。以Oi表示实际观察次数，表示实际观察次数，Ti 表表 示示 理理 论论次数，可将上述情况列成下表。次数，可将上述情况列成下表。7.1.2

3、 拟合优度检验的统计量拟合优度检验的统计量（P92） 表表 动物性别实际观察次数与理论次数动物性别实际观察次数与理论次数 性别性别实际观察实际观察次数次数O Oi i理论次理论次数数T Ti iO Oi iT Ti i（O Oi iT Ti i）2 2/T/Ti i雌雌428 428 438438-10-100.22830.2283雄雄44844843843810100.22830.2283合计合计8768768768760 00.45630.4563 从上表可以看到从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在，实际观察次数与理论次数存在一定的差异。一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其

4、性别这个差异是属于抽样误差、还是其性别比例发生了实质性的变化比例发生了实质性的变化? 要回答这个问题：要回答这个问题：首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度；理论次数偏离的程度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。显著性检验。 为了度量为了度量实际观察次数与理论次数偏离程度实际观察次数与理论次数偏离程度：A：最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的：最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。如上表：差数。如上表：O1-T1 =-10，O2-T2=10，由于

5、这两个，由于这两个差数之和为差数之和为0，显然此方法不可行；，显然此方法不可行；B：计算：计算(O-T)2，其值越大，实际观察次数与理论次，其值越大，实际观察次数与理论次数相差亦越大，反之则越小。但尚有不足。例如某一数相差亦越大，反之则越小。但尚有不足。例如某一 组组 实实 际际 观观 察察 次次 数为数为505、理论次数为、理论次数为500，相差，相差5；而另一组实际观察次数为而另一组实际观察次数为26、 理论次数为理论次数为21，相差亦，相差亦为为5。为了弥补为了弥补B这一不足，将各差数平方除以相应的理论这一不足，将各差数平方除以相应的理论次数后再相加，并记之为次数后再相加，并记之为 2

6、，即，即iiiTTO22)(也就是说也就是说 2是度量实际观察次数与理论次数偏离是度量实际观察次数与理论次数偏离程度的一个统计量程度的一个统计量， 2越小，表明实际观察次数越小，表明实际观察次数与理论次数越接近；与理论次数越接近； 2 =0，表示两者完全吻合；，表示两者完全吻合； 2越大，表示两者相差越大。越大，表示两者相差越大。二、二、 2分布分布 上面引入了统计量上面引入了统计量 2， 它近似地服从统计学中一种它近似地服从统计学中一种连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 2分布。下面对统计学分布。下面对统计学中的中的 2分布作一简略介绍。分布作一简略介绍。 设有一平均数为设有一

7、平均数为、方差为、方差为 的正态总体。现从此的正态总体。现从此总体中独立随机抽取总体中独立随机抽取n个随机变量：个随机变量：x1、x2、xn，并求出其并求出其标准正态离差标准正态离差： 211xu22xunnxu 记这记这n个相互独立的标准正态离差的平方和个相互独立的标准正态离差的平方和为为 2 ： 它服从自由度为它服从自由度为n的的 2分布，记为分布，记为 2 (n)； 222212.nuuux21222)()(niiiixxu212)(niix 若用样本平均数若用样本平均数 代替总体平均数代替总体平均数，则随机变，则随机变量量 服从自由度为服从自由度为n-1的的 2分布，记为分布，记为 x

8、222122) 1()(Snxxxnii22) 1(Sn )1n(2 显显 然然 ， 20 ， 即即 2 的的 取取 值值 范范 围围 是是0,+ ； 2分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随自由度的增大，自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称；曲线由偏斜渐趋于对称；df30时，时， 接近正态分布。下面给出了几个不同自由度的接近正态分布。下面给出了几个不同自由度的 2概率概率分布密度曲线。分布密度曲线。 的连续性矫正的连续性矫正 由公式计算的由公式计算的 2只是近似地服从连续型随机变量只是近似地服从连续型随机变量 2分布。在对次数资料进行分布

9、。在对次数资料进行 2检验利用连续型随机变检验利用连续型随机变量量 2分布计算概率时，常常偏低，特别是当自由度为分布计算概率时，常常偏低，特别是当自由度为1时偏差较大。时偏差较大。 Yates(1934)提出了一个矫正公式，矫正后的提出了一个矫正公式，矫正后的 2值值记为记为 ： = (7-2) 2c2ciiiTTO2)5 . 0( 当自由度大于当自由度大于1时，原公式的时，原公式的 2分布与连续型随机分布与连续型随机变量变量 2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要求各组内的理论次数不小于求各组内的理论次数不小于5。若某组的理论次数小。若某组的理论次

10、数小于于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理论次数大论次数大 于于5 为止。为止。 统计量统计量： 使用条件：使用条件： 各理论值均大于各理论值均大于5。 若自由度为若自由度为1，则应作连续性矫正：，则应作连续性矫正： riiiiTTO122)(riiiiTTO122)5 . 0(方法为：方法为： 把把x的值域分为的值域分为r个不相重合的区间，个不相重合的区间，再计算在指定的分布下，再计算在指定的分布下，x落入每一区落入每一区间的概率间的概率pi 统计统计样本含量为样本含量为n的抽样中，观察值落的抽样中，观察值落入各区间的次数入各区间的次数Oi

11、 用统计量进行检验，步骤如下：用统计量进行检验，步骤如下： 7.2、拟合优度检验、拟合优度检验7.2.1 一般程序一般程序（P93）检验步骤如下：检验步骤如下：（一）提出无效假设与备择假设（一）提出无效假设与备择假设（二）选择计算公式（二）选择计算公式（三）计算理论次数（三）计算理论次数（四）计算（四）计算 2值值 (五五) 查临界查临界 2值，作出统计推断值，作出统计推断说明：说明： （一）（一） H0：实际观察的属性类别分配符合已知：实际观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说；属性类别分配的理论或学说；HA：实际观察的：实际观察的属性类别分配不符合已知属性类别分配的理论属性类别

12、分配不符合已知属性类别分配的理论或学说。或学说。（二）选择计算出（二）选择计算出 2还是还是 2c。（三）在无效假设成立的条件下，按已知属性（三）在无效假设成立的条件下，按已知属性类别分配的理论或学说计算类别分配的理论或学说计算 各属性类别的理论各属性类别的理论次数。次数。（四）计算出（四）计算出 2或或 2c。（五）根据自由度（五）根据自由度k-1（若属性类别分类数为（若属性类别分类数为 k ，则，则适合性检验的自由度为适合性检验的自由度为 k-1）查）查 2值表值表(附表附表)所得的临所得的临界界 2值：值： 20.05、 20.01，将所计算得的将所计算得的 2或或 2c值与其比值与其比

13、较，作出统计推断：较，作出统计推断： 若若 2 (或或 2c) 20.05，P0.05，表明实际观察次，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察的属性数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说；类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说； 若若 20.05 2 (或或 2c) 20.01， 若若 2 ( 或或 2c) 20.01， 下面结合实例说明适合性检验方法。下面结合实例说明适合性检验方法。（总体参数已知（总体参数已知 ）【例】【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离现象时现象时 ，用黑

14、色无角牛和红色有角牛杂交，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出，子二代出现黑色无角牛现黑色无角牛192头，黑色有角牛头，黑色有角牛78头，红色无角牛头，红色无角牛72头，红色有角牛头，红色有角牛18头，共头，共360头。试头。试 问这两对性状是否问这两对性状是否符合孟德尔遗传规律中符合孟德尔遗传规律中9 3 3 1的遗传比例？的遗传比例？7.2.2 对二项分布的检验对二项分布的检验（P93） 检验步骤：检验步骤： （一）提出无效假设与备择假设（一）提出无效假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合：实际观察次数之比符合9 3 3 1的理论比例。的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合：实

15、际观察次数之比不符合9 3 3 1的理论的理论比例。比例。 （二）选择计算公式（二）选择计算公式 由于本例的属性类别分类数由于本例的属性类别分类数 k=4：自由：自由 度度df=k-1=4-1=31，故计算，故计算 2。 （三）计算理论次数（三）计算理论次数 依据各理论比例依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：计算理论次数： 黑色无角牛的理论次数黑色无角牛的理论次数T1：3609/16=202.5； 黑色有角牛的理论次数黑色有角牛的理论次数T2：3603/16=67.5； 红色无角牛的理论次数红色无角牛的理论次数T3：3603/16=67.5； 红色有角牛的理论次数红色有角牛的理论次数T4

16、：3601/16=22.5。 或或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5 （四）列表计算（四）列表计算 2 表表 2计算表计算表 =0.5444+1.6333+1.6333+0.9 =4.711 （五）查临界（五）查临界 2值，作出统计推断值，作出统计推断 当当df=3时，时， 20.05(3)=7.81，因，因 20.05，不能否定不能否定H0 ，表明实际观察次数与理论次数差异不，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，显著， 可以认为毛色与角的有无两对性状杂可以认为毛色与角的有无两对性状杂 交交 二二 代代 的的 分分 离离 现现 象象 符符 合合 孟孟 德德 尔遗传规律中

17、尔遗传规律中9 3 3 1的遗传比例。的遗传比例。 TTATTOxiii222)()(例例7.1；7.2（P93;94） 总体参数未知总体参数未知 例例P95，表，表7-1不同之处：要由样本估计出总体参数。不同之处：要由样本估计出总体参数。7.2.3 对正态分布的检验对正态分布的检验（P96）7.2.4 其他类型问题的检验其他类型问题的检验（P97） 一、独立性检验的意义一、独立性检验的意义 对次数资料，除进行拟合优度检验外，有时需对次数资料，除进行拟合优度检验外，有时需要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究两类药物对实验动物某种疾病治疗效果的

18、好坏，先两类药物对实验动物某种疾病治疗效果的好坏，先将动物分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组将动物分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数和未治愈头数。和未治愈头数。 7.3、独立性检验、独立性检验7.3.1 列联表列联表 2 检验检验（P97）这时需要这时需要分析药物种类与疗效是否相关分析药物种类与疗效是否相关，若两者彼此，若两者彼此相关，表明疗效因药物不同而异，即两种药物疗效不相关，表明疗效因药物不同而异，即两种药物疗效不相同；若两者相互独立，表明两种药物疗效相同。这相同；若两者相互独立，表明两种药物

19、疗效相同。这种种根据次数资料判断两类因子彼此相关或相互独立的根据次数资料判断两类因子彼此相关或相互独立的假设检验就是独立性检验假设检验就是独立性检验。独立性检验实际上是基独立性检验实际上是基于次数资料对因子间相关性的研究。于次数资料对因子间相关性的研究。 独立性检验与独立性检验与拟合优度拟合优度检验是两种不同的检验是两种不同的检验方法，除了研究目的不同外，还有以下区检验方法，除了研究目的不同外，还有以下区别：别： （一）（一） 独立性检验的次数资料是按两因子属性类独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进行归组。根据两因子属性类别数的不同而构成别进行归组。根据两因子属性类别数的不同而构成22、2

20、c、rc列联表（列联表（r 为行因子的为行因子的属性类别数属性类别数， c 为为 列列 因子的属性类别数）。而适合性检验只按某一因子的属性类别数）。而适合性检验只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。 （二）拟合优度检验按已知的属性分类理论或学说，（二）拟合优度检验按已知的属性分类理论或学说，计算理论次数。独立性检验在计算理论次数时计算理论次数。独立性检验在计算理论次数时没有现没有现成成的理论或学说可资利用，理论次数是在两因子相互的理论或学说可资利用，理论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算。独立的假设下进行计算。 （三）在拟合优度

21、检验中确定自由度时，只有一个（三）在拟合优度检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次数之和等于各实际次数之和，自约束条件：各理论次数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减由度为属性类别数减1。而在。而在rc列联表的独立性检列联表的独立性检验中，共有验中，共有rc个理论次数，但受到以下条件的约束：个理论次数，但受到以下条件的约束： 1、rc个理论次数的总和等于个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；个实际次数的总和； 2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该个横行中的每一个横行理论次数总和等于该行实际次数的总和行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有独立的行约束条件只有r-1

22、个；个； 3、类似地，独立的列约束条件有、类似地，独立的列约束条件有c-1个。个。 因而在进行独立性检验时，自由度为因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数，即等于（横行属性类别数-1）（直（直列属性类别数列属性类别数-1）。）。 二、独立性检验的方法二、独立性检验的方法 （一）（一）22列联表的独立性检验列联表的独立性检验 22列联表的一般形式如下表所示，其自由度列联表的一般形式如下表所示，其自由度 df=( c -1) (r-1)=(2-1) (2-1)=1，在进行，在进行 2检验时，需作连续性矫检验时，需作连续性矫正，

23、应计算正，应计算 值。值。 2c 表表 22列联表的一般形式列联表的一般形式 其理论数的计算为：其理论数的计算为：总数列总数）行总数）（ ji (ijT 例例 7.3 下表是不同给药方式与给药效果表下表是不同给药方式与给药效果表 给给药方式与给药效果的药方式与给药效果的22列联表列联表 给药方式给药方式有效有效(A1)无效无效(A2)总数总数有效率有效率口服口服(B1)注射注射(B2)58 644031989559.267.4总总 数数12271193 上表称为上表称为22列联表列联表(22 contingency table)。22列联表的列联表的 2 检验一般需经以下各步：检验一般需经以下

24、各步： （1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论上推导出的理论数之间无差异。即上推导出的理论数之间无差异。即H0：OT0。（2）根据概率乘法法则，若事件根据概率乘法法则，若事件A和事件和事件B是相互独立是相互独立的，或者说它们之间并无关联，这时事件的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件和事件B同时出同时出现的概率等于它们分别出现的概率乘积。现的概率等于它们分别出现的概率乘积。)()()(BPAPABP 反过来，若事件反过来，若事件A

25、和事件和事件B同时出现的概率等于它们分同时出现的概率等于它们分别出现的概率的乘积，那么事件别出现的概率的乘积，那么事件A 和事件和事件B是独立的两者无是独立的两者无关联。若事件关联。若事件A和事件和事件B 同时出现的概率不等于它们分布出同时出现的概率不等于它们分布出现的概率的乘积，则这两个事件间是有关联的。现的概率的乘积，则这两个事件间是有关联的。 例例 7.3 的零假设是给药方式与给药效果之间无关联，则的零假设是给药方式与给药效果之间无关联，则口服与有效同时出现的理论频率应为口服的频率与有效的口服与有效同时出现的理论频率应为口服的频率与有效的频率的乘积，频率的乘积，P(BA)P(B)P(A)

26、(98193)(122193)。其理论数其理论数T1应当用理论频率乘以总数得出，应当用理论频率乘以总数得出，T1(98193)(122193)(193)(98)(122)19361.15。同样可以。同样可以计算出另外三种情况的理论数。计算出另外三种情况的理论数。 （3）如吻合度检验那样计算如吻合度检验那样计算 2值。若值。若 2 2，则观察数，则观察数与理论数是一致的，与理论数是一致的， 给药方式与给药效果间无关联的假设给药方式与给药效果间无关联的假设可以成立。若可以成立。若 2 2，则观察数与理论数不一致，说明给，则观察数与理论数不一致，说明给药方式与给药效果间是有关联的，不同的给药方式产生

27、不药方式与给药效果间是有关联的，不同的给药方式产生不同的效果。同的效果。 （4）确定自由度，确定自由度，22列联表的自由度不再是列联表的自由度不再是413，而是而是(r1)(c1)或者写为或者写为(行行1)(列列1)。因为每一行的各理。因为每一行的各理论数受该行总数的约束，论数受该行总数的约束， 每一列的各理论数受该列总数的约每一列的各理论数受该列总数的约束，所以总的自由度只有束，所以总的自由度只有(r1)(c1)。下面计算例下面计算例 1.11的的 2并做推断。首先计算各格的理论数，并做推断。首先计算各格的理论数，从下表中可以看出，从下表中可以看出， 任何一格的理论数等于这格所在的行总任何一

28、格的理论数等于这格所在的行总数乘以这格所在的列总数，再除以总数。在实际计算时，算数乘以这格所在的列总数，再除以总数。在实际计算时，算出出T1以后，可以用列总数减去以后，可以用列总数减去T1得得T3，用行总数减去，用行总数减去T1得得T2，列总数减去列总数减去T2得得T4。 有效有效无效无效总总 数数 口服口服 O158T1(98) (122)19361.95O240T2(98) (71)19336.05 98 注射注射 O364T3(95) (122)19360.05O431 T4(95) (71)19334.95 95总总 数数122 71193391. 1446. 0260. 0433.

29、0252. 044.3433.343105.6005.606405.3605.364095.6195.615822412222iiiiTTO205. 02205. 00,841. 3, 1) 12)(12(,05. 0, 0:dfTOH 结论是用口服方式与注射方式给药的效果没有显著结论是用口服方式与注射方式给药的效果没有显著不同。因为已经接受不同。因为已经接受H0,不必再矫正。不必再矫正。 【例】【例】 某研究用某研究用80头实验动物检验某种疫苗是否头实验动物检验某种疫苗是否有预防效果。结果是注射疫苗的有预防效果。结果是注射疫苗的44头中有头中有 12 头发病，头发病，32头未发病；未注射的头

30、未发病；未注射的36头中有头中有22头发病，头发病，14头未发头未发病，问该疫苗是否有预防效果？病，问该疫苗是否有预防效果？ 1、 先将资料整理成列联表（先将资料整理成列联表（ 22列联表列联表 ） 2、 提出无效假设与备择假设提出无效假设与备择假设 H0：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相互独：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相互独立。立。 HA：发病与否和注射疫苗有关，即二因子彼此相：发病与否和注射疫苗有关，即二因子彼此相关。关。 3、 计算理论次数计算理论次数 根据二因子相互独立的假设，由样本数据计算出根据二因子相互独立的假设，由样本数据计算出各个理论次数。二因子相互独立，就是说注射疫苗

31、与各个理论次数。二因子相互独立，就是说注射疫苗与否不影响发病率。也就是说注射组与未注射组的理论否不影响发病率。也就是说注射组与未注射组的理论发病率应当相同，均应等于总发病率发病率应当相同，均应等于总发病率34/80=0.425=42.5%。依。依 此计算出各个理论次数如下：此计算出各个理论次数如下： 未注射组的理论发病数：未注射组的理论发病数： T21=3634/80=15.3， 或或 T21=34-18.7=15.3； 未注射组的理论未发病数：未注射组的理论未发病数： T22=3646/80=20.7， 或或 T22=36-15.3=20.7。 从上述各理论次数从上述各理论次数Tij的计算可

32、以看到，理论次数的计算可以看到，理论次数的计算利用了行、列总和，的计算利用了行、列总和， 总总和，总总和，4个理论次数仅个理论次数仅有一个是独立的。（括号内的数据为相应的理论次有一个是独立的。（括号内的数据为相应的理论次数）。数）。 4、 计算计算 值值 将表将表7-11中的实际次数、理论次数代入公式得：中的实际次数、理论次数代入公式得： 2criiiiTTO122)5 . 0(3 .15) 5 . 0| 3 .1522(|3 .25) 5 . 0| 3 .2532(|7 .18) 5 . 0| 7 .1812(|2222c944. 77 .20) 5 . 0|7 .2014(|2 5、 由自

33、由度由自由度df=1查临界查临界 2值，作出统计推值，作出统计推断断 因为因为 20.01（1） = 6 . 6 3 ， 而而 =7.944 20.01（1），P0.01，否定，否定H0，接受，接受HA，表明发病率与是否注射疫苗极显著相关，这里表明发病率与是否注射疫苗极显著相关，这里表现为注射组发病率极显著低于未注射组，说表现为注射组发病率极显著低于未注射组，说明该疫苗是有预防效果的。明该疫苗是有预防效果的。 2c （二）（二）2c列联表的独立性检验列联表的独立性检验 2c列联表是行因子的属性类别数为列联表是行因子的属性类别数为2，列因子的，列因子的属性类别数为属性类别数为c（c 3）的列联表

34、。其自由度）的列联表。其自由度d f = (2-1) (c -1) = (c-1)，因为，因为c 3，所以自由度大于，所以自由度大于2，在进行，在进行 2检验时，检验时，不需作连续性矫正不需作连续性矫正。2c表的一般形式见表的一般形式见表：表： 例见P99例7.4 此外，在畜牧、水产科学研究中，有时需此外，在畜牧、水产科学研究中，有时需将数量性状资料以等级分类，如剪毛量分为特将数量性状资料以等级分类，如剪毛量分为特等、等、 一等、二等，产奶量分为高产与低产等，一等、二等，产奶量分为高产与低产等，这些由数量性状资料转化为质量性状的次数资这些由数量性状资料转化为质量性状的次数资料检验，也可用料检验

35、，也可用 2检验。检验。 A、B两个品种产仔数的分类统计两个品种产仔数的分类统计 其中其中Aij（i=1,2,r;j=1,2,c）为实际观察次）为实际观察次数。数。 rc 列列 联联 表各个理论次数的计算方法与上述表各个理论次数的计算方法与上述（22）、（）、（2c）表适合性检验类似。）表适合性检验类似。 【例】【例】 对三组实验动物（每组对三组实验动物（每组39头）分别喂给头）分别喂给不同的饲料，各组发病次数统计如下表，问发病不同的饲料，各组发病次数统计如下表，问发病次数的构成比与所喂饲料是否有关？次数的构成比与所喂饲料是否有关？ 表表 三组动物的发病次数资料三组动物的发病次数资料 检验步骤

36、如下：检验步骤如下： 1、提出无效假设与备择假设、提出无效假设与备择假设 H0：发病次数的构成比与饲料种类无关，即二者：发病次数的构成比与饲料种类无关，即二者相互独立。相互独立。 HA：发病次数的构成比与饲料种类有关，即二者：发病次数的构成比与饲料种类有关，即二者彼此独立。彼此独立。 2、计算理论次数、计算理论次数 对于理论次数小于对于理论次数小于5者，将相邻几个组加以合并（见者，将相邻几个组加以合并（见表表719），合并后的各组的理论次数均大于），合并后的各组的理论次数均大于5。 表表 资料合并结果资料合并结果（注：括号内为理论次数）（注：括号内为理论次数）61.10 1193991939552391652391911722222 4、查临界、查临界 2值，进行统计推断值，进行统计推断 由自由度由自由度df=(4-1)(3-1)=6，查临界，查临界 2值得：值得： 20.05（6）=12.59 因为计算所得的因为计算所得的 20.05，不能否定，不能否定HO ， 可以认为发病次数的构成比与饲料种类相互独立，可以认为发病次数