曲线积分重修PPT学习教案

1、会计学1曲线积分重修曲线积分重修 Ldsyxf),(2.定义定义 设设L为为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x，y)在在L上有界。若对上有界。若对L的任意分割和对局部的任意取的任意分割和对局部的任意取点，点，乘积的和式乘积的和式 的极限总存在的极限总存在，则，则称此极限为函数称此极限为函数f(x,y)在曲线弧在曲线弧L上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作或第一类曲线积分，记作 Lniiiisfdsyxf00),(lim),( 即即其中其中f (x，y)叫做被积函数，叫做被积函数，L叫做积分弧段。叫做积分弧段。 依上定义，有依上定义，有 L

2、dsyxM),( LdsS niiiisf1),( 第1页/共36页3几点说明几点说明存在。存在。则则 Ldsyxf),(iiiniisfdszyxf ),(lim),(10 （3）如）如L是光滑的或分段光滑的简单闭曲线，常记作是光滑的或分段光滑的简单闭曲线，常记作： Ldsyxf),(（2）定义可推广到空间的曲线）定义可推广到空间的曲线上的曲线积分上的曲线积分（1）f (x，y)在在L上连续，上连续，第2页/共36页4对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的性质 LLLdsyxgkdsyxfkdsyxgkyxfk),(),(),(),(2121（1）关于被积函数的线性性质）关于被积函数的线性

3、性质（2）对于路径的可加性）对于路径的可加性 21LLLfdsfdsfds（3）无方向性）无方向性 BAABfdsfds其中其中L=L1+L2第3页/共36页（4）对称性）对称性 1) 如如L关于关于y轴对称，轴对称，L1是是L的右半支，则的右半支，则 1),(),( ,2),(),( , 0 ),(LLyxfyxffdsyxfyxfdsyxf若若若若当当L关于关于x轴对称时有类似的结论轴对称时有类似的结论。 第4页/共36页5. . 对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法 1) 定理定理 设设L的参数方程为的参数方程为 : ),(),(tytx )( t)()()()(),()

4、,(22 dtttttfdsyxfL则则计算方法：化为对参数的定积分，计算方法：化为对参数的定积分，“一代一代”：将：将x= = (t),y= (t) , ,代入被积函数代入被积函数f (x，y)； “三定限三定限”：下限小上限大。：下限小上限大。 “二换二换”：将：将ds换成换成 dttt)()(22 “一代二换三定限一代二换三定限”第5页/共36页2) 几种变形几种变形如如L：y=y(x)，axb则则dxxyxyxfdsyxfbaL )(1)(,),(2如如L：x=x(y)， cyd则则dyyxyyxfdsyxfdcL )(1),(),(2如如 ),(ty )(tz tdttttfdszy

5、xf )()()(),(222),(:tx 第6页/共36页3) ) 举例举例 例例1. 1. 计计算算,d Lsy其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解: :)10(:2 xxyLQ Lsy d 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上点上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B第7页/共36页axyxLdsyxL2:)(22222 ，其中，其中计算计算例例 202)cos1(2adaI32034| )sin(2aa 解：解： LaxdsI2 ,sin),cos1

6、(: ayaxLds=ad 20 aOxy第8页/共36页A(0,1,1)，B(1,3,1) ,)23(3_ ABdszyx计算计算例例解解： .2, 2 , 1 AB的方程为：的方程为：则则AB21211 zyx的参数方程为的参数方程为x=t，y=1+2t，z=12t。(0t1)_ABdttttI441)21()21(2310 10)13(3dtt215233102 tt第9页/共36页, 134:)1(22 yxL Ldsxyyx)sin(4322 cdsyxayxL22222,:)2(为圆周为圆周已知已知例例4 填空填空 L的长度为的长度为a.1212)43(22adsdsyxLL 解解

7、(1)：, 134:22 yxL又又L关于关于x轴对称，而轴对称，而sin(xy)关于关于y为奇函数，所以为奇函数，所以 Ldsxy0)sin(于是于是 I = 12a。 即即3x2+4y2=12，所以，所以2222)2(aadsdsyxcc 解解第10页/共36页例例5. 设设 C 是下列曲线是下列曲线0,222 yxyayx所围区域的边界所围区域的边界, , 求求sICyxde22 2e)24( aa解解: : 分段积分分段积分xIaxde0 de40aa xaxd2e202 xyOa4xy 0yar ddas 第11页/共36页IIII、对、对坐标的曲线积分坐标的曲线积分 一、对坐标的曲

8、线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1对坐标的曲线积分的定义对坐标的曲线积分的定义 定义定义 设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条有向光滑曲的一条有向光滑曲线弧，函数线弧，函数P(x，y)、Q(x，y)在在L上有界。上有界。 niiiixP10),(lim 总存在，则称此极限为函数总存在，则称此极限为函数P(x，y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标x的曲线积分，记作的曲线积分，记作 LdxyxP),(若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限极限第12页/共36页则称此极限为函数则称此极限为函数Q(x，y)在有

9、向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标y的曲线积分，记作的曲线积分，记作 总存在总存在类似地，如果极限类似地，如果极限 niiiiyQ10),(lim LdyyxQ),( niiiiLxPdxyxP10),(lim),( niiiiLyQdyyxQ10),(lim),( 即即其中其中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数，叫做被积函数，L叫做积分弧段叫做积分弧段。即即 以上两个积分也称为第二类曲线积分。以上两个积分也称为第二类曲线积分。 第13页/共36页.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP2几点说明几点说明（1）可积性

10、）可积性 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(. LdsF（2）组合型）组合型 （3）可推广到空间曲线的情形）可推广到空间曲线的情形 空间有向曲线弧空间有向曲线弧. RdzQdyPdx变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功. LdsFw第14页/共36页.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 第15页/共36页3性质性质 LLLdxyxgkdxyxfkdxyxfkyxfk),(),(),(),(2121（2）关于曲线积分路径的可加性）关于曲线

11、积分路径的可加性 21LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx其中其中L=L1+L2（方向一致）（方向一致） （3）方向性）方向性 LLQdyPdxQdyPdx（1）关于被积函数的线性性质）关于被积函数的线性性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第16页/共36页二、对坐标的曲线积分的计算方法二、对坐标的曲线积分的计算方法 1.设设L的参数方程为的参数方程为 ),(),(tytx 当参数当参数t单调地由单调地由变到变到时，点时，点M(x，y)从从L的起点的起点A沿沿L运动到终点运动到终点B。dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()()

12、,(),(),( 则则计算方法：化为对参数的定积分，计算方法：化为对参数的定积分，“一代二定限一代二定限”“一代一代”：将：将x= (t),y= (t) 代入被积式。代入被积式。“二定限二定限”：下限：下限起点，上限起点，上限终点，不一定终点，不一定有有 第17页/共36页2几种变形几种变形 （1）L由由y=y(x)给出时，将给出时，将x视作参数视作参数dxxyxyxQxyxPQdyPdxLba )()(,)(,a对应对应L的起点，的起点，b对应对应L的终点。的终点。 （2）L由由x=x(y)给出时，将给出时，将y视作参数。视作参数。 （3）对于空间曲线）对于空间曲线 LRdzQdyPdxdt

13、tRtQtP )()()(第18页/共36页其中其中L为抛物线为抛物线y2=x上从点上从点A(1，1)到点到点B(1，1)的一段弧（如图）的一段弧（如图） Lxydx计算计算例例1 LAOOBxydxxydxxydxdxxxdxxx 1001)(.5421023 dxx第二种方法：将所给积分化为对第二种方法：将所给积分化为对y的定积分来计算。的定积分来计算。.545 22)(1121142112 ydyydyyyyxydxL解：第一种方法：将所给积分化为对解：第一种方法：将所给积分化为对x的定积分来计的定积分来计算算. .A(1，1)B(1，1)xyO第19页/共36页.)0 ,()0 ,()

14、2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL)0 ,(aA)0 ,( aB 原式原式 daa)sin(sin220 )(cos)cos1(203 da .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax 00 aadx原式原式第20页/共36页例3. 计算计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解:

15、 (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO第21页/共36页III、 格林公式及其应用格林公式及其应用 一一、格林公式、格林公式 1单连域与复连域单连域与复连域 设设D为平面区域，如果为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部内任一闭曲线所围的部分都属于分都属于D，则称，则称D为平面单连通区域，否则称为复为平面单连通区域，否则称为复连通区域。连通区域。 D的边界曲线的边界曲线L的正向规定如下：当观察者沿

16、的正向规定如下：当观察者沿L的这的这个方向行走时，个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在它的内在他近处的那一部分总在它的左边。左边。 单连域单连域DDDD复连域复连域DLDLl第22页/共36页2格林公式格林公式 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，函数围成，函数P（x，y）及）及Q（x，y）在）在D上具有一阶连续偏导上具有一阶连续偏导数，则有数，则有为单连通域为单连通域DQdyPdxdxdyyPxQLD.)( 为复连通域为复连通域DQdyPdxdxdyyPxQlLD.)( 第23页/共36页3格林公式的应用举例格林公式的应用举例当当D的边界曲线由参数方程得出时，由（的

17、边界曲线由参数方程得出时，由（4）式可求式可求D的面积。的面积。 例例1 Lydxxdy.21xdydxyAL （4）例如例如 椭圆椭圆ydxdyxAL 21abdab 202 20)sin(sincoscos21dabba,22)1(1 AdxdydxdyDD (1). (1). 计算平面面积计算平面面积的面积：的面积：12222 byax第24页/共36页(2). (2). 简化曲线积分简化曲线积分 LdyyxdxxyLyxD)sin2(3, 14:2222求求是椭圆的逆时针方向是椭圆的逆时针方向例例利利用用格格林林公公式式解解 232 DDdxdydxdy Ldyyxdxxy)sin2(

18、32.1|:|,|3逆时针方向逆时针方向计算计算例例 yxLyxydxxdyIL DLAdxdyydxdyxI42)11(第25页/共36页 L：y=sinx从从O（0，0）到）到A（，0）。）。 ,)1(sin)cos1(4dyyedxyeIxLx 计算计算例例解解：可直接化为对可直接化为对x的定积分，但计算量的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。较大。这里用格林公式。 0sin)1(sin dxdyyeyexDx 0sin00sin xdxedyedxxxx.2121|)cos(sin20 exxexOA OADAOAOOAOAdxdyyPxQ)(（第26页/共36页则则当当022 yx

19、时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP , ( (1 1) ) 当当D )0, 0(时时, ,由由格格林林公公式式知知 LDdxdyyPxQyxydxxdy0)(22xyoLD第27页/共36页L(2) 当当D )0 , 0(时时,1Drl作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl , 记记1D由由L和和l所所 围围 成成 ,应应用用格格林林公公式式,得得yxo )(22lLyxydxxdy0)(1 DdxdyyPxQ02222 lLyxydxxdyyxydxxdy即：即： lLyxydxxdyyxydx

20、xdy2222 drrr2222220sincos .2 第28页/共36页逆时针方向逆时针方向为为计算计算2)1()()(2222 yxLyxdyyxdxyxL例例6时时，易易验验证证当当解解)0 , 0(),( yx取适当的取适当的l：x2+y2=r2，使其位于圆，使其位于圆L内，取逆时内，取逆时针方向针方向,则则 lLdyyxdxyxryxdyyxdxyx)()(1)()(222 2212 Ddxdyr22222)(2yxyxyx yPxQ 第29页/共36页小结：小结：（1）L是是D的边界，的边界，易于计算时，易于计算时， DdxdyyPxQ)(可应用格林公式计算可应用格林公式计算 封

21、闭曲线）封闭曲线）( . LQdyPdx（2）L不封闭时，采取不封闭时，采取“补线补线”的方法的方法： lDlLlLdxdyyPxQ)(其中其中l是包围点是包围点(x0，y0)的与的与L同向的光滑的简单闭曲线同向的光滑的简单闭曲线（3）如在）如在D上上P、Q一阶偏导连续，且处处有一阶偏导连续，且处处有 ,yPxQ 则则; 0 L如如D内除点内除点M0 (x0，y0)外均有外均有 ,yPxQ lL则则第30页/共36页二二、曲线积分与路径无关的条件、曲线积分与路径无关的条件 1什么叫曲线积分与路径无关什么叫曲线积分与路径无关 Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在

22、G内内与与路路径径无无关关, , 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域如果在区域G内有内有 否否则则与与路路径径有有关关. .显然曲线积分显然曲线积分 LQdyPdx0 cQdyPdx沿沿G内任意闭曲线内任意闭曲线C的曲线积分的曲线积分在在G内与路径无关内与路径无关第31页/共36页2曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 设开区域设开区域G是一个单连通域，函数是一个单连通域，函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 LQdyPdxxQyP 在在G内恒成立。内恒成立。 的充分必要条件是等式的充分必要条件是等式在在G内与路径无关（或沿内与路径无关（或沿G内