第三章 控制系统的稳定性及特性

1、第三章第三章 控制系统的稳定性及特性控制系统的稳定性及特性3.1 引言引言3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 3.4 反馈控制系统的特性反馈控制系统的特性 3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性复杂反馈控制系统的基本结构及其特性 3.6 利用利用MATLAB分析系统的稳定性及特性分析系统的稳定性及特性3.7 小结小结3.1引言引言控制系统的结构及其传递函数 闭环系统的稳定性反馈控制系统的特性复杂反馈控制系统的基本结构及其特性利用MATLAB分析系统的稳定性及特性反馈控制系统本章知识体系3.1引言引言一般来讲，根据应

2、用的需求或者对象本身的特性，被一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。如何定义系统的稳定性？如何定义系统的稳定性？如何判定系统的稳定？如何判定系统的稳定？反馈控制系统的特性如何？有什么优势？反馈控制系统的特性如何？有什么优势？3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数 典型的反馈控制系统典型的反馈控制系统如图如图3-1所示。所示。反反馈馈通通道道传传递递函函数数前前向向通通道道传传递递函函数数输输出出断断开开后后

3、, ,将将反反馈馈通通道道H H( (s s) )的的 1)-(3 )()()()()()(sHsGsGsRsBsGpcL 为为：系系统统开开环环传传递递函函数数定定义义3.2.1 开环传递函数3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数2)-(3)()()()()(sGsGsRsYsGpcF 的的传传递递函函数数：反反馈馈控控制制系系统统前前向向通通道道数数就就是是开开环环控控制制系系统统的的传传递递函函)()(G1)(sGssHFL 时时时时：称称为为单单位位反反馈馈，此此 开环控制系统的控制器与反馈控制系统的控制器都串联在控制系统的前向通道中，其区别在于：1）开环

4、控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制 ，以Gc(s)Gp(s)=1为理想要求。2）反馈控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。3）若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直接为参考输入信号，则为开环控制器。 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数3.2.2 闭环传递函数闭环传递函数 0 0传传递递函函数数：令令D D( (s s) )给给定定输输入入作作用用下下的的闭闭环环1 1) ) 3)-(3)(1)()()()()(1)()()()()(sGsGsGsHsGsGsGsGsRsYsTLpc

5、pcpcR 0)()2 sR传传递递函函数数：令令扰扰动动输输入入作作用用下下的的闭闭环环4)-(3)(1)()()()(1)()()()(sGsGsHsGsGsGsDsYsTLppcpD 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数参考输入和干扰输入同时作用下系统的总输出：两种情况参考输入和干扰输入同时作用下系统的总输出：两种情况的线性叠加结果为的线性叠加结果为 5)-(3)(1)()()()()()()()()()(sGsDsGsRsGsGsDsTsRsTsYLppcDR )(1)()()()(sGsDsGsDsTLpD )(1)()()()()(sGsRsGsGs

6、RsTLpcR 闭环是实现了负反馈还是正反馈由信号B(s)进入相加点的符号和GL(s)的符号共同决定。闭环系统可能是负反馈系统，也可能为正反馈系统。 ）（其其拉拉普普拉拉斯斯变变换换为为：主主反反馈馈信信号号给给定定输输入入信信号号偏偏差差7-36)-(3) )( () )( () )( () )( () )( () )( (sBsRsEtbtrte 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数3.2.3 偏差传递函数偏差传递函数 8)-(3)(11)()()(11)()()(sGsHsGsGsRsEsTLpcRE 1）参考输入R(s)作用下的偏差传递函数 2）干扰输入

7、D(s)作用下的偏差传递函数 9)-(3)(1)()()()()(1)()()()()(sGsHsGsHsGsGsHsGsDsEsTLppcpDE 10)-(3)(1)()()()()()()()()(sGsDsHsGsRsDsTsRsTsELpDERE 3）总偏差3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数反馈控制系统的结构及其传递函数闭环传递函数各表达式的公共分母多项式均为：闭环传递函数各表达式的公共分母多项式均为：特征多项式方程：特征多项式方程：11)-(30)(1 sGL)(1)()()(1sGsHsGsGLpc 若考虑多项

8、式有理分式形式)()()(sDsNKsGLLgL 12)-(30)()()( sNKsDsLgL特征方程可写为：特征方程可写为：NL和DL和均为首一多项式，即最高阶项系数为1，而Kg称为开环增益。3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 系统能否工作及工作状态如何？1、能够工作：稳定性(稳)2、反应能力：动态特性(快)3、工作效果：稳态特性(准)1.1.系统稳定性一般概念可表述为系统稳定性一般概念可表述为 假设某一有界外部干扰输入瞬间作用于一个处于平衡假设某一有界外部干扰输入瞬间作用于一个处于平衡状态的系统，并且导致其偏离平衡状态。若在瞬间干扰消状态的系统，并且导致其偏离平衡状态。若在瞬间干扰

9、消失后，系统最终能够回到原来的平衡状态，则称该系统是失后，系统最终能够回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则，称该系统是不稳定的。稳定的，否则，称该系统是不稳定的。 2.2.定义定义3-13-1（稳定的动态系统定义）（稳定的动态系统定义） 在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。3.3.定义定义3-23-2（数学上严格的有界输入（数学上严格的有界输入- -有界输出稳定性定义）有界输出稳定性定义）输入：输入：r(t)，|r(t)| N (t 0)输出：

10、输出：y(t), ), 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性13)-(30,)()()()(00 tMdgNdtrgty 3.3.1 稳定性的概念和定义3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 14)-(3)()()()()()(21111111 nnnnlllllnllmiigjsjspszsKssNsT 其中，单实极点个数n1，共轭极点对(n-n1)/2 也有界，根据也有界，根据若要求若要求有界，有界，作用下的输出响应，若作用下的输出响应，若对于闭环系统在对于闭环系统在)()()(tytrtr则要求t时，|g()|趋近于0。从g(t)入手分析系统稳定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之

11、间的关系。0,)()()()()()(000 tMdgNdtrgdtrgty 1、稳定充要条件的推导闭环传递函数的一般形式为：共轭极点对3.3.2 闭环传递函数的极点与系统的稳定性3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性( )Res( )()(3-16)( )ststptspspN sT s eeQp es11( )( )Res( )instspig tLT sT s e情况1：对T(s)的单实数极点-p， 15)-(30)()()()( pspsspsss 0)(),()()( pspss 满满足足记记g(t)的表达式：为为不不为为零零的的常常数数)()()(ppNpQ 在T(s)的极点-p

12、处的留数Res( )stspT s e( )stT s e称为3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性情况2：对于T(s)的共轭复数极点，,1 jp jp 221211212121212Res( )()()()(cossin)()(cossin)( ()()cos( ()()sin4 () ()(cossinsincos)4 () (lsttj tj tspltttT s eeQp eQp eeQptjtQptjteQpQptj QpQptQp Qp ettQp Qp)sin()(3-17)tet12122212121212()()arctan()() ()() ( ()()14 () ()4

13、 () ()(3-18)QpQpj QpQpQpQpj QpQpQp QpQp Qp1111211( )sin(),0(3-19)llnn nnp ttllllll ng tAeBettzjzejzsincos)()(21pQpQ)()(21pQpQj)()(421pQpQ均为实数综上得到，3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 0, )sin()(2111111 tteBeAtgnnnnllltlnltplll 11111,2,(1,2, () 2)llA lnB lnnnn（）和为常数。为两种类型的响应；为两种类型的响应；和和)sin(lltltplteBeAll -()11111(1,

14、2,.,)(1,2,.,( -)/ 2)( )( )和被称为系统的运动模态或者共轭复模态；的单位脉冲相应函数由两类运动模态组合而成。lllp tjtelnelnnnn nT sg t 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 0, )sin()(2111111 tteBeAtgnnnnllltlnltplll 两种类型响应与极点位置的对应关系分别如图3-7和图3-8所示。 tplleA )1)sin()2lltlteBl 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性g(t)存在上界的充分必要条件：111120011( )sin()(3-20)llnn nnp ttllllll ng t dtAeB

15、etdtM0, 0t ltpeel 时时，有有当当即，系统的闭环传递函数极点均具有负实部。 闭环系统稳定性的充分必要条件： 11112111111( )()()()0(1,.,),(1,.,2)(3-21)nn nnlllllll nlllsspsjsjp lnjlnnnn系统的闭环特征方程：的根在左半s平面。3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性如何判定系统的稳定性？如何判定系统的稳定性？直接求解出系统的闭环特征根直接求解出系统的闭环特征根根据劳斯判据通过特征方程的系数判定根的分布根据劳斯判据通过特征方程的系数判定根的分布劳斯判据劳斯判据 系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数系统

16、稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数决定的。劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的决定的。劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。稳定性的一种判据。闭环系统的特征方程的一般形式：闭环系统的特征方程的一般形式： 1110( )0(3-22)nnnnsa sasa sa3.3.3 劳斯判据及其应用3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 0)()()()( )()(2121212121211111111111 nnnnlllllnllnnnnnlllnllnnllnppsppspsapspspsapsas1.稳定的必要条件 0 la0)(0111 asasasasnnnn11

17、12000lllllpppp p根具有负的实部，则，各因子相乘展开所得的多项式的系数就是这些正数的乘积组成的，因此也必定为正数，即方程（3-23）的所有系数均为正， al0。(3 23)-3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性2. 劳斯表12121531420321hccbbaaaaaasssssnnnnnnnnnn ,. ,12131121311154115142112113121bbaabbbbaacaaaaaaaaaabaaaaaaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 说明：任意正数乘或除表中某一行不会影响其下面导出行的符号0)(0111 asasasasnnnn

18、3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性3.3.劳斯判据劳斯判据 特征方程特征方程 (s)=0(s)=0具有正实部根的数目具有正实部根的数目与劳斯表第与劳斯表第1 1列中符号变化的次数相同。列中符号变化的次数相同。 4.4.利用劳斯判据判断系统的稳定性利用劳斯判据判断系统的稳定性各项系数是否都大于各项系数是否都大于0 0；列写劳斯表；列写劳斯表；若若第一列元素第一列元素出现符号改变出现符号改变, , 则系统不稳定则系统不稳定; ; 第一列元素符号改变次数第一列元素符号改变次数 = = 实部为正的闭环极点实部为正的闭环极点个数个数; ;0321)2 ; 0)3(aaaaai稳稳定定充充要要条条件

19、件：020321021301230/ )(00aaaaaaaaaassss (1) 稳定的充要条件：稳定的充要条件：a003.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性10 (s) = s+a = 0(3-25)001001ass22210 (s) = a s +a s+a = 0(3-26)000102012aaaasss3233210 (s) = a s +a s +a s+a = 0(3-27)(2) 稳定的充要条件：ai0例3-1 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性例例3-2：32(s) = s +3s +s+55 = 0(3-28)0550352553110123 ssss第1列中符

20、号改变了2次，根据劳斯判据该特征方程有2个根在右半s平面，所以系统是不稳定的. 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性例3-3：考虑单位负反馈系统稳定的K的范围 KG(s) =(3-29)s(0.1s+1)(0.25s+1)32(s) = s +14s +40s+40K = 0(3-30)解：闭环系统的特征方程为040014)404014(40144010123KKKssss 根据劳斯判据得使系统稳定的充要条件是140 K因因此此有有：劳斯表为：3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性5. 劳斯表的特殊情况劳斯表的特殊情况 情况情况1 劳斯表首列中出现零元素，但其所在行其余各元劳斯表首列中出

21、现零元素，但其所在行其余各元素不全为零。素不全为零。处理方法：处理方法：用一个很小的正数用一个很小的正数代替首列中的零元素来代替首列中的零元素来参与劳斯表的计算，在构成劳斯表后，再令参与劳斯表的计算，在构成劳斯表后，再令0 0 进行进行判定即可。判定即可。 5432(s) = s + 2s + 2s +4s +s+1 = 0(3-32)00100)14()212(01140211421212012345 ssssss2114212,14, 02 稳定性判定：劳斯表首列有2次符号变化，所以有2个特征根位于s平面的右半平面，系统是不稳定的。该特征方程的根为：-1.9571，0.0686j1.273

22、6和-0.0901j0.5532。 3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性情况情况2 劳斯表首列中出现零元素，且其所在行的其他元劳斯表首列中出现零元素，且其所在行的其他元素均为零。素均为零。（1）特征多项式中存在一对根形如）特征多项式中存在一对根形如(s)(s+ )或者或者(s j )(s+j )的因子；的因子；（2）特征多项式中存在两对根形如）特征多项式中存在两对根形如(s+j )(sj )和和(s+ +j )(s+j )的因子。的因子。处理方法：处理方法：利用全零行的前一行构造一个辅助多项式方利用全零行的前一行构造一个辅助多项式方程程 ,对辅助多项式方程求导，得到多项式的系数对辅助多项式

23、方程求导，得到多项式的系数代替原来的全零行，继续完成劳斯表。代替原来的全零行，继续完成劳斯表。 0)( s3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性65432(s) = s +s +6s +5s +9s +4s+4 = 0(3-33)00040005180042500104000004510451496101233456 ssssssss42(s) = s +5s +4 = 0(3-34)3d(s)= 4s +10s = 0(3-35)ds稳定性判定：完成的劳斯表中第1 列元素全部为正，特征方程在s平面的右半平面没有根。但是，上述劳斯表是借助辅助多项式方程完成的，这意味着存在对称于原点的一对特征

24、根或者两对特征根，根据稳定性定义，两类情况均意味着系统是不稳定的。借助计算机可求得该特征方程的根为：j, j2和 ，系统有2个虚根，临界稳定。2321j 辅助方程：求导：3.3 闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性例3-6 5432(s)=s +s +6s +6s +25s+25= 0(3-36)00250036402530124000256125610123345 sssssss稳定性判定：劳斯表首列有2次符号变化，所以有2个特征根位于s平面的右半平面，系统是不稳定的。注意到劳斯表采用辅助多项式方程才完成，说明存在对称于原点的特征根。事实上，可求得该特征方程的根为：1j2和1j2。 3.3 闭环

25、系统的稳定性闭环系统的稳定性6、相对稳定性、相对稳定性定义定义3-3（相对稳定性）：（相对稳定性）：设一个设一个n阶闭阶闭环系统的特征根为环系统的特征根为 pl(l=1,2,.,n)，且对，且对于所有于所有l=1,2,.,n，特征根的实部均满足，特征根的实部均满足Re( pl)0使得对于所有使得对于所有l=1, 2, ., n，有有Re( pl)delta=1,1,6,5,9,4,4; %输入多项式r=roots(delta); %求(s)=0的根运结果检验：rr=-0.0000 + 2.0000i-0.0000 - 2.0000i-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.86

26、60i-0.0000 + 1.0000i-0.0000 - 1.0000i3.6.1 判定系统的稳定性1、解特征方程法：求出特征方程的根。求多项式方程的根可调用的函数roots( ) ；例3-8：可知，系统处于临界响应，故是不稳定的。3.6 利用利用MATLAB分析系统的稳定性及特性分析系统的稳定性及特性pzmap(num,den) 来绘制系统特征方程的零极点图；通过来绘制系统特征方程的零极点图；通过零极点位置判断系统的稳定性。零极点位置判断系统的稳定性。例例3-9 2724364523)(2345234 ssssssssssT输入以下MATLAB命令 num=0 3 2 5 4 6 ; de

27、n=1 3 4 2 7 2; pzmap(num, den);title(系统的零极点图)系统的零极点图Real AxisImaginary Axis-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5计算结果可知，特征根中有两个根的实部为正，所以闭环系统是不稳定的。3.6.2 绘制零极点图判定系统的稳定性 3.6 利用利用MATLAB分析系统的稳定性及特性分析系统的稳定性及特性MATLAB没有直接求解灵敏度的调用函数，所以需要根没有直接求解灵敏度的调用函数，所以需要根据灵敏度公式来写程序来计算。据灵敏度公式来写程序来计算。例例3-10)3)(8)(1()6(3)( ssssssGp先建立一个M文件：sensifcn1.m，然后输入以下MATLAB命令：G=tf(3,18,1,12,35,24,0); Gc=tf(5,4,6,2);H=tf(0.01,6,2,4);S=feedback(1,Gc*G*H);zpk(S)2645)( sssGc42601. 0)( sssH3.6.3 求解灵敏度函数3.7 小