同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式课件

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式 一、问题的提出一、问题的提出 二、二、Pn和和Rn的确定的确定 三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理 四、简单应用四、简单应用 五、小结五、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式一、问题的提出1 1. .设设)(xf在在0 x处处连连续续, ,则则有有2 2. .设设)(xf在在0 x处处可可导导, ,则则有有例例如如, , 当当x很很小小时时, , xex 1 , , xx )

2、1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP, ,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计、误差不能估计.设设函函数数)(xf在在

3、含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误误差差 )()()(xPxfxRnn 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式二二、nP和和nR的的确确定定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x上页上页下页下页返回

4、返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式假假设设 nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(

5、00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在0 x与与x之之间间) ). .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式证明证明: : 由由假假设设, ,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,且且两两函函数数)(xRn及及10)( nxx在在以以0 x及及x为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件, ,得得)()(1()(0011之之间间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010

6、 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式如如此此下下去去, ,经经过过)1( n次次后后, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之之间间与与在在nx 0, ,也也在在0 x与与x之之间间) )()(1()(1021022之之间间与与在在 xxnnRnn 两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 为端点为端点的区间上满足柯西中值定理

7、的条件的区间上满足柯西中值定理的条件, ,得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似似多多项项式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 阶泰勒公式阶泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则由上式得则由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上页上页下页下页返回返回上页上

8、页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式注意注意: :1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()(

9、)()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0与与x之间之间, ,令令)10( x 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)

10、33节泰勒公式四、简单的应用例例 1 1 求求xexf )(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估计误差估计误差)0( x设设!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnex

11、R上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式例例 2 2 计计算算 403cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原原式式.127 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式xy xysin 播放播放五、小

12、结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式播放播放2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1(sinlimxxxxexx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式思思考考题题解解答答)(! 3! 21332xo

13、xxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx .31 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式一、一、当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)( 的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 . . 二、二、求函数求函数xxexf )(的的n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式 . . 三、三、验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误

14、差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01 . . 四、四、应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差. . 五、五、 利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx

15、)10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .练习题答案练习题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式xy xysin 五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式xy xysin ! 33xxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r

16、 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;

17、;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学

18、思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页

19、下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回同济大学高等数学(第四版)33节泰勒公式2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近