将军饮马问题

1、0Q第一讲将军饮马问题学习要点与方法点拨一、主要内容（1）将军饮马问题得概念、（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中得应用。3）将军饮马问题与勾股左理。二、本章重点掌握将军饮马问题得概念与解题思路,能解决将军饮马问题与一次函数、坐标系、几何图形与勾股左理等得综合习题。课前预习轴对称得性质与作法;一次函数得性质;勾股左理得性质;三角形、矩形、正方形得性质;三角形得三边关系、平移得性质。模块精讲一、将军饮马问题得概念与基本思路起源:古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名得学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里 专程前来向海伦求教一个百思不得其解得问题：如图，有一位将军从位于A点得军营

2、，返回位于B点得家中，途中需要到达一条小河MN边，让 马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家得过程中，走过得路程最短？精通数理得海伦稍加思索,便作了完善得回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马问在河MN得同一侧，那么，如果A点与B点在河MN得不同侧呢？这时我们好像有一点眉目了，我们要利用得左理就就是:两点之间直线最短，先找线路再找点。 那我们再回到最开始时得问题，就是不就是有了启发呢？思路:为了找线路，可以利用轴对称得原理，先做对称，再转化成三角形得三边关系、例1,如图，一匹马从S点出发，先去河0P边喝水，再去草地00吃草，然后再回到S点、该如何选择线路，使得经过得总路程最短？草地

3、例1图例2图二、将军饮马与坐标系例2,已知A(2, 3)、B(3, 2),M就是x轴上得一个动点，N就是y轴上得一个动点，求AN + NM + BM得最小值，并求出此吋M、N得坐标。思路:作对称 两段折线一作一次对称一转化折线 三段折线一作两次对称一转化折线 连线段一最小值例 3,已知 A(3,4)、B(2, 5). M(O,m)、N (0, m+1)，求 BM+MN+A N 得最小值，并求此时 对应得Hl得值、运用平移得性质例4,已知A(4, 1)、B(-3, 2),试在x轴上找一点C,就是|ACBC I最大，求出点C得坐标与 这个最大值。构造三角形，运用三角形得边长关系三、将军饮马问题解题

4、思路得归纳学习了几个常见得例子，我们再来整理一下思路、首先明白几个概念,动点、定点、对称点、动点一般就就是题目中得所求点，即那个不泄得点。左 点即为题目中固左得点。对称得点,作图所得得点，需要连线得点。1、怎么对称,作谁得对称？简单说所有题目需要作对称得点,都就是题目得定点。或者说只有定点才可以去作对称得、(不确 宦得点作对称式没有意义得)那么作谁得对称点？首先要明确关于对称得对象肯定就是一条线,而不就 是一个点。那么就是哪一条线?一般而言都就是动点所在直线。2、对称完以后与谁连接?一句话:与另外一个顶点相连,绝对不能与一个动点相连、明确一个槪念:定点得对称点也就是一 个定点。3o所求点怎么确

5、定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定就是个交点。实际就就是我化所画直线与已知直线得交点、4o将军饮马一定就是求最短距离不？肯定不就是。或者说求最短距离就是将军饮马中得最简单一类题目。根据将军饮马得基本模型可 以拓展出很多题型、根本原因就是因为在作轴对称过程中不但就是作了点得对称,还作了边长与角度得 对称！或者说边长与角度得对称才就是最关键、四、将军饮马与勾股定理例5,如图，将军得军营在A处，与河岸得距离0 A二4km,将军得家在B处。且QA=7km, QB = 8 km,她下班回家得路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求她下班回家要走得最短路程。0小河AAi2Q例6,如图，ZP

6、OQ二20 , A%0Q上得点,B为OP上得点，且0 A=1,0B=2,在OB上取点A- 在OQ上取点A2，求AAt + AiA2 + A?B得最小值。例7, Z AOB = 45 ,P就是ZAOB内一点,PO =1 0,Q、R分别就是OA、OB上得动点，求APQR周长得最小值。五、三角形、正方形中得将军饮马例&如图，在等边ZABC中，AB=6, AD丄BC, E就是AC上得一点，M就是AD上得一点，且AE=2,求EM+EC得最小值。例8图例9,如图，在锐角ZkABC中，AB=42, ZBAC二45 , ZBAC得平分线交BC于点D, M、N分别 就是AD与AB上得动点，則BM+MN得最小值就

7、是。例10,如图，正方形A BCD得边长为& M在DC上，且DM二2,N就是AC上得一动点，DN + M N得就 小值为O例1 1，在边长为2 cm得正方形ABCD中，点Q为BC边得中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则APBO周长得最小值为cm例12, 次函数y = kx + b得图象与x、y轴分别交于点A(2, 0), B(0,4)(1) 求该函数得解析式；(2) 0为坐标原点，设OA、AB得中点分别为C、D,P为0B上一动点，求PC + PD得最小值, 并求取得最小值时P点坐标、J例13,如图，在坐标系xO y中，有一条河，y河岸分别为x轴与直线MN,直线MN与y轴得 P交点

8、为A (0, 2),P. Q两地位于河得两岸，且P(O,5)、0(5,-1).現在需要在河上架一座桥，(桥必须垂直于河岸).来沟通P、Q两地.求M/BN桥得端点B. C得坐标，使得从P地到Q地得路程最短。)总结:将军饮马问题=轴对称问题二最短距离问题(轴对称就是工具,最短距离就是题眼)。所谓轴对称就是工具，即这类问题最常用得做法就就是作轴对称。而最短距离就是题眼.也就意 味着归类这类得题目得理由、比如题目经常会出现“线段a+b得最小值”这样得条件或者问题。一 旦岀现可以快速联想到将军问题.然后利用轴对称解题。学习效果能将实际问题中得地点、河”、草地”抽象为数学中得点”、“线”，把最短路径问 题

9、抽象为数学中得线段与最小问题，能利用轴对称将处在宜线同侧得两点，变为两点处在直线得异 侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻借推理证 明所求距离最短，在探索问题得过程中,体会轴对称、平移得作用，体会感悟转化得数学思想。课后巩固习丿1, 已知A (1, 4), B1),在x轴上找一点C,使AC+ B C置小。则C点得坐标就是, AC+B C得最小值就是.2, 已知A( 1,3),B(3,1), M就是x轴上一动点,N就是y轴上一动点，则当AN+NM+MB最小时，M得坐标就是, N得坐标就是o3, 已知 A(4,4), B (-1, -3), M (0,

10、 m), N (0, m+ 1 ),当 BM+MN+AN 最小时，点 M 得坐标就是,最小值就是O4, 已知A (4,5), B(2,-2)，在x轴上找一点C,则当|AC-BC I最大时，点C得坐标就是，最大值就是O5, 如图，点A,B位于直线1得同侧，到直线1得距离AC = 1O,BD =30,且CD二30,在直线1上找到一点M,就是A M+BM最短，则灵短距离就是o直线I题5图题6图6, 如图，ZAOB =45，点P在ZAOB内，且0P = 3,点M,N分别为射线OA,OB上得动点，则APMN得周长得最小值为O7, 如图,Z AOB =40,点 P, Q 都在 ZAOB 内，ZA0P =

11、ZB0Q = 1 0 ,且 0P =00 =6,作 点P关于0A得对称点Pi，作点Q关于0B得对称点Gh，则PiQi =AP8, 如图，ZA0B = 60，点 P,Q 都在 Z A0B 内，ZAOP = ZB0Q =15，且 0P 二 & 0 0 = 6。在射线OA、OB上分别存在点M, N,就是PM+MN+NQ得值最小，則最小值就是.9, 如图， ABC中，AB = 2, ZBAC = 30，若在AC、AB上各取一点M. N,使BM+MN得值最小，則这个 最小值就是多少？1 0,如图所示，正方形A BCD得面积为12, AABE就是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P,使PD+PE得与最小，则这个最小值为o11, 如图，若四边形ABCD 就是菱形，AB=10cm, Z ABC=45 ,E为边BC上得一个动点，P为BD 上得一个动点，求PC+PE得最小值。12, 如图，在锐角ZABC中，AB = 4,