实验误差理论(上课用)

1、实验误差理论实验误差理论绪论绪论一、物理实验课的任务一、物理实验课的任务物理学的研究方法通常是在观察和实验物理学的研究方法通常是在观察和实验的基础上，对物理现象进行分析、抽象的基础上，对物理现象进行分析、抽象和概括，建立物理模型，探索物理规律，和概括，建立物理模型，探索物理规律，进而形成物理理论。进而形成物理理论。 因此，物理规律是实验事实的总结，因此，物理规律是实验事实的总结，而物理理论的正确与否需要实验来验证。而物理理论的正确与否需要实验来验证。实验误差理论实验误差理论物理实验课的主要任务是：物理实验课的主要任务是：(1)通过对实验现象的观察、分析和对物通过对实验现象的观察、分析和对物理量

2、的测量，学习有关实验的基本知识、理量的测量，学习有关实验的基本知识、基本方法和基本技能，加深对物理学原基本方法和基本技能，加深对物理学原理的理解；理的理解；实验误差理论实验误差理论(2)培养和提高学生的科学实验能力，包培养和提高学生的科学实验能力，包括能够通过阅读实验教材或资料做好实括能够通过阅读实验教材或资料做好实验前的准备工作，能够自己动手组建实验前的准备工作，能够自己动手组建实验测量系统，能够正确使用仪器，能够验测量系统，能够正确使用仪器，能够运用物理学原理对实验现象进行观察、运用物理学原理对实验现象进行观察、分析和判断，能够正确记录、处理实验分析和判断，能够正确记录、处理实验数据，绘制

3、图表，撰写合格的实验报告，数据，绘制图表，撰写合格的实验报告，能够完成具有设计性内容的实验；能够完成具有设计性内容的实验；实验误差理论实验误差理论(3)培养学生的探索精神、创新精神和严培养学生的探索精神、创新精神和严格、细致、事实求是、一丝不苟的科学格、细致、事实求是、一丝不苟的科学态度，培养与提高学生的自主学习能力态度，培养与提高学生的自主学习能力和创新能力，培养学生善于动手、乐于和创新能力，培养学生善于动手、乐于动手、遵守操作规程、爱护国家财产、动手、遵守操作规程、爱护国家财产、注意安全等良好的科学习惯。注意安全等良好的科学习惯。实验误差理论实验误差理论二、物理实验课的学习特点二、物理实验

4、课的学习特点 实验课与理论课不同，它的特点是同实验课与理论课不同，它的特点是同学们在教师的指导下自己动手，独立地完学们在教师的指导下自己动手，独立地完成实验任务。在物理实验过程中，同学们成实验任务。在物理实验过程中，同学们应关注以下几点：应关注以下几点：(1)实验的物理思想实验的物理思想(2)实验装置与仪器实验装置与仪器(3)及时发现问题及时发现问题实验误差理论实验误差理论（4）实验记录实验记录记录不仅应记下实验数据，还应包括实验记录不仅应记下实验数据，还应包括实验条件，仪器的型号和编号，故障及可疑现条件，仪器的型号和编号，故障及可疑现象等一切有价值的内容。实验结束前将原象等一切有价值的内容。

5、实验结束前将原始数据交给指导教师审查签字方可离开实始数据交给指导教师审查签字方可离开实验室。验室。实验误差理论实验误差理论(5)实验报告实验报告的基本要求是：字迹清楚、文理通实验报告实验报告的基本要求是：字迹清楚、文理通顺、图表正确、数据完备和结论明确。顺、图表正确、数据完备和结论明确。报告的内容包括：报告的内容包括：实验名称实验名称实验目的实验目的实验原理：实验原理：实验仪器：实验仪器：实验内容实验内容实验讨论：实验讨论：(6)做好实验前的预习做好实验前的预习三、遵守实验规则三、遵守实验规则实验误差理论实验误差理论1.1 测测 量量1.1.1 测量的概念测量的概念物理实验以测量为基础，一切物

6、理量都是通物理实验以测量为基础，一切物理量都是通过测量得到的。所谓测量，过测量得到的。所谓测量，就是用合适的工就是用合适的工具或仪器，通过科学的方法，将反映被测对具或仪器，通过科学的方法，将反映被测对象某些特征的物理量（被测物理量）与选作象某些特征的物理量（被测物理量）与选作标准单位的同类物理量进行比较的过程，其标准单位的同类物理量进行比较的过程，其比值即为被测物理量的测量值。比值即为被测物理量的测量值。因此，一个因此，一个物理量的测量值应由读数值和单位两部分组物理量的测量值应由读数值和单位两部分组成，缺一不可。成，缺一不可。实验误差理论实验误差理论 按测量方法进行分类，测量可分为直接按测量方

7、法进行分类，测量可分为直接测量和间接测量两大类。测量和间接测量两大类。1.直接测量：直接测量：直接将待测物理量与选定的同直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较得到测量值的测类物理量的标准单位相比较得到测量值的测量方法。量方法。2.间接测量：间接测量：利用直接测量的量与被测量之利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该被测物理量的测间的已知函数关系，求得该被测物理量的测量方法。量方法。 一个物理量是直接测量量还是间接测量一个物理量是直接测量量还是间接测量量并不是绝对的。量并不是绝对的。实验误差理论实验误差理论1.1.2等精度测量和非等精度测量等精度测量和非等精度测量根据测量条

8、件的不同，测量又分为等精度测根据测量条件的不同，测量又分为等精度测量和非等精度测量。量和非等精度测量。1.等精度测量等精度测量:在相同的测量条件下，在短时在相同的测量条件下，在短时间内对同一物理量进行多次重复测量，可视间内对同一物理量进行多次重复测量，可视为等精度测量。为等精度测量。2.非等精度测量非等精度测量:若测量条件全部或部分发生若测量条件全部或部分发生了明显变化，每种测量的可靠性、精确度就了明显变化，每种测量的可靠性、精确度就会不同，这种测量称为非等精度测量。会不同，这种测量称为非等精度测量。实验误差理论实验误差理论1.2 误差误差1.2.1误差的定义误差的定义1.真值与误差真值与误差

9、真值：真值：我们把某物理量在一定客观条件下我们把某物理量在一定客观条件下的真实大小，称为该物理量的真值。的真实大小，称为该物理量的真值。误差：误差：测量值和真值之间总有一定的差异，测量值和真值之间总有一定的差异，我们称测量值与真值的差值为误差。我们称测量值与真值的差值为误差。 实验误差理论实验误差理论2.误差的表示测量误差的大小反映了误差的表示测量误差的大小反映了测量结果的准确程度，测量误差可以测量结果的准确程度，测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。表示。 (1) (2) 0 xa绝对误差测量值真值 0 xa绝对误差测量值真值 r100%a绝对误差

10、（ ）相对误差真值（ ）实验误差理论实验误差理论1.2.2 误差的分类误差的分类根据误差的来源、性质和特点可将误差根据误差的来源、性质和特点可将误差分为以下几类：分为以下几类：1.系统误差：系统误差：在相同测量条件下多次测在相同测量条件下多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不量同一物理量时，符号和绝对值保持不变，在改变测量条件时，它又按某一确变，在改变测量条件时，它又按某一确定的规律变化的测量误差称为系统误差。定的规律变化的测量误差称为系统误差。实验误差理论实验误差理论2.随机误差：随机误差：在极力消除或修正了一切明显在极力消除或修正了一切明显的系统误差之后，在相同的测量条件下，多的系统误差

11、之后，在相同的测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化时大时小、时正时负，以不可预定的方式化时大时小、时正时负，以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。变化着的误差称为随机误差。3.粗大误差：粗大误差：凡是用测量时的客观条件不能凡是用测量时的客观条件不能合理解释的那些突出的误差，均可称为粗大合理解释的那些突出的误差，均可称为粗大误差。误差。实验误差理论实验误差理论1.2.3测量的精密度、准确度和精确度测量的精密度、准确度和精确度1.精密度：精密度：表示测量结果中的随机误差大小表示测量结果中的随机误差大小的程度。的程度。2.准确度：准确度：表

12、示测量结果中的系统误差大小表示测量结果中的系统误差大小的程度。的程度。3.精确度：精确度：是对测量结果中系统误差和随机是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述。误差的综合描述。实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论1.3 系统误差的发现和消除系统误差的发现和消除1.3.1系统误差的发现系统误差的发现1.理论分析法理论分析法2.对比法对比法1.3.2系统误差的处理系统误差的处理1.消除产生系统误差的因素消除产生系统误差的因素 2.对测量结果加以修正对测量结果加以修正3.采用适当的测量方法采用适当的测量方法实验误差理论实验误差理论1.4 随机误差的统计分布随机误

13、差的统计分布1.4.1随机误差的正随机误差的正态分布态分布 1.正态分布规律正态分布规律在相同的测量条件下，对某一被测量进行多在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重复测量，由于随机误差的存在，测量结次重复测量，由于随机误差的存在，测量结果，果，一般存在着一定的差异。如果该被一般存在着一定的差异。如果该被测量的真值为测量的真值为a，则根据误差的定义，将各次，则根据误差的定义，将各次测量的误差为横坐标，纵坐标为误差的测量的误差为横坐标，纵坐标为误差的概率概率密度分布函数密度分布函数。当测量次数足够大时，此曲。当测量次数足够大时，此曲线完全对称。线完全对称。实验误差理论实验误差理论2.正态分布的

14、性质：正态分布的性质：（1）单峰性（）单峰性（2）对称性（抵偿性）（）对称性（抵偿性）（3）有界性：有界性：根据误差理论可以证明函数的数学表达式为根据误差理论可以证明函数的数学表达式为 (3)式（式（3）中的）中的 是一个与实验条件有关的常是一个与实验条件有关的常数，称之为标准误差。数，称之为标准误差。 22212fe实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论1.4.2标准误差及其计算标准误差及其计算1.标准误差的物理意义标准误差的物理意义按照概率理论，误差出现在（按照概率理论，误差出现在（-+）区间的事件是必然）区间的事件是必然事件，所以，即曲线与横轴所包围面积恒等于事件，所以，即曲线

15、与横轴所包围面积恒等于1。当。当时，由式（时，由式（3）得）得 （4）反映的是一组测量数据的离散程度，常称它为测量反映的是一组测量数据的离散程度，常称它为测量列的标准误差。列的标准误差。 (5)。 102f 0.682689 68.3%Pfd 30.997399.7%P实验误差理论实验误差理论表明，在表明，在1000次测量中，随机误差超过范围次测量中，随机误差超过范围的测得值大约只出现的测得值大约只出现3次左右。在一般的十几次左右。在一般的十几次测量中，几乎不可能出现。依据这点，可次测量中，几乎不可能出现。依据这点，可对多次重复测量中，由于过失引起的异常数对多次重复测量中，由于过失引起的异常数

16、据加以剔除。这被称为剔除异常数据的准则。据加以剔除。这被称为剔除异常数据的准则。它只能用于测量次数它只能用于测量次数n10的重复测量中，对的重复测量中，对于测量次数较少的情况，需要采用另外的判于测量次数较少的情况，需要采用另外的判别准则。别准则。实验误差理论实验误差理论2.标准误差的数学表达式标准误差的数学表达式 (6)3.标准偏差的计算标准偏差的计算 （1）算术平均值）算术平均值 根据随根据随机误差的正态分布规律，测得值偏大或偏小的机误差的正态分布规律，测得值偏大或偏小的机会相等，即绝对值相等的正负误差出现的概机会相等，即绝对值相等的正负误差出现的概率是相等的。因此，在排除掉系统误差后，各率

17、是相等的。因此，在排除掉系统误差后，各次测得值的算术平均值次测得值的算术平均值 (7)21limniinXan 121ninixxxxxnn实验误差理论实验误差理论(2)算术平均值的标准误差算术平均值的标准误差 算术平均值的标准误差，可以算术平均值的标准误差，可以证明证明 (8)xn实验误差理论实验误差理论(3)标准偏差标准偏差 前面对误差的讨论只有理论上的价值，下前面对误差的讨论只有理论上的价值，下面我们讨论误差的实际估算方法。由于算术平均值最接面我们讨论误差的实际估算方法。由于算术平均值最接近真值，因此可以用算术平均值参与对标准误差的估算。近真值，因此可以用算术平均值参与对标准误差的估算。

18、我们常用如下的贝塞尔公式去估算标准误差我们常用如下的贝塞尔公式去估算标准误差 (9) 2211()11nniiiiXXvsnn实验误差理论实验误差理论算术平均值的标准误差的估计值为算术平均值的标准偏差，算术平均值的标准误差的估计值为算术平均值的标准偏差，若测量列的标准偏差为若测量列的标准偏差为S，则，则 (10)xssn xssn实验误差理论实验误差理论测量结果的不确定度估算测量结果的不确定度估算1.5.1不确定度的概念不确定度的概念 一般来说，真值是无法测得的，因此误差也就无法得一般来说，真值是无法测得的，因此误差也就无法得到。我们只能通过一定的方法对测量误差进行估计，到。我们只能通过一定的

19、方法对测量误差进行估计，这就需要引入不确定度的概念。这就需要引入不确定度的概念。不确定度：是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯不确定度：是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是对被测量的真值所处的量值范围的评定。定的程度，是对被测量的真值所处的量值范围的评定。 (11)式中式中P为置信概率，式为置信概率，式(11)的含义是：区间的含义是：区间(x-，x+)内包内包含被测量含被测量x的真值的可能性是的真值的可能性是P。x x =P（）实验误差理论实验误差理论用用Ur表示相对不确定度，则有表示相对不确定度，则有 (12)总不确定度可分为两类分量，一类是可以通过多次重总不确定度可分为

20、两类分量，一类是可以通过多次重复测量用统计学方法估算出的复测量用统计学方法估算出的A类分量类分量A，另一类，另一类是用非统计方法估算出的是用非统计方法估算出的B类分量类分量B。将两类分量。将两类分量按方和根的方法合成，就得到测量结果的总不确定度：按方和根的方法合成，就得到测量结果的总不确定度： (13) r100%Ux r1 0 0 %Ux22AB 实验误差理论实验误差理论 (14)式中式中Sx是算术平均值的标准偏差。但当重复测量是算术平均值的标准偏差。但当重复测量次数较少时，随机误差不再符合正态分布。这样，次数较少时，随机误差不再符合正态分布。这样，需对式需对式(14)做一个修做一个修 正。

21、即正。即 （15）1 .9 6AxsAxt S实验误差理论实验误差理论1.5.3 B类不确定度分量的估算类不确定度分量的估算1.仪器误差仪器误差测量仪器和量具本身总是存在一定误差，我们习惯上测量仪器和量具本身总是存在一定误差，我们习惯上称之为仪器误差，用符号称之为仪器误差，用符号仪仪表示。表示。2. B类不确定度分量类不确定度分量不能用统计学方法估算的分量为不能用统计学方法估算的分量为B类不确定度分量，类不确定度分量，一般指系统误差。若不特别说明，则一般指系统误差。若不特别说明，则 (16)C叫置信因子叫置信因子,置信概率取置信概率取0.95时，时，C=1.05。BC仪实验误差理论实验误差理论

22、1.5.4直接测量量的不确定度估算及测量结直接测量量的不确定度估算及测量结果表示果表示1.单次直接测量单次直接测量A.在实际测量过程中，有的被测量是随时在实际测量过程中，有的被测量是随时间变化着的，我们无法对其进行重复测量，间变化着的，我们无法对其进行重复测量，只能进行单次测量。只能进行单次测量。B.还有些被测量，对它们的测量精度要求还有些被测量，对它们的测量精度要求不高，只要进行单次测量就可以了。不高，只要进行单次测量就可以了。2.多次直接测量多次直接测量对多次直接测量的数据进行处理的一般步对多次直接测量的数据进行处理的一般步骤是：骤是：实验误差理论实验误差理论计算被测量的算术平均值，计算被

23、测量的算术平均值，把把x作为被测量的最佳估计值。作为被测量的最佳估计值。求出各测量值的残差求出各测量值的残差 。用贝塞尔公式求出测量列的标准偏差用贝塞尔公式求出测量列的标准偏差1/niixxniivxx211niivSn实验误差理论实验误差理论审查测量数据，如发现有异常数据，应予以舍弃。审查测量数据，如发现有异常数据，应予以舍弃。舍弃异常数据后，再重复步骤，直至完全剔舍弃异常数据后，再重复步骤，直至完全剔除异常数据。求出算术平均值的标准偏差，除异常数据。求出算术平均值的标准偏差，并查表并查表1-1求出总不确定度的求出总不确定度的A类分量。类分量。求出总不确定度求出总不确定度表示出最后测量结果表

24、示出最后测量结果利用计算器的统计计算功能，将多次测量结果输人后，利用计算器的统计计算功能，将多次测量结果输人后，可直接求得可直接求得 X 及及S。 （可编程）（可编程）xSSnAxtS 22 AB,100%rxxUx x x x x x x x实验误差理论实验误差理论1.5.5间接测量量的不确定度估算及测量结果间接测量量的不确定度估算及测量结果表示表示 1.间接测量的不确定度合成公式间接测量的不确定度合成公式 设间接测量量设间接测量量y是各自相互独立的直接测量是各自相互独立的直接测量量量 的函数，其函数形式为的函数，其函数形式为 (18)设各直接测量量设各直接测量量的测量结果分别为的测量结果分

25、别为则间接测量量则间接测量量y的最佳估计值的最佳估计值 (19)12,mxxx12,myfxxx 12,mxxx 1122,mmxxxxxx 12,myfxxx 实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论实验误差理论1.6 有效数字及其运算有效数字及其运算1.6.1有效数字的概念有效数字的概念有效数字的定义有效数字的定义可靠数字：我们把通过直读获得的准确数字可靠数字：我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；叫做可靠数字；存疑数字：把通过估读得到的那部分数字

26、叫存疑数字：把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。做存疑数字。有效数字：把测量结果中能够反映被测量大有效数字：把测量结果中能够反映被测量大小的小的带有一位存疑数字的全部数字带有一位存疑数字的全部数字叫有效数叫有效数字。字。 实验误差理论实验误差理论有效数字需要注意以下几个方面：有效数字需要注意以下几个方面：(1)实验中的数字与数学上的数字是不一样的。实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如在数学上如在数学上8.35=8.350=8.3500 ,而实验数据而实验数据8.358.3508.3500。(2)有效数字的位数与被测量的大小和仪器的有效数字的位数与被测量的大小和仪器的精密度有关。精密度有

27、关。(3)第一个非零数字前的零不是有效数字，第第一个非零数字前的零不是有效数字，第一个非零数字后的所有数字一个非零数字后的所有数字(包括零包括零)都是有都是有效数字。效数字。(4)单位的变换不能改变有效数字的位数。单位的变换不能改变有效数字的位数。实验误差理论实验误差理论1.6.2 有效数字的舍入规则一般通用的舍入规则是：有效数字的舍入规则一般通用的舍入规则是：四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶，即小于，即小于5者舍，大于者舍，大于5者入，等者入，等于于5者则把尾数凑成偶数。者则把尾数凑成偶数。下面介绍测量结果中，测量值与不确定度的取位下面介绍测量结果中，测量值与不确定度的取位与舍入规则。与舍入规则

28、。 (1)不确定度一般取一位有效数字，当首位非零数不确定度一般取一位有效数字，当首位非零数字是字是1或或2时，时，可取两位有效数字。相对不确定度可取两位有效数字。相对不确定度的取位也采用相同规则。的取位也采用相同规则。 注意：对于不确定度主注意：对于不确定度主要考虑的是不要估计不足，因此，要考虑的是不要估计不足，因此，对其尾数一律对其尾数一律只进不舍。只进不舍。例如，若估算的不确定度为例如，若估算的不确定度为0.32mm，可以化为可以化为0.4mm。实验误差理论实验误差理论(2)表示测量值最后结果的有效数字尾数表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度尾数要取齐。与不确定度尾数要取齐。例如，测量结果为例如，测量结果为V=(28.960.05)mm3；R=(467.850.24)等。等。测量值的尾数舍入仍遵从四舍六入五凑偶测量值的尾数舍入仍遵从四舍六入五凑偶的原则。的原则。实验误差理论实验误差理论1.6.3有效数字的运算规则有效数字的运算规则 一般来讲，有效数一般来讲，有效数字的运算过程中，有很多规则。为了应用方便，字的运算过程中，有很多规则。为了应用方便，我们本着实用的原则，加以选择后，将其归纳我们本着实用的原则，加以选择后，将其归纳整理为如下两类。整理为如下两类。 1.一般规则一