第2章 直线与圆

1、第第2章章 直线与圆的方程直线与圆的方程 直线的方程 圆与方程 在平面直角坐标系中，点P与有序实数对（x，y）一一对应，我们把有序实数对（x，y）称为点P的坐标2.1 两点间的距离与线段的中点的两点间的距离与线段的中点的坐标坐标点与有序实数对点与有序实数对已知：A（x1，y1） B（x2，y2） C（x1，y2）2.1 两点间的距离与线段的中点的两点间的距离与线段的中点的坐标坐标一、两点间的距离公式一、两点间的距离公式则：ACy2y1 BCx2x1所以：例1：求P1（-4，5）P2（8，11）两点间的距离P1P22.1 两点间的距离与线段的中点的两点间的距离与线段的中点的坐标坐标两点间的距离公

2、式两点间的距离公式解 由两点间的距离公式，得 P1P2= 565-114-822）（）（2.1 两点间的距离与线段的中点的两点间的距离与线段的中点的坐标坐标二、线段中点的坐标二、线段中点的坐标特别地，当点P是线段P1P2的中点时，222121yyyxxx叫做有向线段P1P2的中点坐标公式。2.1 两点间的距离与线段的中点的两点间的距离与线段的中点的坐标坐标例1 已知线段AB的中点坐标为(4，2),端点A的坐标为（-2,3），求另一端点B的坐标。 解 设端点B的坐标为（x,y),由中点坐标公式，得解得 x=10 ,y=1 所以，端点B的坐标为（10,1） 22-4232xy小节 平面上两点接距离

3、公式 线段中点的坐标公式2.2 直线的方程直线的方程 平面上两点能确定一条直线l，这两个已知点就是确定直线l的几何要素一、直线的倾斜角和斜率一、直线的倾斜角和斜率 用于固定桥塔的每条斜拉钢索所在的直线都是由两个已知点（桥塔上一点和桥栏上一点）来确定的2.2 直线的方程直线的方程 一点能确定一条直线l的位置吗？2.2 直线的方程直线的方程 倾斜角倾斜角在直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所形成的最小正角 0180，0，） 斜率斜率直线倾斜角（90）的正切称为直线的斜率通常用小写字母k表示当直线垂直于y轴时，0 k0；当直线的倾斜角是锐角时，090 k0

4、；当直线垂直于x轴时，90 k不存在；当直线的倾斜角是钝角时，90180 02.2 直线的方程直线的方程2.2 直线的方程直线的方程例题解析例例 已知直线l过下列两点，求它的斜率k（）P1（-1，-4），P2 （3，-1）（）P1 （-2，4）， P2 （2，1）2.2 直线的方程直线的方程所以，直线l的斜率k . 解 设过两点P1 （x，y）， P2 （ x2，y2 ）的直线l的倾斜角为（90），过P1与P2分别作轴的平行线与y轴的平行线，两条线相交于点，于是点的坐标为（ x2 ， y ） （）为锐角，且PP，（3，4）在直角三角形PP中， 2.2 直线的方程直线的方程 （）为钝角，且180

5、PP，（2，4）因此， 在平面直角坐标系中，经过两点P（x1，y1）， P2 （ x2，y2 ），（ x1 x2）的直线的斜率公式斜率公式是 2.2 直线的方程直线的方程2.2 直线的方程直线的方程例题解析 例例已知直线l经过下列两点，求它的斜率k，并确定倾斜角 （1）P1（2，9）， P2（5，2） （2）P1 （3，2）， P2 （3，2） （3）P1 （3，2）， P2 （3，2）2.2 直线的方程直线的方程解 （）直线l的斜率 因为ktan，所以直线l的倾斜角45 因为ktan，所以直线l的倾斜角 （）直线l的斜率 （）由于x1x23，所以直线l的斜率不存在，此时直线l的倾斜角90 2

6、.2 直线的方程直线的方程 因为ktan40，所以直线l的倾斜角为钝角，即90180 例例 已知直线l过两点P1（4，2）， P2（3，2），求它的斜率k，并确定倾斜角的取值范围 解 直线l的斜率 课堂练习 1已知直线k的倾斜角，求直线l的斜率k （1）60（2）120（3）135 2已知直线l经过下列两点，求它的斜率k，并确定倾斜角的值2.2 直线的方程直线的方程2.2 直线的方程直线的方程 3已知直线l经过下列两点，求它的斜率k，并确定倾斜角的取值范围 （1）P1（4，4）， P2 （10，8） （2） P1 （4，3）， P2 （2，7）2.2 直线的方程直线的方程 一次函数y2x3的图

7、像是一条直线l，其解析式y2x3可以看作一个关于x，y的二元方程，而直线l上任意一点的坐标（x，y）都满足方程y2x3这时，方程y2x3称为直线直线l的方程的方程即直线的方程是直线上任意一点的横坐标x和纵坐标y所满足的一个关系式二、直线的方程二、直线的方程 将上式两边同乘以（x x 0），得直线的点斜式方程直线的点斜式方程由直线的斜率公式，得 2.2 直线的方程直线的方程三三、直线的、直线的点斜式点斜式方程方程 例例 求满足下列条件的直线l的方程： （1）过点P0（2，2），倾斜角45 （2）过原点，斜率为k （3）过点P0 （x0，y0），倾斜角0 （4）过点P0 （ x0 ， y0 ），倾

8、斜角90 （5）过两点P1 （2，1）， P2 （3，1）2.2 直线的方程直线的方程例题解析 解 因为直线l过点P0 （2，2），且斜率为ktan451 所以由点斜式方程，得直线l的方程为即 yoxP0 452.2 直线的方程直线的方程 （1）过点P0（2，2），倾斜角45（2）过原点，斜率为k解 把原点坐标（0，0）代入直线的点斜式方程，得 ykxoxy2.2 直线的方程直线的方程 解 由于ktan00，所以直线l的方程为 yy0（xx） 即 yy （3）过点P0 （x0，y0），倾斜角0oxy2.2 直线的方程直线的方程 解 由于90，所以直线的斜率k不存在，它的方程不能用点斜式表示但这

9、条直线上的每一个点的横坐标都等于x，所以直线l的方程为 xx（4）过点P0 （ x0 ， y0 ），倾斜角90oxy2.2 直线的方程直线的方程 解 由于直线l过两点P（2，1），P（3，1），所以由点斜式方程，得直线l的方程为 2.2 直线的方程直线的方程 y12（x2）即 2xy50 （5）过两点P1 （2，1）， P2 （3，1）yoxP2 P1 写出满足下列条件的直线的点斜式方程： （1）过点P0（3，1），斜率k2 （2）过点P0 （4，2），倾斜角 已知直线的点斜式方程是y1x3，则直线的斜率是_，倾斜角是_ 2.2 直线的方程直线的方程 课堂练习 22.2 直线的方程直线的方程

10、求满足下列条件的直线l的方程： （）过点P0 （0，3），斜率k3 （）过两点P1 （6，2）， P2 （4，2） （）过点P0 （6，2），且平行于x轴 （）过点P0 （6，2），且平行于y轴 2.2 直线的方程直线的方程四、直线的斜截式方程四、直线的斜截式方程 a：直线直线l在在x轴上的截距轴上的截距 直线的斜截式方程直线的斜截式方程 ykxb b：直线直线l在在y轴上的截距轴上的截距 直线l的点斜式方程为 ybk（x0） 例例 求满足下列条件的直线l的方程： （1）斜率为2，与y轴相交于点（0，4） （2）倾斜角 ，在y轴上的截距为3 （3）过点A（3，0），且在y轴上的截距为2 例题解

11、析2.2 直线的方程直线的方程解 由k2，b4，得直线l的方程为 y2x4（1）斜率为2，与y轴相交于点（0，4）yox（0，4）2.2 直线的方程直线的方程（2）倾斜角 ，在y轴上的截距为3 解 由k tantan = ，b，得直线l的方程为 y x3 yox32 2.2 直线的方程直线的方程由直线的斜截式方程，得直线 l 的方程为 解 因为直线在y轴上的截距是2，即过点（0，），又因直线 l 过点A（3，0），所以直线 l 的斜率2.2 直线的方程直线的方程（3）过点A（3，0），且在y轴上的截距为2yoxA 求满足下列条件的直线l的方程： （1）斜率为2，过点（0，4） （2）倾斜角为1

12、35，在y轴上的截距为4 （3）与坐标轴相交于点A（5，0），B（0，4） 课堂练习 32.2 直线的方程直线的方程二元一次方程的一般形式是 AxByC0（A，B不全为零）五、直线的一般式方程五、直线的一般式方程2.2 直线的方程直线的方程 直线的一般式方程直线的一般式方程AxByC0（A，B不全为零）的二元一次方程2.2 直线的方程直线的方程图像图像方程的方程的变化形式变化形式A、B的的取值取值A=0，B0B =0，A0A0且B0，Ax+By+C=0也可写成例题解析 例例1 已知直线l经过点A（4，2），斜率为2，求直线l的点斜式方程，斜截式方程和一般式方程 将方程y22（x4）变形后，得斜

13、截式方程 y2x6 将方程y2x6移项后，得一般式方程 2xy602.2 直线的方程直线的方程 解 直线l经过点A （4，2）且斜率为，则点斜式方程为 y22（x4） 例例2 已知直线l的方程为x3y60，求直线l的斜率k和在y轴上的截距b2.2 直线的方程直线的方程 两边同时除以3，得直线l的斜截式方程 从而得到直线的斜率 .在y轴上的截距b2 解 将直线l的一般式方程x3y60移项后，得 3yx6 课堂练习 4 1直线方程AxByC0的系数A，B，C满足什么条件时，这条直线有以下性质： （）只与x轴相交 （）只与y轴相交 （）是x轴所在直线 （）是y轴所在直线 2.2 直线的方程直线的方程

14、2.2 直线的方程直线的方程 已知直线l经过点A（3，2），斜率为 ，求直线l的点斜式方程，斜截式方程和一般式方程 已知直线l的方程为2x5y40，求直线l的斜率k和在y轴上的截距b 2.2 直线的方程直线的方程六、两条直线的平行的判定六、两条直线的平行的判定ll kk例题解析 例例1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（1，2），B（0，2），C（3，1），D（2，5），判断四边形ABCD是否为平行四边形2.2 直线的方程直线的方程解 由斜率公式可得AB所在直线的斜CD所在直线的斜率 因为kABkCD，kBCkAD，所以ABCD，BCAD因此，四边形ABCD是平行四边形2.2 直线的方程直

15、线的方程 BC所在直线的斜率 AD所在直线的斜率 例例2 求过点M（1，4），且与直线l1：2x3y50平行的直线方程2.2 直线的方程直线的方程 因此，所求直线l的方程为 即 解 直线l1的方程可化为 ，从而得l1的斜率 因为ll1 ，所以直线l的斜率 2.2 直线的方程直线的方程 课堂练习 5 1判断下列各组内两条直线是否平行： （1）l1：y3x4， l2：y3x2 （2）l1 ：3x4y5， l2 ：6x8y7 （3）l1 ：y2x1，l2 ：4x2y20 2求过点（2，3），且平行于直线l1：3x2y20的直线l的方程 l1：yk1xb1 （k10）l2：yk2xb2（k20）七、两

16、条直线垂直的判定七、两条直线垂直的判定2.2 直线的方程直线的方程2901 则 所以 则 所以 2901 即 l1 l2 2.2 直线的方程直线的方程 因此，斜率都存在的两条直线l1 与l2，当l1 l2时，必有k1k21反之，当k1 k2 1时，有 如果两条直线l1与l2的斜率一个等于0，另一个不存在，这两条直线也垂直 l1 l2 k1k21因此，有2.2 直线的方程直线的方程 解AB所在直线的斜率BC所在直线的斜率kBC5，得kABkBC1 因此，ABBC，即ABC90所以三角形ABC是直角三角形例题解析 例例1 已知三角形ABC的三个顶点分别为A（1，1），B（4，0），C（5，5），判

17、断三角形ABC是否为直角三角形 2.2 直线的方程直线的方程 解 已知直线l1 ：3x2y20的斜率因为l l1 ，所以直线l的斜率 所求直线l的方程为 即2.2 直线的方程直线的方程 例例2 求过点（2，3），且垂直于直线l1：3x2y20的直线l的方程 课堂练习 6 1判断下列各组内两条直线是否垂直： （1）l1：y3x4与l2：2x6y10 （2）l：yx与l：3x3y100 2求过点（2，3），且垂直于直线xy20的直线方程2.2 直线的方程直线的方程 已知A（5，3），B（4，10），C（10，6），D（3，4），求证：ADBC 设平面内两条不重合的直线的方程分别是： l1：A1xB

18、1yC0与 l2：A2xB2yC22.2 直线的方程直线的方程八、相交直线的交点八、相交直线的交点 这个方程组的解就是l1与l2的交点坐标 例例1 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： （1） l1 ：4x2y50与l2 ：2xy70 （2） l1 ：y2x6与l2 ：3x4y20例题解析2.2 直线的方程直线的方程 解 直线l1可化为 得k12 直线l2可化为y2x7，得k22 因为k1 k2 ，所以l1 l2 （1） l1 ：4x2y50与l2 ：2xy702.2 直线的方程直线的方程 解 l1的斜率k12 l2可化为 因为k1 k2 ，所以l1与l2相交交点坐标满足 所以

19、，它们的交点坐标为（2，2）2.2 直线的方程直线的方程（2） l1 ：y2x6与l2 ：3x4y20 例例2 已知某产品在市场上的供应数量Q与销售价格P之间的关系为P3Q50，需求数量Q与价格P之间的关系为P2Q250，Q，P的单位分别是“万件”和“元件”试求市场的供需平衡点（一个合理的销售价格以及使供需相等的产品数量）2.2 直线的方程直线的方程 分析分析产品销售价格关系到利润大小，会影响到供应量；销售价格关系到购买者承受能力，会影响到需求数量供需平衡是一种市场规律，但若能事先估计价格与供应量、需求量之间的关系，且关系是线性的，就能应用现有知识预测平衡点一个合理的销售价格P以及使供需相等的

20、产品数量Q确定的点（P，Q）就是市场供需平衡点也就是说，（P，Q）的坐标既要满足供应关系，又要满足需求关系2.2 直线的方程直线的方程 解 由题设条件可知，供应关系和需求关系分别为 P3Q50，P2Q2502.2 直线的方程直线的方程 数量为横轴，价格为纵轴，分别作出供应线和需求线供应量随价格的升高而增加，需求量随价格的升高而减少供应线与需求线的交点坐标，就是供需平衡时的数量和价格 所以，当销售价格为17元件时，供应数量和需求数量相等，达到平衡，均为4万件2.2 直线的方程直线的方程 课堂练习 7 1求直线4x3y10与2xy10的交点坐标 2判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标

21、： （1）l1：2xy7与l2 ：4x2y1 （2） l1 ：2x6y60与l2 ：x3y202.2 直线的方程直线的方程 点点P0到直线到直线l的距离的距离垂线段P0Q的长度，记作d2.2 直线的方程直线的方程九、点到直线的距离九、点到直线的距离例题解析 例1 求下列点到直线的距离： （1）P（3，2），3x4y240 （2）P（3，4），y2x42.2 直线的方程直线的方程（1）P（3，2），3x4y240 解 依题意：x03，y02，A3，B4，C24，代入点到直线的距离公式，得 2.2 直线的方程直线的方程 解 依题意：x03，y04，直线方程可化为 2xy40 故A2，B1，C4，代

22、入点到直线的距离公式，得2.2 直线的方程直线的方程 （2）P（3，4），y2x4因此 2.2 直线的方程直线的方程 例例2 求两条平行直线2x7y80和2x7y60之间的距离 解 在直线2x7y60上任取一点，例如取点P（3，0），则点P（3，0）到直线2x7y80的距离就是两平行线间的距离 例例3 已知点A（1，3），B（3，1），C（1，0），求ABC的面积 AB边上的高h就是点C到直线AB的距离而直线AB的斜率为2.2 直线的方程直线的方程解 设AB边上的高为h，则 点C（1，0）到直线AB：xy40的距离2.2 直线的方程直线的方程 y3（x1） 即 xy40所以，直线AB的方程为2

23、求下列两条平行直线间的距离：（1）3xy40与3xy90（2）3x4y100与6x8y 2.2 直线的方程直线的方程 课堂练习 81求下列点到直线的距离：（1）P（4，2），4x3y30 圆是平面内到一个定点C的距离等于定长r的所有点的集合，定点C称为这个圆的圆心圆心，定长r称为这个圆的半径半径因此，圆上任意一点P到圆心C的距离PCr 因此，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径圆的基本要素圆的基本要素2.3 圆与方程圆与方程 圆心：C（a，b），r为半径 设P（x，y）是圆上任意一点，则PCr 由两点之间的距离公式，可以得到关于点的坐标的关系式：将上式两边平方，得 2.3 圆与方程圆与方程一、一

24、、圆圆的的标准方程标准方程 如果圆心在坐标系的原点，这时a0，b0，那么圆的标准方程就是2.3 圆与方程圆与方程 圆的标准方程圆的标准方程：2.3 圆与方程圆与方程例题解析 例例1 已知圆的标准方程为 . （）写出圆心C的坐标和半径 （）确定点M（1，4），N（4，1），P（2，3） 与圆的位置关系 解 因为a4，b5， r2 16，所以圆心C的坐标为（4，5），半径r为4 （）写出圆心C的坐标和半径2.3 圆与方程圆与方程解 因为因为 （）确定点M（1，4），N（4，1），P（2，3）与圆的位置关系 因为所以点 在圆外2.3 圆与方程圆与方程所以点M在圆内所以点M在圆周上 例例2求下列各圆的

25、标准方程：（1）圆心在点C（3，2），半径为（2）圆心在y轴上，半径为 ，且过点（2，1）252.3 圆与方程圆与方程（1）圆心在点C（3，2），半径为2 解 圆心在点C（3，2），半径r 的圆的标准方程为（x3）2（y2）222Cxyo2.3 圆与方程圆与方程（2）圆心在y轴上，半径为 ，且过点（2，1）52.3 圆与方程圆与方程所以，所求圆的方程为 解 设圆的标准方程为 x2（yb）25 因为圆过点（2，1），所以有 22（1b）25得 b0或b21根据下列各圆的标准方程，写出圆心坐标和半径： 课堂练习2.3 圆与方程圆与方程 2写出下列各圆的标准方程并判断点A（2，1）与它们的关系 （1

26、）圆心为C（4，2），半径为4 （2）圆心在原点，且过点（3，4）2.3 圆与方程圆与方程将上面的方程展开并整理得二二、圆圆的的一般方程一般方程的方程能够表示一个圆，我们就把它称为圆的一般方程圆的一般方程。 因此 圆的标准方程 已知 圆心：C（6，5），r=例题解析例例1判断下列各方程表示的图形：2.3 圆与方程圆与方程 解将方程x2y22x4y40 配方，得 （x1）2（y2）29 所以，原方程表示的图形是圆心为（1，2），半径为3的圆（1）x2y22x4y402.3 圆与方程圆与方程（2）x2y22x4y50 由于原方程只有唯一一组解：x1，y=2所以，原方程表示的图形是一个点，该点坐标是

27、（1，2）2.3 圆与方程圆与方程 解 将方程 x2y22x4y50 配方，得 （x1）2（y2）20 解 将方程 x2y22x4y90 配方，得 （x1）2（y2）24 这个方程没有实数解，原方程不表示任何图形2.3 圆与方程圆与方程（3）x2y22x4y902.3 圆与方程圆与方程 例例2 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出它的圆心坐标和半径所以解得 D8，E6，F0所以，所求圆的方程为 因为O，A，B在圆上，解 设圆的方程为2.3 圆与方程圆与方程配方得因此，所求圆的圆心坐标为（4，3），半径为5 课堂练习 21将下列圆的标准方程化为圆的一般方程：2判断下

28、列各方程表示的图形：2.3 圆与方程圆与方程 3已知ABC的顶点A（1，1），B（2，0），C（1，1），求ABC外接圆的方程，并求它的圆心坐标和半径2.3 圆与方程圆与方程2.3 圆与方程圆与方程 已知：半径r，设圆心C到直线l的距离为d.三三、直线与圆直线与圆的的位置关系位置关系2.3 圆与方程圆与方程 应用代数方法，从联立方程组 判定直线与圆是相交、相切还是相离 比较d与r的大小，即可判定直线与圆的位置关系2.3 圆与方程圆与方程2.3 圆与方程圆与方程例题解析 例例1 判断直线l：4x3y80与圆C：的位置关系，若有公共点，求出公共点坐标.联立方程组从式解出 ，代入式，得即解因为要求公

29、共点的坐标，所以采用代数方法因为 ，方程组的解为所以直线l与圆C相切于点 .2.3 圆与方程圆与方程2.3 圆与方程圆与方程 例例2 已知圆O的方程是 ，直线l：yxb问当b分别为何值时，直线与圆相交、相切、相离？ 当dr，即 ，2b2时，直线与圆相交； 解圆O的圆心为O（0，0），半径r ,则圆心O到直线l：xyb0的距离 当dr，即 ，b2或b2时，直线与圆相离2.3 圆与方程圆与方程 当dr，即 ，b2时，直线与圆相切；2.3 圆与方程圆与方程 例例3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到指挥塔的警报：暗礁区中心位于轮船正西70千米处，范围是半径长为30千米的圆形区域已知港口位于暗礁区中

30、心正北40千米处，如果这艘轮船不改变航线，它是否会受到暗礁的影响？ 分析分析 如果这艘轮船如果这艘轮船的航线不通过受暗礁影响的的航线不通过受暗礁影响的 圆形区域，那么它就不会受圆形区域，那么它就不会受到影响，否则将会受影到影响，否则将会受影响因此，我们可以在直角响因此，我们可以在直角坐标系中解决该问题坐标系中解决该问题 2.3 圆与方程圆与方程2.3 圆与方程圆与方程 解 以暗礁中心O为原点，以向东方向为x轴的正方向，建立直角坐标系则轮船原来的位置A（70，0），港口位置B（0，40），受暗礁影响的圆形区域所对应的圆的圆心O（0，0），半径r30（以千米为单位） 航线所在直线的斜率则航线所在直

31、线的方程为2.3 圆与方程圆与方程因此，这艘轮船不会受到暗礁的影响 即 4x7y280 则圆心O到航线所在直线的距离2.3 圆与方程圆与方程 课堂练习 31判断下列各组中直线l与圆C的位置关系： 2直线4x3y400和圆存在公共点吗？若存在，求出公共点的坐标；若不存在，请说明理由专题阅读专题阅读 中国古代数学在几何中国古代数学在几何学领域的独特贡献学领域的独特贡献 中国是世界文明发达最早的国家之一，与古代埃及、中国是世界文明发达最早的国家之一，与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国在绵延不断的五千印度、巴比伦并称为四大文明古国在绵延不断的五千年文明史中，中华民族集累了极其丰富的文化遗产年文

32、明史中，中华民族集累了极其丰富的文化遗产在这个多姿多彩的历史文化宝库中，数学无疑是其在这个多姿多彩的历史文化宝库中，数学无疑是其中一颗特别璀璨的明珠它在世界数学史上，乃至在整中一颗特别璀璨的明珠它在世界数学史上，乃至在整个人类文明发展史上都光彩夺目，具有极其重要的地位个人类文明发展史上都光彩夺目，具有极其重要的地位和价值中国古代的数学成就如同造纸、火药、指南针、和价值中国古代的数学成就如同造纸、火药、指南针、印刷术这四大发明一样，是中华民族对世界文明的一项印刷术这四大发明一样，是中华民族对世界文明的一项重大贡献，是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲重大贡献，是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲专题阅读专题阅读 中国古代数学在几何中国古代数学在几何学领域的独特贡献学领域的独特贡献 几何是一门古老的学科，它是在几何是一门古老的学科，它是在人们的生产和生活等实践活动中逐步形人们的生产和生活等实践活动中逐步形成和发展起来的成和发展起来的“几何几何”是一个翻译名是一个翻译名词，由我国明代科学家徐光启首先使词，由我国明代科学家徐光启首先使用但是我国古代劳动人民在长期的生用但是我国古代劳动人