有优先权的两状态三部件的冷贮备系统的可靠性研究

1、石家庄铁道大学毕业论文 有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性分析 Reliability Analysis of Cold Standby System ofTwo Units of Three States with Priority 2016 届 数 理 系专 业 数学与应用数学 学 号 20123147 学生姓名 罗 刚 强 指导教师 刘 宝 友 完成日期 2016年6月15日石家庄铁道大学毕业论文摘 要冷贮备系统由部件1和部件2和一个修理工组成. 每个部件有三个状态：正常、异常和故障. 正常和异常状态都是部件的工作状态，部件从正常状态开始工作，然后到达异常状态，最后故障. 部件1的

2、使用和修理有优先权. 开始的时候部件1开始正常工作，部件2贮备，当工作部件故障时贮备部件继续工作. 当部件1故障部件2正在修理时，部件1必须立即得到修理. 部件1修好后进入工作状态部件2继续修理. 当部件1修好部件2正在工作时，部件1开始工作部件2进入贮备. 部件的正常工作时间、异常工作时间和修理时间均服从指数分布且互相独立. 利用马尔科夫过程方法得到了系统的所有可靠性指标. 数值实例表明结果是可行的. 关键词:马尔可夫过程 冷贮备系统 可靠性指标AbstractThe cold standby system consists of unit 1 and unit 2 and one repa

3、irman. Every unit has 3 states: normal、abnormal and failure. The normal and abnormal are working state of unit. Every unit starts working from normal，then goes to abnormal，last fails. Unit 1 has priority in use and repair. At first unit 1 starts working from normal and unit 2 is standby. When workin

4、g unit fails，the standby unit goes on working. When unit 1 fails and unit 2 is repairing，unit 1 must be repaired immediately. After unit 1 is repaired，repairman continues repairing unit 2. When unit 1 has been repaired and unit 2 is working ，unit 1 goes to work and unit 2 goes in standby. The normal

5、 and abnormal working time and repair time of units are exponential distribution random variables and mutually independent. All reliability indexes of the system are obtained by using Markov process method. Numerical example shows that the result is feasible.Key words：Markov process cold standby sys

6、tem reliability index目 录 绪 论1 1.1 可靠性数学理论的背景及其发展1 1.2 论文的国内外研究背景和现状2 1.3 课题研究的目的和意义3 1.3.1 课题研究的目的3 1.3.2 课题研究的意义32 可靠性数学相关理论4 2.1 问题分析4 2.2 马尔可夫可修系统的相关知识4 2.2.1 马尔可夫过程4 2.2.2 马尔可夫型可修系统的一般模型6 2.2.3 系统可靠性指标73 有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性分析9 3.1 引言9 3.2 模型假设9 3.3 系统的马尔科夫过程模型10 3.4 系统的稳态指标14 3.4.1 系统的稳态可用度14 3

7、.4.2 系统首次故障前平均时间14 3.4.3 系统的故障频度154 实例研究165 结 束 语18参 考 文 献20致 谢21附 录22石家庄铁道大学毕业论文 绪 论1.1 可靠性数学理论的背景及其发展随着科学技术水平的高速发展，产品与系统的可靠性对国民经济发展和人民的生命财产安全起到越来越重要的作用，所以对产品的可靠性问题的重视程度也越来越高，随着重视程度的提高，对可靠性的研究也越来越多，这促进了可靠性理论的发展. 可靠性理论主要研究产品的可靠程度及其寿命特征，可靠性理论涉及现实生活中的各个领域. 而可靠性理论的基础理论之一就是可靠性数学，可靠性数学一般是用来研究系统发生故障的原因及其概

8、率，并根据故障产生的原因及故障产生的概率给出发生故障后的修理方案和预防故障发生的措施，比如说，备用部件准备的数量，如何根据不同部件合理分配修理人员. 其研究目的是降低系统在各个阶段的成本、提高系统的效率并保证系统运行的可靠.可靠性数学理论产生于1930年左右. 可靠性数学的发展是从研究材料的疲劳寿命问题开始的，在30年代爱博斯等人研究了这一问题. 在第二次世界大战期间，随着战争的发展，人们对装备性能的要求进一步提高，为了提高其性能，增加其杀伤力，武器装备趋于复杂化. 然而，当装备的零件个数越多时，其发生故障可能性就越大. 这样装备复杂程度的增高就会导致其发生故障的概率的增加，那装备复杂化就不仅

9、没有任何意义，还可能会因为可靠性的降低造成军队战斗力的下降. 所以，装备的复杂化和系统的可靠性之间存在着巨大的矛盾. 可靠性低这一问题在很多复杂系统中都会出现，如雷达通信系统、航天设备和武器系统等，都存在可靠性较低这一问题，如何解决这个问题以提高复杂系统的可靠度成为推动可靠性理论研究的主要动力. 可靠性研究在1980年左右开始了高速发展阶段，现在，可靠性研究在自动化、电子、航天技术和软件等领域有了深入的发展. 可靠性数学研究在我国的发展速度也很快.许许多多学者在这方面挥洒着他们的青春，为可靠性数学的发展做出了巨大的贡献. 现在，可靠性数学的运用范围十分广泛，如物理、航天、机械等领域. 1985

10、年，Goel在开关不完全可靠的情况下，研究了修理时间为一般分布的有优先权的贮备系统. 2001年,Kovalenko研究了只有一个修理工且有优先权的三个不同部件的串并联可修系统. 2015年，汪军芳和张民悦研究了三不同部件温贮备系统的可靠性，2015年，刘文娟、孟宪云等研究了具有使用和维修优先权的三部件冷贮备系统的几何过程模型. 可靠性理论虽然起源于材料的寿命研究问题，但是现在可靠性问题与实际生活的方方面面的联系越来越多，国际上对它的重视程度也越来越高. 可靠性数学在实际操作中的运用可以提高系统的可靠性，降低系统的成本和风险. 1.2 论文的国内外研究背景和现状可靠性数学模型可分为单部件系统和

11、多部件系统(部件个数大于等于2)，提高系统可靠性的方法主要有两种：一是给原系统中的某些部件并联上一些部件. 但这种方法当某个部件故障时难以被发现，只有当所有部件故障，系统处于故障状态时才能被发现. 二是采用为部件留有贮备部件的方法. 因为当此方案中工作部件故障时，贮备部件可以替换故障部件继续工作. 所以对部件留有贮备部件的方法可靠性更高些. 我们一般考虑较多的是多部件贮备系统. 比如降落伞的备用伞包，在主伞发生故障时，可以立刻启用备用伞包替换损坏的主伞进行降落，使跳伞人员不会因主伞发生故障而发生危险. 这种为部件留有贮备部件的系统就是贮备系统，根据贮备方式的不同还可以分为冷贮备系统和温贮备系统

12、.在贮备期间状态不会改变的是冷贮备系统，在贮备期间可能会发生改变的是温贮备系统随着社会经济和科技水平的不断发展，大家对可靠性的研究也越来越重视，可靠性研究也越来越深入和广泛. 吴太清、叶尔骅等人在开关不完全可靠的条件下对两不同部件的温贮备系统和冷贮备系统进行了研究. 在实际生活中，不同部件的重要程度、工作效率存在着差别. 如，在供电系统中，备用发电机的可靠性和功率一般都要小于正常使用状态下的发电设备，所以在供电系统中应尽量使用正常状态下的发电设备而少使用备用发电机. 这就表现出优先权在可修系统中的重要性. 优先权这个概念的引入，使得可修系统在可靠性领域有了更广泛的发展.以上研究大都集中在部件只

13、拥有工作和故障两个状态，而对现实中部件拥有三个或以上的状态的情形没有考虑过，而有优先权的三状态冷贮备可修系统更具有实际意义，但尚未见到对此可修模型进行研究的文献，所以，这方面的研究还有很大的空间，本文就是研究有优先权的2部件三状态的冷贮备系统的可靠性. 1.3 课题研究的目的和意义1.3.1 课题研究的目的在现实生活的实际操作中，提高系统的可靠性一般都是采用维修等方法. 以前学者们提出了很多可修系统的模型和维修策略并进行了深入的研究. 这些研究结果对实际中系统的运行提供了理论依据. 以前有关有优先权的可修系统的研究中部件都只有工作和故障两个状态，而实际中很多系统中的部件有三个和三个以上的状态.

14、 本文在现有可靠性研究的结果的基础上，提出了有优先权的两部件三状态的冷贮备可修系统这一新的、更接近实际情况的可修系统模型. 并在一定的假设条件下对此模型进行可靠性分析，得到了系统的可用度和系统首次故障前平均时间等可靠性指标，所得结果可为提高现实生活中的相应系统的可靠性提供参考依据. 1.3.2 课题研究的意义可靠性问题与我们的人身安全和经济效益的联系十分紧密. 因此，研究系统的可靠性问题，对我们来说就显得十分重要. 本课题致力于研究有优先权的两部件三状态冷贮备可修系统的可靠性问题具有较大的实际意义，主要意义有(1)提高系统可靠度，可以降低故障或事故发生的几率，尤其是可以避免灾难性的事故发生.

15、如2005年4月28日，胶济铁路发生一起客车脱线相撞重大事故，由于运行监控器发生故障，导致列车实际速度与监控数据不符，如果能设有贮备部件，当运行监控器发生故障时，有备用件继续工作，则故障就有可能不会发生.(2)提高系统可靠度，可以使产品的成本降低. 提高产品的可靠性可以使系统发生故障的概率降低，这样就可以降低系统的维修费用，从而使成本降低. (3)提高系统可靠度，可以减少停机时间，提高产品可用率. 为系统设置设备备用件，可使系统在某个设备故障时仍然进行工作，这样就能减少停机时间. 对于某些高危行业如：矿山、运输等，可靠性就显得更加重要.(4)提高系统可靠性，可以增加他人对企业的信任程度，增强企

16、业的市场竞争力，扩大产品对市场的占有率，从而提高经济效益. 现实系统中很多部件都有多个运行状态，并不是仅有工作和故障2个状态. 部件往往正常工作一段时间后再异常工作一段时间然后故障，但异常工作时间效率可能有所下降. 如果忽视这种实际情况，系统一异常就作为故障处理或将异常作为正常处理，则会降低系统的可靠度或夸大系统的作用，都不利于公司的信誉. 本文研究了这种实际情况，能得到精确的可靠性指标，既能提高系统的可靠性，又有更高的可信度，有利于提高产品的信誉. 2 可靠性数学相关理论2.1 问题分析这是一个马尔可夫可修系统中的可靠性问题，于是我们采用马尔可夫可修系统的一般研究方法进行研究. 先求出此系统

17、的状态转移矩阵，再由状态转移矩阵可得一个微分方程组和一个线性方程组，解线性方程组进而可求出系统的稳态可用度和故障频度. 最后再由拉普拉斯变换可求出系统的可靠度，进而求出系统首次故障前平均时间这一重要指标. 求这些稳态指标需要用到系统的可靠性理论和马尔可夫过程理论等知识. 2.2 马尔可夫可修系统的相关知识2.2.1 马尔可夫过程设是在上取值的一个随机过程. 如果可取任意自然数，并且任意个时间点，都有 (2.1)则可称为离散状态空间上的连续马尔可夫过程. 又如果对任意的，均有 (2.2)与无关，则将这种马尔可夫过程叫做时齐的马尔可夫过程. 对固定的，函数叫做转移概率函数. 叫做转移概率矩阵另外，

18、我们假设马尔可夫过程的状态转移概率函数满足 (2.3)转移概率函数有以下性质 (2.4)如果我们令 表示在时刻系统处于状态是的概率，那么有.时齐的马尔可夫过程有以下重要性质(1)对于时齐马尔可夫过程在有限状态空间E，以下极限 (2.5)存在且有限. (2)若记为过程的状态转移时刻，表示第次状态转移后过程访问的状态. 若则为过程在状态的停留时间. 则有引理2.1 对任何有 与和状态j无关. 所以，有限状态空间的时齐马尔可夫过程在任何状态的逗留时间遵从参数的指数分布，与其它状态无关. 如果，称状态为稳定态；如果，则状态将一直停留时刻，此时状态i为吸收态. 吸收态就是这样的状态，当过程一旦进入这个状

19、态将永远停留在那个状态. 令，称为系统的转移概率矩阵. 由全概率公式两边令得 (2.6)这就是状态概率函数满足的微分方程组. 令、则 (2.7)称为过程处于状态的稳态概率若，则存在且 (2.8)令，由，得 (2.9)这就是稳态状态概率满足的线性方程组. 2.2.2 马尔可夫型可修系统的一般模型假设一个具有有限状态空间E的时齐马尔可夫可修系统有个状态，令表示时刻该系统处的状态，为系统的状态集合. 其中，是系统的工作状态集；是系统的故障状态集. 记. 在内的转移概率函数满足 (2.10) 其中是给定的，并且显然 (2.11)令 (2.12)则有 (2.13)由(2.5)式易得2.2.3 系统可靠性

20、指标 在马尔科夫可修系统中，描述可修系统的主要可靠性指标有：(1)系统的可用度系统的瞬时可用度定义为：系统在时刻工作. 系统的稳态可用度定义为：系统在时刻工作. 在现实生活的运用中，稳态可用度这一度量指标受到关注程度很高. 在求系统的稳态可用度时，要用到的极限分布. 引理2.2 对所有，若，则存在.由公式(2.10)和公式(2.13)可知引理2.2的条件满足. 由于当，由上式易得 (2.14)定理2.1 系统的稳态可用度为:，其中满足线性方程组为系统的转移率矩阵. 引理2.3 对任一，有. (2)系统的可靠度系统可靠度是从0时刻到t时刻过程一直处于工作状态的概率，若令故障状态为吸收状态，则得一

21、新马尔科夫过程，系统可靠度就是过程从工作状态开始时刻尚未进入吸收状态的概率. 假设过程在时刻处于状态的概率为，系统初始状态的概率分布为 (2.15)定理2.2 当给定初始状态概率分布分布(2.15)，则系统可靠度为其中满足微分方程组 (2.16)其中为初始状态概率，且.(3)系统首次故障前平均时间若系统可靠度为，则系统首次故障前平均时间为 (2.17)因为有时求出比较麻烦，所以以下给出一简单解的方法. 定理2.3 当给定系统初始状态分布为时，则有其中 满足线性方程组(4)系统的故障频度令表示时间内系统的故障次数，且令， (2.18)表示时刻系统从状态出发的条件下，在中系统的平均故障次数. 定理

22、2.4 当时刻0系统的初始分布为，则时刻系统的瞬时故障频度为 (2.19)其中是方程组(2.7)的解. 定理2.5 系统稳态故障频度为 (2.20)其中是定理2.1中方程组的解. 3 有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性分析3.1 引言在现实生活中，不同部件对系统的影响也不同，如有的部件比其他部件重要，或有的部件若故障造成的损失会很大，为了充分发挥他们的作用，它们的使用或修理有优先权. 同一部件也可以拥有多种状态，如很多现实系统中部件有正常工作状态、异常工作状态、故障状态这三种状态，而不是仅仅只有工作和故障两种状态. 所以有优先权的三状态两部件冷贮备系统在现实生活中是比较常见的系统，对其进

23、行可靠性分析也是十分重要的. 本节研究了可靠性理论中的“有优先权的三状态两部件冷贮备系统的可靠性”，并利用可靠性数学理论，推导出了系统的稳态可用度、首次故障前平均时间和故障频度这三个稳态指标. 3.2 模型假设假设1：系统是由部件1、部件2、可靠的转换开关和一个修理工组成的冷贮备可修系统，部件1、2都具有三种状态，分别为：正常工作状态，异常工作状态，故障状态. 系统为冷贮备系统，所以部件在贮备期间状态不会发生变化. 假设2：部件1的正常工作时间分布函数为:，,异常工作时间分布函数为，修理时间分布函数为，. 部件2的正常工作时间分布函数为:，异常工作时间分布函数为:，修理时间分布函数为 , 所有

24、随机变量相互独立.假设3：部件1、2只能由正常工作状态到异常工作状态，再由异常工作状态到故障，故障经维修后恢复到正常工作状态. 开始时部件1开始处于正常工作状态，部件2处于贮备状态. 当工作部件故障时，若贮备部件无故障，则贮备部件接替工作. 部件1具有优先使用权和优先修理权，即当部件1、2都能工作是，优先使用部件1. 当部件1、2都需要维修时优先维修部件1. 3.3 系统的马尔科夫过程模型定义系统的各个状态过程如表3.1：表3.1 状态表状态编号部件1状态部件2状态系统状态0正常工作正常冷贮备正常工作1异常工作正常冷贮备异常工作2维修正常工作正常工作3维修异常工作异常工作4正常工作异常冷贮备正

25、常工作5异常工作异常冷贮备异常工作6正常工作维修正常工作7异常工作维修正常工作8维修待修故障用表示系统时刻所处的状态，由于系统中的所有随机变量均为互相独立的指数分布随机变量，所以为马尔科夫过程. 由上述易知，在内系统的状态转移图可见图3.1.图3.1 状态转移图由上可知：这个有限状态区间马尔可夫可修系统有9个状态，其中状态是系统的工作状态，8是系统的故障状态. 记，, ,可得其状态转移矩阵：下面利用推导状态概率微分方程组(2.6)的方法推导出系统的状态概率微分方程组. 同理可得微分方程组 (3.1)所以可得方程. (3.2)令.所以由引理2.3和公式(3.1)可得方程组 (3.3)解方程组(3

26、.3)可得3.4 系统的稳态指标3.4.1 系统的稳态可用度部件1正常工作稳态可用度：部件1异常工作稳态可用度：部件2正常工作稳态可用度：部件2正常工作稳态可用度：系统工作的稳态可用度：由于部件1和部件2的作用不同，所以系统工作应区分是哪个部件在工作，是正常工作还是异常工作. 因此在研究系统可用度这个指标时需区分系统是哪个部件、哪种工作状态的可用度. 当研究系统收益时，必须做出区分，若只关心系统工作的概率则可不加区分.3.4.2 系统首次故障前平均时间为求系统的首次故障前平均时间，我们令系统所有故障状态为马尔可夫过程中的吸收态. 即令(2.6)中由上述可知，此模型的工作状态集为，故障状态集，所

27、以这样就可以构成一个新的马尔可夫过程.如果令则类似于公式(3.2)可得到一微分方程组 (3.4) 其中由定理2. 2可知，在为初始条件时且设系统在0时刻是由状态0开始的，则所以有， (3. 5)其中为分量均为1的K+1维列向量，解方程组(2.16)利用拉普拉斯变换可得所以，将(3.5)两端做拉普拉斯变换，就有将上式反演可求对系统可靠度. 另外由公式(2.17)和定理2.3可得系统故障前平均时间为所以有解得所以系统故障前平均时间为3.4.3 系统的故障频度由定理2.4和定理2.5可解得:系统时刻故障频度为：系统稳态故障频度为：4 实例研究一洗澡堂共有两个锅炉用来烧热水，一为电锅炉，另一个为烧煤炉

28、. 其中两个锅炉都有三种状态，分别为：正常工作状态、异常工作状态和故障状态，且优先使用烧煤炉，即在烧煤炉能工作时都让烧煤炉工作. 两个锅炉都只能由正常工作状态到异常工作状态，异常工作状态到故障状态，故障状态经维修到正常工作状态. 当其中一个锅炉在工作时另一个锅炉处于贮备状态，此时，贮备状态的锅炉的状态不会发生改变. 若令时间的单位时间为:小时，经试验知：烧煤炉的正常工作时间分布函数为：，异常工作时间分布函数为，修理时间分布函数为：. 电锅炉正常工作时间分布函数为，异常工作时间分布函数为：，修理时间分布函数为：. 求此系统的稳态可用度、系统故障前平均时间和系统的稳态故障频度. 解：由题易知，此系

29、统为一个三状态两部件的冷贮备系统. 所以由前文易知有方程组：对此方程组求解可得又因为所以有 部件1正常工作稳态可用度：=0.90部件1异常工作稳态可用度：=0.09部件2正常工作稳态可用度：=部件2正常工作稳态可用度：=系统工作的稳态可用度：=0.9999又因为由前文可知 且系统故障前平均时间，所以27460(小时)由定理2.4和定理2.5可解得:系统稳态故障频度为=5 结 束 语在模型中，我们研究了有优先权的两部件三状态的冷贮备可修系统的可靠性，较以往相关模型更接近实际情况. 但在实际情况中部件的正常工作时间、异常工作时间和修理时间往往不服从指数分布，所以本文的结果不能完全准确的反映出实际中

30、所有这种可修系统的精确特征. 当部件的正常工作时间、异常工作时间和修理时间不都服从指数分布时，描述系统的随机过程不是马尔科夫过程，建立系统的模型及求解过程将变得非常复杂. 另外还有现实系统中部件的状态多于三个，这时即使建立马尔科夫过程模型也很复杂. 还有当系统工作时，我们希望知道是正常工作还是异常工作，这就需要考虑在系统工作时进行检测，这也会使系统的建模和求解变得很复杂. 所以还有很多更具现实意义的问题可以进行研究，但需要更深的数学知识和更多的时间. 参 考 文 献1 L. R. Goel. R. Gupta，S. K. Singh. Cost Analysis of A Two-Unit P

31、riority Standby Sysmstem with Imperfect and Arbitrary Distribution，Mieroelectron，Reliab，1985.2 程侃，寿命分部类与可靠性数学理论，北京：科学出版社，1999.3 吴清太，叶尔骅，开关寿命连续型冷贮各个可修系统的可靠性分析，南京航空航天大学报，32(5)：557-561，2000.4 A. I. Kovalenko，Analysis of the Reliability of A Three-Component System with Renewal. Journal of Mathematical S

32、ciences，103(2)：273-277，2001.5 吴清太，两个不同部件组成的开关寿命连续型温贮备可修系统的可靠性分析，南京理工大学学报，28(6)：673-678，2004. 6 王冠军，张元林，有优先维修和优先使用的冷贮备系统的几何过程模型，经济数学，22(1)：42-49，2005.7 孟宪云，刘艳，有优先权且有两不同修理工的两部件温贮备可修系统的可靠性分析，燕山大学学报，30(1)：51-56，2006. 8 刘海涛，孟宪云，李芳等，两不同型部件温贮备的几何过程模型，系统工程，28(9)：103-107， 2010.9 谢秀梅，张民悦等，有优先权3部件冷贮备可修系统可靠性分析，

33、甘肃科学学报，22(1)： 118-121，2010.10 汪军芳，张民悦，有优先权三不同部件温贮备可修系统可靠性分析，兰州理工大学学报，2015. 11 刘文娟，孟宪云等，具有使用及维修优先权的三部件冷贮备系统的几何模型，燕山大学学报，2015.12 曹晋华，程侃，可靠性数学引论，高等教育出版社，1986.13 吴清太，叶尔骅， 开关寿命连续型二部件温贮备可修系统的可靠性分析，应用概率统计，17(2)：175-179，2001.14 张文言，有优先权的多部件冷贮备系统的若干问题，长沙理工大学，2012.致 谢本论文是在我的导师刘宝友老师的亲切关怀和悉心指导下完成的. 他严肃的科学态度,严谨的

34、治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我. 从课题的选择到论文的最终完成,老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在此谨向刘老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.我还要感谢在一起愉快的度过大学四年的各位同学门,正是由于你们的帮助和支持,我才能克服一个一个的困难和疑惑,直至本文的顺利完成. 感谢你们在这四年给予我的帮助.附 录 Stochastic Processes随机过程7.3转移概率函数的柯尔莫哥洛夫微分方程组为了得到一个连续参数的马尔可夫链的转移概率函数，通常解一个转移概率函数的微分方程组. 我们将对有下列转移概率函数的非齐次马儿可夫链推导这些微分方程. (3.1)对任意的且有.我们

35、做出下列假设：对于任意的，有一个由极限： (3.2)定义的非负连续函数对于任意的，有一个由极限： (3.3)定义的非负连续函数. 这些函数有以下的概率解释.在一段时间间隔为长度内的转移概率是成比例渐进于的. 在一个时间间隔从一个状态到其他的状态的转移概率等于加上一个余项，该余项除以，趋向于零；同时在一个时间间隔从到的转移概率等于加上一个余项，该余项除以h，趋向于零.我们称为给定马尔可夫链在时间t通过状态j强度.我们称为给定马尔可夫链在时间从在状态j转移到k的强度. 强度函数和被认为是均匀的，如果它们不依赖于t (3.4)一个均匀的马尔可夫链的强度函数显然是均匀的. 例3A 一个失效过程. 让表

36、示某一机器在时间间隔0到t内失效被替换的部件数量，假设是一个状态空间的马尔可夫链. 强度函数则具有以下含义：大致等于在时间间隔到内该机器的一个或者更多个部件将失效的概率. 通常来说，人们会期望取决于n和t，因为n代表了之前失败的组件的数量，t代表机器已经运行的时间长度. 为了探索马尔可夫链的性质，可能被采用的的方便公式为 (3.5)其中，a，b，d 0和c0都是被指定的常数. 如果假设使d=0，则强度函数是均匀的. 假设3.2和3.3可方便地写成矩阵形成. 让我们定义矩阵如下： (3.6)单位矩阵通常被定义为 (3.7)然后公式3.2和3.3可以以矩阵形式表示如下： (3.8)从假设3.8和查

37、普曼 - 柯尔莫哥洛夫方程人们可以得到转移概率函数的微分方程组. 首先，我们正式导出这些方程的矩阵形式. 由查普曼 - 柯尔莫哥洛夫方程我们可以写成 (3.9)现在，令等式3.9中h趋于0,从3.8式看起来方程3.9的右侧趋向似乎是合理的接着，假设偏导 (3.10)存在. 然后等式3.9的左边趋于式3.10. 所以，任何时，我们得到 (3.11) 这可以写成：和状态和 (3.12)另一方面，我们能写成 (3.13)让 (3.14)是对于第一个变量偏导数的矩阵，然后在等式3.13让趋于0，得到 (3.15)也可能被写成：对和状态和 (3.16)马尔可夫链的转移概率函数微分方程组3.12和3.16

38、首先被柯尔莫哥洛夫在1931年的论文中导出，方程组3.12通常被称为柯尔莫哥洛夫前向方程，因为它涉及以后时间的导数，而系统3.16通常被称为柯尔莫哥洛夫后向微分方程因为方程涉及较早时间的导数. 应当指出的是，虽然方程3.12和3.16在外观有偏导数符号，但不是真正的偏微分方程. 相反，他们是常微分方程因为在方程3.12常微分方程中和是不变量，是固定的参数，同时式3.16中和是不变量，是固定的参数. 参数只出现在初始条件中;对方程3.12. (3.17)而对方程3.16， (3.18)在上述探索中许多问题都没得到解答. 假定强度功能和的存在，我们已正式得出微分方程3.12和3.16. 很容易看出

39、如果除了方程3.2和3.3再假设对于固定，式3.3中收敛到极限对是一致的，则前向方程3.12成立.这也许表明（见费勒1957年，第427页），在没有其它假设只在式 3.2和3.3下后向方程3.16成立. 出于这个原因，在马尔可夫链理论中后向方程被视为比远期方程更重要. 而前向方程直观，更容易理解，向后方程更易于从一个严格的意义处理，因为需要较少的来确立它们的正确性. 有关的强度函数和可以提出几个问题. (1)满足3.2和3.3的所有马尔可夫链的强度函数存在吗？(2)非负函数 和 满足满足什么条件能成为一个马尔科夫链的强度函数？这个令人特别关心的问题，因为人们通常都会通过其强度功能来描述一个马尔

40、可夫链. 考虑到对于任何状态和时间有 (3.19)对任何状态和时间，要求强度函数满足下列条件似乎是合理的， (3.20)给出一类满足3.20的非负连续函数和，可以存在一类非负函数满足柯尔莫哥洛夫微分方程3.12和3.16、查普曼 - 柯尔莫哥洛夫方程和方程3.2和3.3. 然而，函数并不必表示概率分布，因为可能有 (3.21)如果存在一个正概率使在时间间隔到将发生无数次的转移，可以证明式3.21发生，满足3.21的马尔可夫过程被认为是不诚实的或病态的. 在马尔可夫链的一般理论的简要概述中，为了构建马尔可夫链的理论基础，指明一些需要加以考虑问题 是我们的目的.后续目标是当假设强度函数是各种简单函

41、数时检验出现的马尔可夫链. 齐次马尔可夫链很容易验证，如果强度函数和是齐次的，那么相应的柯尔莫哥洛夫微分方程3.12和3.16的解仅仅是时间差的函数. 因此，相应的马尔科夫链是均匀的. 为了找到转移概率 (3.22)人们通常会试图找到正向柯尔莫哥洛夫微分方程的解： (3.23)7.4 两状态马尔科夫链及其纯生过程在这一节中我们表明，对两状态的马尔可夫链及其纯净生成过程，怎么解柯尔莫哥洛微分方程得到转移概率函数. 两种状态的马尔可夫链. 令是一个马尔科夫链，使得对于每个， 的唯一可能的值为0或1.（在第1-4节显示了在系统的可导性和半导体噪声研究中这样的过程会自然地出现）从0到1中通过强度被下式

42、给定 . (4.1)则其转移概率可表示为 (4.2)所以柯尔莫哥洛夫微分方程3.23可变换为 (4.3)因为，则第一个方程可以重写为 (4.4)方程4.4是一个常微分方程，在时可以表示为： (4.5)其解可以通过以下定理找到.求一阶线性非齐次方程的通解. 如果g（t）是微分方程的解，则 (4.6)其中是实数和是一个连续函数，然后 (4.7)证 定义 （4.8）那么和. 所以,. 当公式4.6成立，且它满足 (4.9)解方程4.9可得 (4.10)结合方程4.8和4.10，可以得到方程4.7.从方程4.4和4.7和边界条件时，可得出结论 (4.11)根据公式4.11人们可以得到如下的结果.设是一个马尔可夫链，其状态空间为. 转移强度为4.1，则对任何可得 (4.12)令. 由公式4.12可得 (4.13)对，让是间隔0到内该随机过程取值1的时间的比例， 然后的可以