大学高等数学函数

1、高等数学高等数学姓姓 名：张智勇名：张智勇地地 点：四教西点：四教西305305室室E-mail : 自我介绍自我介绍课程名称：微积分课程名称：微积分学学 分：分：4 4 学分学分学学 时：时：64 64 学时（学时（1 1周周-16-16周）周）课程介绍课程介绍课程内容：课程内容：1. 1. 函数、极限与连续函数、极限与连续 2. 2. 导数与微分导数与微分 3. 3. 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 4. 4. 不定积分不定积分 5. 5. 定积分及其应用定积分及其应用1. 1. 期末总评成绩的计算期末总评成绩的计算 期末考试成绩占期末考试成绩占70%70%，平时成绩占，平时成绩占3

2、0%30%。 平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。2. 2. 考勤考勤 不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。3. 3. 作业作业 要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹 潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取 消该次成绩。消该次成绩。4. 4. 答疑答疑 时间：时间： 地点：四教西地点：四教西305305考核及要求考核及要求课程特点与学习方法课程特点与学习方法方法方法: 1. 课前预习课前预习 2.重

3、点听讲重点听讲 3. 简记笔记简记笔记 4. 整理咀嚼整理咀嚼 5. 后作练习后作练习 6. 答疑答疑特点：特点：1. 课堂大课堂大 2. 时间长时间长 3. 进度快进度快第一章第一章 函函 数数 函数的概念及基本特性函数的概念及基本特性预备知识预备知识1、数的扩张：、数的扩张：复数复数虚数虚数无理数无理数有理数有理数分数分数整数整数负整数负整数自然数自然数实数2、数的几何表示：数轴、数的几何表示：数轴 实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系。实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系。3 3、区间、区间: : 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .这这两个实数叫做

4、区间的端点两个实数叫做区间的端点. .,baRba且且bxax 开区间：开区间：oxab),(ba记作记作bxax oxab闭区间：闭区间：,ba记记作作半开区间：半开区间：oxabbxax,(ba记作bxax oxab),ba记作记作区间的划分：区间的划分：1.1.有限区间有限区间 2.2.无限区间无限区间区间长度区间长度两端点间的距离两端点间的距离( (线段的长度线段的长度) )称为区间的长度称为区间的长度. .bxxoxb) ), ,( (记作记作bx0 x0 x0 x 4 4、邻域、邻域. 0,0且是两个实数与设x,0叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点x.叫叫做做这这邻邻域域的的半半

5、径径 , 00邻邻域域的的称称为为点点数数集集 xxxx . |),(0000 xxxxxxxxU记作记作 其中其中 称为称为 的左邻域的左邻域, ),(00 xx 称为称为 的右邻域。的右邻域。),(00 xx0 x0 x).,(00 xU记作,0邻域的去心的点x).,(),( 0),(0000000 xxxxxxxxU去心邻域：去心邻域：因变量因变量自变量自变量)(xfy 定义域：数集定义域：数集D叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域,)( fD记记作作值值 域：函数值全体组成的数集域：函数值全体组成的数集, 即即).()(),(|fZZfDxxfyy或或者者记记作作，的函数，记作的函

6、数，记作是是或称或称上的一个函数关系，上的一个函数关系，为定义在为定义在应，则称这个对应法则应，则称这个对应法则与之对与之对都有一个确定的实数都有一个确定的实数, ,，使每一个，使每一个对应规则对应规则。设有一个。设有一个是一个非空的实数集合是一个非空的实数集合是两个变量，是两个变量，与与若若xyDfyDxfDyx函数概念函数概念 大体分为以下几种：大体分为以下几种： a) a)偶次方根号偶次方根号 b)b)分式的分母分式的分母 c) c)对数的真数对数的真数 d) d)三角函数（正切余切）和反三角函数，三角函数（正切余切）和反三角函数， e) e)以上情况的复合等以上情况的复合等(1)、函数

7、的定义域、函数的定义域 1. 1.数学角度：定义域是自变量所能取的使算式数学角度：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值有意义的一切实数值, , 这种定义域称为函这种定义域称为函数的自然定义域数的自然定义域. . 2. 2.实际应用实际应用 时间，高度，热度等等时间，高度，热度等等(1)(1)绝对值函数绝对值函数 00 xxxxxyxy xyo其定义域为其定义域为D( f )(,+), 值域为值域为Z( f )0, +).几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 (2) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyo其定义域为其定义域为D( f )(,+), 值域为

8、值域为Z( f )1, 0, 1.xxx sgn可以证明：对于任何实数可以证明：对于任何实数 x, 下列关系成立下列关系成立:(3) 取整函数取整函数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线 设设 x 为任一实数为任一实数, 不超过不超过x 的最大整数称为的最大整数称为 x 的整数部分的整数部分, 记作记作 x. 即即y = x = n, n x n + 1, n = 0, 1, 2, 可以证明：对于任何实数可以证明：对于任何实数x, 有不等式有不等式 x x 0.3 3、函数的单调性、函数的单调性,)(DIDxf区间的定义域为：设函

9、数性性 单单调调恒有时当如果对于,2121xxIxx，或者)()()()(2121xfxfxfxf).()(单调减少的上是单调增加的在区间则称函数Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI单调增加)(xfy )(1xf)(2xfxyoI单调减少MMyxoy=f(x)X有界有界无界无界MMyxoX0 x4、函数的有界性、函数的有界性 设设 f (x)在集合在集合D内有定义内有定义, 若存在正数若存在正数M, 使得对使得对每一个每一个 , 都有都有 成立成立, 则称函数则称函数 f (x)在在D内有界内有界, 或称或称 f ( x)是是D内的有界函数内的有界函数; 否则否则, 称称 f (x)

10、在在D内无界内无界,或称或称 f (x)是是D内的无界函数内的无界函数.Dx Mxf )( 设设 f (x)在集合在集合D内有定义内有定义, 若存在数若存在数A(或或B), 使得对使得对每一个每一个 , 都有都有 (或或 )成立成立, 则称函则称函数数 f (x)在在D内有上界内有上界(或有下界或有下界), 也称函数也称函数 f (x)是是D内有内有上界上界(或有下界或有下界)的函数的函数.Dx Axf )(Bxf )( 例如例如, 函数函数 y = sin x在在(,+)内有界内有界, 而函数而函数 y = x2在在 (,+)内有下界但无上界内有下界但无上界,故故 y = x2 在在 (,+

11、)内是无界函数内是无界函数.不过不过 y = x2 在在1,1上是有界上是有界函数函数.结论：结论： 函数函数 f (x)在在D内有界的充要条件是函数内有界的充要条件是函数 f (x)在在D内既有上界又有下界内既有上界又有下界; 复合函数与反函数复合函数与反函数一、复合函数一、复合函数1、定义：设函数、定义：设函数 y = f (u), uD( f ), yZ( f ) u = g (x), xD( g ), uZ( g )若若D( f ) Z( g ) (空集空集), 则称函数则称函数)()( ),(fDxgxxxgfy 为由函数为由函数 y = f (u) 和和 u = g (x) 复合而

12、成的复合函数复合而成的复合函数. 其中其中y 称为因变量称为因变量, x 称为自变量称为自变量, 而而 u 称为中间变量称为中间变量.集合集合 称为复合函数称为复合函数 y = f g(x) 的定的定义域义域.)()(fDxgx 例例 讨论下列各组函数可否复合成复合函数讨论下列各组函数可否复合成复合函数, 若可若可以以, 求出复合函数及其定义域求出复合函数及其定义域.;ln)(,1)()1(xxguuufy .cos)(),1ln()()2(2xxguuufy )., 1ln|1ln|)()(,)(), 1)(11exxyexxxxuZfDRuZfD定义域为即复合函数为所以解：由于.,)()(

13、,1 , 1)(), 1 () 1()(合则上述两个函数不能符所以而解：由于uZfDuZfD注意注意: :1. 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的函数的; ;2. 2.复合函数可以由两个以上的函数复合构成复合函数可以由两个以上的函数复合构成. .ln ,uv=cos ,v arct=1.tx=,2uy 例：2 2、函数值以及函数表达式的求法、函数值以及函数表达式的求法例例 设设 , 求求 .xxxf11)()(1 xff 解：解：)(1 xff )(1 1)(1 1xfxf )(2)(xfxf xxxx 11211.31 xx例例 设设 , 求求

14、 .xxf )1()(xf解：解：令令,1ux 则则.)1(2 ux,)1()(2 uuf即即.)1()(2 xxf二、二、 反函数反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函函数数oxyDW)(yx 反反函函数数o 设函数设函数 f (x) 的定义域为的定义域为D( f )，值域为，值域为Z( f )，若对每，若对每一个一个yZ( f ) ，都有唯一确定的，都有唯一确定的xD( f )与之对应且满足与之对应且满足y = f (x)，则，则x是定义在是定义在Z( f )上以上以y为自变量的函数，为自变量的函数， 记作记作 x = f 1( y )， y Z( f ) ， 并称其为反函数并称

15、其为反函数. 习惯上记作习惯上记作).(),(1fZxxfy说明说明.(1).(1)原原函数与反函数的图形关于直线函数与反函数的图形关于直线y = x 对称；对称； (2)(2)函数函数y = f ( x )具有反函数充要条件它是一一对应的；具有反函数充要条件它是一一对应的；严格单调函数必有反函数严格单调函数必有反函数. .反函数是相互的且具有唯一性反函数是相互的且具有唯一性. . (3) (3) 定义域、值域相反对应法则互逆定义域、值域相反对应法则互逆.)(xfy 原函数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数(4)(4) 反函数的求法反函数的求法三、函数的运算三、函数的运算的下

16、列运算：的下列运算：,)(, )(21DDxgxf、的定义域分别是的定义域分别是设函数设函数个个函函数数，则则我我们们可可以以定定义义这这两两 21DDD函数的和（差）函数的和（差）函数的积函数的积函数的商函数的商 gf Dxxgxfxgf ，)()()(Dxxgxfxgf ，)()()(gfgf )()()(xgxfxgf 0)(| xgxDxCy (C为常数为常数)xyocy 图形是一条平行于图形是一条平行于x 轴的直线轴的直线其定义域为其定义域为D( f )(,+), 值域为值域为Z( f )C.1. 1.常值函数常值函数(constant functions )(constant fu

17、nctions )基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数2. 2.幂函数幂函数(power functions )(power functions )幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy xay xay)1( )1( a)10( aaayx且且3. 指数函数指数函数(exponential function)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4. 对数函数对数函数(logarithmic function)正弦函数正弦函数xysin xysin 四、三角函数与反三角函数四、三角函数与反三角函数1. 三角函数三角函数xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 2. 反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarcc