2021年数值分析课件2021年xin王兵团-数值分析复习题

1、第一章绪论习题一1. 设 x0,x* 的相对误差为 ，求 fx=ln x的误差限；解：求 lnx 的误差极限就是求 fx=lnx的误差限，由公式 1.2.4有已知 x* 的相对误差满意，而，故即2. 以下各数都是经过四舍五入得到的近似值， 试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限；解：直接依据定义和式 1.2.21.2.3就得有 5 位有效数字，其误差限，相对误差限有 2 位有效数字，有 5 位有效数字，3. 以下公式如何才比较精确？（ 1）（ 2）解：要使运算较精确， 主要是防止两相近数相减， 故应变换所给公式；（ 1）（ 2）4. 近似数 x*=0.0310, 是 3位有数数字

2、；5. 运算取，利用 ：式运算误差最小；四个选项：其次、三章插值与函数靠近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值运算 ln0.54的近似值并估量误差限 .解： 仍可使用 n=1 及 n=2 的 lagrange 插值或 newton 插值, 并应用误差估量（ 5.8 ）；线性插值时，用 0.5 及 0.6 两点，用 newton 插值误差限，因，故二次插值时，用 0.5 ，0.6 ，0.7 三点，作二次 newton 插值误差限，故2. 在- 4x4上给出的等距节点函数表， 如用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长 h 应取多少 .解：用误差估量式（ 5.8 ），令因得

3、3. 如，求和.解：由均差与导数关系于是4.如互异，求的值，这里 pn+1.解：，由均差对称性可知当有而当 p n1 时于是得5.求证.解：解：只要按差分定义直接绽开得6.已知的函数表求出三次 newton 均差插值多项式，运算 f0.23的近似值并用均差的余项表达式估量误差 .解：依据给定函数表构造均差表由式5.14 当 n=3 时得 newton 均差插值多项式n3x=1.0067x+0.08367xx-0.2+0.17400xx-0.2x-0.3由此可得f0.23 n30.23=0.23203由余项表达式 5.15 可得由于7.给定 fx=cosx的函数表用 newton 等距插值公式运

4、算 cos 0.048及 cos 0.566的近似值并估量误差解：先构造差分表运算，用 n=4 得 newton前插公式误差估量由公式（ 5.17 ）得其中运算时用 newton 后插公式（ 5.18误差估量由公式（ 5.19 ）得这里 仍为 0.5658. 求一个次数不高于四次的多项式px,使它满意解：这种题目可以有许多方法去做， 但应以简洁为宜；此处可先造使它满意，明显，再令px=x22-x+ax2x-12由 p2=1 求出 a ，于是9. 令称为其次类 chebyshev 多项式，试求 的表达式，并证明是 -1,1 上带权的正交多项式序列；解：因10. 用最小二乘法求一个形如的体会公式，

5、 使它拟合以下数据，并运算均方误差 .解：此题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题(1) 满意条件的插值多项式 px=.2, 就 f1,2,3,4= ，f1,2,3,4,5=.(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数， 就 ，.(4) 设是区间 0,1 上权函数为 x=x的最高项系数为 1 的正交多项式序列， 其中，就 ，答：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）第 4 章 数 值 积 分与数值微分习题 41. 分别用复合梯形公式及复合 simpson 公式运算以下积分 .解此题只要依据复合梯形公式（6.11 ）及复合 simpson 公式（ 6.1

6、3 ）直接运算即可；对，取 n=8, 在分点处运算 fx的值构造函数表；按式（ 6.11 ）求出，按式（ 6.13 ）求得，积分2. 用 simpson公式求积分，并估量误差解：直接用 simpson 公式（ 6.7 ）得由（ 6.8 ）式估量误差，因，故3. 确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度 .123解：此题直接利用求积公式精确度定义，就可突出求积公式的参数；（1） ）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有 3 次代数精确度；（2） ）令代入公式两端使其相等，得解出得而对不精确成立，故求积公式具有 3 次代数

7、精确度；（3） ）令代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有 2 次代数精确度；4. 运算积分，如用复合 simpson 公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分 .如改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分 .解：由 simpson 公式余项及得即，取 n=6，即区间分为 12 等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公式得即取 n=255 才更使复合梯形公式误差不超过5. 用 romberg求积算法求积分，取解：此题只要对积分使用 romberg算法（ 6.20 ），运算到 k3， 结果如下表所示；于是积分，积分精确值为 0.7132726. 用三点 gauss-le

8、gendre 求积公式运算积分 .解：此题直接应用三点 gauss公式运算即可；由于区间为，所以先做变换于是此题精确值7. 用三点 gauss-chebyshev 求积公式运算积分解：此题直接用 gauss-chebyshev 求积公式运算即于是，因 n=2, 即为三点公式，于是，即故8. 试确定常数 a， b，c，及 ，使求积公式有尽可能高的代数精确度， 并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为 gauss型的求积公式 .解：此题仍可依据代数精确度定义确定参数满意的方程，令对公式精确成立，得到由（ 2）（4）得 a=c，这两个方程不独立；故可令，得（5）由（ 3）（5）解得，代入（ 1

9、）得就有求积公式令公式精确成立，故求积公式具有5 次代数精确度；三点求积公式最高代数精确度为 5 次，故它是 gauss型的；第五章解线性方程组的直接法习题五1. 用 gauss消去法求解以下方程组 .解 此题是 gauss消去法解详细方程组， 只要直接用消元公式及回代公式直接运算即可；故2. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵 a 的行列式 deta 的值解：先选列主元， 2 行与 1 行交换得消元3 行与 2 行交换消元回代得解行列式得3. 用 doolittle分解法求的解.解：由矩阵乘法得再由求得由解得4. 下述矩阵能否作 doolittle分解，如能分解，分解式是否唯独 .解：

10、a中，如 a 能分解，一步分解后，相互冲突，故 a 不能分解，但，如 a中 1 行与 2 行交换，就可分解为lu对 b，明显，但它仍可分解为分解不唯独，为一任意常数，且 u奇特； c可分解，且唯独；5. 用追逐法解三对角方程组 ax=b，其中解：用解对三角方程组的追逐法公式（3.1.2 ）和（ 3.1.3 ）运算得6. 用平方根法解方程组 解：用分解直接算得由及求得7. 设，证明解：即，另一方面故8. 设运算 a 的行范数，列范数及 f- 范数和 2 范数解：故9. 设 为上任一种范数，是非奇特的， 定义， 证明证明：依据矩阵算子定义和定义，得令，因 p非奇特，故 x 与 y 为一对一，于是1

11、0. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估量.，即，即解：记就的解，而的解故而由（ 3.12 ）的误差估量得说明估量略大，是符合实际的；11. 是非题（如 是 在末尾（）填 +, 不是 填- ）：题目中（1） ）如 a 对称正定 , 就是 上的一种向量范数（）（2） ）定义是一种范数矩阵（）（3） ）定义是一种范数矩阵（）（4） ）只要，就 a总可分解为 a=lu,其中 l 为单位下三角阵，u为非奇上三角阵（）（5） ）只要，就总可用列主元消去法求得方程组的解（）（6） ）如 a对称正定 , 就 a可分解为，其中 l 为对角元素为正的下三角阵（）（7） ）对任何都有（）（8） ）如 a

12、为正交矩阵，就（） 答案：（ 1）（）（ 2）（）（ 3）（）（ 4）（）（ 5）（）（ 6）（）（ 7）（）（ 8）（）第六章解线性方程组的迭代法习题六1. 证明对于任意的矩阵 a，序列收敛于零矩阵解：由于而故2. 方程组(1) 考查用 jacobi 法和 gs法解此方程组的收敛性 .(2) 写出用 j 法及 gs法解此方程组的迭代公式并以运算到为止解：由于具有严格对角占优，故j 法与 gs法均收敛；（2）j 法得迭代公式是取，迭代到 18 次有gs迭代法运算公式为取3.设方程组证明解此方程的 jacobi 迭代法与 gauss-seidel或发散解： jacobi 迭代为迭代法同时收敛其迭

13、代矩阵，谱半径为，而 gauss-seide迭代法为其迭代矩阵，其谱半径为由于，故 jacobi 迭代法与 gauss-seidel法同时收敛或同时发散；4.以下两个方程组 ax=b，如分别用 j 法及 gs法求解，是否收敛 .解： jacobi 法的迭代矩阵是即，故， j 法收敛、gs法的迭代矩阵为故，解此方程组的 gs法不收敛；5.设，deta0，用 ,b 表示解方程组 ax=f 的 j法及 gs法收敛的充分必要条件 .解 j 法迭代矩阵为，故 j 法收敛的充要条件是；gs法迭代矩阵为由得 gs法收敛得充要条件是6. 用 sor方法解方程组 分别取 =1.03, =1, =1.1精确解，要

14、求当时迭代终止， 并对每一个 值确定迭代次数解：用 sor方法解此方程组的迭代公式为取，当时，迭代 5 次达到要求如取，迭代 6 次得7. 对上题求出 sor迭代法的最优放松因子及渐近收敛速度， 并求j 法与 gs法的渐近收敛速度 . 如要使那么 j 法 gs法和 sor法各需迭代多少次 .解： j 法的迭代矩阵为，故，因 a为对称正定三对角阵，最优放松因子j 法收敛速度由于，故如要求，于是迭代次数对于 j 法，取 k 15对于 gs法，取 k 8对于 sor法8.填空题，取 k 51要使应满意（） .(2) 已知方程组，就解此方程组的 jacobi迭代法是否收敛（） . 它的渐近收敛速度 r

15、b=（） .(3) 设方程组 ax=b, 其中其 j 法的迭代矩阵是（） .gs 法的迭代矩阵是（） .(4) 用 gs法解方程组，其中 a 为实数，方法收敛的充要条件是 a 满意（） .(5) 给定方程组,a 为实数. 当 a 满意（）， 且 0 2 时 sor迭代法收敛 .答:1(2) j法是收敛的，(3) j法迭代矩阵是，gs法迭代矩阵(4) 满意(5) 满意第七章非线性方程求根习题七1. 用二分法求方程的正根，使误差小于 0.05解 使用二分法先要确定有根区间；此题 fx=x2-x-1=0,因f1=-1,f2=1,故区间1,2为有根区间；另一根在 -1,0内，故正根在 1,2内；用二分

16、法运算各次迭代值如表；其误差2. 求方程在 =1.5 邻近的一个根，将方程改写成以下等价形式，并建立相应迭代公式 .(1) ，迭代公式.(2) , 迭代公式.(3) ，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似根解：（1）取区间且，在且，在中，就 l1，满意收敛定理条件，故迭代收敛；（2），在中，且， 在中有，故迭代收敛；（3），在邻近，故迭代法发散；在迭代（1）及（2）中，由于（ 2）的迭代因子 l 较小，故它比（ 1） 收敛快；用（ 2）迭代，取，就3. 设方程的迭代法(1) 证明对, 均有, 其中 为方程的根 .(2) 取=4, 求此迭代法的近似根，使误差不超过, 并列出各次迭代值 .(3) 此迭代法收敛阶是多少 .证明你的结论解：（1）迭代函数，对有，（2）取，就有各次迭代值取，其误差不超过（3）故此迭代为线性收敛4. 给定函数，设对一切 x,存在，而且. 证明对的任意常数 , 迭代法均收敛于方程的根解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯独的（假定方程有根）；迭代函数，；令，就，由递推有，即5. 用 steffensen方法运算第 2 题中2 、3 的近似根，精确到解: 在2 中, 令, 就有令, 得, 与第 2 题