2021年太原理工大学-大学物理第五版第9章课后题答案

1、第 9 章 真空中的静电场 习题选解 9- 补充三个电量为 q 的点电荷各放在边长为 r 的等边三角形的三个顶点上， 电荷qq0 放在三角形的重心上； 为使每个-q负电荷受力为零， q 之值应为多大？解：以三角形上顶点所置的电荷 q 为例，其余两个负电荷对其作用力的合力q-q-q为 f 1，方向如下列图，其大小为f12q 2240 rcos 303q 2240 r题 6-1 图中心处 q 对上顶点电荷的作用力为f 2f 2 ，方向与qq2f 1相反，如下列图，其大小为3qq2由 f1f 2 ，得3r403q3 q ；340 r6-补充在某一时刻，从u 238 的放射性衰变中跑出来的粒子的中心离

2、残核th 234 的中心为 r9.01015 m ；试问：（1）作用在粒子上的力为多大？（ 2） 粒子的加速度为多大？2382344解：（1）由反应92 u90th+2 he ，可知粒子带两个单位正电荷，即th 离子带 90 个单位正电荷，即q12e193.210cq290e1914410c它们距离为 r9.01015 m由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：q q3.210 1914410 19rf2129.0109 512n049.010 15 2（2） 粒子的质量为：m2mpmn21.67 10 271.67 1027 6.68 1027 kg由牛顿其次定律得：af5127.661028

3、 m s 2m6.6810 279-1 如下列图，有四个电量均为q106 c 的点电荷，分别放置在如下列图的1，2，3，4 点上，点 1 与点 4 距离等于点1 与点 2 的距离，长1m，第 3 个电荷位于 2、4 两电荷连线中点；求作用在第 3 个点电荷上的力；解： 由图可知，第 3 个电荷与其它各题 9-1 图电荷等距，均为 r2 m ；各电荷之间均2为斥力，且第 2、4 两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平稳；由库仑定律，作用于电荷3 的力为1q1q3rf240131.810 2 n题 9-1 图力的方向沿第 1 电荷指向第 3 电荷，与 x 轴成 45o 角；9-2 题略

4、解tan1q2240 2l sinmg0q16l 2mgtansin 24l sin0mgtan9-3 在直角三角形 abc 的 a 点放置点电荷 q11.810 9 c， b 点放置点电荷q24.810 9 c，已知 bc0.04 m, ac0.03m ，试求直角顶点 c 处的场强 e ；解：a 点电荷在 c 点产生的场强为e1， 方向向下e1q12140 r11.810 4vm 1b 点电荷在 c 点产生的场强为 e 2 ，方向向右e 21q2240 r22.74110 vm题 9-3 图依据场强叠加原理， c 点场强eee12223.24104vm 1设 e 与 cb 夹角为 ， tan

5、e1 e 2arctan e1e2arctan 2333.7 o9-补充 如下列图， 一根很长的绝缘棒， 匀称带电，单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为 d 的 p 点处的电场强度；解： 建立如下列图坐标，在棒上任取一线元 dx 在 p 点产生的场强为 de题 9-补充 a 图r2dedq 4040 dxx2d2 2dx04x 2d 2 场强 de 可分解成沿 x 轴、 y 轴的重量de xde sindexx 2d 2de yde cosddex 2d 2题 9-补充 b 图exde x040 2 x2dx223d 28002d x21d 2 2140d40dededdxdxyy0

6、 4320 x2d 2 240 d 2 x210d 2 240dp 点场强exy2e240 deex方向与 y 轴夹角为arctaney45o9-4 如下列图，一条长为 2l 的匀称带电直线，所带电量为 q ，求带电直线延长线上任一点 p 的场强；解：在坐标原点 0 为r 处取线元， 带电量qp 点产生的场强为题 9- 4 图dqdrdr 2l该线元在带电直线延长线上距原点为x 的题 9-4 图dedq40 xr 2整个带电直线在 p 点的场强edelqdrl402l xr 2q80ll d xl xr r 2q80ll1xrlq112 qlq8lxlxl8l x2l 2 4 x2l 2 00

7、09-5 一根带电细棒长为 2l ，沿 x 轴放置，其一端在原点， 电荷线密度ax（ a为正的常数）；求 x 轴上， xb2l处的电场强度；解：在坐标为 x 处取线元 dx ，带电量为 dqaxdx ，该线元在 p 点的场强为 de ，方向沿 x 轴正方向dedq40 b2lx2整个带电细棒在 p 点产生的电场为2ledeaxdx20 40 b2lxa2lb2lxb2l d b2lx题 9-54020b2lxa 2l400db2l2b2lx 2x 22lb2l0db2l b2lxx 2aln b2l2lx2ab2l 12 lalnb2l 80040b2lx 040b2lb场强 e 方向沿 x

8、轴正方向9-6 如下列图，一根绝缘细胶棒弯成半径为r 的半圆形；其上一半匀称带电荷q，另一半匀称带电荷q ；求圆心 o处的场强；题 9-6 图解： 以圆心为原点建立如下列图 oxy 坐标，在胶棒带正电部分任取一线元 dl ，与oa夹角为 ，线元带电荷量o 点产生电场强度dq2q dl ，在r2dedq40 r2 qdl204r 3qd202r 2把场强 de 分解成沿 x 轴和 y 轴的重量de xde sinde yde cosede2qsindqxx022r222r200eydey2q0 222 cos drq22r2题 9-6 图00同理，胶棒带负电部分在 o 点的场强 e 沿 x 轴方

9、向的重量 ex 与ex 大小相等，方向相同；沿 y 轴方向的重量e y 与ey 大小相等，方向相反，相互抵消，故点场强为qre2ex220方向沿 x 轴正向；9-7 如下列图，两条平行的无限长匀称带电直线，相距为d ，线电荷密度分别为和，求：两线构成的平面的中垂面上的场强分布；解：在两线构成平面的中垂直面上任取一点p 距两线构成平面为 y ，到两线距离为 y2 d22；两带电直线在 p 点的场强为e102 y 221d 24e 202 y 212d 24题 9-7 图由于对称性， 两线在 p 点的场强沿 y 轴ye 1方向的重量，方向相反， 大小相等， 相pe互抵消e2ee1xe2 xe1 c

10、ose2 cosd+ +-d/2o-d/2x2202 d12y2 2 d21y2 2题 9-7 图d d 220 444y2 方向沿 x 轴正方向9-8 求两无限大匀称带电平板的电场分布已知：2求：分布解： 两无限大带电平板产生场强大小分别为e+方向如图 红色2 02e方向如图 蓝色2 0太原理工高校高校物理由叠加原理，两极板间场强e2e+e23方向沿 x 轴正向两板外，左侧eee2 02 02 021+202020方向沿 x轴正向两板外，右侧e 3e +202e 220方向沿 x轴负向0太原理工高校高校物理9-9 一无限大匀称带电平面，电荷面密度为，在平面上开一个半径为r的圆洞，求在这个圆洞

11、轴线上距洞心 r 处一点 p 的场强；解： 开了一个圆洞的无限大匀称带电平面，相当于一个无限大匀称带电平面又 加了一块带异号电荷，面密度相同的圆盘；距洞心 r 处 p 点的场强e pee式中 e 为无限大匀称带电平面在 p 点产生的场强题 9-9 图e2 0方向垂直于平面对外e 为半径为 r 的匀称带负电圆盘在其轴线上距中心为r 处的 p 产生的场强；在圆盘上取半径为 r ，宽为 dr 的细圆环，在 p 点产生场强2derdq2 r rdr40 rr 2 3 2232240 rrede2rr2400 rrdrr 2 3 2r 2 0r 2r10r 2 121r2 0r2r 2方向垂直圆盘向里故

12、epeer02 r 2r 2 1 2方向垂直平面对外9-10 用细的不导电的塑料棒弯成半径为 50cm 的圆弧，棒两端点间的间隙为2cm ，棒上匀称分布着3.1210 9 c的正电荷，求圆心处场强的大小和方向；解：有微小间隙的带正电圆弧棒， 等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒；由场强叠加原理，圆心 o 场强e0e圆棒e .ab对于匀称带正电的圆环，由于对称性在圆心o 的电场强度为零，e圆环0 ；题 9-10 图上一带负电小圆弧棒相对于圆心 o 可近似看成一个点电荷，电量为：e.abqq4r2qdl2 r14r2q dl2r00qdl2380 r0.714vm 1圆心

13、处场强 e0e.ab0.714vm1 ，方向指向间隙；9-11 题略解：（1）点电荷在立方体的中心，由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为q.eds0就通过该立方体任一个面的电通量为q；6 0（2）点电荷在立方体的一个顶点上，以该顶点为中心作一边长为2a 的立方体， 由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为q.eds0就通过该立方体任一个面的电通量为q；24 09-补充用场强叠加原理，求证无限大匀称带平面外任一点的场强大小为e（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条瘦长线，然后进行积分）；2 0解：（1）建如图 a xyz坐标，以板上任一点 o为圆心，取半径为 r ，宽度为 dr 的环形面积元

14、，带电量为：dq2 rdr ；由圆环电荷在其轴线上任一点depopx 的场强公式2xrdr0方向沿 x 轴正方向；p 点总场强4 x2r 2 3 2edexrdr220230 rx 2x2 0 r 2100x2 122题 9-补充 a 图（0 ， e 的方向沿 x 轴正方向）（2）建如图 b 所示的三维坐标，在与 z 轴相距为 y 处取一瘦长线元，沿 y 轴方向单位长度带电荷为dy ，由长直带电直线场强公式， 线元在 x 轴距原点 o为a 的点 p 的场强de120dyy 2a 2题 9-补充 b 图由于对称性， de 的 y 轴重量总和为零所以edexde cosadyarctan y20y

15、2a 2y2a 220a202 0由于0 ，所以 e 的方向沿 x 轴正方向；9-补充如下列图，半径为 r的带电细圆环，线电荷密度0 cos， 0 为常数， 为半径 r 与 x 轴夹角，求圆环中心 o处的电场强度；解： 在带电圆环上任取一线元 dlrd，带电量为 dqdl0 cos rd，线元与原点 o 的连线与 x 轴夹角为 ，在 o点的场强 de 大小为dedq题 6-12 图0rcos d0cos d004r 24r 240rde 沿 x 轴和 y 轴的重量dexde cos0cos2d40 rde yde sin040rcossind整个带电圆环在 o 点的场强 e 沿 x 轴和 y

16、轴的重量exdex20400 rcos2 d040r 221 sin 2 40204 0 r2eyde y20400 rsind sin040 rsin020故eexi0i4 0re 的方向沿 x 轴负方向；9-12 设匀强电场的场强为 e ， e 与半径为 r 的半球面的轴线平行；试运算通过此半球面的电场强度通量；解：方法一：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面s的电场强度通量相等；通过 s面的电场强度通量：eesr 2 e故通过半球面的电场强度通量亦为r 2e ；方法二：在半球面上取宽为dl 的环状面积元， ds2 rdl2 r 2 sind通过面元 ds 的电场强度通量dee cos

17、 dse cos2 r 2 sind通过整个半球面的电场强度通量ede222 r e sin0cos d2 r 2e1 sin 2220r 2 e题 9-12 图9-补充在半径分别为r1 , r2 的两个同心球面上，分别匀称带电为q1 和q2 ，求空间的场强分布，并作出er 关系曲线；解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外；（1） 以球心 o 为圆心， r 为半径（ r1r0 ）作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即ei.sds0因而ei0（2） 以o 为圆心，半径为 r（ r2rr1 ）作一同心球面，由高斯定理q1.s eiids0eiie

18、ii4r 2q10q1240rer 曲线如图 9-补充所示；（3） 以 o 为圆心，半径为 r （ r2r ）作一同心的球面，由高斯定理.se iiidsq1q20eiii所以e4r 2q1iii4q1q20q2r209-13 设匀称带电球壳内、外半径分别为r1 和r2 ，带电量为 q ；分别利用高斯定理与用匀称带电球面的电场叠加求场强分布，并画出er 图；解： 由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性；（1） 在 rr1 的区域，电量为零；由高斯定理.s e ds0 ，因而各点场强为零；（2） 在 r1rr2 区域，以 r 为半径作同心球面；由高斯定理由qvq.s eds0q 4

19、r 34r3r43412333r133qr 3r3 20e4 r 2 r311r3因此eqr 33rrr02114r 233（3） 在 rr2 区域，以 r 为半径作同心球面，由高斯定理.s eedsqq004 r 2q0eq04r 2er 曲线如图 9-13 所示；er 曲线如图 9-13 所示；9-14 无限长共轴圆柱面，半径分别为r1和r2 r2r1 ，匀称带电，单位长度上的电量分别为 1 和 2 ；求距轴为 r 处的场强 1 rr1 ； 2 r1rr2 ； 3 rr2 ；解：（ 1）在半径为r1的圆柱面内作半径为 r rr1 ，高为 l 的同轴圆柱面，作为高斯面；通过此高斯面的通量蜒s

20、 edse上底 dss蜒s e下底 dsqe侧 ds0s0各点 e 垂直于轴线，上下底面电通量为零2 rle 侧0因而e0 rr1 （2）在半径为r1 、r2 的两圆柱面间作半径为 r r2rr1 ，高为l 的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理.s edsql 100侧edsl 1s02 rle1l 0可见e120 r（ 3）同理在rr2 的区域e1220r9-15 如下列图， 点电荷 q10 9 c ，与它在同始终线上的a、b、c 三点分别距q 为10cm、20cm、30cm ，如选 b 为电势零点， 求 a、c两点的电势va、 vc ；题 9-15 图解： 以点电荷 q 为原点，沿q, a,

21、 b, c的连线建 x 坐标，在 x 坐标轴上，各点场强方向都沿 x 轴正方向；题 9-15 图e对于 a 、 b 两点，电势差q04x 2v avbbedxa0 .2edx0 .10 .20. 1 4qdxx20q0.2 dx2400.1 xq1 40x0.20.15q45v40由vb0 ，故va45v对于 b 、 c 两点，电势差为：vbvc0.3edx0.20.30.2 4qx2 dx0q140x0.30.215v由vb0 ，故vc15v9-16真空中一匀称带电细圆环，线电荷密度为，求其圆心处电势；解： 在细圆环上取长为 dl 的线元，带电量为 dqdl在圆心处产生的电势dvdq40rd

22、l40r整个带电圆环在圆心 o 的电势vdv2 rdl040 r2 r40 r2 0题 9-169-17 长为 2l，带电量为 q的匀称带电细棒，求延长线上距棒一端为 a的点p的电势；解： 建立图示坐标（1）取线元 dxq2 ldqdx（ 2）dq在p点的电势 dv（ 3）整个细棒在 p点的电势4dq0rdx402lax2lvdvdx04ln2la2lx02laa4ln 2l0xq80l4ln 2l00aqaa80lln（1+ 2l ）a太原理工高校高校物理9-19 如图: 两匀称带电同心球面，求电势分布；解 匀称带电球面电势分布q1q2由电势叠加原理可得（1） rrqq1v124 r014

23、r02（2） rq1q21rr2v4 r04 r02（ 3） rr2vq14 0rq24 0r太原理工高校高校物理9-20有一个半径为 r 的球体，球内部带电， 电荷体密度的表达式为 r qr r4r 0r rr r求1球体总带电量 q ； 2球内、外各点的场强；3球内、外各点的电势；解： 在球内取半径为 r，厚度为 dr的薄球壳，该壳内包含的电量dqdvqr4 r4r 2dr4q r 3dr r4太原理工高校高校物理球体总带电量qr 4qdq0r4r 3drq2球内、外各点的场强；2场强分布具有球对称性，高斯面为球面；通过高斯面的电通量当场点在球面外时ee 4 re 4 r 2方向沿半径向外

24、太原理工高校高校物理或r当场点在球面内时4q0r4 r dr3qr44re 4 r 210r4q r 4方向沿半径向外或太原理工高校高校物理3球内、外各点的电势；由（ 2）知，带电球的电场分布r.p当r r 时选v=0，沿矢径方向积分到无限远处， 球面外一点 p的电势vpe dlqqr40r 2dr4（ rr）0r太原理工高校高校物理当r r 时，球面内一点 p的电势ve dlpre dlre dlrr p.rqr 24 drq2 drr 40 rr 40 rqqr 3q-4 +120 r120 r40rqqr 3qr 3-43r12r4 -312rr000太原理工高校高校物理9-22 题略解

25、：取无穷远处电势为零，就内球面处电势为q3qv14r42 r外球面处电势为qv240 2 r003q40 2 r带电粒子由内球面从静止释放到达外球面时电场力作功，由动能定理可得粒子的动能1 mv2qvv =qq12280 r9-23 题略解：取无穷远处电势为零，就 o 点的电势为v00qqc 点电势为vc403 r40r电荷 q0 从 o 到 c 移动过程中电场力作功为aocq0vovc =q0q60r9-补充半径为2mm 的球形水滴具有电势300v；求：（1）水滴上所带的电荷量；（ 2）假如两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少（假定结合时电荷没有漏失）？解：（1）设水滴所带

26、电荷匀称分布在水滴表面；水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等；对于水滴外任一点xr ，电场强度水滴的电势veedxq240xqdxx4rr204xqd 1 r0q40 r题 9-补充图故q40 rv66.710 12 c66.7 pc（2）两水滴合成一较大水滴，电量q2q ，半径 r3 2r1.26 r ，水滴外任一点 x （ x1.26r ）的电场强度e2qx240大水滴的电势vedxr1.26r 42qdxx202q 1 2q476v40x1.26 r41.260 r9-补充两个同心的匀称带电球面， 半径分别为 r15.0cm ， r220.0cm ，已知内球面的电势为v160v ，外球面的电势v230v ；（1）求内、外球面上所带电量；（ 2）在两个球面之间何处的电势为零？解：（1）设内球面带电量为q1 ，外球面带电量为q2 ，由电势叠加原理vq1140 r1vq1240 r2q240 r2q240r260v30v由 - 得：q111r2r1 q19040r1r240 r1 r24r r20.05.010 41q90012906.67 1010 cr2r19 10920.05.010 2将 q1的数值