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1、实用文档等比数列知识点并附例题及解析a*1、等比数列的定义： ， 称为 公比nq q 0 n 2,且n N q an 12、通项公式：an 1 1 n na a1q q A B a1 q 0,A B 0nq，首项： ；公比：a q1推广：n m n m n na aa a q q qn mn ma am m3、等比中项：（1）如果 a, A,b 成等比数列，那么 A 叫做 a与b的等差中项，即：2A ab A ab或注意： 同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项 有两个 （2）数列 a 是等比数列n2a a an n 1 n 14、等比数列的前 n项和 S 公式：n（1）当q 1时

2、，S nan 1（2）当q 1时，Snna1 1 q a1 a qn1 q 1 qa an n n1 1 q A A B A B A1 q 1 q（ 为A,B, A,B 常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 n，都有an 1a 1 qa q(q a 0) a 或为常数，n n n nan为等比数列2（2）等比中项： 为等比数列a a 1a 1(a 1a 1 0) a n n n n n nn（3）通项公式： 0 为等比数列a A B A B an n6、等比数列的证明方法：文案大全实用文档a*依据定义：若 0 且 或an 1 qan an 为等比数列nq q n 2, n N

3、an 17、等比数列的性质：* n m （2）对任何 m n N ，在等比数列 an 中，有 。, a a qn m（3）若m n s t( m,n, s,t N* ) ，则 。特别的，当 时，a a a a m n 2kn m s t得 2 注：a a a a1 an a2 an 1 a3an 2n m kkk（4）数列a ，bn 为等比数列，则数列 ，k an ， a ，k an bn ，n nana nbn（k 为非零常数）均为等比数列。（5）数列 为等比数列，每隔 项取出一项*a k(k N )n(a ,a ,a ,a , )m m k m 2k m 3k仍为等比数列（6）如果 是各项

4、均为正数的 等比数列 ，则数列 a an 是等差数列a log n（7）若a 为等比数列，则数列 Sn ，S2n Sn ，S3n S2n , ，成等比数列n（8）若a 为等比数列，则数列 a1 a2 an ，an 1 an 2 a2n ，na a a2n 1 2n 2 3n成等比数列（9）当 q 1时，a a0，则为递 增数列1 na 0 a ，则为递减数列1 n当0q 1时，a 0，则为 a递减数列1 na 0，则为 a递增数列1 n当q 1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ；当q 0 时, 该数列为摆动数列 .*（10）在等比数列 a 中，当项数为 2n(n N ) 时，nS1奇

5、S q偶二 例题解析【例 1】 已知 Sn 是数列a n 的前 n 项和，Snpn(pR，nN*)，那么数文案大全实用文档列an（ ）A是等比数列 B 当 p0 时是等比数列BC当 p0，p1 时是等比数列 D 不是等比数列【例 2】 已知等比数列 1，x1，x 2，x 2n，2，求x1x2x3x2n1【例3】 a (1) a = 4 a等比数列 中， 已知 ， ，求通项公n 2 52式；(2) 已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6 的值【例 4】 求数列的通项公式：(1)a n 中，a12，an+13an2(2)a n 中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0三、 考点

6、分析考点一：等比数列定义的应用1 41、数列 满足 ， ，则a _a 1a a n 2 an n n 1 43 32、在数列 a 中，若 a1 1，an 1 2an 1 n 1 ，则该数列的通项nan_文案大全实用文档考点二：等比中项的应用1、已知等差数列 a 的公差为 2 ，若 a1 ，a3 ，a4成等比数列，则 a2 （n）A 4 B 6 C 8D 1022、若a、b 、c成等比数列，则函数 的图象与 轴交点的个数为y ax bx c x（ ）A0 B1 C 2 D不确定203、已知数列 a 为等比数列， a3 2， 2 4 ，求 的通项公式a a an n3考点三：等比数列及其前 n 项

7、和的基本运算1、若公比为 2 的等比数列的首项为 ，末项为 ，则这个数列的项数是（9 13 8 3）A3 B 4 C 5 D 62、已知等比数列 a 中， a3 3 ，a10 384，则该数列的通项nan_3、若 为等比数列，且 ，则公比 _a 2a4 a6 a5 qn2a a4、设a ，a2 ，a3 ，a4 成等比数列，其公比为 2 ，则 的值为（ ） 1 212a a3 4 1 1 1A B C D 4 2 815、等比数列 an 中，公比 q= 且 a2+a4+a100=30，则21a1+a2+a100=_.考点四：等比数列及其前 n 项和性质的应用1、在等比数列 中，如果 ， ，那么

8、为（ ）a a6 6 a9 9 a3n3 16A4 B C D2 92文案大全实用文档2、如果 1，a，b，c ， 9成等比数列，那么（ ）Ab 3，ac 9 Bb 3，ac 9Cb 3，ac 9 D b 3，ac 93、在等比数列 a 中，a1 1，a10 3，则 a2a3a4a5a6a7a8a9 等于（ ）n5A81 B27 27 C 3 D2434、在等比数列 中， ， ，则 等于（a a9 a10 a a 0 a19 a20 b a99 a100n）99 10b b bA B C D8 9a a a10ba2 5 05、在等比数列 a 中，a3 和a5 是二次方程 x kx 的两个根，

9、则 a2a4 a6 的n值为（ ）A25 B5 5 C 5 5 D 5 56、若 是等比数列，且 ，若 ，那么 的值a an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 a3 a5n等于S , ( n 1)1考点五：公式 的应用anS S , ( n 2)n n 11、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+an，满足条件 log 2Sn=n，那么an是( )1A.公比为 2 的等比数列 B. 公比为 的等比数列2C.公差为 2 的等差数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1，则前 n项的平方和为 ( )1 1A.(2 n-1) 2 B. (2 n-1)

10、2 C.4n-1 D. (4n-1)3 33、设等比数列 an的前 n 项和为 Sn=3n+r ，那么 r 的值为_.一、等差和等比数列比较：文案大全实用文档等差数列 等比数列an 1定义 an 1 an d ( 0)q qan递推公式an n 1 ； an am n md an an 1q ；a dnan a qmm通项公 式an a1 (n 1) dn 1an a q （ a1, q 0 ）1中项an ak n k * n f k f * n f k fA （n, k N , 0 ） G an k an k (an k an k f 0) （ , , 0n k N ）2前n 项和nSn (

11、a a)1 n2Snna1n( n 1) 2dSnna (q1a111qq1)na11anqq(q 2)重要am an ap aqam an a p aqm n p q N * m n p q* m n p q性质 ( , , , , )(m, n, p, q N , )* m n p q* m n p q二、 等差数列的定义与性质定义：a a d （d 为常数）， 通项： an a1 n 1 dn 1 n等差中项： x，A y 成等差数列 2A x y前n项和：a a n n n 11 nS na dn 12 2性质：a 是等差数列n（1）若m n p q，则a a a a ；m n p q

12、（2）数列 仍为等差数列，a2n , a n , a n1 2 2 1S，S S S S 仍为等n 2n n 3n 2n差数列，公差为 n d ；（3）若a ，b 是等差数列，且前 n 项和分别为n nS，T ，则n na Sm 2m 1b Tm 2m 1（4）a 为等差数列n2S an bn （a，b 为常数，是关于 n的常数项为 0 的n文案大全实用文档二次函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数 2n 的等差数列an有，S2n n( a1 a2n ) n(a2 a2n 1 ) L n(an an 1 )(an ,an 1为中间两项 )S偶S奇ndS a奇n， .S a偶n 1(6)项

13、数为奇数 2n 1的等差数列 an ，有S2n (2n 1)an (an为中间项1)Sn奇， S S a ， .奇偶 nS n 1偶三、等比数列的定义与性质a定义： n 1anq（q 为常数， q 0 ），通项：n 1a a q .n 1等比中项： x、G y 成等比数列 G2 xy ，或G xy.na (q 1)1前n项和：nS a q1n 11 q(q 1)（要注意 q ！）性质：a 是等比数列n（1）若m n p q，则aa aam n p q（2）nS ，S S S S 仍为等比数列 ,公比为 q .n 2n n 3n 2n四、数列求和的常用方法：1 、裂项分组法：1 1 1 1 L1

14、 2 2 3 3 4 n n 1（） 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) L ( ) 1 2 2 3 3 4 n n 11 1 n1 n 1 n 1、1 1 1 11 ,2 ,3 ,4 , nL 前前前前前 3 9 27 81 1 1 1 1前+1+2+前3+前+4+L前 L 3 9 27 81文案大全实用文档2、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，例：求：2 3 n-2 n-1 nS =x 3x 5x L (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)n解：2 3 n-2 n-1 nS =x 3x 5x L (2n-5)x (

15、2n-3)x (2n-1)x (x 1)n2 3 4 n-1 n n+1xS =x 3x 5x L (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)n 减 得：2 3 n-1 n n+1 (1 x)S =x 2x 2x L 2x 2x 2n 1 xn2 n-1 2x 1 xn+1x 2n 1 x 1 x从而求出S 。n错位相减法的步骤：(1) 将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式；(2) 将式左右两边都乘以公比q，得到式；(3) 用 ，错位相减；(4) 化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和：S =a a a L a a an 1 2 3 n 2

16、n 1 nS =a a a L a a an n n 1 n 2 3 2 1两式相加可得：2S = a a a a a a L a a a a a an 1 n 2 n 1 3 n 2 3 n 2 2 n 1 1 n即 ：2 Sn n a a1 n所以Snn a a1 n2等比数列 例题解析【例 1】 已知 Sn 是数列 a n 的前 n 项和， Snpn(pR，nN*) ，那么数列a n 文案大全实用文档A是等比数列B当 p0 时是等比数列C当 p0，p1 时是等比数列D不是等比数列【例 2】 已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3 x2n1【例 3】 等比数列 a 中，

17、(1) 已知 a = 4，a ，求通项公n 2 52式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4 a5a6 的值【例 4】 已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数x1，x2，xn，使得 a，x1，x2， ，xn，b 成等比数列，求a b证 x x x n n1 2 2【例 5】 设 a、b、c、d 成等比数列，求证： (bc)2(ca)2(db)2(ad)2【例 6】 求数列的通项公式：(1)a n 中，a12，an+13an2(2)a n 中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0文案大全实用文档2 2 2 【例7】 a a a a (a a )a 2a若

18、实数 、 、 、 都不为零，且满足 1 2 3 4 1 2 4 22 2(a a )a a a = 0求证：a 、a 、a 成等比数列，且公比为 a 1 3 4 2 3 1 2 3 4【例 8】 若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值【例 9】 已知等差数列 a n 的公差和等比数列 b n 的公比都是 d，又知d1，且 a4=b 4，a10=b 10：(1)求 a1 与 d 的值；(2)b 16 是不是 a n 中的项？1 21an【例10】 设a 是等差数列， b = ( ，已知 ，) b b b = n n 1 2 32 8b b b

19、=1 2 318，求等差数列的通项【例 11】 三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数文案大全实用文档【例 12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数【例 13】 已知三个数成等差数列，其和为 126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84求这两个数列【例 14】 已知在数列 a n 中，a1、a2、a3 成等差数列， a2、a3、a4 成等比数列， a3、a4、a5 的倒数成等差数列，证

20、明： a1、a3、a5 成等比数列【例 15】 已知 (bc)log mx(ca)logmy(ab)log m z=0(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证： x，y，z 成等比数列(2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证： a，b，c 成等差数列等比数列 例题解析【例 1】 已知 Sn 是数列 a n 的前 n 项和， Snpn(pR，nN*) ，那么数列a n A是等比数列文案大全实用文档B当 p0 时是等比数列C当 p0，p1 时是等比数列D不是等比数列 n(nN*) ，有 a1=S1p，并且当 n2 时，分析 由 Snpan=S nSn-1pnp

21、n-1(p1)p n-1p0故 ，因此数列 成等比数列a = (p 1)p a 2 np 1 0 n 1(p 1)pp(p 1)n 2(p 2)p p但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D说明 数列a n成等比数列的必要条件是 an0(nN*) ，还要注an意对任 nN * ，n2， 都为同一常数是其定义规定的准确含义an 1【例 2】 已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3 x2n解 1，x1，x2，x 2n，2 成等比数列，公比 q21q2n+1x1x 2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+ +2n2n(1+2n)= q2 qn ( 2 n 1) 2 n

22、1【例 3】 等比数列 a 中， (1) 已知 a = 4，a ，求通项公n 2 52式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4 a5a6 的值1解 (1)a = a q q =5 221 1n 2 n 2 n 4a a q 4( ) ( )n 22 22 3(2)a a a a a a a = 83 5 4 3 4 5 4a4 22又 a a a a a2 6 3 5 45a a a a a = a = 322 3 4 5 6 4【例 4】 已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数文案大全实用文档x1，x2，xn，使得 a，x1，x2， ，xn，b 成等比数列，求a

23、 b证 x x x n1 2 2n证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q，则 b=aqn+1qn 1ban 1n n n2 x x x aqaq aq aq1 2 n2aba b2【例 5】 设 a、b、c、d 成等比数列，求证： (bc)2(ca)2(db)2(ad)2证法一 a、b、c、d 成等比数列abbccdb2ac，c2bd，adbc左边 =b 22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右边证毕证法二 a、b、c、d 成等比数列，设其公比为 q，则：baq，caq2，d=aq3左边 (aqaq2)2(aq2a)

24、2(aq3aq)2a22a2q 3a2 q6=(aaq3)2(ad)2=右边证毕说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c的路子证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法文案大全实用文档具有普遍性【例 6】 求数列的通项公式：(1)a n 中，a12，an+13an2(2)a n 中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0思路：转化为等比数列解 (1)a n+1 = 3an2 an+1 1

25、 = 3(an 1)a n1 是等比数列an1=33n-1 an=3n1(2)a n+2 3an+1 2an = 0 an+2 an+1 = 2(an+1 an )a n+1an 是等比数列，即an+1an =(a2a1)2n-1 =32n-11，a 2，an-再注意到 a2a1=3，a3a2=32 4a3=32 nan-1=3 22，这些等式相加，即可以得到n 12 12 n-2 n 1an = 3122 2 = 3 = 3(2 1)2 1说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知 (1)中发现 a n1 是 等比数列， (2)中发现 a n+1an 是等比数列，这也是通常说的化归思

26、想的一种体现2 2 2 【例7】 若实数a 、a 、a 、a 都不为零，且满足 (a a )a 2a1 2 3 4 1 2 4 22 2(a a )a a a = 0 a a a a 求证： 、 、 成等比数列，且公比为 1 3 4 2 3 1 2 3 4证 a1、a2、a3、a4 均为不为零的实数2 2 2 2 2(a a )x 2a (a a )xa a =0为实系数一元二次方程1 2 2 1 3 2 32 2 2 2 2等式(a a )a 2a (a a )a a a =0说明上述方程有实数根a 1 2 4 2 1 3 4 2 3 4上述方程的判别式 0，即2 2 2 2 2 2a (a

27、 a ) 4(a a )(a a ) 2 1 3 1 2 2 32 2= 4(a a a ) 02 1 32 2 (a a a ) 02 1 3又a1、a2、a3 为实数2 2 (a a a ) 02 1 32 2必有 即a a a = 0 a = a a2 1 3 2 1 3因而 a1、a2、a3 成等比数列文案大全实用文档又a =42a2 (a a )1 32 22(a a )1 2a (a a )2 1 32a a a1 1 3a2a1a4 即为等比数列 a1、a2、a3 的公比【例 8】 若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值解 设

28、a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与bd、b、bd2 都成等比数列，有2b = (bd1)(bd) 2b = (b d)(b d 2) 整理，得2 2 2b = b d b d 2 2 2b = b d 2b2dbd=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3d d)9d2=(2d1)4d解之，得 d=4 或 d=0(舍)b=12【例 9】 已知等差数列 a n 的公差和等比数列 b n 的公比都是 d，又知d1，且 a4=b 4，a10=b 10：(1)求 a1 与 d 的值；(2)b 16 是不是 a n 中的项？思路：运用通项公式列方程解 (1)由

29、a = b4 4a = b10 103a 3d = a d1 19a 9d = a d1 13a (1d ) = 3d19a (1 d ) = 9d 16 3d d 2 = 03d 1 d 2(舍)或1 23 3a d 2 d 2115=32b1 (2)b16=b 1d文案大全实用文档3且a = a 3d = 2 2 = b4 1 43 3b = b d = 2b = 2 24 1 13b = a = 21 1b16=32b1=32a1，如果 b16 是a n 中的第 k 项，则32a1=a1(k 1)d(k1)d= 33a1=33dk=34 即 b16 是a n 中的第 34 项1 21an

30、【例10】 a b = ( ) b b b =设 是等差数列， ，已知 ，n n 1 2 32 8b b b =1 2 318，求等差数列的通项解 设等差数列 a n 的公差为 d，则 an=a1(n1)db = (n12a) 1( n 1) db b = (1 3121 1a a +2d 2(a +d) 2) (1 1 1) = ( ) b22 21 1 13由b b b = ，解得 ，解得 ，代入已知条件b = b = 1 2 3 2 28 8 21 1b b b = b b =1 2 3 1 38 4整理得21b1 b2 b3 b b =1 38178解这个方程组，得1 1b1 = 2，

31、b3 = 或b1 = ，b3 = 28 8a1=1，d=2 或 a1 =3，d=2当 a1=1，d=2 时，an=a1(n1)d=2n3 当 a1=3，d=2 时， an =a1(n1)d=52n【例 11】 三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a，aq，aq2由已知： a，aq4，aq2 成等差数列即：2(aq4)=aaq2 a，aq4，aq232 成等比数列文案大全实用文档即：(aq4)2=a(aq232)aq2 = 4a a = 2，两式联立解得： 或 q = 32a =9

32、q = 5 2 10 50这三数为： 2，6，18或 ， ， 9 9 9解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 bd，b4，bd由已知：三个数成等比数列即：(b4)2=(bd)(bd)28bd = 16 bd，b，bd32 成等比数列即 b2=(bd)(bd32)232bd 32d = 0 26 9b =、两式联立，解得： 或 8d = 3b = 10d = 8 2 10 50三数为 ， ， 或2，6，18 9 9 9解法三 任意设三个未知数，设原数列为 a1，a2，a3由已知： a1，a2，a3 成等比数列2得：a = a a 2 1 3a1，a24，a3 成等差数列得：2(a24)=a1a

33、3 a1，a24，a332 成等比数列得：(a24)2=a1(a332) 文案大全实用文档2a =1910、式联立，解得： a = 或29a =350 9a = 21a = 62a = 183说明 将三个成等差数列的数设为 ad，a，ad；将三个成2 a等比数列的数设为 a，a q，aq (或 ，a，aq)是一种常用技巧，可起到q简化计算过程的作用【例 12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为 ad，a，ad，则第四个数由已知条2(a d)件可推

34、得：a方法二 设后三个数为 b，bq，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2bbq方法三 设第一个数与第二个数分别为 x，y，则第三、第四个数依次为12y，16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，2(a d)解法一 设前三个数为 ad，a，ad，则第四个数为 a依题意，有2(a d)ad = 16aa(ad) = 12a = 41解方程组得： 或d = 41a = 92d = 62所求四个数为： 0，4，8，16 或 15，9，3，1解法二 设后三个数为： b，bq，bq2，则第一个数为： 2bbq依题意有：22b bq bq = 16 b bq = 12b = 41解方程组得： 或q = 21b = 92q =213文案大全实用文档所求四个数为： 0，4，8，16 或 15，9，3，1解法三 设四个数依次为 x，y，12y，16x依题意有x (12 y) =