一阶偏微分方程教程PPT学习教案

1、会计学1一阶偏微分方程教程一阶偏微分方程教程2222220, 0uuuutxxy等。等。如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是性的，则称它是线性的线性的；如果它关于所有最高阶；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是偏导数是线性的，则称它是拟线性的拟线性的。第1页/共47页3定解问题：定解问题：定解条件通常包括定解条件通常包括边界条件边界条件和和初始条初始条件件两种。含有定解条件的方程求解问题称为两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解定解问题问题，包括初值问题（，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问问题）、边值问题和混合问题。题和混

2、合问题。方程的解：方程的解：若函数若函数u连续并具有方程所涉及的连连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的域内的解（古典解）解（古典解）。满足某些特定条件的解称。满足某些特定条件的解称为为特解特解，这些条件称为，这些条件称为定解条件定解条件。一般情况下，。一般情况下，一个具有一个具有n个自变量的个自变量的m阶方程的解可以含有阶方程的解可以含有m个个n-1元任意函数，这样的解称为元任意函数，这样的解称为通解通解。第2页/共47页4121(

3、),0niniiuF ua x xxx(1)显然方程有平凡解显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。常数。一般求其非平凡解。以下以含有以下以含有3个自变量的方程为例，一般形个自变量的方程为例，一般形式为式为( , , )( , , )( , , )0uuuP x y zQ x y zR x y zxyz(2)第3页/共47页5常微分方程组常微分方程组( , , )( , , )( , , )dxP x y zdtdyQ x y zdtdzR x y zdt(3)称为方程称为方程(2)的的特征方程组特征方程组，每一条积分曲线，每一条积分曲线( ),( ),( )xtyt zt称为方程称为方程

4、(2)的的特征线特征线。第4页/共47页6若由特征方程组若由特征方程组(3)推出函数推出函数 恒为常恒为常数，则称该函数为方程组数，则称该函数为方程组(3)的一个的一个首次积分首次积分。( , , , )x y z t若特征方程组若特征方程组(3)的的3个独立的首次积分为个独立的首次积分为( , , , ), ( , , , ), ( , , , )x y z tx y z tx y z t则特征方程组则特征方程组(3)的通解为的通解为123( , , , )( , , , )( , , , )x y z tCx y z tCx y z tC第5页/共47页7例例1. 求解方程组求解方程组12

5、1dxdydzzxy解：解：由由12dxdz得得12xzC，因此得到一个首，因此得到一个首次次积分为积分为2xz再由再由21(1)dzdxdyzxydxzxydx 得得22xzxyC，因此得到另一个首次积分为，因此得到另一个首次积分为于是原方程的隐式通解为于是原方程的隐式通解为2xzxy1222xzCxzxyC第6页/共47页8由由(3)可得可得( , , )( , , )( , , )( , , )dyQ x y zdxP x y zdzR x y zdxP x y z(4)若若(4)的一个首次积分为的一个首次积分为( , , )x y z的一个首次积分。的一个首次积分。( , , )( ,

6、 , )( , , )dxdydzP x y zQ x y zR x y z于是得到方程组于是得到方程组(3)的一个等价形式：的一个等价形式：，则它也称为，则它也称为(3)第7页/共47页9对于一阶齐次线性偏微分方程对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征与它的特征方程组方程组(3)或或(4)，我们有以下结论：，我们有以下结论：证明从略。证明从略。定理定理1 1：连续可微函数连续可微函数 是是(2)的解的充的解的充分必要条件是分必要条件是 是是(4)的首次积分。的首次积分。( , , )ux y z( , , )x y z定理定理2 2：如果如果 是是(4)的两个独立的的两个独立的首次积分，

7、则它们的任意连续可微函数首次积分，则它们的任意连续可微函数 是是(2)的通解。的通解。( , , ), ( , , )x y zx y z( ,)u 第8页/共47页10例例2. 求解方程求解方程20uuuxyzxyz解：解：特征方程组为特征方程组为2dyydxxdzzdxx 或或首次积分为首次积分为2, x yxz于是原方程的隐式通解为于是原方程的隐式通解为2dxdydzxyz 2, ux y xz，其中，其中 为任意二元连续可微函数。为任意二元连续可微函数。第9页/共47页110( , , )( , , )( , , )0:( , )uuuP x y zQ x y zR x y zxyzx

8、xuf y z(5)其中其中 f 为已知函数。为已知函数。例例3. 求解求解Cauchy问题问题00( , )y yuuuyzxzxyxyzuf x z第10页/共47页12解：解：特征方程组为特征方程组为首次积分为首次积分为2222, xyxz于是原方程的通解为于是原方程的通解为dxdydzyzxzxy2222, uxyxz，其中，其中 为任意二元连续可微函数。为任意二元连续可微函数。将该解代入初始条件，得将该解代入初始条件，得22220, ( , )xyxzf x z202222020, , xtyxyt xzsztys 令 得 令 得 第11页/共47页13于是于是2200, (, )t

9、 sftytys从而原从而原Cauchy问题的解为问题的解为222222222200, (, )uxyxzfxyyzyy第12页/共47页14( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )uuuP x y zQ x y zR x y zxyzf x y z ug x y z(6)其中其中 f , g为已知函数。为已知函数。其特征方程组为其特征方程组为dxdydzduPQRfug将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分，从而得到通解。出三个首次积分，从而得到通解。第13页/共47页15( , , )( , , )(

10、 , , )uua x y ub x y uc x y uxy(7)其特征方程组为其特征方程组为( , , )( , , )( , , )dxa x y udtdyb x y udtduc x y udt(8)以两个自变量的方程为例。以两个自变量的方程为例。设其首次积分为设其首次积分为( , , ), ( , , )x y ux y u，则，则(7)的隐式的隐式通解为通解为, 0. 第14页/共47页16例例4. 求解方程求解方程120uuuxyxy解：解：特征方程组为特征方程组为首次积分为首次积分为2 , 2uyuxyy于是原方程的隐式通解为于是原方程的隐式通解为121dxdyduuxy其中

11、其中 为任意二元连续可微函数。为任意二元连续可微函数。2 , 20uyuxyy第15页/共47页17例例5. 求解求解Cauchy问题问题10 x yuuuxyu解：解：特征方程组为特征方程组为首次积分为首次积分为2, 2yuxu于是原方程的隐式通解为于是原方程的隐式通解为11dxdyduu其中其中 为任意二元连续可微函数。为任意二元连续可微函数。2, 20yuxu将该解代入初始条件，得将该解代入初始条件，得, 20yy于是有于是有222()xuyu，解得，解得112()uxy 再由初始条件得再由初始条件得Cauchy问题的解为问题的解为112()uxy 第16页/共47页18考虑一个稳定社会

12、的人口发展过程。设人口数考虑一个稳定社会的人口发展过程。设人口数量不仅和时间量不仅和时间 t 有关，还和年龄有关，还和年龄 a 有关。若人口数有关。若人口数量很大，假设按年龄连续分布。以函数量很大，假设按年龄连续分布。以函数 p(a, t) 表示表示人口在任意时刻人口在任意时刻 t 按年龄按年龄 a 的分布密度，则在时刻的分布密度，则在时刻 t，年龄在区间，年龄在区间a, a+da中的人口数量为中的人口数量为 p(a, t)da，因此在时刻因此在时刻 t 的人口总数为的人口总数为0( )( , )dN tp a ta第17页/共47页19若不考虑死亡，则在时刻若不考虑死亡，则在时刻 t+ t，

13、年龄在，年龄在a, a+ a中的人口数量中的人口数量 p(a, t+ t) a，应等于在时刻，应等于在时刻 t，年龄，年龄在区间在区间a t, a+ a t中的人口数量中的人口数量p(a t, t) a，即即( ,)(, )p a ttp at t( , )( , )0p a tp a tta( ,)( , )(, )( , )p a ttp a tp at tp a ttt令令 t0，有，有因此因此 p(a, t)应满足应满足第18页/共47页20但实际上必须考虑死亡的影响。设但实际上必须考虑死亡的影响。设 (a)是单位时是单位时间内年龄在间内年龄在a, a+da中的人口死亡概率，则在时间中

14、的人口死亡概率，则在时间段段t, t+dt内，从年龄在区间内，从年龄在区间adt, a中的人口成长中的人口成长为年龄在区间为年龄在区间a, a+dt中的人口的过程中死亡人数中的人口的过程中死亡人数为为(d , )d( )dp at taat(d , )d( ,d )d(d , ) ( )ddp at tap a ttap at taat于是于是或或(d , )( ,d )( ) (d , )dp at tp a tta p at tt将两端同时将两端同时Taylor展开，并舍去高阶项，有展开，并舍去高阶项，有第19页/共47页21( , )( , )( ) ( , )p a tp a ta p

15、 a tat 这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。(1)方程方程 (1) 对应的初始条件为对应的初始条件为 ，这，这里里p0(a) 表示初始人口分布密度。表示初始人口分布密度。0( ,0)( )p ap a要给出方程要给出方程 (1) 所对应的边界条件所对应的边界条件 p(0, t)，就需，就需要考虑人口的出生情况了。假设男女比例基本平衡要考虑人口的出生情况了。假设男女比例基本平衡，生育率为，生育率为 (a)，则在时间段，则在时间段t, t+dt内出生的婴儿内出生的婴儿总数为总数为0d( ) ( , )dta p a ta第20页/共47页22另

16、一方面，另一方面，在时间段在时间段t, t+dt内出生的婴儿总数内出生的婴儿总数应等于时刻应等于时刻 t+dt 在年龄区间在年龄区间0,dt中的人数中的人数p(0, t+dt)dt，即，即0(0,d )dd( ) ( , )dptttta p a ta0(0,d )( ) ( , )dptta p a ta或或令令dt0，则得到边界条件，则得到边界条件0(0, )( ) ( , )dpta p a ta方程方程 (1) 与初始条件、边界条件一起便构成了与初始条件、边界条件一起便构成了人口发展的偏微分方程模型：人口发展的偏微分方程模型：第21页/共47页2300( , )( , )( ) ( ,

17、 ), 0, 0( ,0)( ), 0(0, )( ) ( , ), 0p a tp a ta p a tatatp ap aapta p a t dat (2)同样，可建立带迁移的人口模型：同样，可建立带迁移的人口模型：00( , )( , )( ) ( , )( , ), 0, 0( ,0)( ), 0(0, )( ) ( , ), 0p a tp a ta p a tf a tatatp ap aapta p a t dat (3)其中其中 f (a, t) 为迁移率。为迁移率。第22页/共47页24利用特征线法结合积分变换法，可以得出模型利用特征线法结合积分变换法，可以得出模型(2)及

18、模型及模型(3)的解。的解。第23页/共47页25我们再考虑环境对人口的影响。设我们再考虑环境对人口的影响。设0( )( , )dN tp a ta表示表示 t 时刻的社会总人口数。考虑到人口的生存与时刻的社会总人口数。考虑到人口的生存与其总容量有关，一般可用其总容量有关，一般可用 (a, t, N(t) 表示死亡率，表示死亡率，用用 (a, t, N(t) 表示年龄为表示年龄为 a 的社会人口在的社会人口在 t 时刻平时刻平均均单位时间内的平均生育率，即生育率。我们再考单位时间内的平均生育率，即生育率。我们再考虑人口迁移因素，设虑人口迁移因素，设 f (a, t) 表示表示 t 时刻年龄为时

19、刻年龄为 a 的的社会人口在单位时间、单位年龄内的迁移人数，则社会人口在单位时间、单位年龄内的迁移人数，则有更一般的非线性人口发展系统：有更一般的非线性人口发展系统：第24页/共47页26000( , )( , )( , ,( ) ( , )( , ), 0, 0( ,0)( ), 0(0, )( , ,( ) ( , ), 0( )( , )d , 0p a tp a ta t N tp a tf a tatatp ap aapta t N tp a t datN tp a tat (4)第25页/共47页27精神病药物研究需测定新药的效果，例如治疗精神病药物研究需测定新药的效果，例如治疗帕

20、金森症的多巴胺的脑部注射效果。为了精确估计帕金森症的多巴胺的脑部注射效果。为了精确估计药物影响的脑部区域，我们必须估计注射后药物在药物影响的脑部区域，我们必须估计注射后药物在空间的分布形状和尺寸。空间的分布形状和尺寸。研究的数据包括研究的数据包括50根圆柱组织样本中每一根所根圆柱组织样本中每一根所含药物的测量值含药物的测量值(见表见表1、表、表2及图及图1)。每一圆柱的长。每一圆柱的长度为度为0.76mm，直径为，直径为0.66mm。这些平行圆柱的中。这些平行圆柱的中心位于心位于1mm0.76mm1mm的网格点上。因此，的网格点上。因此，圆圆第26页/共47页28表表1 后方垂直截面后方垂直截

21、面16444213204141884807022 14411 5158 3522091 23027 28353 13138 681789 21260 20921 11731 727213130337651715 453表表2 前方垂直截面前方垂直截面163324432243166712405560981048 2322137 15531 19742 4785 330444 11431 14960 3182 30129420611036258188柱在底面相互接触，柱在底面相互接触，侧面互不接触。侧面互不接触。注：一个计量单位注：一个计量单位表示表示4.7531013 mol/l 的多巴胺，表中

22、的数的多巴胺，表中的数字如字如28353表示中间后表示中间后部圆柱含有部圆柱含有28353个单个单位的药物。位的药物。试估计药物在它影试估计药物在它影响区域中的分布。响区域中的分布。第27页/共47页29图图1 药物含量分布图药物含量分布图第28页/共47页30 忽略样本组织中多巴胺的原始含量；忽略样本组织中多巴胺的原始含量； 假设样本组织的大小与其余脑组织的大小相比可假设样本组织的大小与其余脑组织的大小相比可以忽略，且样本组织不靠近脑边界；以忽略，且样本组织不靠近脑边界； 假设大脑是均匀的，扩散和衰减决定了多巴胺在假设大脑是均匀的，扩散和衰减决定了多巴胺在大脑中迁移过程，忽略对流过程的影响；

23、大脑中迁移过程，忽略对流过程的影响； 假设仅进行一次多巴胺注射，注射位于原点；假设仅进行一次多巴胺注射，注射位于原点； 假设注射和取样之间有较长时间间隔，可以忽略假设注射和取样之间有较长时间间隔，可以忽略注射过程和各个柱体取样时间的差别。注射过程和各个柱体取样时间的差别。第29页/共47页31在假设中，我们认为分子扩散和成分衰减是主在假设中，我们认为分子扩散和成分衰减是主要的迁移方式。成分的衰减显然可看作是与多巴胺要的迁移方式。成分的衰减显然可看作是与多巴胺的含量密度的含量密度(浓度浓度) C(x, y, z, t)(剂量单位剂量单位/mm3)成正比成正比的。设该比例系数的。设该比例系数(即成

24、分衰减系数即成分衰减系数)为为 k。下面来考。下面来考虑分子的扩散。虑分子的扩散。先考虑物质仅沿先考虑物质仅沿 x 轴方向的扩散。如图轴方向的扩散。如图2，垂直，垂直于于 x 轴任作柱体，截面为轴任作柱体，截面为 A。图图2第30页/共47页32一方面，该柱体中物质扩散时一方面，该柱体中物质扩散时位于区间段位于区间段x, x+ x的的物质物质在时间段在时间段t, t+dt内内的增量为的增量为Cmt A xt 1( , )xC x tmEA tx 另一方面，扩散理论中的涅恩斯特实验定律告另一方面，扩散理论中的涅恩斯特实验定律告诉我们，在时间诉我们，在时间 t内，物质沿内，物质沿 x 轴正向流过轴

25、正向流过 x 处截处截面面(面积为面积为A)的质量为的质量为(其中其中 Ex 0 称为称为 x 方向的扩散方向的扩散系数系数)：第31页/共47页332(, )xC xx tmEA tx 同理，在时间同理，在时间 t内，物质沿内，物质沿 x 轴正向流过轴正向流过 x+ x 处截面的质量为：处截面的质量为：12(, )( , )( , )xxC xx tC x tmmmEA txxC x tA x tExx 于是在时间于是在时间 t内，流入微元体内，流入微元体x, x+ x内的物内的物质质量为：质质量为：第32页/共47页34xCCEtxx显然显然mm ，即，即由于大脑是均匀的，显然沿各方向的扩

26、散是一由于大脑是均匀的，显然沿各方向的扩散是一致的，且扩散系数致的，且扩散系数 Ex(Ey, Ez) 均为常数，再考虑到均为常数，再考虑到成分的衰减，应有成分的衰减，应有yxzCCCCEkCEEytxyzxz(5)第33页/共47页35又设又设 t=0 时瞬时点源的剂量为时瞬时点源的剂量为M，则，则( , , ,0)( , , )C x y zMx y z其中其中, ( , , )(0,0,0)( , , )0, x y zx y z其它( , , )1 (0,0,0)x y z dv(6)(6)(6)式为方程式为方程(5)的初始条件。的初始条件。(5)(6)即构成了用药问即构成了用药问题的方

27、程模型。利用积分变换法可求得其解。题的方程模型。利用积分变换法可求得其解。第34页/共47页3601( )cossin2kkkak xk xf xabll若若 f(x) 在在-l, l分段连续可导分段连续可导(逐段光滑逐段光滑)，则，则 f(x) 在在(-l, l)可以展开为可以展开为Fourier级数：级数：其中其中1( )cosd (0,1,)lklkafkll1( )sind (1,2,)lklkbfkll第35页/共47页37()1( )( )2ixf xdfed将系数代入，并设将系数代入，并设 f(x) 在在( , )内绝对可积内绝对可积，则整理可得，则整理可得令令( )( )i x

28、gf x edx则则1( )( )2i xf xged称称 g( ) 为为 f(x) 的傅里叶变换，记为的傅里叶变换，记为Ff；称；称f(x)为为g( ) 的傅里叶逆变换，记为的傅里叶逆变换，记为F1f。第36页/共47页38性质性质11212FffF fF f性质性质21212* F ffF f F f性质性质312121*2F f fF fF f性质性质4( ) , lim( )0 xF fxi F ff x其中其中定义卷积其中定义卷积1212*()( )fff xfd性质性质5( ) dFixf xF fd第37页/共47页39例例 求解定解问题求解定解问题2( ,0)( )txxua

29、uu xx关于关于x进行傅里叶变换，记进行傅里叶变换，记Fu=U，F = ，则，则有有其解为其解为22( , )( )atUte 22( ,0)( )tUaUU 第38页/共47页40于是原问题的解为于是原问题的解为2222111( , ) ( )( )*atatu x tFUFexFe而而故故222222222214121(cossin)211cos22atati xatxata tFeeedexix dexdeat2222()4411( , )( )*( )22xxa ta tu x txeedatat 第39页/共47页412, 0, 0(0, )( , )0, 0( ,0)( ), ( ,0)( ), 0ttxxtua uxl tutu l ttu xxu xxxl下面来求解定解问题：下面来求解定解问题：( 1) (2 )( 3)第40页/共47页422( )( )( ) ( )X x T ta Xx T t作具有分离变量形式的试解作具有分离变量形式的试解 u(x, t)=X(x)T(t)，代入方程代入方程(1