2021兰州一诊含答案

1、2021 年高三诊断考试数 学（理）留意事项：1. 本试卷分第 i 卷（挑选题）和第 ii卷（非挑选题）两部分；试题前标注有（理）的试题理科考生作答， 试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答；2. 本卷满分 150 分，考试用时120 分钟；3. 答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效；第 i 卷（共 60 分）一、挑选题：本大题共12 小题，每道题5 分，共 60 分. 在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的 .第19页 共11页1. （ 理 ） 设 全 集 u1,2,3,4,5， 已 知 u 的 子 集 m 、 n 满 足 集 m1,4 ， m i

2、 n1 ，n i eu m3,5，就 na. 1,3b.3,5c.1,3,5d.1,2,3,52. （理）设 i 为虚数单位，复数 12ai 为纯虚数，就实数 a 为ia. 121b. 2c.2d.23. 曲线yx311 在点 p1 ， 12 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是a.75b. 752c. 27d. 2724. 如点p 2,022到双曲线 xy1 a0, b0 的一条渐近线的距离为2 ，就该双曲线的离心率为a2b 2a.2b.3c. 2 2d. 235. （理）已知命题：p1 ：函数f xx1x x11) 的最小值为 3 ；2p ：不等式 11 的解集是 x | x1 ;xp3

3、：,r ，使得 sinsinsin成立 ;p4 ：,r ， tantantan1 tantan成立 .其中的真命题是a. p1b. p1 ， p3c. p2 ， p4d. p1 ，p3， p46. （理）数列 an 满意 a11 ， a22 ，且 112 n2) ，就 an3an 1an 1ana. 2 n1b. 2n2 2 nd.c.3 2 n 13开头7. 执行右面的程序框图，如输入的那么输出的p 是a.120 b.240 c.360 d.720n6 , m4输入 n、mk=1,p=1p=pn-m+kk =k+1是km否输出 p终止8. 有一个几何体的三视图如下列图，就该几何体的体积为a.

4、163b.20c.24 d.329. （理）已知动点p 到两定点 a 、 b 的距离和为 8，且|的全部直线与点 p 的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有4ab |4 32，线段 ab 的的中点为 o ，过点 oa. 5 条b. 6 条c. 7 条d. 8 条10. （理）将函数f x2 sinx 30 的图象向左平移个单位，得到函数3yg x 的图象如 yg x 在 0, 上为增函数，就的最大值为4a 4b 3c 2d111.（理）已知函数f x是 r 上的偶函数， 且满意f 5xf 5x ，在0,5上有且只有f 10 ，就 f x 在 2021,2021 上的零点个数为a 808b 8

5、06c 805d 80412. （ 理 ） 定 义 ：min a,ba,abb,ab0. 在 区 域0x 2内 任 取 一 点y 6px, y， 就 x 、 y满 足min x2x2 y, xy4x2x2 y 的概率为a. 5 9b. 4 9c. 1 3d. 2 9第二卷（共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每道题 5 分，共 20 分.rrrrrrr13（理）已知向量 a k,2 ， b2,2， ab 为非零向量，如 aab，就 k.14（理）三位老师安排到4 个贫困村调查义务训练实施情形，如每个村最多去2 个人，就不同的安排方法有种.15. 已知三棱锥 sabc 的全部顶点都在以

6、o 为球心的球面上，abc 是边长为 1的正三角形， sc为球 o的直径 , 如三棱锥 sabc 的体积为26，就球 o 的表面积为.16 （ 理 ） 已 知 各 项 为 正 的 数 列 an 中 ， a11,a22,log2 an 1log 2 ann （ nn）， 就aala21008.122021三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分 12 分）在 abc 中，角 a 、 b 、 c 的对边分别为 a 、 b、 c ， a 2b2c2bc .（）求角 a 的大小；（）如 a23 ， b2 ，求 c 的值18（本小题满分 1

7、2 分）（理）如图，在四棱锥pabcd中， pa平面 abcd ，底面 abcd 是菱形，ab2 ，pbad60 （）求证： bdpc ；（）如 paab ，求二面角 apdb 的余弦值 .dacb19（本小题满分 12 分）（理）某售报亭每天以每份0.4 元的价格从报社购进如干份报纸，然后以每份1 元的价格出售，假如当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1 元的价格卖给废品收购站.（）如售报亭一天购进270 份报纸，求当天的利润y 单位：元 关于当天需求量 x （单位：份，xn ）的函数解析式 .（）售报亭记录了100 天报纸的日需求量（单位：份） ，整理得下表：日需求量 x24025026027

8、0280290300频数10201616151310以 100 天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.（1） 如售报亭一天购进270 份报纸，表示当天的利润（单位：元） ，求的数学期望；（2） 如售报亭方案每天应购进270 份或 280 份报纸，你认为购进270 份报纸好， 仍是购进 280 份报纸好 . 说明理由 .20（本小题满分 12 分）已知点 p 为 y 轴上的动点，点m 为 x 轴上的动点，点uuuruuurf 1,0为定点，且满意uuru1 uuurpnnm0 ，2pmpf0 .（）求动点 n 的轨迹 e 的方程；（）过点f 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 e 交于两点

9、a ， b ，试判定在x 轴上是否存在点c ，使得222| ca | cb | ab | 成立，请说明理由.21（本小题满分 12 分）（理）已知函数f x1 x222ex ，g x3e2 lnxb （ xr ， e 为常数， e2.71828 ），且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同.（）求实数 b 的值；（）如 1xe 时，2 f x2exa 6e22 g xe2 a2 x 恒成立，求实数 a 的取值范畴 .请考生在第 22,23,24题中任选一题 做答，假如多做，就按所做的第一题计分. 做答时请写清题号.22（本小题满分10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲已知：如图 ,e

10、 o 为 abc的外接圆，直线 l 为e o 的切线，切点为 b ，直线 ad l ，交 bc 于 d 、交 e o 于 e ， f 为 ac 上一点，且edcfdc .a求证：（）ab2bdbc ；lgf（）点 a、 b 、 d 、 f 共圆.obdce23（本小题满分10 分 选修 4 4：坐标系与参数方程在直接坐标系xoy中，直线 l 的方程为 xy40 ，曲线 c 的参数方程为x3 cos ysin为参数 （i ）已知在极坐标 （与直角坐标系 xoy取相同的长度单位，且以原点 o 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴） 中，点 p 的极坐标为（ 4，），判定点 p 与直线 l 的位置关系；

11、2（ii ）设点 q 是曲线 c 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值24（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲已知函数f xx2x5 （i ）证明：3f x3 ；（ii ）求不等式f xx28 x15 的解集2021 高三诊断考试数学参考答案及评分标准（理）一、挑选题：本卷共12 小题，每道题 5 分，共 60 分；在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的题号123456789101112答案cddabacbdcbb二、填空题：本大题共4 小题，每道题 5 分，共 20 分.13.0 ；14.60 ；15.4；16.3.三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.

12、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.217.解：（）由a 2b2c2bc ，得 bc2 2bca 212. 3 分1 cos a.2 0a， a2. 6 分3（）由正弦定理 , 得 sin bb sin a231. 9 分 a23a,0b,2 322 b. c 6 ab6. 11 分 cb2 . 12 分18.（）证明：由于四边形abcd是菱形，所以 acbd .又由于 pa平面 abcd, 所以 pabd .又 paaca, 所以 bd 平面 pac .又 pc平面 pac ，所以 bdpc 6 分（）解：依题意 , 知p平面 pad平面 abcd ，交线为 ad ，过点 b 作 bma

13、d ，垂足为 m ，就 bm平面 pad .n在平面 pad 内过 m 作 mnpd ，垂足为 n ，连 bn ,md就 pd 平面 bmn ，所以bnm 为二面角 apdbac的一个平面角 . 9 分b abad ，bad60 ,3 bmab 23 ,dm1. 10 分又 paab ，故 mn2.所以 bn214. 11 分2 cosbnmmn bn227 .1472即二面角 apdb 的余弦值为77. 12 分19.解：（）当x270 时， y27010.4162 ;当 x270 时， y10.4 x270x0.1270x0.40.9 x81 ,0.9x y81, x270 xn 5 分1

14、62, x270（）（ 1）可取 135、144、153、162,就p1350.1，p1440.2 ， p1530.16 ，p1620.54 . e1350.11440.21530.161620.54154.26 . 9 分（2）购进报纸 280 张，当天的利润为y0.6240400.30.10.6250300.30.20.6260200.30.160.6270100.30.162800.60.38154.68154.26 ，所以每天购进 280 张报纸好 12 分20.解：uuur1 uuuur（）设n x,y ，就由pnnm0 ，得 p 为 mn 的中点 . 2 分2 p0,y ,2m x

15、,0 .uuuur pmx,y ,2uuur pf1,y .2uuuuruuury2 pmpfx40 ,即y24x .动点 n 的轨迹 e 的方程y24x . 5 分（）设直线l 的方程为ykx1 ，由ykx1消去 x 得y24 y40 .设 a x , y ， bx , yy4x2 ,就yy4 ,y yk4 . 6 分112212kuuur1 2uuur假设存在点c m,0满意条件，就 cax1m, y1 ,cb x2m, y2 ,uur uuur2y y2y 2y 22 ca cbx xm xx my y12 m12 m412121244m2 yy 2 y y m2341212m2m 4

16、k223 . 9 分 4k22 2120 ,关于 m 的方程 m24m k 2230 有解 . 11 分假设成立，即在x 轴上存在点 c ，使得| ca |2| cb |2| ab |2 成立. 12 分21.解：（）f xx2e ，g x3e2，x设 f x1 x22ex 与g x3e2 lnxb 的公共点为 x , y ，就有0021 x 22ex3e2 lnxb,00023e2x02e, x0x00. 3 分e2解得 b. 5 分2（）由（）知g x3e2 ln xe ,22所以 2 f x2exa 6e22 g xe2 x2a ln x .有 1xe时， x2a ln x a2 x 恒

17、成立，即a xln xx22x 恒成立 . 1xe , ln x1x22 xx ，且等号不能同时成立，xln x0. axln x在1xe 时恒成立 . 8 分设 hxx22 x（ 1xe） , 就xln xh x2 x2xln x x22x11 xx1x22lnx) .xln x 2 xln x2明显 x1 0 ，又 ln x1， x2 2ln x0 .所以 h x0 （仅当 x1 时取等号） . hxx22 x在 1,e 上为增函数 . 11 分xln x故 h xmaxhee22e.e1所以实数 a 的取值范畴是e22e, . 12 分e122. 证明：直线 l 为 e o 的切线 ,

18、1acb . ad l , 1 dab .acb dab ,又abc dba , abc dab . abbc .dbab ab2bdbc . 5 分（）由（）可知bacadb .edcfdc ,edcadb ,bacfdc . bacfdbfdcfdb180 .点 a 、 b 、 d 、 f 共圆. 10 分23. 解：（ i ）把极坐标系下的点p 4, 化为直角坐标，得2p 0, 4 .由于点 p 的直角坐标（ 0， 4）满意直线 l 的方程 xy40 ，所以点 p 在直线 l 上. 5 分（ii ）设点 q 的坐标为 3 cos,sin ，就点 q 到直线 l 的距离为d|3 cossin4 |2cos462 cos2 2 .226由此得，当 cos1 时， d 取得最小值，且最小值为2 . 10 分624. 解：（ i ）证明：当 x2 时，f x