线性系统的可控性和可观测性ppt课件

1、9-2 9-2 线性系统的可控性和线性系统的可控性和可观测性可观测性动态系统的可控性和可观测性是提示动态系统不变的本质特动态系统的可控性和可观测性是提示动态系统不变的本质特征的两个重要的根本构造特性。征的两个重要的根本构造特性。卡尔曼在卡尔曼在60年代初首先提出形状可控性和可观测性。其后的年代初首先提出形状可控性和可观测性。其后的开展阐明开展阐明,这两个概念对回答被控系统能否进展控制与综合这两个概念对回答被控系统能否进展控制与综合等根本性问题等根本性问题,对于控制和形状估计问题的研讨对于控制和形状估计问题的研讨,有着极其有着极其重要的意义。重要的意义。系统可控性指的是控制造用对被控系统的形状和

2、输出进展控系统可控性指的是控制造用对被控系统的形状和输出进展控制的能够性。制的能够性。 状 态 n维维x(t) r维维u(t) m维维y(t) 能控? 能控? 可观测性反映由能直接丈量的输入输出的量测值来确定可观测性反映由能直接丈量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的形状的能够性。反映系统内部动态特性的形状的能够性。 状 态 x(t) u(t) y(t) 能观测? q 为什么经典控制实际没有涉及到可控性和可观测性问题为什么经典控制实际没有涉及到可控性和可观测性问题?这是由于经典控制实际所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以独一地由传送函数所确定。

3、因此,给定输入,那么一定会存在独一的输出与之对应。反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进展控制,不存在能否控制的问题。此外,输出普通是可直接丈量,不然,那么应能间接丈量。否那么,就无从进展反响控制和考核系统所到达的性能目的。因此,在这里不存在输出能否丈量(观测)的问题。所以,无论是从实际还是实际,经典控制实际和技术普通不涉及到能否控制和能否观测的问题。现代控制实际中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的形状进展分析、优化和控制。形状变量向量的维数普通比输入向量的维数高,这里存在多维形状能否由少维输入控制的问题。此外,形状变量是表征系统动态变化的一组内部

4、变量,有时并不能直接丈量或间接丈量,故存在能否利用可丈量或观测的输入输出的信息来构造系统形状的问题。一、一、 线性延续系统的可控性线性延续系统的可控性本节首先从物理直观性来讨论形状可控的根本含义,然后再引出形状可控性的定义。下面将看到,这种从直观到笼统的讨论,对于了解可控性严厉定义确实切含义是有益的。1. 可控性的直观讨论形状可控性反映输入u(t)对形状x(t)的控制才干。假设形状变量x(t)由恣意初始时辰的恣意初始形状引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是可控的,或者更确切地说,是形状可控的。否那么,就称系统为不完全可控的。下面经过实例来阐明可控性

5、的意义 。 该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为形状变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个形状变量的控制才干。例 某电桥系统的模型如图1所示 。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 图图1 电桥系统电桥系统 q由电路实际知识可知,q假设图1所示的电桥系统是平衡的,电容C2的电压x2(t)是不能经过输入电压u(t)改动的,即形状变量x2(t)是不可控的,那么系统是不完全可控的。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 假设图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t)和x2(t

6、)可以经过输入电压u(t)控制,那么系统是可控的。由形状空间模型来看,中选择两电容器两端电压为形状变量x1(t)和x2(t)时,可得如下形状方程:2221111111xRCxuRCxRCx u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 由上述形状方程可知,形状变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自在衰减的,并不受输入u的控制。因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该形状变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为形状不可控的。 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 例 某并联双水槽系统如图2所示,其截面积均为A,它们经过阀门O均匀地输入

7、等量液体,即其流量QO一样。图图2 并联双水槽系统并联双水槽系统 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡任务点邻域阀门阻力相等并可视为常数,记为R。 图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。 该双水槽系统的形状可控性可分析如下: 对本例的流膂力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。 下面仅思索流量QO的变化量QO所引起的水槽水位的变化。22221111/dd/ddQRhQQthAQRhQQthAOO由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有 1 Q1 O h1 h2 Q2

8、 QO QO 2 其中代表平衡任务点附近的变化量。选上述方程中变化量h1和h2为形状变量,将形状变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,那么有ooQAxARxQAxARx11112211ooQAxARxQAxARx11112211 解上述形状方程,可得d)(1)0()(d)(1)0()(0/)(2/20/)(1/1otARtARtotARtARtQeAxetxQeAxetx)0()0()()(21/21xxetxtxARt由上述解可知,当初始形状x1(0)和x2(0)不等时,那么x1(t)和x2(t)的形状轨迹完全不一样,即在有限时间内两条形状轨线不相交。因此,对该系统,无论如何控制流入的

9、流量QO(t),都不能使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进展恣意控制。上面用实践系统初步阐明了可控性的根本含义,可控性在系统形状空间模型上的反映可由如下两个例子阐明。)0()0()()(21/21xxetxtxARtuxxxxx212112例: 给定系统的形状空间模型与构造图分别为q 本例中,形状变量x1的运动只受初始形状x1(0)的影响,与输入无关,q 即输入u(t)不可控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。q 因此,形状x1(t)不可控,那么整个系统是形状不完全可控的。1/s-1-2 2x1x1/syuuxxxu

10、xxx21221122p 由该形状方程可知,形状变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,p 可以说,x1(t)和x1(t)都是单独可控的。p 对该形状方程求解后可得p x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)p 即形状x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。例: 给定系统的形状空间模型为 因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或形状空间中的恣意形状,只能被控制在满足由形状方程解所规定的形状空间中的曲线上。 所以,虽然形状x1(t)和x2(t)都是单独可控的,但整个系统并不可控。 前面4个例子,可经过直观分析来讨论系统的形状可

11、控性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判别可控性是困难的。 下面将经过给出形状可控性的严厉定义,来导出断定系统可控性的充要条件。2. 形状可控性的定义形状可控性的定义由形状方程由形状方程及形状方程求解公式可知及形状方程求解公式可知,形状的变化主要取决于系统的初始形状和初始形状的变化主要取决于系统的初始形状和初始时辰之后的输入时辰之后的输入,与输出与输出y(t)无关。无关。因此研讨讨论形状可控性问题因此研讨讨论形状可控性问题,即输入即输入u(t)对形对形状状x(t)能否控制的问题能否控制的问题,只需思索系统在输入只需思索系统在输入u(t)的作用和形状方程的性质的作用和形状方程的性质,与输出与输出

12、y(t)和和输出方程无关。输出方程无关。对线性延续系统对线性延续系统,我们有如下形状可控性定义。我们有如下形状可控性定义。( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u tq 定义定义1 假设线性时变延续系统假设线性时变延续系统q 对初始时辰对初始时辰t0(t0T,T为时间定义域为时间定义域)和和初始形状初始形状x(t0),q 存在另一有限时辰存在另一有限时辰t1(t1t0,t1T),q 可以找到一个控制量可以找到一个控制量u(t),q 能在有限时间能在有限时间t0,t1内把系统状内把系统状 x2 x1 0 x(t0) x(t0) x(t0) 态从初始形状x(t0)控制到原点

13、,即x(t1)=0,那么称t0时辰的形状x(t0)可控;假设对t0时辰的形状空间中的一切形状都可控,那么称系统在t0时辰形状完全可控;简称为系统可控。( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u tq 对上述形状可控性的定义有如下讨论:q 1. 控制时间t0,t1是系统形状由初始形状转移到原点所需的有限时间。q 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时辰t0有关。q 对于定常系统,该控制时间与t0无关。q 所以,对于线性定常系统形状可控性,可不用在定义中强调“在一切时辰形状完全可控,而为“某一时辰形状完全可控,那么系统形状完全可控。2. 在上述定义中在上述定义

14、中,对输入对输入u(t)没有加任何约束没有加任何约束,只需能使形只需能使形状方程的解存在即可。状方程的解存在即可。假设矩阵假设矩阵A(t)和和B(t)以及向量以及向量u(t)的每个元素都是的每个元素都是t的分段的分段延续函数延续函数,那么形状方程存在独一解。那么形状方程存在独一解。u(t)为分段延续的条件为分段延续的条件,在工程上是很容易满足的。在工程上是很容易满足的。3. 线性定常延续系统的形状可控性判据线性定常延续系统的形状可控性判据线性定常延续系统线性定常延续系统 (A,B)形状可控性判据有许多不同方式形状可控性判据有许多不同方式,包括包括格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据秩判据秩判据模态判据

15、模态判据( )( )( )x tAx tBu t1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据线性定常延续系统线性定常延续系统 (A,B)形状完全可控的充要条形状完全可控的充要条件为件为:存在存在t1(t10),使得如下可控格拉姆使得如下可控格拉姆(Gram)矩阵为非奇特的矩阵为非奇特的110(0, )dTtAtTA tWteBB et2秩判据秩判据线性定常延续系统线性定常延续系统 (A,B)形状完全可控的充要条形状完全可控的充要条件为件为:定义如下的可控性矩阵定义如下的可控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩满秩, rankQc=rankB AB An-1B=n 证明如下: 对于线性定常系统,由可控性定义可

16、知,其形状可控性与初始时辰无关。 因此,不失普通性,可设初始时辰t0为0。 根据形状方程解的表达式,有q 证明 在证明可控性判据之前,下面首先证明线性定常系统形状完全可控等价于下述方程对恣意的初始形状x(0)有控制输入u(t)的解。10d)()0(tABuex1110)(1d)()0()(ttAAtBtuexex 由可控性的定义有,假设可控,那么应存在t1(t10)和分段延续的u(t),使得x(t1)=0,即1110)(d)()0(0ttAAtBuexe即10(0)( )dtABxeu 因此,线性定常系统形状可控的充要条件为: 上述方程对恣意的x(0)有输入u(t)的解。 下面将利用该方程证明

17、判别形状可控性的充要条件。10)(enkkkAtAt 由凯莱-哈密顿定理,有因此代入10(0)( )dtABxeu11110000(0)( )( )d( ) ( )nnttkkkkkkA Bd xuA Bu得：10( ) ( )tkkdf u011101(0).nknkknfffBABABf xA B令：011101(0).nknkknfffBABABf xA B321001000101xaaa xuq 例题：例题： 试判别如下系统的形状可控性试判别如下系统的形状可控性解 由形状可控性的代数判据有212121110100aaaAaAbbb212121001rankrankrank 0131cQ

18、AAanaaabbb因此,该系统形状完全可控。 例题：例题： 设系统的形状方程为设系统的形状方程为判别其形状可控性。判别其形状可控性。 解：系统的可控性矩阵为解：系统的可控性矩阵为Qc = B AB A2B = 3 2 2 22 2ux1-1-1112310020231x 对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常延续系统对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常延续系统(A,B), 有：有： 1) 假设假设A的一切特征值互异的一切特征值互异,那么系统可控的充要条件为：那么系统可控的充要条件为： B中不包含元素全为中不包含元素全为0的行；的行； 2) 假设假设A有重特征值有重特征值,那么系统可控的

19、充要条件为：那么系统可控的充要条件为： 重特征值对应的重特征值对应的B中的行线性无关。中的行线性无关。12( )( )( )nx tx tBtu3 模态判据模态判据q 例题：判别下述系统的形状可控性例题：判别下述系统的形状可控性7215517( ) ( )( )( )ttu t xx7225019( ) ( )( )( )ttu t xx7013540175( ) ( )( )( )tttxxuq 例题：对于如下图的系统，列写该系统的形状方程，并判别该系统的可控性。 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 ooQAxARxQAxARx11112211uAAxxARARxx1110012

20、121q 约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常延续系统约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常延续系统 (A,B),有有:q 1) 假设假设A为每个特征值都只需一个约旦块的约旦矩阵为每个特征值都只需一个约旦块的约旦矩阵,那么系那么系统可控的充要条件为统可控的充要条件为q 对应对应A的每个约旦块的的每个约旦块的B的分块的最后一行都不全为零的分块的最后一行都不全为零;q 2) 假设假设A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,那么系那么系统可控的充要条件为统可控的充要条件为q 对应对应A的每个特征值的一切约旦块的的每个特征值的一切约旦块的B的分块的最后一行

21、线的分块的最后一行线性无关。性无关。 模态判据不仅可判别出形状可控性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一形状不可控。 这对于进展系统分析和反响校正是非常有协助的。u52x5007) 1 (x q 解 由对角型判据可知,A为特征值互异的对角线矩阵,且B中各行不全为零,故系统形状完全可控。q 例题： 试判别如下系统的形状可控性。q 解 A的每个特征值都只需一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故形状x1和x2不可控,那么系统形状不完全可控。41000(2)0400000311xxu形状空间x1-x2-x3不完全可控形状子空间x1-x2不完全可控形状

22、变量x3完全可控形状变量x2完全不可控形状变量x1完全不可控q 解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关,q 且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零,故系统形状完全可控。410000040001(3)003020000421xxuq 解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关,故该系统的形状x1,x2和x4不完全可控,那么系统形状不完全可控。4100004001(4)0030200043x xu形状空间x1-x2-x3-x4不完全可控形状子空间x1-x2-x4不完全可控形状变量x3完全可控qPBH秩判据： 线性定常延续系

23、统(A,B)形状完全可控的充必条件为:对于一切的i,下式成立:qrankiI-A B=n q 解 由方程|iI-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。q 对特征值1=1,有ux111112310020231x q 例题： 试判别如下系统的形状可控性。nBI-A3112101101012230rankrank1 对特征值2=2,有nBI-A3111101100012231rankrank2 对特征值3=3,有nBI-A2110101101012232rankrank3 由PBH秩判据可知, 该系统形状不完全可控。q 可控性判据小结断定方法特点判据秩判据规范型判据PBH秩判据可控性矩阵Q

24、c=B AB An-1B满秩约旦规范形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关对于一切特征值 , rankI-A B=n 计算简便可行。 缺陷为不知道形状空间中哪些变量(特征值/极点)可控 易于分析形状空间中哪些变量(特征值/极点)可控。 缺陷为需变换成规范形 易于分析哪些特征值(极点)可控。 缺陷为需求系统的特征值二、二、 线性定常延续系统的输出可控性线性定常延续系统的输出可控性在控制系统分析和设计中在控制系统分析和设计中, ,系统的被控制量往往系统的被控制量往往不是系统的形状变量不是系统的形状变量, ,而是系统的输出变量。而是系统的输出变量。因此因此, ,有必要研讨系统的输出能否控制

25、的问题。有必要研讨系统的输出能否控制的问题。经典控制实际讨论的为经典控制实际讨论的为SISOSISO系统输入输出的分系统输入输出的分析和综合问题析和综合问题, ,其输入输出间动态关系可以独其输入输出间动态关系可以独一地由传送函数所确定。一地由传送函数所确定。因此因此, ,对给定的期望输出呼应对给定的期望输出呼应, ,输入那么独一地输入那么独一地确定确定, ,不存在输出能否控制的问题。不存在输出能否控制的问题。但对于但对于MIMOMIMO系统系统, ,由于输入向量和输出向量是多由于输入向量和输出向量是多维的维的, ,因此因此, ,存在存在r r维的输入能否控制维的输入能否控制m m维的输维的输出

26、的可控性问题。出的可控性问题。q 定义：假设线性定常延续系统(A,B,C,D),q 对初始时辰t0(t0T,T为系统的时间定义域)和恣意初始输出值y(t0),q 存在另一有限时辰t1(t1t0,t1T),可以找到一个输入控制向量u(t),q 能在有限时间t0,t1内把系统从初始输出y(t0)控制到原点,即y(t1)=0,q 那么称系统输出完全可控,简称为系统输出可控。 假设系统存在某个初始输出值y(t0)不满足上述条件,那么称此系统是输出不完全可控的,简称为输出不可控。 定理：线性定常延续系统(A,B,C,D)输出完全可控的充要条件为输出可控性矩阵 CB CAB CAn-1B D 满秩,即 r

27、ank CB CAB CAn-1B D=m 其中m为输出向量的维数。 q 例题：试判别如下系统的输出可控性例题：试判别如下系统的输出可控性uxyux0 11 110000 x q 解 由输出可控性的代数判据有q rankCB CAB D=rank2 0 0=1=mq 故系统输出完全可控。 q 对例题中的系统,由于210101rankrankABB故系统是形状不完全可控的。q 因此,由例题可知,输出可控性与形状可控性是不等价的两个不同概念,它们之间亦没有必然的联络。q 本节首先从物理直观性来讨论形状可观测性的根本含义,然后再引出形状可观测性的定义。q 下面将看到,这种从直观到笼统的讨论,对于了解

28、可观测性严厉定义确实切含义是有益的。q 本节讲授顺序为:q 可观测性的直观讨论q 形状可观测性的定义q 线性定常延续系统的形状可观测性判据三、三、 线性延续系统的可观测性线性延续系统的可观测性1. 可观测性的直观讨论可观测性的直观讨论形状可观测性反映系统外部可直接或间接丈量形状可观测性反映系统外部可直接或间接丈量的输出的输出y(t) 来确定或反映系统形状的才干。来确定或反映系统形状的才干。假设系统的任何内部运动形状变化都可由系统假设系统的任何内部运动形状变化都可由系统的外部输出的外部输出y(t)独一地确定独一地确定,那么称系统是可那么称系统是可观测的观测的,或者更确切地说或者更确切地说,是形状

29、可观测的。是形状可观测的。否那么否那么,就称系统为形状不完全可观测的。就称系统为形状不完全可观测的。下面经过几个例子来阐明可观测性的意义。下面经过几个例子来阐明可观测性的意义。q例 思索右图所示的电网络系统由输出变量的值确定形状变量值的才干问题。 + R1 R2 R3 L1 L2 i1 i2 i3 u(t) - 当电阻R1=R2,电感L1=L2,输入电压u(t)=0,以及两个形状变量的初始形状x1(t0)=x2(t0)且为恣意值时,必定有i3(t)=0,即输出变量y(t)恒为零。 因此,由恒为零的输出y(t)显然不能确定经过两个电感的电流值i1(t)和i2(t),即由输出y(t)不能确定形状变

30、量x1(t)和x2(t)的值。q 该电网络模型中,u(t)为输入电压, y(t) =i3(t)为输出变量,经过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为形状变量x1(t)和x2(t)。图图 电网络电网络 但当电阻R1R2或电感L1L2时,那么上述由输出y(t)不能确定形状变量x1(t)和x2(t)的值的特性能够不成立。 这种能由输出变量值确定形状变量值的特性称为形状可观测,假设由输出变量值不能独一确定出形状变量值的特性那么称为形状不可观测。 + R1 R2 R3 L1 L2 i1 i2 i3 u(t) - 从形状空间模型上看， 中选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为形状变量x1(t)和x

31、2(t)时，形状空间模型为13311211132321222121RRRxxxuLLLRRRxxxLLyxx + R1 R2 R3 L1 L2 i1 i2 i3 u(t) - 当电路中电阻值当电路中电阻值R1=R2=R,电感值电感值L1=L2=L时时,假设输入电压假设输入电压u(t)忽然短忽然短路路,即即u(t)=0,那么形状方程为那么形状方程为 显然显然,当形状变量的初始形状为当形状变量的初始形状为x1(t0)=x2(t0)且为恣意值时且为恣意值时,上述形状方程上述形状方程的解必有的解必有x1(t)=x2(t),故有故有y(t)=i3(t)=0,即输出变量即输出变量y(t)恒为零。恒为零。

32、因此因此,由观测到的恒为零的输出变量由观测到的恒为零的输出变量y(t)不能确定形状变量不能确定形状变量x1(t)和和x2(t)的的值值,即由输出即由输出i3(t)不能确定经过两个电感的电流值不能确定经过两个电感的电流值i1(t)和和i2(t)。3311233212RRRxxxLLRRRxxxLL 13311211132321222121RRRxxxuLLLRRRxxxLLyxx 但当电路中电阻值R1R2或电感值L1L2时,那么上述由输出y(t)不能确定形状变量x1(t)和x2(t)的值的特性能够不成立。 这种由可丈量的输出变量的值能独一确定形状变量的值的特性称为形状可观测,假设不能独一确定那么

33、称为形状不可观测。 C u(t) K t0 R1 R2 uC iL y(t) + - + + - - L q 例：右图所示的电网络中,电源电压u(t)为输入,电压y(t)为输出,并分别取电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为形状变量x1(t)和x2(t)。 因此,由输出变量y(t)显然不能确定电压值uC(t),即由输出y(t)不能确定形状变量x1(t)的值。 故,该电网络在开关K断开后,是形状不可观测的。 当开关K在t0时辰断开后,显然电容C和电阻R1构成一阶衰减电路,电容电压uC(t)的变化只与初始形状uC(t0)有关,与衰减电路外其他信号无关。q 例:给定系统的形状空间模型为212211

34、xxyxxxxq 由形状方程可知:q 形状变量x1(t)和x2(t)可分别由初始形状x1(t0)和x2(t0)独一决议,并可表示为q xi(t)=e-txi(0) i=1,2 因此,输出变量y(t)可表示为 y(t)=e-tx1(0)+x2(0) 由y(t)的解可知,由y(t)并不能独一地分别确定初始形状x1(t0)和x2(t0),进而独一地确定形状变量x1(t)和x2(t), 即x1(t)和x2(t)是形状不可观测的,整个系统的形状是不完全可观测的。 前面3个例子,可经过直观分析来讨论系统的形状可观测性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判别可观测性是困难的。 下面将经过给出形状可观测性的严厉

35、定义,来导出断定形状可观测性的充要条件。2. 形状可观测性的定义形状可观测性的定义对线性系统而言对线性系统而言,形状可观测性只与系统的输出形状可观测性只与系统的输出y(t),以及系统矩阵以及系统矩阵A和输出矩阵和输出矩阵C有关有关,与系统与系统的输入的输入u(t)和输入矩阵和输入矩阵B无关无关,即讨论形状可观测性时即讨论形状可观测性时,只需思索系统的自在运只需思索系统的自在运动即可。动即可。ttttBtCtttCtBttttt00d)()()()()(d)()()()()(0000uxyuxxq 上述结论可证明如下:对线性定常系统(A,B,C),其形状和输出的解分别为 由于矩阵A,B,C和输入

36、u(t)均知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是知项。故可以定义如下辅助输出:)()-(d) () -(-)()(000tttCBtCttttxuyy 研讨形状可观测性问题,即为上式对恣意的初始形状x(t0)能否由辅助输出y-(t)来独一确定的问题。 所以线性系统形状可观测性仅与输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与输入矩阵B和输入u(t)无关。 也就是说,分析线性系统的可观测性时,只需思索齐次形状方程和输出方程即可。 因此,我们有如下线性系统形状可观测性的定义。 对线性延续系统,我们有如下形状可观测性定义。000( )() ( )()( )dtttCtttCt Byxuq 定义：

37、假设线性延续系统定义：假设线性延续系统 对初始时辰t0(t0T,T为时间定义域)和初始形状x(t0), 存在另一有限时辰t1(t1t0,t1T), 根据在有限时间区间t0,t1内量测到的输出y(t), 可以独一地确定系统在t0时辰的初始形状x(t0), 那么称在t0时辰的形状x(t0)可观测; 假设对t0时辰的形状空间中的一切形状都可观测,那么称系统在t0时辰形状完全可观测;假设存在某个形状x(t0) 不可观测，称此系统是形状不完全可观测的,简称系统为形状不可观测。)()()()()()(ttCtttAtxyxx q 对上述形状可观测性的定义有如下注记。q 1.对于线性定常系统,由于系统矩阵A

38、(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵,与时间无关,q 因此不用在定义中强调“在一切时辰形状完全可观测,而为“某一时辰形状完全可观测,那么系统形状完全可观测。2.上述定义中的输出观测时间为上述定义中的输出观测时间为t0,t1,并要求并要求t1t0。这是。这是由于由于,输出变量输出变量y(t)的维数的维数m普通总是小于形状变量普通总是小于形状变量x(t)的的维数维数n。否那么。否那么,假设假设m=n且输出矩阵且输出矩阵C(t)可逆可逆,那么那么x(t)=C-1(t)y(t)即形状变量即形状变量x(t)可直接由输出可直接由输出y(t)确定。由于确定。由于m0),使得如下可观测格拉姆使得如下可观测格拉

39、姆(Gram)矩阵为非奇特的矩阵为非奇特的110(0, )dTtA tTAtMteC Cet2秩判据秩判据线性定常延续系统线性定常延续系统 (A,C) 完全可观测的充要条完全可观测的充要条件为件为:定义如下的可观测性矩阵定义如下的可观测性矩阵满秩满秩,即即 rankQo=n1.noCACACQ证明 对于线性定常系统,由可观测性定义可知,其形状可观测性与初始时辰无关。因此,不失普通性,可设初始时辰t0为0。根据输出方程解的表达式,有y(t)=CeAtx(0)由可观测性的定义可知,线性定常延续系统的形状能否完全可观测,等价于上述方程能否有x(0)的独一解问题。将凯莱-哈密顿定理代入上式：10)(e

40、nkkkAtAt)0()( . . )( )( )0()(.)()()0()()(1110111010 xCACACItItItxAtCAtCtCxAtCtynqnqqnnnkkkq 例： 试判别如下系统的形状可观测性xyx 110154x q 解 由形状可观测性的代数判据有15511rankrankrankCACQo而系统的形状变量的维数n=2,所以系统形状不完全可观测。 对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常延续系统对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常延续系统(A,C), 有：有： 1) 假设假设A的一切特征值互异的一切特征值互异,那么系统可观测的充要条件为：那么系统可观测的充要条件

41、为： C中不包含元素全为中不包含元素全为0的列；的列； 2) 假设假设A有重特征值有重特征值,那么系统可观测的充要条件为：那么系统可观测的充要条件为： 重特征值对应的重特征值对应的C中的列线性无关。中的列线性无关。12( )( )( )( )( )nx tx tBty tCx tu3 模态判据模态判据q 约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常延续系统约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常延续系统 (A,C),有有:q 1) 假设假设A为每个特征值都只需一个约旦块的约旦矩阵为每个特征值都只需一个约旦块的约旦矩阵,那么系那么系统可观测的充要条件为统可观测的充要条件为q 对应对应A的每个约旦块的

42、的每个约旦块的C的分块的第一列不全为零的分块的第一列不全为零;q 2) 假设假设A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,那么系那么系统可观测的充要条件为统可观测的充要条件为q 对应对应A的每个特征值的一切约旦块的的每个特征值的一切约旦块的C的分块的第一列线性的分块的第一列线性无关。无关。 模态判据不仅可判别出形状可观测性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一形状不可观测。 这对于进展系统分析、形状观测器和反响校正是非常有协助的。q 例： 试判别如下系统的形状可观测性。x3yx05007) 1 (x q 解 由定理4-8可知,A为特征值

43、互异的对角线矩阵,但C中的第2列全为零,故该系统的形状x2不可观测,那么系统形状不完全可观测。形状空间x1-x2不完全可观测形状变量x1完全可观测形状变量x2完全不可观测xyx121300040014)2(x q 解 由于A为每个特征值都只需一个约旦块,且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零,故系统形状完全可观测。q 解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的C的分块的第一列线性相关,该系统的形状x1,x2和x4不完全可观测,那么系统形状不完全可观测。xyx012020114000030000400014)3(x 形状空间x1-x2-x3-x4不完全可观测形状变量x1-x2-x4不完全可

44、观测形状变量x3完全可观测q PBH秩判据： 线性定常延续系统(A,C)形状完全可观测的充要条件为:对于一切的i,下式成立:rankiIAnCq 例题：试判别如下系统的形状可观测性。xyx1546116100010 x q 解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为-1,-2和-3。对特征值1=-1,有nCI-A21545116110011rankrank1列3=列2-列1q 可观测性判据小结断定方法特点判据代数判据规范性判据PBH秩判据可观测性矩阵Qo满秩约旦规范形中同一特征值对应的C矩阵分块的第一列线性无关对于一切特征值 , rankI-A C=n 计算简便可行。 缺陷为不知道形

45、状空间中哪些变量(特征值/极点)可观测 易于分析形状空间中哪些变量(特征值/极点)可观测。 缺陷为需变换成规范形 易于分析哪些特征值(极点)可观测。 缺陷为需求系统的特征值v 补充可控性和可观测判据：补充可控性和可观测判据：v 对单输入系统，对单输入系统，(sI-A) -1b无零极点对消是系统完全可控的无零极点对消是系统完全可控的 充要条件。充要条件。v 对单输出系统，对单输出系统，c(sI-A) -1无零极点对消是系统完全可观测无零极点对消是系统完全可观测的的 充要条件。充要条件。v 结论：结论：v 对单输入单输出系统，传送函数对单输入单输出系统，传送函数G(s)=c(sI-A) -1b无零

46、极点对无零极点对消是系统完全可控可观测的充要条件。消是系统完全可控可观测的充要条件。v 传送函数描画的只是可控又可观测部分；传送函数描画的只是可控又可观测部分；v 传送函数中消去的极点对应于不可控或不可观测模态。传送函数中消去的极点对应于不可控或不可观测模态。q 例题：为使例题：为使 描画的系统可控又可观测，问描画的系统可控又可观测，问a应应q 满足什么条件？满足什么条件？12( )()()sG sssaxyx11103210) 1 (ux xyx10113120)2(ux p 例题：知系统传送函数例题：知系统传送函数1写出系统可控不可观测的动态方程；写出系统可控不可观测的动态方程；2写出系统

47、可观测不可控的动态方程；写出系统可观测不可控的动态方程；231)(2ssssGq 例题：知系统传送函数例题：知系统传送函数 q 1写出系统可控不可观测的动态方程；写出系统可控不可观测的动态方程；q 2写出系统可观测不可控的动态方程；写出系统可观测不可控的动态方程；q 解：解：21013212( )sG sssssxyx10112001) 1 (ux xyx11102001)2(ux 本节主要讲述线性离散系统的形状可控性本节主要讲述线性离散系统的形状可控性/可观测性的定义可观测性的定义和判据。和判据。由于线性延续系统只是线性离散系统当采样周期趋于无穷小由于线性延续系统只是线性离散系统当采样周期趋

48、于无穷小时的无限近似时的无限近似,所以所以离散系统的形状可控性离散系统的形状可控性/可观测性的定义与线性延续系统的极可观测性的定义与线性延续系统的极其类似其类似,可控性可控性/可观测性判据那么在方式上根本一致。可观测性判据那么在方式上根本一致。四、线性离散系统的可控性和可观测性四、线性离散系统的可控性和可观测性本节的主要内容为:线性定常离散系统的形状可控性线性定常离散系统的可观测性延续动态方程离散化后的形状可控性和可观测性1. 线性离散系统的形状可控性定义线性离散系统的形状可控性定义定义：定义： 对线性时变离散系统对线性时变离散系统x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)假设对恣意非零

49、初始形状假设对恣意非零初始形状x(l),存在控制造用序列存在控制造用序列u(k),使系使系统在第统在第n步上到到达原点步上到到达原点,即即x(n)=0,那么称形状在时辰那么称形状在时辰l可可控控;假设形状空间中的一切形状都可控假设形状空间中的一切形状都可控,那么称系统形状完全可那么称系统形状完全可控控;假设存在某个形状不可控假设存在某个形状不可控,称此系统是形状不完全可控的称此系统是形状不完全可控的,简简称系统为形状不可控。称系统为形状不可控。在上述形状可控性定义中在上述形状可控性定义中,只需求在只需求在n步之内寻觅控制造用步之内寻觅控制造用,使得系统形状在第使得系统形状在第n步上到达原点。步

50、上到达原点。这是由于这是由于,可以证明可以证明,假设离散系统在假设离散系统在n步之内不存在控制造步之内不存在控制造用使得对恣意初始形状控制到原点用使得对恣意初始形状控制到原点,那么在那么在n步以后也不步以后也不存在控制造用使形状在有限步之内控制到原点。存在控制造用使形状在有限步之内控制到原点。故在上述定义中故在上述定义中,只需求系统在只需求系统在n步之内寻觅控制造用。步之内寻觅控制造用。q 定理定理 (线性定常离散系统可控性秩判据线性定常离散系统可控性秩判据) 对线性定常离散系对线性定常离散系统统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，有如下形状可控性判据，有如下形状可控性判据:q 1) 假设系

51、统矩阵假设系统矩阵G为非奇特矩阵，那么形状完全可控的充要为非奇特矩阵，那么形状完全可控的充要条件为如下定义的可控性矩阵条件为如下定义的可控性矩阵:q Qc=H GH Gn-1Hq 满秩，即满秩，即q rankQc=nq 2) 假设系统矩阵假设系统矩阵G为奇特矩阵，那么系统形状完全可控的充为奇特矩阵，那么系统形状完全可控的充要条件为要条件为 q rankQc=rankQc Gn2. 2. 线性定常离散系统的形状可控性判据线性定常离散系统的形状可控性判据证明证明 线性定常离散系统形状方程的解如下线性定常离散系统形状方程的解如下:101)()0()(kjjkkjHGGkuxx 设在第设在第n步上能使

52、初始形状步上能使初始形状x(0)转移到零形状转移到零形状,于是上式于是上式可记为可记为101)()0(0njjnnjHGGux即即11120(0)( )(0)(1).( -1)nnnjnnjGGHjGHGHHn xuuuu 上式写成矩阵方式即为上式写成矩阵方式即为)0()0(.)2() 1(.1xuuunnGnnHGGHH 这是一个非齐次线性代数方程组这是一个非齐次线性代数方程组,由线性方程组解的存在由线性方程组解的存在性实际可知性实际可知,上式存在控制序列上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充的充要条件为要条件为 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn

53、 x(0)11120(0)( )(0)(1).( -1)nnnjnnjGGHjGHGHHn xuuuu 思索到系统的初始形状思索到系统的初始形状x(0)是属于是属于n维形状空间中恣意维形状空间中恣意一个形状一个形状,因此上式等价于因此上式等价于 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn 即证明了系统形状完全可控的充要条件为可控性矩阵满即证明了系统形状完全可控的充要条件为可控性矩阵满足足 rankQc=rankQc Gn 即定理的结论即定理的结论2)得以证明。得以证明。rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gnx(0)q 当系统矩阵当系统矩阵G满秩时

54、满秩时,显然有显然有q rankGn=nq 因此因此q rankH GH Gn-1H Gn=nq 所以由结论所以由结论1可知可知,在系统矩阵在系统矩阵G满秩时满秩时,系统形状完全可系统形状完全可控的充要条件为控的充要条件为q rankQc=rankH GH Gn-1H=nq 留意：留意：q 假设离散系统可控，那么经假设离散系统可控，那么经n个采样周期一定可以到达形个采样周期一定可以到达形状空间原点，即状空间原点，即 x(n)=0；q 假设离散系统可控，由恣意初始形状转移到形状空间原点假设离散系统可控，由恣意初始形状转移到形状空间原点普通也可以少于普通也可以少于n个采样周期个采样周期q rank

55、Qc=rankQc Gn)(01)(0010) 1(kkkuxxq 解解 由线性定常离散系统的可控性矩阵的定义有由线性定常离散系统的可控性矩阵的定义有10001rankrankrankGHHQc但但100000001rankrank2GQc因此因此rankQc=rankQc G2由定理的结论由定理的结论2可知可知,该系统形状完全可控。该系统形状完全可控。q 例例: 试判别如下系统的形状可控性试判别如下系统的形状可控性)(101)(011220001) 1(kkkuxxq 解解 G G为非奇特阵，由系统形状可控性判据有为非奇特阵，由系统形状可控性判据有nHGGHHQc3311220111rank

56、rankrank2q 例例: 试判别如下系统的形状可控性，假设初始形状试判别如下系统的形状可控性，假设初始形状x(0)=2 1 0T，确定使确定使x(3)=0的控制序列的控制序列u(0), u(1), u(2)；研讨使；研讨使x(2)=0的能够的能够性性q2 线性定常离散系统的可观测性线性定常离散系统的可观测性q与线性延续系一致样与线性延续系一致样,线性离散系统的形状线性离散系统的形状可观测性只与系统输出可观测性只与系统输出y(k)以及系统矩阵以及系统矩阵G和输出矩阵和输出矩阵C有关有关,q即只需思索齐次形状方程和输出方程即可。即只需思索齐次形状方程和输出方程即可。q下面我们先引入线性定常离散

57、系统形状可观下面我们先引入线性定常离散系统形状可观测性的定义。测性的定义。 对初始形状x(l),根据在n个采样周期内采样到的输出向量y(k) 能独一地确定系统的初始形状x(0),那么称形状x(l)可观; 假设对形状空间中的一切形状都可观,那么称系统形状完全可观,简称为系统可观。假设存在某个形状x(l)不可观,称此系统是形状不完全可观的,简称系统为形状不可观。 q 定义：定义： 假设线性时变离散系统假设线性时变离散系统)()()()()() 1(kkCkkkGkxyxxq 在线性定常离散系统的形状可观测性定义中在线性定常离散系统的形状可观测性定义中,只需求以在只需求以在n个采样周期内采样到的个采

58、样周期内采样到的输出来确定系统的形状。输出来确定系统的形状。q 这是由于这是由于,可以证明可以证明:q 假设由假设由n个采样周期内的输出向量序列不能独一确定系统的初始形状个采样周期内的输出向量序列不能独一确定系统的初始形状,那么由多于那么由多于n个采样周期的输出向量序列也不能独一确定系统初始形状。个采样周期的输出向量序列也不能独一确定系统初始形状。q 对线性定常离散系统对线性定常离散系统,存在与线性定常延续系统在方式上完全一致的形状可观测存在与线性定常延续系统在方式上完全一致的形状可观测性判据。性判据。1.noCGCGCQ满秩,即 rankQo=nq 定理：线性定常延续系统定理：线性定常延续系

59、统 (G,C)形状完全可观的充分必要形状完全可观的充分必要条件为如下定义的可观测性矩阵条件为如下定义的可观测性矩阵:) 0() 0(.) 1(.) 1 () 0(1xxyyyonQCGCGCnq 证明 本定理的证明可直接由线性代数方程组的解独一性实际给出。q 由线性定常离散系统的形状空间模型的求解公式,可得q y(0)=Cx(0)q y(1)=Cx(1)=CGx(0)q q y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0)q 将上述n个方程写成矩阵的方式,有 因此,由线性方程的解存在性实际可知,无论输出向量的维数能否大于1,上述方程有x(0)的独一解的充分必要条件为 rankQo=n 由可观测

60、性的定义可知,上式亦为线性定常离散系统(G,C)形状完全可观的充要条件。)(010)()(203120101) 1(kkkkxyxxq 例： 试判别如下系统的形状可观测性q 解 由形状可观测性判据有nCGCGCQo3010421300rankrankrank2q 系统完全可观测q 留意：系统完全可观测意味着至多经n步便可由输出y(k),y(k+1),y(k+n-1)的丈量值来确定n个形状变量。)(001100)()(203120101) 1(kkkkxyxxq 例： 试判别如下系统的形状可观测性q 解 由形状可观测性判据有nCGCGCQo2311201000000291310rankrankr