E压杆稳定PPT学习教案

1、会计学1E压杆稳定压杆稳定 细长松木直杆的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与 受压时变弯 有关。：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的刚度。：1，压杆在制作时其轴线存在初曲率；2，作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆 的轴线相重合；3，压杆的材料不可避免地存在不均匀性。第第2页页/共共64页页第1页/共64页11-1 压杆稳定性的概念（1）压杆的稳定性压杆保持其直线平衡状态的能力。（2）丧失稳定 压杆不能保持直线平衡状态而发生的破坏。（简称失稳） 1、概念：第第3页页/共共64页页第2页/共64页2、为什么要研究压杆的稳定性问题？实例实例1 1：加拿大魁北克大桥：加拿大魁北克

2、大桥第第4页页/共共64页页第3页/共64页实例2：脚手架失稳压杆稳定性问题尤为重要！压杆稳定性问题尤为重要！第第5页页/共共64页页第4页/共64页3、研究压杆的稳定性问题，关键是什么呢？：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲的初始因素） 假想地在杆在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力。：第第6页页/共共64页页第5页/共64页第第7页页/共共64页页第6页/共64页crPP 稳定平衡状态 crPP 临界平衡状态 crPP 不稳定平衡状态 关键确定压杆的临界力 压杆 平衡状态（2）弹性压杆的稳

3、定性 第第8页页/共共64页页第7页/共64页 不加横向干扰力时，压杆处于直线形式的平衡；加一微小横向干扰力并将它撤掉后，压杆在临界力的作用下，可保持在微弯状态的平衡。临界状态实质上是一种 状态。压杆处于不的状态时，就称为丧失稳定性（失稳）。受压构件承受的压力必须小于临界力受压构件承受的压力必须小于临界力 F Fcr cr 。临界状态特点：第第9页页/共共64页页第8页/共64页 中心压杆的临界荷载中心压杆的临界荷载 F Fcrcr ，就是能保持微弯状态的荷载。，就是能保持微弯状态的荷载。 因此，在理论分析中首先要找出每一具体情况下杆的因此，在理论分析中首先要找出每一具体情况下杆的挠曲挠曲线微

4、分方程线微分方程，而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载，而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载 。112 细长中心压杆的临界荷载 此类细长的受压杆当此类细长的受压杆当 F F 达到达到 FCr 时，材料仍处于弹性时，材料仍处于弹性阶段，这问题称为阶段，这问题称为弹性稳定弹性稳定问题。问题。 当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：既可保持直线形式的平衡；又可保持微弯形式的平衡。第第10页页/共共64页页第9页/共64页xyFcrlzy xw任意截面的弯矩方程为任意截面的弯矩方程为cr( )F ()M xw 挠曲线的近似微分方程（线弹性，小变形，且不计剪切对变形的影响）zcrEI( )F ()wM

5、 xw EIFwEIFwzcrzcr 令令kEIFzcr2一、一端固定另一端自由，长为l 的细长压杆的临界荷载 。第第11页页/共共64页页第10页/共64页xyFcrlzy xwEIFwEIFwzcrzcr kEIFzcr2kwkw22 方程的解为方程的解为kxBkxAwcossinA，B，k 均为待定的量均为待定的量压杆的两个独立的边界条件压杆的两个独立的边界条件0, 00, 0wxwx第第12页页/共共64页页第11页/共64页xyFcrlzy xwkEIFzcr2kwkw22 kxBkxAwcossin压杆的两个独立的边界条件压杆的两个独立的边界条件0, 00, 0wxwx将边界条件代

6、入方程得将边界条件代入方程得BA, 0方程变为方程变为)cos1 (kxw第第13页页/共共64页页第12页/共64页xyFcrlzy xwkEIFzcr2)cos1 (kxw当此方程成立时应有当此方程成立时应有wx=l从而从而)cos1 (kl0coskl,25,23,2kl)2(22lEIFzcr第第14页页/共共64页页第13页/共64页xyFcrlzy xw)2(22lEIFzcr该式为该式为一端固定，一端自由一端固定，一端自由压压杆杆的临界荷载的计算公式。的临界荷载的计算公式。式中，Iz 是杆在 Fcr 作用下微弯时横截面对于形心主惯性轴 z 的惯性矩。第第15页页/共共64页页第1

7、4页/共64页Fcrxylzy xw)2(22lEIFzcrxylzy第第16页页/共共64页页第15页/共64页xylzy在在 “偶然偶然” 因素下，杆将在因素下，杆将在 xz 平面内弯曲，平面内弯曲，Fcr 计算公式中的计算公式中的惯性矩应为惯性矩应为Iy。)2(22lEIFycr第第17页页/共共64页页第16页/共64页二、两端为铰支（球形铰支），长为l 的 细长 压杆。FcrwxMFcr)(mxmwxwolFcrFcrmmxwBwFCr第第18页页/共共64页页第17页/共64页压杆任一压杆任一 x 截面沿截面沿 y 方向的方向的位移为位移为 w = f (x)该截面的弯矩为该截面的

8、弯矩为wFxMcr)(杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为wFxMEIwcr)(wFxMcr)(mmxwBw第第19页页/共共64页页第18页/共64页其中其中 I 为压杆横截面的为压杆横截面的最小形心主惯性矩。最小形心主惯性矩。令令kEIFcr2则有二阶常系数线性微分方程则有二阶常系数线性微分方程wFxMEIwcr)(02wkwwFxMcr)(mmxwBw第第20页页/共共64页页第19页/共64页kEIFcr2其通解为其通解为kxCkxCwcossin21C1 ， C2 两个待定常数由该挠两个待定常数由该挠曲线的两个边界条件确定。曲线的两个边界条件确定。02wkwmxmwxwo

9、lFcrFcr第第21页页/共共64页页第20页/共64页边界条件：ox 0wlx mxmwxwolFcrFcrkxCkxCwcossin210w将将 x = 0，w = 0 代入通解代入通解得得C2 = 0其通解为kxCwsin1第第22页页/共共64页页第21页/共64页mxmwxwolFcrFcr将将 x = l，w = 0 代入通解得代入通解得kxCwsin10sin1klC01C因因所以所以0sinkl), 2 , 1 , 0(nnlk 第第23页页/共共64页页第22页/共64页), 2 , 1 , 0(nnlk kEIFcr2lnk2222 ), 2, 1 , 0(222nlEI

10、nFCr n 0，否则，否则 FCr=0 。取 n = 1mxmwxwolFcrFcr第第24页页/共共64页页第23页/共64页mxmyxyolFcrFcrlEIFCr22 上式为两端铰支上式为两端铰支细长细长压杆的压杆的临界力计算公式（欧拉公式）临界力计算公式（欧拉公式）第第25页页/共共64页页第24页/共64页（1）两端绞支）两端绞支lEIFcr22 （2）一端固定另绞支端）一端固定另绞支端AFcrlBcl 7 . 0)7 . 0(22lEIFcr C 为拐点为拐点三、其它支承情况下细长压杆的临界力第第26页页/共共64页页第25页/共64页PcrABlcDl 50.（3）一端固定一端

11、可上下移动）一端固定一端可上下移动)5 . 0(22lEIFcr C，D 为拐点为拐点( 两端固定 )第第27页页/共共64页页第26页/共64页lPcr（4）一端固定另端自由）一端固定另端自由l2)2(22lEIFcr 第第28页页/共共64页页第27页/共64页（5）一端嵌固另一端可水平移动但不能转动）一端嵌固另一端可水平移动但不能转动0.5llFcrCC是反弯点是反弯点lEIFcr22 第第29页页/共共64页页第28页/共64页两端绞支两端绞支一端固定另绞支端一端固定另绞支端)5 . 0(22lEIFcr )7 . 0(22lEIFcr 一端固定另端自由一端固定另端自由)2(22lEI

12、Fcr lEIFcr22 表表111 各种支承情况下等截面细长压杆的临界力公式各种支承情况下等截面细长压杆的临界力公式 支承情况临界力的欧拉公式长度因数长度因数 一端嵌固另一端可水平移动但不能转动lEIFcr22 一端固定一端可上下移动一端固定一端可上下移动第第30页页/共共64页页第29页/共64页两端绞支两端绞支一端固定另端绞支一端固定另端绞支两端固定两端固定一端固定另端自由一端固定另端自由支承情况临界力的欧拉公式长度因数长度因数 一端嵌固另一端可水平移动但不能转动欧拉公式 的统一形式)(22lEIFcr 为长度因数 = 1 = 0.7 = 0.5 = 2 = 1)5 . 0(22lEIF

13、cr )7 . 0(22lEIFcr )2(22lEIFcr lEIFcr22 lEIFcr22 第第31页页/共共64页页第30页/共64页讨论讨论)(22lEIFcr 为长度系数为长度系数 l 为相当长度为相当长度（1）相当长度 l 的物理意义(a) 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当相当长度长度 l 。(b) l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度第第32页页/共共64页页第31页/共64页（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I(a) 若杆端在各个方向的约束

14、情况相同（球形绞等），则 I应取最小的形心主惯性矩。)(22lEIFcr 为长度系数为长度系数 l 为相当长度为相当长度第第33页页/共共64页页第32页/共64页zy取取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力。中小的一个计算临界力。xba123baIy123abIz第第34页页/共共64页页第33页/共64页(b) 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对中性轴的惯性矩。)(22lEIFcr 为长度系数为长度系数 l 为相当长度为相当长度第第35页页/共共64页页第34页/共64页zy分别用分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界力。最后取小

15、的一个作为压计算出两个临界力。最后取小的一个作为压杆的临界力。杆的临界力。x)()(22lEIFyyCry)()(22lEIFzzCrz第第36页页/共共64页页第35页/共64页例题例题： 由由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。在在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支， z = 1，长度为长度为 l1 。在。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定定 y = 0.6 ，长度为，长度为 l2 。求。求 Pcr。zy22126624第第37页页/共共64页页

16、第36页/共64页zy22126624解：解：在在 xy平面内失稳时，平面内失稳时，z 为中性轴为中性轴)(6221212241212133 Iz)(1562222 )()(lIElIEPzzcrz11122221 第第38页页/共共64页页第37页/共64页在在 xz平面内失稳时，平面内失稳时，y 为中性轴为中性轴).()(lIElIEPyycry226022222 2261212122412133 )(Iy,minPPPcrcrcr21 zy22126624第第39页页/共共64页页第38页/共64页一、欧拉公式的适用范围一、欧拉公式的适用范围1、 压杆的临界应力公式压杆的临界应力公式 （

17、临界应力欧拉公式）（临界应力欧拉公式）压杆受临界荷载 Fcr 作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算。113 欧拉公式的适用范围 临界应力总图第第40页页/共共64页页第39页/共64页按各种支承情况下压杆临界荷载的欧拉公式算出压杆横截面按各种支承情况下压杆临界荷载的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为：上的应力为：AlEIAFcrcr)(22 AIi 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。为压杆横截面对中性轴的惯性半径。2222222crcrFEIEEiAlAll i第第41页页/共共64页页第40页/共64页il )/(22ilEAFcrcr 称为压杆的柔

18、度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。第第42页页/共共64页页第41页/共64页22Ecr 越大，相应的越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。crcrFA第第43页页/共共64页页第42页/共64页2、 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围只有在只有在 cr P 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的计算压杆的临界荷载临界荷载 Fcr（或临界应力（或临界应力 cr ）。）。PcrE22或或PPPEE2第第44页页/共共64页页第43页/共64页 当当 P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用（大柔度压杆

19、或细长压杆）时，才能应用 欧拉公式。欧拉公式。P 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206MPa，P=200MPa，得100PPEPPPEE2 PPE 第第45页页/共共64页页第44页/共64页右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。22Ecr cr)(il OPP22Ecr 第第46页页/共共64页页第45页/共64页当当 P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式，（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式，是按理想中心受压杆得到的。事实上对于是按理想中心受压杆得到的。事实上对于 比比 P大得不太多的大得不太多的实际压杆

20、，由于有偶然偏心和型钢在轧制时产生的残余应力实际压杆，由于有偶然偏心和型钢在轧制时产生的残余应力等，就会在弯压组合下因弹塑性变形丧失承载能力。因此欧等，就会在弯压组合下因弹塑性变形丧失承载能力。因此欧拉公式已不适用。拉公式已不适用。PPPEE2 PPE 有的钢结构设计规范中，对于由有的钢结构设计规范中，对于由 Q215，Q235 和和 16Mn 钢制钢制作的压杆，根据实验资料规定，对于作的压杆，根据实验资料规定，对于 c ，不是不是 P 的的压杆才能用压杆才能用欧拉公式欧拉公式求临界应力。求临界应力。20.57csE第第47页页/共共64页页第46页/共64页 当当 c 时，临界应力的计算是采

21、用抛物线型的半经验公时，临界应力的计算是采用抛物线型的半经验公式。式。21crsc对于由 Q215，Q235 和 16Mn 钢制作的压杆，式中 取为 0.43。第第48页页/共共64页页第47页/共64页二、临界应力总图二、临界应力总图0.57 scrPcP22Ecr 双曲线双曲线抛物线21crsc第第49页页/共共64页页第48页/共64页例题例题 ：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相等。问哪个杆先失稳。料及直径相等。问哪个杆先失稳。daPAP1. 6acP1.3aB第第50页页/共共64页页第49页/共64页杆杆B： =1al3

22、1. 杆杆C： =0.7aal1216170. 杆杆A： = 2al2 解：解：A杆先失稳杆先失稳)(22lEIFcr daPAP1. 6acP1.3aB第第51页页/共共64页页第50页/共64页例题例题 ：截面为圆形，直径为：截面为圆形，直径为 d 两端固定的两端固定的 细长压杆细长压杆 和截和截面为正方形，边长为面为正方形，边长为 d 两端铰支的两端铰支的 细长压杆细长压杆，材料及柔度，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。解：解：圆形截面杆：圆形截面杆：441641241dddAIi dldlil24501111 .)(第第52页页/共共

23、64页页第51页/共64页12121242dddAIi 正方形截面杆：正方形截面杆：dldlil321212222 )(由由 1 = 2 得得dldl21322 所以所以321 lldldlil24501111 .)(第第53页页/共共64页页第52页/共64页ldEldEEcr124222222121221121321 llEE21 dl211 dl 3222 1222222222212CrcrldEE4412221221121 ddAAAAPPcrcrcrcr第第54页页/共共64页页第53页/共64页例题例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径两杆均为圆截面杆，其直径 D=0.08m，E=200GPa， P=200MPa，容许应力容许应力 =160MPa。由稳定条件求此结构的极限荷载由稳定条件求此结构的极限荷载Pmax600300ABCP4m第第55页页/共共64页页第54页/共64页APNABNAC解：解：2PNAB23PNAC2 3ABlm2AClm由平衡方程由平衡方程计算出计算出600300ABCP4m第第56页页/共共64页页第55页/共64页99PPEPABABil173PACACil100两杆都可用欧拉公式。两杆都可用欧拉公式。mDi02. 04APNABNAC600300ABCP4第第57页页/共共64页页第56页/