第12章逻辑代数基础

1、1. 基本概念电信号：指随时间变化的电压和电流。模拟信号：在时间和幅值上都为连续的信号。数字信号：在时间和幅值上都为离散的信号。模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。数字电路：处理和传输数字信号的电路。模拟信号：时间上连续：任意时刻有一个相对的值。数值上连续：可以是在一定范围内的任意值。例如：电压、电流、温度、声音等。真实的世界是模拟的。缺点：很难度量； 容易受噪声的干扰； 难以保存。优点：用精确的值表示事物。模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。三极管工作在线性放大区。数字信号： 时间上离散：只在某些时刻有定义。 数值上离散：变量只能是有限集合的一个值，常用0、1二进制数表示。 例如：开关通断、

2、电压高低、电流有无。数字化时代：音乐：CD、MP3电影：MPEG、RM、DVD数字电视数字照相机数字摄影机手机数字电路：处理和传输数字信号的电路。三极管工作在开关状态，即饱和区或截止区。模拟量模拟量数字量数字量模拟量和数字量的联系典型数字控制系统框图 （1）数字电路的基本工作信号是用1和0表示的二进制的数字信号，反映在电路上就是高电平和低电平。 （2）晶体管处于开关工作状态，抗干扰能力强、精度高。 （3）通用性强。结构简单、容易制造，便于集成及系列化生产。 （4）具有“逻辑思维”能力。数字电路能对输入的数字信号进行各种算术运算和逻辑运算、逻辑判断，故又称为数字逻辑电路。1. 数字电路的分类（1

3、）按电路结构分类 组合逻辑电路：电路的输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路原来的状态无关。 时序逻辑电路：电路的输出信号不仅与当时的输入信号有关，而且还与电路原来的状态有关。（2）按集成电路规模分类集成度：每块集成电路芯片中包含的元器件数目小规模集成电路(Small Scale IC，SSI)中规模集成电路(Medium Scale IC，MSI)大规模集成电路(Large Scale IC，LSI)超大规模集成电路(Very Large Scale IC，VLSI)特大规模集成电路(Ultra Large Scale IC，ULSI)巨大规模集成电路(Gigantic Scale IC，

4、GSI）划划分分集集成成电电路路规规模模的的标标准准 数数字字集集成成电电路路 类类 别别 MOS IC 双双极极IC 模模拟拟集集成成电电路路 SSI 102 100 30 MSI 102103 100500 30100 LSI 103105 5002000 100300 VLSI 105107 2000 300 ULSI 107109 GSI 109 （1）逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具，应熟练掌握。 （2）重点掌握各种常用数字逻辑电路器件的逻辑功能、外部特性及典型应用。对其内部电路结构和工作原理不必过于深究。 （3）掌握基本的分析方法和设计方法。 （4）本课程实践性很强。应重视习

5、题、基础实验和综合实训等实践性环节。 （5）注意培养和提高查阅有关技术资料和数字集成电路产品手册的能力。 1 1、十进制，每位有、十进制，每位有0909十个数码十个数码 基数为十，逢十进一基数为十，逢十进一143.75 =1143.75 =110102 2+4+410101 1+3+310100 0+7+71010-1 -1 +5+51010-2 -2 任意一个十进制数任意一个十进制数D D均可展开为均可展开为iKDi10任意一个任意一个N N进制数进制数D D可展开为可展开为iNKDiN称为基数， Ki称为第i位的系数， Ni称为第i位的权1. 十进制l数字符号（系数）：0 0、1 1、2

6、2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9l计数规则：逢十进一l基数：1010l权：1010的幂 例：（19991999）10 10 = =（1 110103 3+9+910102 2+9+910101 1+9+910100 0）1010：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。（简称数制）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。例：（101.11）2 = （122+021+120+12-1+12-2）10 =（4+0+1+0.5+0.25）10 =（5.75）10数值越大，位数越多，读写不方便，容易出错！例：（127）8=（182+281+780）1

7、0 =（64+16+7）10 =（87）10例：（2A.7F）16=（2161+10160 +716-1+1516-2 ）10 =（42.4960937）10例：（1011.01）2 = （123+022+121+120+02-1+12-2）10 =（8+0+2+1+0+0.25）10 =（11.25）10例：（1011.01）2 = （123+022+121+120+02-1+12-2）10 =（11.25）1011= 123+022+121+120 = 2 （ 122+021+120）+1S= kn2n+ kn-12n-1+ k121+ k020 = 2 （ kn2n-1+ kn2n-2+

8、 k120）+ k0例：求（217）10 =（）（）2 解： 2 217 余余1 b0 2 108 余余0 b1 2 54 余余0 b2 2 27 余余1 b3 2 13 余余1 b4 2 6 余余0 b5 2 3 余余1 b6 2 1 余余1 b7 0（217）10 =（11011001）2 S= k-12-1-+ k-22-2+ k-m2-m2 S = k-1 + （ k-22-1+ + k-m2-m+1）例：求（0.3125）10 =（ ）2 解： 0.3125 2 = 0.625 整数为整数为0 b- 1 0.625 2 = 1.25 整数为整数为1 b- 2 0.25 2 = 0.

9、5 整数为整数为0 b- 3 0. 5 2 = 1.0 整数为整数为1 b- 4 说明：有时可能无法得到0的结果，这时应根据转换精度的要求适当取一定位数。小数部分的转换：乘2 2取整法。（0.3125）10 =（0.0101）2（101011100101）2 =（101，011，100，101）2=（5345）8（6574）8 =（110，101，111，100）2=（110101111100）2四位二进制数对应一位十六进制数。（10111010110）2 =（0101 1101 0110）2 =（5D6）16十进制二进制八进制十六进制00000001000111200102230011334

10、010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F数码表示不同的事物，称为代码，数码表示不同的事物，称为代码，没有数量的概念没有数量的概念代码的编写规则成为码制代码的编写规则成为码制 BCD码：用一个四位二进制代码表示一位十进制数字的编码方法。 1. 二十进制编码（BCD码）十进制数8421码5421码余3码0000000000011100010001010020010001001013001100110110401000100011150101100

11、010006011010011001701111010101081000101110119100111001100例：（1985）10 =（0001 1001 1000 0101）8421BCD（3）余3码选取00000100和10001100这十种状态。01010111和11011111等六种状态为禁用码。是有权码，从高位到低位的权值依次为5、4、2、1。 选取00111100这十种状态。 与8421码相比，对应相同十进制数均要多3（0011），故称余3码。不是恒权码 具有检错能力，能发现奇数个代码位同时出错的情况。：信息位(可以是任一种二进制代码)及一位校验位。： ，使校验位和信息位所组成

12、的每组代码中含有奇数个1；，使校验位和信息位所组成的每组代码中含有偶数个1。特点：1.每一位的状态变化都按一定的顺序循环。 2.编码顺序依次变化，按表中顺序变化时， 相邻代码只有一 位改变状态。应用：减少过渡噪声 ：专门用来处理数字、字母及各种符号的二进制代码。最常用的：美国标准信息交换码。 用7位二进制数码来表示字符。可以表示27128个字符。加法运算加法运算 10011001+ + 01010101 1110 1110减法运算减法运算 10011001- - 01010101 0100 0100 1001 1001 X 0101 X 0101 1001 1001 0000 0000 100

13、1 1001 0000 0000 010110101011011001100101010101 1000 1000 01010101 0110 0110 01010101 0010 001001010101）1.11.1.11.逻辑：一定的因果关系。逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1849年提出的,所以又称为布尔代数。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。逻辑代数依然用字母表示变量，取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分，不是表示数量而是代表不同的逻辑状态。逻辑代数中的变量

14、称为逻辑变量。逻辑代数中有三种基本运算:与、或、非1. 三种基本逻辑运算 （1）与运算 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。 开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111A A、B B全1，Y Y才为1。设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态；1闭合，0断开；逻辑函数：Y，对应灯的状态， 1灯亮，0灯灭。逻辑表达式： YA BAB符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）；在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图1-1(b)所示，

15、符号“&”表示与逻辑运算。 若开关数量增加，则逻辑变量增加。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 101 1 001 1 11A A、B B、C C全1，Y Y才为1。YA B CABC（2）或运算 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系 ，简称或逻辑 。 开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮ABY000011101111A、B有1，Y就为1。逻辑表达式： YAB符号“”读作“或”（或读作“逻辑加”）。实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如图1-2(b)所示，符号“1”

16、表示或逻辑运算。 （3）非运算 当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。A与Y相反开关A灯Y断开亮闭合灭AY0110实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如图1-3(b)所示。 逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，逻辑表达式： Y YA A Y=AY=A 符号“ ” “ ” 读作“ 非 ” 。1.3.1 基本公式 （1）常量之间的关系 0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意请特别注

17、意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB = BAA + B = B + A结合律结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)利用真值表证明（4）特殊的定理 D De morgene morgen定理定理2. 常用公式 B B：互补：互补A A：公因子：公因子A A是是ABAB的因子的因子A A的反函数的反函数是因子是因子与互补变量与互补变量A A相与的相与的B B、C C是第三项是第三项添加项添加

18、项结合律结合律需记忆在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这个定理就叫代入定理。1.4逻辑代数的基本定理 （1）代入定理 推广利用代入定理可以扩大公式的应用范围。理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。 （2）反演定理运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。1)(0DCBAYCDBAYCDC)BA(CDCAYBY对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的反函数 Y 。这个定理叫做反演定理。 反演变换：“”“”“”“

19、” “0” “1”“1” “0”，原变量反变量反变量原变量 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶式Y。 （3）对偶定理 运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。 ) 1)()0(CABAYCABAY对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。 互为对偶式 对偶定理： 若等式Y=W成立，则等式Y =W也成立。 1. 逻辑函数 输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作 Y = F(A、B、C、D) A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；F为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。表示逻辑函数的

20、方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。逻辑函数 Y = F(A、B、C)真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。1个输入变量有0和1两种取值， n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 111 1 011 1 11三个输入变量，八种取值组合 2. 真值表真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 111 1 0

21、11 1 113. 逻辑表达式 逻辑表达式Y=A（B+C）4. 逻辑图 逻辑表达式Y=A（B+C）5. 波形图 逻辑函数的输入值与对应的输出值按时间顺序排列起来，得到的图形称为波形图ABCY由真值表写出逻辑表达式A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 10A=0，B=1，C=1乘积项 ABC=1逻辑表达式 Y=ABC+ABC+ABCA=1，B=0，C=1乘积项 ABC=1A=1，B=1，C=0乘积项 ABC=1由真值表写出逻辑表达式的方法为： 找出使输出为1的输入变量取值组合； 每个组合中输入变量取值为1用原变量表示，取值为0的用

22、反变量表示，则可写成一个乘积项； 将乘积项相加即得。 Y=ABC+ABC+ABCA B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 10逻辑表达式 Y=ABC+ABC+ABCA B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 10 将输入变量的各种取值逐一代入逻辑式，计算出Y的值，将计算结果列表即可逻辑表达式 用图形符号代替逻辑式中的运算符号，即可画出逻辑图CCBACBAY从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式即可BABABA)BA)(BA(BABAYA B CY0 0 000 0

23、 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 10ABCYA B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 10ABCY1.5.3逻辑函数的两种标准形式 1最小项 ) ( A ,B ,CFY 3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项CBACBACBABCACBACBACABABC1最小项 的取值（2）最小项的性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1； 全体最小项之和为1； 任意两个最小项的乘积为0。 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。若两个最小项只有一个因子不

24、同，若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性则称这两个最小项具有相邻性CBCBAACABCBA)(全体最小项之和为1；任意两个最小项的乘积为0ABCCABCBACBABCACBACBACBAFCBACBAF最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。 表1-18 三变量最小项的编号表 最大项的定义:在n变量逻辑函数中，若M为n个变量和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。 (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C

25、), (A+B+C),(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C),(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), 2、最大项 （2）最大项的性质 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0； 全体最大项之积为0； 任意两个最大项之和为1。 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和 （A+B+C）(A+B+C)=A+B(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C),(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (

26、A+B+C), 000 001 010 011000 001 010 011(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C),(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), 100 101 110 111100 101 110 111最大项也可用“Mi” 表示，下标“i”即最大项的编号。编号方法：把最大项取值为0所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最大项的编号。(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C),(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), 000000M M0

27、 0 001 001 M M1 1 010 010M M2 2 011 011M M3 3(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C),(A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), (A+B+C), 100100M M4 4 101 101M M5 5 110 110M M6 6 111 111M M7 7M Mi = i = m mi i m m0 0=ABC,m=ABC,m0 0=ABC=A+B+C=M=ABC=A+B+C=M0 0 3、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种

28、最小项表达式。例1-7将Y=ABC+BC展开成最小项表达式。 解： BCAABCCABBCAACABBCCABY)()7 , 6 , 3(),(763mmmmCBAY或： 1AA 4、最大项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最大项之积的形式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最大项表达式。iiMY 最大项表达式与最小项表达式关系ikkikkikkikkiiMmmYmYmY例1-7将Y=ABC+BC展开成最大项表达式。 解： )()()()()5 , 4 , 2 , 1 , 0()7 , 6 , 3()(CBACBACBACBACBAkMimBCAABCCABBCAACABBCC

29、ABYikkiCBACACDCBACACD)BC(AACD)BC(ABCDCACBABYCBACY 上式称为与或逻辑式， 在与或逻辑式中，若包含的乘积项最少，而且每个乘积项的因子最少时，称为最简与或逻辑式由与或式可以化成其他形式，但结果不一定最简BDCBCABY例1.6.1化成与非-与非的形式BDCBCABBDCBCABYBDCBCABBDCBCABYY1.6.2. 公式化简法 反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算规则进行化简，又称为代数化简法。必须依赖于对公式和规则的熟练记忆和一定的经验、技巧。 例1-1 化简函数CBACBAY解： BACCBACBACBAY)(例化简函数解： CBA

30、CBACBACBAYAABBACCABCCBAY)()( （1）并项法 利用公式A+A=1或公式AB+AB=A进行化简，通过合并公因子，消去变量。 （2）吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例1-2 化简函数解： 例化简函数解： )(FECDBABAYBAFECDBABAY)()(EFFEDABCDCDABYDCDABEFFEDABCDCDABY)(例1-3 化简函数解： （3）消项法 利用公式 进行化简。DB)(A)CBA(E)(BDCDB)(A)CBA(E)(DBCD)BA(AB)C(AABABAYCAABCCAABBE)(DBC)DBA(AB)C(ABABAY例1-4 化

31、简函数解： 例化简函数解： （4）消因子 利用公式A+AB=AB进行化简，消去多余项。CBCAABYCABCABABCBAABCBCAABY)(FEFEABCDY)(FEABCDFEABCDFEFEABCDFEFEABCDY)()(例1-5 化简函数解： （5）配项法 在适当的项配上A+A=A进行化简。 ABCBCACBAYBCBA)ABC(AC)CB(ABC)AABC(BC)ACBA(BCAABCBCACBAABCBCACBAY例1-5 化简函数解： 在适当的项配上A+A=1进行化简。 BACBCBBAYCACBBABBCACBBABCACBACBACBACBBACCBACBAACBBABA

32、CBCBBAY)()()(下面举一个综合运用的例子。DEBADBCA)CB(ADCDBCBC AY解： DBCBDCDBCBDEBAADCDBCBCDEBA)CB(ADCDBCBCDEBADBCA)CB(ADCDBCBCAAAAAY 公式化简法评价：特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。 与公式化简法优缺点正好互补的卡诺图化简法。当变量个数超过4时人工进行卡诺图化简较困难，但它是一套完整的方法，只要按照相应的方法就能以最快的速度得到最简结果。 公式化简法评价：优点：变量个数不

33、受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。1.7.1逻辑函数的卡诺图表示法 1、表示最小项的卡诺图 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图5变量最小项的卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。 例1.7.1 画出函数的卡诺图。 2. 用卡诺图表示逻辑函数 BAACDD

34、BADCB AY)15,11,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 1 (m)D)(DC(CBA)CDBA(BD)CB(CADCBBAACDDBADCBAAY)15,11,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 1 (m)D)(DC(CBA)CDBA(BD)CB(CADCBBAACDDBADCBAAY 由卡诺图到逻辑函数式CBAABCCBACBAY 1.7.2用卡诺图化简逻辑函数式 （1）卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。 合并2N个最小项，可消去N个变量。 由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式A+A=1，ABABA，可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。 （2）利用卡诺图化简逻辑函数 A基本步骤： 将函数化为最小项之和的形式；画出表示该逻辑函数的卡诺图； 找出可以合并的最小项。关键是能否找出最小项 。 B选取乘积项的原则 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项 所用乘积项数目最小； 每个乘积项包含的因子最少。例1.7.3 用卡诺图化简逻辑函数CBCBCACAYCB