大学物理振动PPT学习教案

1、会计学1大学物理振动大学物理振动 简谐振动是最简单、最基本简谐振动是最简单、最基本的振动形式，一切复杂的振动的振动形式，一切复杂的振动都可由简谐振动合成。都可由简谐振动合成。第第2页页/共共97页页第1页/共97页4.14.1 简谐振动简谐振动一.一. 简 谐 振简 谐 振动动 表达表达式式 x(t)=Acos( t+ ) 特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T )一物理量随时间的一物理量随时间的变化规律遵从余弦变化规律遵从余弦函数关系，则称该函数关系，则称该物理量作简谐振动。物理量作简谐振动。XAA0第第3页页/共共97页页第2页/共97页 表达表达式

2、式 x(t)=Acos( t+ )二二. 描述描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A： 即最大位移：即最大位移：xA3. 周期周期T 和频率和频率 v2. 角频率角频率 （圆频率）（圆频率） （弧度（弧度/秒：秒：rad/s）而 v = 1/T /2 （Hz） T2 T2/ （s）（完成一次全振动所需的时间）（单位时间内完成全振动的次数）第第4页页/共共97页页第3页/共97页4 . 相相位位(1) ( t +0 )是 t 时刻的相位 (2) 0 0 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相第第5页页/共共97页页第4页/共97页三三. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法

3、1. 解析法解析法由由 x = Acos( t+ 0 )已知表达式已知表达式 A、T、 0 已知已知A、T、 0 表达式表达式2. 曲线法曲线法0 xmx0 = 00A-Atx0 = /2T 已知曲线已知曲线 A、T、 0 已知已知 A、T、 0 曲线曲线第第6页页/共共97页页第5页/共97页3. 3. 旋转矢量法旋转矢量法0 t+00 xxt = tt = 0 x = A cos( t + 0) 四四. 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1初相差初相差 同相和反相：同相和反相：当当 = 2k , ( k =0,1,2,),

4、 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相AA第第7页页/共共97页页第6页/共97页当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。x2Tx0A1-A1A2- A2x1t反相tx0A1-A1A2- A2x1x2T同相 超 前 和 落超 前 和 落后后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。第第8页页/共共97页页第7页/共97页超前、落后以超前、落后以 0 0 0a 0 0 0减速加速减速加速 AA-A- A- 2Ava第第

5、10页页/共共97页页第9页/共97页由初始条件求解振幅和初位相：设 t =0 时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0）（ tcosAxcosAxo）（ tsinAvsinAvocosAxosinAvo2222222AcossinAvxoo ）（ 第第11页页/共共97页页第10页/共97页cosAxosinAvo2222222AcossinAvxoo ）（ 第第12页页/共共97页页第11页/共97页 一质点沿X轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时, 位移为6cm，且向X轴正方向运动。求1、振动方程；2、t=0.5s 时，质点的位置、速度和加速度；3、如果在某时刻

6、质点位于x=-0.6cm，且向X 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。解：解：设简谐振动表达式为已知： A=12cm , T=2s ，x = A cos (t+ )12sTx=0.12 cos (t + )初始条件：t = 0 时， x0 = 0.06m , v0 0第第13页页/共共97页页第12页/共97页0.06 =0.12 cos321 cos00 sinAv0 sin3 振动方程： ）（3120 tcos.xYX33当t=0时, 位移为6cm，且向X轴正方向运动。第第14页页/共共97页页第13页/共97页s/m.tsin.dtdxv.t.t.t1890312050505

7、0 ）（ 2502505010303120S/m.tcos.dtdva.t.t.t ）（ 2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度振动方程： ）（3120 tcos.x第第15页页/共共97页页第14页/共97页设在某一时刻 t1， x = 0.06 m）（31200601 tcos.代入振动方程：2131 ）（ tcos323231 或或 tstt132311yx32323、如果在某时刻质点位于x=0.6cm，且向X 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。振动方程： ）（3120 tcos.x第第16页页/共共97页页第15页/共97页stt61123322sttt651611

8、12YX323/2 t23、如果在某时刻质点位于x=0.6cm，且向X 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。stt132311第第17页页/共共97页页第16页/共97页 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。）（11 tcosAx）（12 tcosAA31t01 ）（ tsin011 ）（ tsinAv31tA-AoA/2-A/2YX33第第18页页/共共97页页第17页/共97页322t）（22 tcosAA02）（ tsin022 ）（ tsinAv322

9、t)()(21tt)32(3YX3232A-AoA/2-A/2第第19页页/共共97页页第18页/共97页例题3 一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量的物体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，已知6.0 rad/s。试求：1、 简谐振动方程；2、 物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。s/rad.,v,m.x06004000 m.xvxA040022020 振幅：振幅：mt.cos.x）（得得：06040 000 xvarctan第第20页页/共共97页页第19页/共97页所以：所以： 0 rad/s A0.04 mmt.cos.x）（得得：060

10、40 s/rad0 . 6,0v,m04. 0 x00t0 时：时：xAcos（t）v A sin（t）把初始条件代入方程组：0.04 Acos 0 6 A sin得：得：第第21页页/共共97页页第20页/共97页AxarccosttcosAx ）（）（306040 sin.tsinAv ）（或（或33212 arccosAAarccost32 t,AxAx:按题意按题意12080 sm.yx332、 物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。第第22页页/共共97页页第21页/共97页 振动系统：参与振动的一个或几物 体所构成的一个系统。谐振系统：作简谐振动的振动系统谐振子： 作简谐

11、振动的系统第第23页页/共共97页页第22页/共97页弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统F根据胡克定律：（k为劲度系数或倔强系数）xkF（1） 在弹性限度内，弹性力 F 和位移 x成正比。（2） 弹性力F和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。回复力： 始终指向平衡位置的作用力xXo第第24页页/共共97页页第23页/共97页振动的条件:（1）存在回复力；（2）物体具有惯性振动过程：X0A-AF由牛顿第一定律得：xkdtxdmF22xmkdtxd 22得:第第25页页/共共97页页第24页/共97页xmkdtxd22xdtxd222比较比较 （1）弹簧振子的振动为简谐振动 。 （

12、2）周期：角频率： 周期周期T与振子的本身性质（与振子的本身性质（k和和m）有关，而与其）有关，而与其它因素无关。它因素无关。例：例：T在地球和月球上一样。在地球和月球上一样。第第26页页/共共97页页第25页/共97页1、振动系统的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子动能：振子势能：振子势能：xX0v第第27页页/共共97页页第26页/共97页)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpXtAxcosXEpEk221kAE 第第28页页/共共97页页第27页/共97页pkEEE22222121

13、21mmvAmkAE)(cos21)(sin2122222tkAtAm谐振系统的总机械能：第第29页页/共共97页页第28页/共97页（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变 化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。 （适合于任何谐振系统）结论：XEpEk221kAE XtAxcos第第30页页/共共97页页第29页/共97页dttATxT0cos1tdtkATETp220cos2112、平均值tAxcos0sin10TtTAEkA21412第第31页页/共共97页页第30页/共97页 平均意

14、义上说，简谐振动系统的能量中一半是动能，另一半是势能。dttkATETk)(sin211220 EkA21412第第32页页/共共97页页第31页/共97页Ol mgT22sindtsdmmgls 很小又22sindtdmlmgsin第第33页页/共共97页页第32页/共97页lgtdd22 单摆的振动是简谐振动 。lg glT 2 ）（tlgAcos设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m的影响：的影响：）（ 26992411242mmsinsinglT6422sindtdmlmgsin第第34页页/共共97页页第33页/共97页m真周期真周期 /01.00005 1.00051

15、0 1.001920 1.007730 1.017445 1.039760 1.0719g/l2设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m的影响：的影响：）（ 26992411242mmsinsinglT64第第35页页/共共97页页第34页/共97页1、概念、概念2、运动方程、运动方程 重力矩重力矩 mglmglM sin转动定律转动定律22dtdJJmgl Jmgl 2 0222 dtd3、周期与频率、周期与频率JmglmglJT 24、应用：、应用：1）测重力加速度；测重力加速度； 2）测转动惯量）测转动惯量四、复摆四、复摆第第36页页/共共97页页第35页/共97页电磁振荡：

16、 电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性变化的现象。LC振荡回路：KCL第第37页页/共共97页页第36页/共97页CL+Q-Q(1)CLi(2)CL+Q-Q(3)CLi(4)LC回路的振荡过程回路的振荡过程第第38页页/共共97页页第37页/共97页1. LC 振荡方程CLi自感电动势自感电动势：(书书P208: 9.15式式)dtdiL电容器电压：(书P153：7.43式)CqU 回路方程：CqdtdiLdtdqi qLCdtqd122第第39页页/共共97页页第38页/共97页)cos(tQqoLC1LC212LCT2oQImax)sin(maxtIi)sin(tQdtdqio电流：电流：

17、qLCdtqd122第第40页页/共共97页页第39页/共97页）（）（ tcosUtcosCQCqUoo电压： 在在LC电路中，电流、电压、电荷都电路中，电流、电压、电荷都随时间作简谐振动。随时间作简谐振动。2. LC 振荡的能量电场能量：电场能量：）（ tcosCQCqWoe22222磁场能量：磁场能量：）（ tsinLILiWom2222121第第41页页/共共97页页第40页/共97页meWWW tsinLItcosCQWmaxo222212）（omaxQILC ，12222maxoLICQ 总能量：总能量：CQLIWWWomaxme22122 在在LC电路中，电能和磁能交替转换，电路

18、中，电能和磁能交替转换，但总能量保持不变。但总能量保持不变。第第42页页/共共97页页第41页/共97页例例4.2 弹簧下悬一质量为弹簧下悬一质量为0.1kg的小球时，其伸长量是的小球时，其伸长量是8cm。现在弹簧下端挂一个。现在弹簧下端挂一个M0.25kg的物体构成弹簧的物体构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉振子。将物体从平衡位置向下拉4cm后，再给它向上的后，再给它向上的初速度初速度0.21m/s。取竖直向下为。取竖直向下为X轴正方向。求：轴正方向。求：1. 物体物体的振动周期的振动周期; 2. 任意时刻的振动函数和速度。任意时刻的振动函数和速度。解：解：1. 求周期求周期 T ：由已知

19、：由已知：kx0mgkmg/x0 = 0. 19.8/0.08 12.25（N/m）角频率角频率）（s/rad0.2512.25Mk7 T2/0.90（s）第第43页页/共共97页页第42页/共97页如图建立坐标系，规定静止时小球位置为坐标原点。如图建立坐标系，规定静止时小球位置为坐标原点。0X /m则振动函数：则振动函数：x(t )=Acos(7t+）v(t )=7Asin(7t+）x(0 ) = 0.04m已知：已知：v(0 ) = 0.21m/s2. 求任意时刻的振动函数和速度：第第44页页/共共97页页第43页/共97页x(0 ) = 0.04m已知：已知：v(0 ) = 0.21m/

20、s1）直接把初始条件带入下列公式，求A，：第第45页页/共共97页页第44页/共97页解得：解得：tan(0.21) / (70.04)0.750.64 rad A 0.05 m所以：所以：v(t ) = 0.35 sin（7t 0.64）x(t ) = 0.05 cos（7t0.64）Acos=0.04m7Asin=0.21 m/s2）根据初始条件列方程组：x(0 )=0.04m已知：已知：v(0 )=0.21m/s第第46页页/共共97页页第45页/共97页例题例题4.6 在平板上放一质量为在平板上放一质量为1kg的物体，平板沿铅直的物体，平板沿铅直方向作简谐振动，振幅为方向作简谐振动，振

21、幅为2cm，周期为，周期为0.5s。求：。求：1. 平平板位于最高点时板位于最高点时, 物体对平板的压力是多大？物体对平板的压力是多大？ 2.平板应平板应以多大振幅运动时，才能使重物跳离平板？以多大振幅运动时，才能使重物跳离平板？0X /mNmg解：解： 如图建立坐标系，选向上为正方向。如图建立坐标系，选向上为正方向。当平板位于最高处时计时开始。当平板位于最高处时计时开始。则振动函数为：则振动函数为：x(t)Acost0.02 cos 4t2/T第第47页页/共共97页页第46页/共97页0X /mNmgx(t) 0.02 cos 4t加速度为：加速度为：a(t)2Acost 0.322 co

22、s4t1. 物体受力如图所示，根据牛顿物体受力如图所示，根据牛顿定律：定律：Nmg ma在最高处：在最高处：a0.322则：则： Nmamg 6.64（牛顿）（牛顿）2. 由：由： Nmg m2 A cos 4t得：得：N m（g 2 Acos 4t ）第第48页页/共共97页页第47页/共97页N m（g 2 A cos 4t ）0X /mNmg物体不脱离平板，即物体不脱离平板，即 N 0。所以：。所以：当当 g 2 Acos4t 0时，时， N0 ， 物体脱离平板。物体脱离平板。即：即：A g /2 g /162 0.062m第第49页页/共共97页页第48页/共97页rfxkf 0Xxr

23、：阻力系数：阻力系数0：固有频率：固有频率 ：阻尼系数：阻尼系数 （阻尼因子）v rfrmmkorb2,:2令22dtxdmvkxr02222 xdtdxdtxdo b b动力学方程：第第50页页/共共97页页第49页/共97页02222xdtdxdtxdob动力学方程：bbtAexot22cos222boT方程解：周期:btAextcos22bo阻尼振动周期 T 大于自由振动周期T0 第第51页页/共共97页页第50页/共97页bbtAext220cos3、 当（ ）时，为“临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限202b202btAeb1、 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动，振幅 随时

24、间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。阻尼振动周期大于自由振动周期。202b2、 阻尼较大时（ ），振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。第第52页页/共共97页页第51页/共97页xtxt202b202 b b 202 b b 第第53页页/共共97页页第52页/共97页rff0Xx系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。受迫振动：驱动力：周期性的外力F设：tcosFFo第第54页页/共共97页页第53页/共97页rff0XxF令：令：0o2ofmF2mrmkbtf0 xdtdxdtxdobcos2222tcosFdtdxkxdtxdmo

25、22r第第55页页/共共97页页第54页/共97页)tcos(Ae)t(Acos)t (X)t(Acosx22ot/bb)t(cosAx稳定振动状态：稳定振动状态：22222o04fAb在稳定振动状态下，受迫振动的频在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于驱动力的频率。率等于驱动力的频率。222boarctan第第56页页/共共97页页第55页/共97页04fdddAd22222o0b1. 位移共振：22222o04fAb 当驱动力的频率当驱动力的频率 时，时，受迫振动的位移振幅达到最大值的现象。受迫振动的位移振幅达到最大值的现象。222bor第第57页页/共共97页页第56页/共97页Ao大阻尼

26、小阻尼零阻尼共振频率：共振频率：222bor共振振幅： 阻尼系数b 越小，共振角频率r 越接近于系统的固有频率O ，同时共振振幅Amax 也越大。222bbomaxf0A相位：相位： / 2振动相位落后外力振动相位落后外力/2,外力与速度同相位。外力与速度同相位。第第58页页/共共97页页第57页/共97页2. 速度共振：速度共振：当驱动力频率等于系统固有频率时，当驱动力频率等于系统固有频率时， 受迫振动速度的振幅达到极大值。受迫振动速度的振幅达到极大值。)2t(Acosdtxdv当当0时，速度有极大值：时，速度有极大值：2fv0max 当当0时，位移共振频率时，位移共振频率0，与速度共振同时

27、发生。与速度共振同时发生。220202(1fA）（22第第59页页/共共97页页第58页/共97页应用应用:电磁共振选台(收音机)乐器利用共振提高音响效果研究避免共振的破坏的措施：v破坏外力(强迫力)的周期性;v改变系统固有频率;v改变外力的频率;v增大系统阻尼力.第第60页页/共共97页页第59页/共97页例题（作业十例题（作业十. 5）：一阻尼系统某一时刻的振幅为）：一阻尼系统某一时刻的振幅为A010cm；10s后，其振幅变为后，其振幅变为A11cm；求振幅变；求振幅变为为A20.3cm还需多少时间？还需多少时间？解：解：)m(1 . 0AeAot0)m(01. 0AeA)10ot(1)m

28、(003. 0AeA)t10ot2（23.010eAA1010s23. 5310ln1t310eAAt21第第61页页/共共97页页第60页/共97页例题（作业十例题（作业十. 6）：阻尼振动时（）：阻尼振动时（0），位移），位移的两个相邻的极大值之比是多少？的两个相邻的极大值之比是多少？解：解： 欠阻尼振动的振动函数为：欠阻尼振动的振动函数为：x(t)=Aetcos(t）22022T所以：所以：设设t 时刻振幅极大，为：时刻振幅极大，为：XM(t)=Aet则相邻振幅极大为：则相邻振幅极大为：XM(t+T)=Ae( t + T )22bo其中：其中：比值：比值：2 2o2TMMee)Tt (X

29、)t (X第第62页页/共共97页页第61页/共97页例题（作业十. 7；书中4.8）：在简谐力作用下弹簧振子作受迫振动。设重物质量是10kg，弹簧的劲度系数是700N/m，阻力系数是40Ns/m，简谐力的振幅是100N，角频率是10rad/s，求： 1. 稳态时各时刻重物的速度； 2. 简谐力的角频率为多大时才能产生共振？共振时速度的振幅是多大？解：解：1. 稳态时：稳态时：xAcos(t）v Asin(t) Acos(t/2)第第63页页/共共97页页第62页/共97页v=Acos(t/2)22222o04fAb222boarctan其中：其中：f0F0 /m=100/10=10; 02k

30、/m700/10=702=100; 2； 代入上两式得：代入上两式得：A0.2m；=0.295 v =2cos(10t0.205)第第64页页/共共97页页第63页/共97页2. 简谐力的角频率为多大时才能产生速度共振？共振时速度的振幅是多大？简谐力的角频率：简谐力的角频率：s/rad37. 8mk0产生速度共振。产生速度共振。共振时，速度的振幅有极大值：共振时，速度的振幅有极大值：vmAf0/22.5m/s第第65页页/共共97页页第64页/共97页一、同方向同频率简谐振动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动，其振动方程分别表示为：)cos(111tAxx1x2x)co

31、s(222tAxx1A2A12A 21AAA21xxx)cos(tAx第第66页页/共共97页页第65页/共97页 一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。结论：)cos(212212221AAAAA22112211cosAcosAsinAsinAantarc ,kk2102112 若若：）（212122212AAAAAAA 则则： ,kk21012212 ）（若若：）（12为其它值时，为其它值时，A介于二者之间。介于二者之间。212122212:AAAAA2A1A则第第67页页/共共97页页第66页/共97页例题：两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 1、求合

32、振动的振幅。2、求合振动的振动方程。12AAA1A2AA解：2A1AxT)(1tx)(2txtT2011 cosA2211 022 cosA2222 第第68页页/共共97页页第67页/共97页)tTcos(AAx2212 2 :由由矢矢量量图图1A2AA第第69页页/共共97页页第68页/共97页216cos212122AAAAA6cos3102023102022A1A2A6两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？61cm310cm10第第70页页/共共97页页第

33、69页/共97页16102062 sinsinAAsin212 A1A2A6h如图：如图：A sin/6 A2 sinhA1A2A6第第71页页/共共97页页第70页/共97页 设两同方向，角频率分别为 和 的两简谐振动（ ）。它们所对应的旋转矢量分别为 和 211A2A122A21A1相对于 的转动角频率:122A1A两矢量同向重合时：合振动振幅 极大A合振动振幅 极小A两矢量反向重合时：合振动的振幅时强时弱的现象第第72页页/共共97页页第71页/共97页12122 122 T拍的周期：拍的频率：tcosAtcosAx111112 tcosAtcosAx222222 第第73页页/共共97

34、页页第72页/共97页tcosAtcosAxxx22112122 AAA 21设设：tcostcosAx222221212 tcosA22212 振幅：振幅：随时间缓慢变化随时间缓慢变化tcos2212 为一谐振因子为一谐振因子第第74页页/共共97页页第73页/共97页拍的形成.swf第第75页页/共共97页页第74页/共97页拍现象的应用：v 用音叉振动校准乐器v 测定超声波v 测定无线电频率v 调制高频振荡的振幅和频率等第第76页页/共共97页页第75页/共97页222 sintsincostcosAy ）（11 tcosAx111 sintsincostcosAx ）（）（122122

35、12222122 sincosAAxyAyAxyx)tcos(Ax11）（22 tcosAy第第77页页/共共97页页第76页/共97页）（）（12212212222122 sincosAAxyAyAx两相互垂直同频率简谐振动的合成其振动轨迹为一椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和位相差。两个互相垂直同频率振动合成演示.avi第第78页页/共共97页页第77页/共97页01212AAxAAy斜率0221222212 AAxyAyAx0221 AyAxyx时或)2(012k1.）（）（12212212222122 sincosAAxyAyAx第第79页页/共共97页页第78页/共

36、97页1222212 AyAxyx质点振动轨迹为正椭圆 212212 k或或2.）（）（12212212222122 sincosAAxyAyAx第第80页页/共共97页页第79页/共97页)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx0:,1212AAxAAy斜率0221222212 AAxyAyAx0221 AyAxxy质点作线振动 1212 k3.第第81页页/共共97页页第80页/共97页 = 5/4 = 3/2 = 7/4 = 0 = = /2 = 3/4Q = /4P .第第82页页/共共97页页第81页/共97页四四. .垂直方向不同频率简谐振动的合成垂直方向不

37、同频率简谐振动的合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2- 1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2- 1随随缓慢变化缓慢变化 合运动轨迹将按上页图合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形 x y= 3 2 （Tx : Ty = 2:3） 2=0, 1= /4yxA1A2o-A2- A1 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比第第83页页/共共97页页第82页/共97页Tx:Ty第第84页页/共共97页页第83页/共97页4.7 谐振分析谐振分析一一. 一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动一个周

38、期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动-谐振分析谐振分析求解一个周期性函数所包含的各种简谐振动求解一个周期性函数所包含的各种简谐振动的频率及振幅的数学方法称的频率及振幅的数学方法称傅立叶分析傅立叶分析 1kk0t)sin(k)(k2)(kbtcosaatF 复杂振动可分解为一系列不同频率的谐振动之和。复杂振动可分解为一系列不同频率的谐振动之和。若若F(t)是周期性振动函数，即：是周期性振动函数，即：F(tT)F(t)则则F(t)可展开成如下傅立叶级数：可展开成如下傅立叶级数：第第85页页/共共97页页第84页/共97页 基频：基频： 2/ T 是各分振动的最低频，也是周期函数是各分振动的最低

39、频，也是周期函数F(t)的频率的频率k 称称 k 次谐频次谐频若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: 0, 2 0, 3 0, (基频基频 , 二次谐频二次谐频 , 三次谐频三次谐频 , ) 基频：决定音高（音调）基频：决定音高（音调）谐频：决定音色（音质）谐频：决定音色（音质） 1kk0t)sin(k)(k2)(kbtcosaatF 第第86页页/共共97页页第85页/共97页T0ToTkT0ToTkT0ToT0dt)tk(sin)t (FT2bdt)tkcos()t (FT2adt)t (FT2aak 、bk是常数：是常数： 1kk0t)sin(k)(k2)(kbtcosaatF 第第87页页/共共97页页第86页/共97页 102kkk)tkcos(AA)t (F )tk(sinb)tkcos(akk对于每一个对于每一个k，可把，可把换写成换写成)tkcos(AkkT0T0TnT0T0TnT0T0T0dtt)sin(n)t (FT2Bdtt)ncos()t (FT2Adt)t (FT2A其中：其中：)Aac