概率论与数理统计.PPT

1、1概率论与数理统计 2006-02-10 2第一章 随机事件及其概率10/11/202131.1 随机事件及其概率的统计定义一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用1654年年,一个名叫梅累的骑士就一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约两个赌徒约定赌若干局定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌徒若在一赌徒胜胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌时便终止赌博博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡与费马通信讨论这一问题与费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了年共同建立了概率论的第

2、一个基本概念概率论的第一个基本概念数学期望。数学期望。 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的它研究随机现象的数量规律数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域学领域, 例如天气预报例如天气预报, 地震预报地震预报, 产品的抽样调产品的抽样调查查; 另外在另外在经济、金融、保险；管理决策；生物经济、金融、保险；管理决策；生物医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.4在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边

3、升起”,1.确定性现象确定性现象 “可导必连续可导必连续”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象 二、随机现象 确定性现象的特征确定性现象的特征: 条件完全决定结果条件完全决定结果5在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.6结果有可能为

4、结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.7实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”

5、.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可可长可短短.随机现象的特征随机现象的特征:条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果82. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现这种结果的出现具有一定的具有一定的统计规律性统计规律性 , 概率论就是研究随机现概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明

6、说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.9 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.三、随机试验10说明说明 1. 随机试验简称为试验

7、随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;111.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品

8、与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面，反面反面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.123. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 13四、概率的统计定义、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能

9、不发生的事件。比如，抛硬币试验中，生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上徽花向上”是随机事是随机事件；掷一枚骰子中，件；掷一枚骰子中，”出现奇数点出现奇数点”是一个随机事件等。是一个随机事件等。、频率：设、频率：设A为实验为实验E中的一个随机事件，将中的一个随机事件，将E重复重复n次，次，A发生发生m次，称次，称f(A)=m/n为事件为事件A的频率的频率 随着实验次数随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态比如投的增加，频率将处于稳定状态比如投硬币实验，频率将稳定在硬币实验，频率将稳定在1/2附近附近、统计概率：将事件、统计概率：将事件A的频率的稳定值的频率的稳定值p作为事件作为事件A出现出

10、现的可能性的度量，即的可能性的度量，即P(A)=p为事件为事件A的统计概率的统计概率统计概率的缺点：统计概率的缺点：（）需要大量的重复试验（）需要大量的重复试验（）得到的是概率的近似值（）得到的是概率的近似值141.2 样本空间定义定义1 1 对于随机试验对于随机试验E E，它的每一个可它的每一个可能结果称为能结果称为样本点样本点，由一个样本点组成的，由一个样本点组成的单点集称为单点集称为基本事件基本事件。所有样本点构成的。所有样本点构成的集合称为集合称为E E 的的样本空间或必然事件样本空间或必然事件，用 或S表示表示 我们规定不含任何元素的空集为不可能件我们规定不含任何元素的空集为不可能件

11、，用用 表示表示。P()=1,P( )=015例例、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反面，则样本空间为：面，则样本空间为：=正面，反面或正面，反面或1,2例例、设试验为从装有三个白球（记为，、设试验为从装有三个白球（记为，号）与两个黑球（记为，号）的袋中任取号）与两个黑球（记为，号）的袋中任取两个球两个球（）观察取出的两个球的颜色，则样本空间为：（）观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： =00, 11, 0100表示表示“取出两个白球取出两个白球”，11表示表示“取出两个黑球取出两个黑球”，01表示表示“取出一个白球与一个黑球取出一个白球与一个黑球”1

12、6（）观察取出的两个球的号码，则样本空间为： =12, 13, 14, 15, 23, 24,25, 34, 35, 45 ij表示“取出第i号与第j号球”注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！17随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集的子集(或某些样本点的子集），称为或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出出现现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现

13、的点数观察出现的点数.18 例3 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点, , 样本空间样本空间, , 基本事件基本事件, , 事件事件AA出现偶数出现偶数, , 事件事件BB出现奇数出现奇数 基本事件基本事件 解：解：用用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 i; 6, 1,ii,654321 ; 6 , 2 , 1, iiAii ;,642 A.,531 B19 小结随机现象的特征随机现象的特征:1条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;

14、(2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现. 随随机机试试验验 3. 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系20随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的

15、必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件随机事件21.),( , , ,的子集是而的样本空间为设试验21 kABAEk 1. 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 ,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作.BAAB 或或实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A. BA1.3 事件的关系及运算一一. .随机事件间的关系随机事件间的关系22若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, 则

16、称事则称事件件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B.2. 事件的和事件的和(并并).|. ,BeAeeBABABABA 或或，显然，显然记作记作的的与事件与事件称为事件称为事件个事件个事件至少发生一个”也是一至少发生一个”也是一“二事件“二事件和事件和事件实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BA23;, , , , 至至少少发发生生一一个个即即的的和和事事件件个个

17、事事件件为为称称nnknkAAAAAAnA21211 3. 事件的交事件的交 (积积).ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 ., , ,至至少少发发生生一一个个即即的的和和事事件件为为可可列列个个事事件件称称21211AAAAAkk .| ,BeAeeBABABABA 且且，显显然然记记作作的的与与事事件件事事件件称称为为也也是是一一个个事事件件同同时时发发生生二二事事件件积积事事件件, ,推广推广24图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. ABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产

18、品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.25和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质,AAA , A,AA ,AAA ,AA . A;, , , ,21211同时发生即的积事件个事件为称推广nnnkkAAAAAAnA., , ,21211同时发生即的积事件为可列个事件称AAAAAkk26实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.4. 事件事件的的互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 、B 满足满足则称事件则称事件 A与与B互不相容互不相容

19、. ABBA27“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互斥互斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 说明说明 当当A B= 时时,可将可将A B记为记为“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为互斥.285. 事件的差事件的差图示图示 A 与与 B 的差的差 AB BAB AB BA BA 实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度合格长度合格” 与与“直径合格直径合格”的差的差.A事件事件 “A 出现而出现而 B 不出现不出现”，称为事件，称为事件 A

20、 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B(或或 )BA29 若事件若事件 A 、B 满足满足则称则称 A 与与B 为互逆为互逆(或对立或对立)事件事件. A 的逆记作的逆记作.A实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. BA . ABBA且A6. 事件的互逆（对立）事件的互逆（对立）对立对立30 若事件若事件 A 、B 满足满足则称则称 A 与与B 为互逆为互逆(或对立或对立)事件事件. A 的逆记作的逆记作.A实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. BA

21、 . ABBA且A6. 事件的互逆（对立）事件的互逆（对立）对立对立31二二.事件间的运算规律事件间的运算规律.,)1(BAABABBA 交交换换律律),()()2(CBACBA 结结合合律律ACABCBAACABCABACBA )(,)()()()(分分配配律律3.,:(4)BABABABA 律律对偶则有则有为事件为事件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA niiniiniiniiAAAA1111, 32.,2;, 2 , 1,1,21210021完备事件组也称为的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义nnjinAAAAAAnj

22、iAAEAAAE三 完备事件组1A2A3AnA1nA33例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件都不出现三个事件都不出现;(2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;34解解CBA)(1;)(CABorCAB2;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;CBAor);(CBAor;)6(CBACBACBAC

23、BA 35 A)BA(AB等式等式运用事件运算关系证明运用事件运算关系证明例例2则则由于由于证明证明,BABAABAAB)(ABAAB)(ABBA)(AA逆分配律36概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A的对立事件的对立事件A出现必然导致出现必然导致B出现出现事件事件A与事件与事件B相等相等空间空间(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的补集的补集A是是B的子集的子集A集合与集合与B集合相等集合相等四、小结37BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与

24、与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 A集合与集合与B集合的并集集合的并集AB 事件事件A与与B的积事件的积事件 A集合与集合与B集合的交集集合的交集38一一.古典概型古典概型1.4 概率的古典定义、定义、定义如果一个随机试验如果一个随机试验E具有以下特征具有以下特征 （1）、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；）、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；（ 2）、每个样本点出现的可能性相同。）、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。则称该随机试验为古典概型。39

25、 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.中中样样本本点点总总数数中中样样本本点点的的个个数数 A An nm mP P( (A A) ) 称此为称此为概率的古典定义概率的古典定义. 403. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型(1) 无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设袋中有设袋中有M个白球和个白球和 N个黑球个黑球, 现从袋中无现从袋中无放回

26、地依次摸出放回地依次摸出m+n个球个球,求所取球恰好含求所取球恰好含m个白个白球球, ,n个黑球的概率个黑球的概率?样本点总数为样本点总数为A 所包含所包含的样本点个数为的样本点个数为解解设设A=所取球恰好含所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球个黑球 nNmMCCnmNMCnmNMnNmMCCCAP/)(所以41(2) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解,2第第三三次次摸摸到到红红球球次次摸摸到到黑黑球球前前设设

27、 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球42样本点总数为样本点总数为,101010103 A 所包含所包含样本点的个数为样本点的个数为, 466 310466)( AP故故.144. 0 434.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量不限制杯子容量不限制问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中

28、假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法,333334种种 44个个2种种 24个个2种种 22因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为432224 p.272 45(2) 每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率. .解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为41044ppp 789101234 .2101

29、46解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 则.,1 TTHTHTHTTA 而而,83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求次出现正面次出现正面至少有一至少有一为为设事件设事件求求次出现正面次出现正面恰有一恰有一为为设事件设事件将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次., )1(为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面设设TH5、典型例题1例例47在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,种knDNkDCC于

30、是所求的概率为于是所求的概率为nNknDNkDCCCp/解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,种nNC?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少问其中恰有问其中恰有件件今从中任取今从中任取件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有DkknDN 2例例48例例 3（分房问题）（分房问题） 有有 n 个人，每个人都以同样的概个人，每个人都以同样的概率率 1/N 被分配在被分配在 间房中的每一间中，试求间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：下列各事件的概率：)(NnNn(1)(1)某指定某指定 间房中各有一人间房中各有一人 ;n(2)(2)恰有恰有 间房

31、，其中各有一人；间房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一间房中恰有某指定一间房中恰有 人。人。 )(nmmnN 解解 先求样本空间中所含样本点的个数。先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把首先，把 n 个人分到个人分到N间房中去共有间房中去共有 种分法，其种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。次，求每种情形下事件所含的样本点个数。49(b)(b)恰有恰有n n间房中各有一人，所有可能的分法为间房中各有一人，所有可能的分法为 ; !nCnN(a)(a)某指定某指定n n间房中各有一人，所含样本点的个数，间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为即可能的的分法为 ：;

32、!n(c)(c)某指定一间房中恰有某指定一间房中恰有m m人，可能的分法为人，可能的分法为 .) 1(mnmnNC进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :nNn!（2） nnNNnC!（3） .) 1(nmnmnNNC(1)50 把有限个样本点推广到无限个样本点把有限个样本点推广到无限个样本点的场合的场合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形成了由此形成了确定概率的另一方法确定概率的另一方法 几何方法几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点, ,但但它也有明显的局限性它也有明显的局限性. .要

33、求样本要求样本点有限点有限,如果样如果样本空间中的样本点有无限个本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义概率的古典定义就不适用了就不适用了. .二、几何概型51定义定义1.,)(0,验验是是一一几几何何概概型型的的则则称称这这一一随随机机试试即即有有限限的的几几何何度度量量的的且且具具有有非非零零穷穷多多个个所所含含的的样样本本点点个个数数为为无无本本空空间间样样能能的的每每个个样样本本点点出出现现是是等等可可若若对对于于一一随随机机试试验验m52定义定义2 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且并且任意一点落在度量任意一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积

34、体积) 相同的子区相同的子区域是等可能的域是等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为)()()(mAmAP 说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率就归结为几何概率.)(,)(几何概率几何概率规定的概率称为规定的概率称为量来合理量来合理这样借助于几何上的度这样借助于几何上的度的子区域的度量的子区域的度量是构成事件是构成事件是样本空间的度量是样本空间的度量其中其中AAmm 53 那末那末.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为, tyx 例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内

35、这段时间内, 在预在预定地点会面定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时间经过时间 t( t1P(A+B) )114由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,进而进而.独独立立与与 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81151. 三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念(二) 多个事件的独立性定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独

36、立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 1162. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是三三个个事事件件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 117 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 个事件的独立性定义定义 若事件若事件 A1，A2 ， ，An

37、中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21两两两两相相互互独独立立，则则称称nAAA.12)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定义定义)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互独独立立，则则称称nAAA118注注. 相相互互独独立立nAAA,21两两相互独立两两相互独立nAAA,21119.)2(,)2(,. 121个个事事件件也也是是相相互互独独立立其其中中任任意意则则相相互互独独立立若若事事件件nkknAAAn )( . ,)(,.运运

38、算算封封闭闭独独立立性性关关于于个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的立立事事件件们们的的对对中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相相互互独独立立个个事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 两个结论120n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则）nAAAP211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的

39、应用结论的应用121nAAA,21则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：nAAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(nAAAP21=1- - p1 pn 122事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由元件组成的系统

40、正常由元件组成的系统正常工作的概率工作的概率.1231.10 独立试验序列1. 定义定义 (独立试验序列独立试验序列) 设设Ei (i=1,2,)是一列随机试验是一列随机试验,Ei的样本空的样本空间为间为 i ,设设Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出现现的概率都不依赖于其它各次试验的概率都不依赖于其它各次试验Ei (i k)的结果的结果, 则称则称Ei 是是相互独立相互独立的随机试验序列试验序列,简称简称独立试独立试验验序列序列.124则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验，简称为重贝努里试验，简称为贝努里概型贝努里概型.若若n 次重复试验具有下

41、列次重复试验具有下列特点：特点：2. n 重贝努利(Bernoulli)试验1) 每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，( 在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）125实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将若将 硬币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.126一般地，对于一般地，对于贝努

42、里概型贝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理 如果在贝努里试验中，事件如果在贝努里试验中，事件A出现的出现的概率为概率为p (0p1), 则在则在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3. 二项概率公式127,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n推导如下：推导如下：,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA

43、次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA128次次的的方方式式共共有有次次试试验验中中发发生生在在得得knA,种种knC且两两互不相容且两两互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布. 记为记为).,(pnBX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1记记knkknqpC 129经计算得经计算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,101道题的概率问能碰对试于是随意填写道题不会做有道题生仅会做今有一考其中一个为正确答案可供选择的答案个每道选择题有道选择题设某考卷上有例mm则则道道题题这这一一事

44、事实实道道题题中中碰碰对对表表示示设设,4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmm130例2.,1,次次打打开开门门的的概概率率求求该该人人在在第第的的概概率率被被选选中中即即每每次次以以开开门门他他随随机机地地选选取取一一把把钥钥匙匙打打开开这这个个门门其其中中仅仅有有一一把把能能把把钥钥匙匙他他共共有有一一个个人人开开门门knn则则次次打打开开门门表表示示第第令令,kBk,)()(211111 knnBPkk解解131三、内容小结)()()(

45、,. 1BPAPABPBA 两两事事件件独独立立 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三个事件相互独立三个事件相互独立.,. 2相相互互独独立立与与与与与与相相互互独独立立重重要要结结论论BABABABA132则则相相互互独独立立设设事事件件,nAAA213)(nAAAP21）nAAAP211( )()()(nAPAPAP2114 二项分布二项分布 knkknqpC 5 几何分布几何分布ppk 1)1( 133备用题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色其第

46、一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A , B, C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红, 白白, 黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件, 问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红, 白白, 黑分别出现两面黑分别出现两面, 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知例例1,41)()()( ACPBCPABP134故有故有因此因此 A、B、C 不相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,4

47、1)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 135例例2、 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击问击落飞机的概率是多少落飞机的概率是多少?射击问题射击问题解解,名名射射手手击击落落飞飞机机第第为为设设事事件件iAi事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则.10, 2 , 1 i136)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )