2021-2021版高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算(三)学案北师大版选修2-1

1、2空间向量的运算三【学习目标I 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直Q问题导学知识点一空间向量数量积的概念思考1如下图，在空间四边形 OABC中, OA 8, AB= 6, AC= 4, BC= 5,/ OAG45/ OAB= 60,类比平面向量有关运算， 如何求向量3与BC的数量积？并总结求两个向量数量 积的方法思考2在等边 ABC中, ABW BC勺夹角是多少?梳理1定义：两个非零向量a, b,那么|a| b|cos a, b叫作a, b的数量积，记作a b.2数量积的运算律数乘向量与向量

2、数量积的结合律(入 a) b=交换律a b=分配律a ( b + c)=知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数假设a, b是非零向量，那么a丄b?量积的性质假设a与b同向，贝U a b=;假设反向，贝U a b=.特别地，a a=或I al =pa a假设0为a, b的夹角，贝U cos 0 = I a b| | a| b|题型探究类型一 空间向量数量积的运算命题角度1空间向量数量积的根本运算例1(1)以下命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明 p2 q2= (p q)2;22 I p+ q| p-q| = | p - q | ; 假设a与(a b) c- (a c) b均不为0，

3、那么它们垂直设 0 = 120, | a| = 3, | b| = 4,求: a b；(3 a-2b) ( a+ 2b).反思与感悟 (1)如果a, b的模及a与b的夹角，那么可直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于 a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a a= |a|2及数量积公式进行计算跟踪训练1a, b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+ 3b|等于()A. ：7 B. 10 C. 13 D.4命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2 在长方体 ABC1GD中，AB= AA= 2, AD= 4, E为侧面AB的中心，F

4、为AD的中点.试计算：(1) BC ED; (2) BF - AB; (3) EF - FC.豊示91：勾曙刚I www 91 laoke ) -Jr老i帀械i井得理空间向壬的數呈积反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量零向量与任意向量的数量积 为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2 正四面体OABC勺棱长为1,求： (1)( OAF OB) (CA CB ； (2)| OAF O內 OC类型二利用数量积求夹角或模命题角度1利用数量积求夹角例3 BB丄平面 ABC且 ABC是/ B= 90的等腰直角三角形，？ABEA、？BBCC的对角线都分别相互垂直且相等，假设AB= a

5、,求异面直线BA与AC所成的角.反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3PO PA分别是平面a的垂线、斜线，AO是 PA在平面a内的投影，I a ,且I丄OA 求证：I丄PA命题角度2利用数量积求模或距离例 4 如下图，在平行六面体 ABCBiCD 中，AB= 1, AD= 2, AA= 3，/ BAD= 90, / BAA=Z DAA 60,求 AC 的长.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其根本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式| a| = .aa求解即可.4

6、如图，线段 ABL平面a , BC a , CDL BC DF丄平面跟踪训练a，且/ DCF= 30,a的同侧，假设 AB= BC= CD= 2,求A, D两点间的距离.类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题例5 如图，在空间四边形 OAB中, OB= OC AB= AC求证：OAL BC反思与感悟1证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.2证明与空间向量a, b, c有关的向量 m n垂直的方法先用向量a , b , c表示向量 m n ,再判断向量m, n的数量积是否为0.跟踪训练5 向量a, b满足：| a| = 2,

7、| b| = 2 且a与2b a互相垂直，那么 a与b的 夹角为.甌当堂训练1. a，b，c是两两垂直的单位向量，那么|a 2b+ 3c|等于()A.14B. 14C.4D.22. 在长方体 ABC ABCD中，以下向量的数量积一定不为0的是()c.Ab- ADA.AD BCB.BD ACD.BD BC3. 在正方体 ABC ABCD中，有以下命题: (AA+ AiXB2 = 3藏 AiC-(AiBi AiA) = 0; AD与AB的夹角为60.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.04.a，b为两个非零空间向量，右| a| 22，| b| 2，a b承，贝a, b一5.正四面体 ABC

8、D勺棱长为2, E, F分别为BC AD的中点，贝U EF的长为.1一规律与方法 ,1. 空间向量运算的两种方法(1) 利用定义：利用a b= | a| b|cos a, b,并结合运算律进行计算.(2) 利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.2. 在几何体中求空间向量数量积的步骤(1) 首先将各向量分解成模和夹角的向量的组合形式(2) 利用向量的运算律将数量积展开，转化为模和夹角的向量的数量积代入 a b= | a| b|cos a， b 求解.提醒：完成作业第二章 2(三)合案精析2 空间向量的运算三 问题导学知识点一思考 i

9、 bc= Xo- Ab Oa Bo= Sa- aC- Sa- Ab=| 0A ACJcos OA AO - | OA| AB - cos OA 3 =8X 4X cos 135 - 8X 6X cos 120=24 16 2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用夹 角和长度的向量来表示该向量，再代入计算思考2120.梳理(2)入(a - b)b - a a - b+ a - c知识点二2a - b= 0| a| ) b| | a| ) b| a|a - bI a| b|题型探究例1(1)解此命题不正确.2 2 . . 2 | . 2 p q = I p|

10、- I q| ,22而(p q) = (| p| - I q| - cos p, q )=| p|2 - I q|2 cos2p, q,当且仅当 p II q 时，p2 - q2= (p q)2. 此命题不正确.2 2vi p q | = 1( p+ q) -(pq)|=| P+ q| - I p q| - |cos p+ q, p q | ,当且仅当(p + q) /(p q)时，2 2| p q| = ip+ q| - Ipq|. 此命题正确.t a - ( a - b) - c (a - c) - b=a - (a b) - c a ( a c) - b=(a b)( a c) - (a

11、 b)( a c) = 0,且a与(a b) c (a c) b均为非零向量, a 与(a b) c (a c) b 垂直. 解 t a b= | a| b|cos a, b a b= 3x4xcos 1206. (3 a 2b) ( av 2b) = 3| a| + 4a - b 4| b|oo=3|a| + 4| a| b|cos 120 4| b| ,1(3a 2b) ( av 2 b) = 3X 9+ 4X 3x 4X ( 2) 4x 16= 27 - 24 - 64= 61.跟踪训练1 C例2解如图，设辰a,Xb= b, AA= c,那么 | a| = | c| = 2, | b|

12、= 4,a b= b c = c a= 0.(i)葩 ed=b .Re a) + b. 2 21c a+ 2b=| b| = 4 = 16.2 2 (a+ c) = | c| | a|2 2=2 2 = 0. EF- FC=c a=2( - a+ bv c)-1 22尹 + 4|b| = 2.跟踪训练 2 解 (1)( OAvob (CAvSb = (OAvob (Oa ooOb-oc=(6A吐ob (Oa+ OB- 2 OC) = 12 + 1x 1x cos 60 2x 1x 1x cos 60 + 1x 1x cos 60 + 122X 1 x 1 xcos 60 i.(2)| OAv

13、obo(pOaf 血 Sc 2OA+ SB+ SC+ 2 OA-血 Sb. So OA- Sc=：12+ 12+ 12+ 21X 1X COS 60 例3解如下图，/ BA=討 EBB, Xo= XiB+C BA AC=(討 BB) ( AB+ BQ=E3A- AB+ E3A- BQ BBEBB E3C/ ABL BC, BB丄 AB, BB丄 BQ) ) ) ) )2 AB- BC= 0, BB AB 0, BB BC= 0且BA- A* a2. BA XC=- a2.又BA AC= | BA| i AC|cos BA, AC,S S a21 cos 6a=a PC a 0A= 0,所以I丄

14、PA例 4 解因为 AC= AB+ AD- AA,所以 AC2= (AB+ AD- AA) = aB+aD+ AA2-2( AB- AD- AB- AA+ AD- AA).因为/ BAD= 90,/ BAA=/ DAA= 60,所以AB, A = 90, AB AA= AD AA= 60 ,所以 AC2= 1 + 4 + 9+ 2(1 X 3X cos 60 + 2X 3X cos 60 ) =23.因为 AC2=| AC|2,所以 | AC| 2= 23, |AC| = 23 ,即 AC= 23.跟踪训练4 解/ AD= Ab+ Bc- cd-A 2A-A -A 2A 2A 2A 2A-A-A-A-A-AI AD2= ( AB+BC+ CD2 = IAB 2 + | BC2 + | CD2 + 2AB BC- 2AB-CD-2BC-CD= 12 +2(2 2 cos 90 - 2 2 cos120