2021年湖南省长郡中学、雅礼中学等长沙名校联盟2021年-2021年高一数学暑假第一次阶段性测试试题

1、2021 年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷- 4 -留意事项：数 学（湖南卷版）本试卷包括三个大题，共6 页，总分 150 分，考试时量 120 分钟1. 答题前， 请考生先将自己的姓名、准考证号填写清晰，并仔细核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2. 必需在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3. 答题时，请考生留意各大题题号后面的答题提示；4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；5. 答题卡上不准使用涂改液涂改；一、挑选题（每道题5 分，共 50 分）1. 已知数列 an 是等差数列，且 a 2a3a10a1148 ，就a6a7 等于（）a.12

2、b.18c.24d.302. 以下命题中，错误的个数有 个平行于同一条直线的两个平面平行.平行于同一个平面的两个平面平行.一个平面与两个平行平面相交，交线平行.一条直线与两个平行平面中的一个相交，就必与另一个平面相交.2a. 0个b. 1 个c. 2个d. 3 个13. 已知圆c : x2y22x8 y80 与圆c2 : xy24 x4 y20 相交，就圆 c1 与圆c2 的公共弦所在的直线的方程为（）a. x2 y10b. x2 y10c. x2 y10d. x2 y104. 把正方形 abcd 沿对角线 ac 折起 , 当以 a, b, c, d 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 bd

3、和平面 abc 所成的角的大小为（）a 90b 60c 45d 305. 设偶函数 f （x）的定义域为r，当 x0,时 f （ x）是增函数，就f 2,f ,f 3的大小关系是（）a. f f 3 f 2b. f f 2 f 3c. f f 3 f 2d. f f 2 f 36. y3 cos1 sin的最大值为（）2213a. b.22c. 1d. 27. 如任取x , xa, b,且xx,都有f x1x2 f x1f x2成立，就称f x是121222a,b 上的凸函数试问：在以下图像中，是凸函数图像的为（）yyyyabxabxabxabxabcdnn 18. 已知 n 次多项式 f x

4、 anx anx a x a ，用秦九韶算法求f x 的值， 需要进行 1100的乘法运算、加法运算的次数依次是（）a. n， nb 2n， ncn n1 ， nd n 1，n 1 29. 设向量 a 与b 的夹角为，定义 a 与 b 的“向量积”： ab 是一个向量，它的模ababsin，如 a3,1 , b1,3，就 ab（）a 2b3c 23d 4n10. 已知等比数列 a 中， a =2n 1 , 就由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和 sn3n的值为（）na3 n b 33 n c 91 4二、填空题（每道题5 分，共 25 分）39 n1d4dcab11. 函数 ylog （

5、2log 13x）的定义域为dc12. 如图，在长方体 abcd a1b1c1d1 中，棱锥 a1 abcd的体积ab与长方体的体积之比为13. 依据程序框图 如右图 执行，第 3 个输出的数是14. 已知函数f xsin xcos x 是偶函数，且0, ，就2的值为15. 在 abc 中， a600 , b1, 面积为3 ，就sin aabc sin b sin c三、解答题（共 75 分）16（本小题满分 12 分）已知函数f xsin 2x3 sinx sinx （0 ）的最小正周期为 2（）求的值；（）求函数 f x 在区间20，上的取值范畴317（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥

6、 p abc中， pc底面 abc，ab bc， d， e 分别是 ab， pb的中点（）求证： de平面 pac.（）求证： ab pb；（）如 pc bc，求二面角 p abc 的大小peca- 3 -db 第 17 题18（本小题满分 12 分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1， 2， 3， 4 的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等（）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（）求取出的两个球上标号之积能被3 整除的概率19（本小题满分 13 分）- 14 -已知函数f xcos2x ， gx1121sin 2x 2（）设x x0 是函数y f x图象的一

7、条对称轴，求g x0 的值；（）求函数hxf xg x 的单调递增区间20（本小题满分 13 分）n设关于 x 的一元二次方程 ax2n1ax10 nn 有两根和，且满意6263 .（）试用an 表示 an 1；（）求证：数列2是等比数列；an3（）当 a17时，求数列6an的通项公式，并求数列 na n的前 n 项和tn .21. （本小题满分 13 分）已知 f xx xa xb ，点 as, fs, bt, ft（）如 ab1, 求函数f x 的单调递增区间；（） 如函数 f的解析表达式； x 的导函数f x 满意： 当|x | 1时，有|f x | 3恒成立， 求函数2f x（） 如

8、0ab,函数f x 在 xs 和 xt 处取得极值， 且 ab23 , 证明： oa 与ob 不可能垂直 .2021 年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学参考答案1c2b3b4c5a 6c7c8a9a10d11（ 0， 1） 12 1 ：313 51415 15o 或 75o416. 3 sin 2x1 cos 2x1sin2x1 22262由于函数f x 的最小正周期为 ，且0 ，所以 2 ，解得1（）由（）得2f xsin2 x1 因 为0 x2， 所 以72x， 所 以6236661 sin2 x 1，因此0 sin2 x1 3 ，即f x 的取值范畴为0 3，266222

9、17. 1证明：由于 d， e分别是 ab， pb的中点，所以 de pap由于 pa平面 pac，且 de平面 pac，所以 de平面 pace(2) 由于 pc平面 abc，且 ab平面 abc，c所以 ab pc又由于 ab bc，且 pc bccad所以 ab平面 pbcb又由于 pb平面 pbc，所以 ab pb(3) 由 2 知， pbab， bc ab，所以， pbc为二面角 pab c的平面角 第 17 题由于 pc bc， pcb90，所以 pbc45，所以二面角 pab c的大小为 4518. 解：设从甲、乙两个盒子中各取1 个球，其数字分别为x，y.用 x， y 表示抽取

10、结果，就全部可能的结果有16 种，即1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 3 ， 1 ，4 ， 2 ，1 ， 2 ，2 ， 2 ，3 ， 2 ，4 ，3 ， 1 ， 3 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3 ，4 ， 4 ，1 ， 4 ，2 ， 4 ，3 ， 4 ，4.(1) 设“取出的两个球上的标号相同”为大事a， 就 a 1 ，1 ， 2 ，2 ， 3 ，3 ， 4 ，4 大事 a由 4 个基本领件组成，故所求概率p a 4 1 164(2) 设“取出的两个球上标号的数字之积能被3 整除”为大事b， 就 b 1 ，3 ， 3 ，1 ， 2 ，3 ， 3 ，2 ， 3 ， 3 ， 3 ， 4 ，

11、 4 ， 3大事 b由 7 个基本领件组成，故所求概率p a 7 .1619. 解：（ i ）由题设知f x1 1cos2x 由于 xx0 是函数26yf x 图象的一条对称轴，所以2 x0 k，6即 2x0k kz ）（6所以 g x 11 sin 2x11 sink 00226当 k 为偶数时，g x011 sin113 ，2644当 k 为奇数时，gx011 sin 115 2644（ ii ） h xf xg x1 1cos 2x11 sin 2 x2621cos 2 xsin 2 x313cos2x13sin 2 x26222221 sin2 x3 2k，即 x k（ kz ）时，2

12、32 2xk当 2k52321212函数 hx1 sin2 x3 是增函数，232故函数h x的单调递增区间是5k， k1212（ kz ）20. 20解：（ 1）依据韦达定理，得由 6263an 11，,ananan 1211得 63 ，故 an 1ananan2321112（ 2）证明：an 1anan ，32323如 a20 ，就 a20 ，从而 aa2 ，nn 133n 1n3这时一元二次方程ax2ax10 无实数根，故 a20 ，nn 1n 132an 13121所以，数列anna223是公比为3的等比数列2（ 3）设 bnan2，就数列3bn 是公比 q1的等比数列，2又 b127

13、21a1，3632n 1nn1所以 bb qn 1111，222所以 ann21， an32n2132nan2 nn3 2nn 2nn2就由错位相减法可得tn322 n32221解： i fx=x-2x +x,fx=3x-4x+1,由于 fx单调递增， 所以 fx 0，2即 3x -4x +10,1解得， x1,或 x,3故 fx的增区间是 - ，2(ii) fx=3x-2a+bx+ab.当 x时，恒有 |fx|1 和332故有3 f1 3 ，2233 f- 1 ，2233 f0 223 323即323ab22ab.2ab 323,ab 2,3ab 2+，得93 ab，22又由，得ab=3 ，2将上式代回和，得a+b=0,3故