扭矩的符号规定

1、2021/3/1413 扭转扭转 3-1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例3-2 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件3-6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形2021/3/1423.1.1 扭转的工程实例扭转的工程实例3.1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例螺丝刀杆工作时受扭螺丝刀杆工作时受扭。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶2021/3/143传动轴工作时受扭传动轴工作时受扭。汽车方向盘的转动

2、轴工作时受扭。汽车方向盘的转动轴工作时受扭。2021/3/1443.1.2 扭转的概念扭转的概念（2 2）变形特点变形特点: : 杆任意两截面绕轴线发生相对转动。任意两横截面间相杆任意两截面绕轴线发生相对转动。任意两横截面间相 对转动对转动 j j 角角, ,称为相对称为相对扭转角扭转角。纵向直线变成螺旋线。纵向直线变成螺旋线。（1 1）受力特点受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。垂直于杆的轴线。 扭转是四种扭转是四种基本变形基本变形中的一种变形形式。中的一种变形形式。主要发生扭转变形的杆主要发生扭转变形

3、的杆,称为称为轴轴。ABOMeMeOBA j j2021/3/1453-2 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3.2.1 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩已知已知: :传动轴转速传动轴转速 n r/min,输出功率输出功率P kW, 求求: :力偶矩力偶矩Me电机每秒输入功电机每秒输入功: :外力偶作功完成外力偶作功完成: :1000(N m)WP602nMWe600009550(N m)2ePPMnn7(N m)ePMn当当 P 为马力时，为马力时， 外力偶矩外力偶矩:2021/3/1463.2.2 扭矩扭矩圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩, ,用符号用符号

4、T 表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。MeMe0,0exMTM TxMeMeeTMTx取右段为研究对象取右段为研究对象: :0,0exMMTeTM取左段为研究对象取左段为研究对象: :2021/3/147扭矩的符号规定扭矩的符号规定:同一截面位置处左、右侧截面上扭矩必须具有相同的正负号。同一截面位置处左、右侧截面上扭矩必须具有相同的正负号。右手螺旋法则判断。右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向右手的四指代表扭矩的旋转方向, ,大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。与

5、截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+-TTT2021/3/148 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置, ,用垂直于杆轴线的坐标表示用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，绘制出表示横截面上的扭矩，绘制出表示扭矩扭矩与与截面位置截面位置关系的图线，称为关系的图线，称为扭矩图扭矩图。 3.2.3 扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图作法作法: :同轴力图同轴力图: :例例3-1 图示传动轴图示传动轴, ,转速转速 n =300r/min ，主动轮输入的功率为，主动轮输入的功率为 P1 = 500kW。从从动轮输出功率分别为动轮输出功率分别为P2 = 1

6、50kW 、P3 = 150kW、P4 = 200kW。作扭矩图。作扭矩图。ABCDP1P2P3P4n2021/3/149ABCDP1P2P3P4nM2M3M1M431500(9.55 10)N m15.93kN m300M 323150(9.55 10)N m4.78kN m300MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M1 1、计算外力偶矩、计算外力偶矩解：解：2021/3/1410BC 段段计算简图计算简图ABCDM2M3M1M41232 2、计算各段的扭矩、计算各段的扭矩mkN78. 421MT2419.56kN mTMM mkN37. 643 MTBCM2T1x12

7、0,0 xMTMCA 段段T2xAM1M4D4120,0 xMMMTDM4AD 段段xT3430,0 xMMT2021/3/1411ABCDM2M3M1M49.56 kNmT 图图4.78 kNm6.37 kNm+Tmax = 9.56 kNm 在在 CA 段段内内n 注意注意: :受力图上扭矩均按正值假设受力图上扭矩均按正值假设3 3、画扭矩图、画扭矩图2021/3/1412T 图图例例3-2 画图示杆的扭矩图。画图示杆的扭矩图。6 kNm4 kNm6 kNm8 kNmABCDTAB = 4 kNmTBC = -2 kNmTCD = 6 kNm4 kNm6 kNm2 kNm2021/3/14

8、13mlMA （m轴单位长度内的扭力偶矩）轴单位长度内的扭力偶矩）例例3-3 试分析图示轴的扭矩试分析图示轴的扭矩)(xlmT 解解: :1 1、求约束反力、求约束反力2 2、截面法求扭矩、截面法求扭矩3 3、作扭矩图、作扭矩图2021/3/1414作业作业:习题习题 3-12021/3/14153.3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转1 1、实验、实验: :3.3.1 薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒薄壁圆筒：壁厚：壁厚0101rt （r0：为平均半径）为平均半径）实验前实验前: :绘纵向线绘纵向线, ,圆周线圆周线; ;两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶 Me 。2021

9、/3/1416实验后实验后: :圆周线不变圆周线不变; ;各纵向线长度不变各纵向线长度不变, ,但均倾斜了同一微小角度但均倾斜了同一微小角度 。 纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。结论结论: : 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变, ,只是绕轴线作了只是绕轴线作了相对转动。表明相对转动。表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变横截面仍保持平面，且大小、形状不变（。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。2021/3/14170 dAA rTA0 为平均半径所作圆的面积。为平均半径所作圆的面积。 薄

10、壁筒扭转时薄壁筒扭转时, ,因长度不变，故横截面上因长度不变，故横截面上没有正应力没有正应力，只有切应力只有切应力。因筒。因筒壁很薄，假设壁很薄，假设切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布，切应力沿，切应力沿圆周切线圆周切线方向，方向，与扭矩转向相与扭矩转向相同同。T T000 d2 ArArr tT 20 0 2 2 TTr tAt2021/3/14183.3.2 切应力的若干重要性质切应力的若干重要性质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律jl为扭转角为扭转角jlrj0jj即即lr0做薄壁圆筒的扭转试验可得做薄壁圆筒的扭转试验可得TTtrT202jjlr02021/3/1419剪切虎克定律剪

11、切虎克定律,pG2(1)EG 在在弹性弹性范围内范围内切应力切应力与与切应变切应变成成正比正比关系。关系。2021/3/1420从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体zydd0yF0zM自动满足自动满足0 xFyzxxzydddddd得得2 2、切应力互等定理、切应力互等定理acddxbdytz zxdd自动满足自动满足2021/3/1421切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相垂直的平面上只单元体在其两对互相垂直的平面上只有切有切应力应力而而无正应力无正应力的状态称为的状态称为纯剪切纯剪切应力状态。应力状态。 在相互在相互垂

12、直垂直的两个面上的两个面上, ,切应力总是切应力总是成成对出现对出现，并且，并且大小相等大小相等，方向同时，方向同时指向指向或或同时同时背离背离两个面的两个面的交线交线。acddxbdydzz dabc 2021/3/1422实验：实验：3.4.1 横截面上的应力横截面上的应力3.4 等直圆轴扭转时的应力等直圆轴扭转时的应力强度条件强度条件1 1、几何关系几何关系:实验实验变形规律变形规律应变的变化规律应变的变化规律2021/3/1423变形规律变形规律: :圆周线圆周线形状、大小、间距不变形状、大小、间距不变, ,各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度纵

13、向线纵向线倾斜了同一个角度倾斜了同一个角度, ,小方格变成了平行四边形小方格变成了平行四边形平面假设平面假设:变形前的横截面变形前的横截面, ,变形后仍为平面，且形状变形后仍为平面，且形状 、大小以及间距不变，半、大小以及间距不变，半 径仍为直线。径仍为直线。定性分析定性分析横截面上的应力横截面上的应力00（1）00（2） 因为同一圆周上切应变相同因为同一圆周上切应变相同, ,所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。直于其半径方向。2021/3/1424切应变的变化规律切应变的变化规律:dtandDDRADxjtanddadddx j取楔

14、形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对象为研究对象微段扭转变形微段扭转变形 dj jDCd dj j /d/dx扭转角变化率扭转角变化率, ,即沿半径按直线规律变化。即沿半径按直线规律变化。2021/3/1425PmaxGGddGxj方向垂直于半径。方向垂直于半径。弹性范围内弹性范围内2 2、物理关系、物理关系: :由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律 2)2)当当00, ,也就是说切也就是说切1)1)应力沿半径直线分布。应力沿半径直线分布。当当R， 取最大值取最大值 max。2021/3/14263 3、静力关系、静力关系: :由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的

15、扭矩与应力的关系应力的计算公式应力的计算公式ATAd2pdAIA 令代入物理关系式得：代入物理关系式得：xGdd j圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。pd dT xGIjpd d TGIxjAxGAddd2j扭转变形计算式扭转变形计算式pTI2021/3/1427横截面上横截面上 maxmaxPPPmaxTTTIIW 抗扭截面系数抗扭截面系数, ,整个圆轴整个圆轴上上等直杆等直杆: :maxmaxPTW4 4、适用条件、适用条件: :1 1）等直的）等直的圆轴圆轴, ,2 2）弹性弹性范围内工作。范围内工作。I IP P截面的截面的极惯性矩极惯性矩

16、, ,单位单位: :5 5、圆轴中、圆轴中 max 的确定的确定44m , mm33m , mm单位单位:PPmaxIWpTI2021/3/1428d6 6、极惯性矩、极惯性矩AAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心实心圆截面圆截面: :Od 2021/3/1429DOd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心空心圆截面圆截面: :d2dA4432dD 44132DDdd d 2021/3/1430例例3-4已知空心圆截面轴的扭矩已知空心圆截面轴的扭矩T =1kNm,D =40mm，d =20mm，求最大、最，求最大、最小切

17、应力。小切应力。dDT max min解解:max43P43412(1)1616 10004 1 ( ) 84.9MPaTTdWDDminmaxPP12284.942.45MPa22ddTTdDIDW2021/3/1431思考题思考题: :在图示受扭圆轴横截面上的切应力分布图中在图示受扭圆轴横截面上的切应力分布图中T(a)T(b)T(c)T(d) 正确答案是正确答案是2021/3/1432efbnabcd3.4.2 斜截面上的应力斜截面上的应力 在圆杆的表面处用横截面在圆杆的表面处用横截面, ,径向截面及与表面平行的面取一个微小的正六面径向截面及与表面平行的面取一个微小的正六面体体单元体。单元

18、体。xyd yd zabdzdxcfnxe 截面的外法线截面的外法线 n与与 x 轴间的夹角为轴间的夹角为 , ,并规定并规定 x 轴逆时针转至截面的外轴逆时针转至截面的外法线法线 n 的的 为正，反之为负为正，反之为负2021/3/1433efbn假设假设 ef 的面积为的面积为 dA,则则 eb 、bf 的面积分别为的面积分别为d Acos 、d Asin ，由平衡得，由平衡得0(cos)sin( sin)cos0nFdAdAdA0(cos)cos( sin)sin0FdAdAdA斜截面上应力的计算公式斜截面上应力的计算公式sin2 cos245 max4545min45 maxmin45

19、452021/3/14343.4.3 强度条件强度条件1 1、强度条件、强度条件: :2 2、强度条件应用、强度条件应用: : .)1 (16,16433空空心心实实心心DDWPPWTmaxmax PWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外荷载）确定外荷载: :maxTPWeMmax maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面等截面圆轴圆轴: :变截面变截面圆轴圆轴: :1 1）校核强度）校核强度: :2021/3/1435例例 3-5 图示阶梯状圆轴,AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kN

20、m， MC=14 kNm。 材料的许用切应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解: : 1 1、求内力、求内力, ,作出轴的扭矩图作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACB2021/3/1436BC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、计算最大切应力并校核强度、计算最大切应力并校核强度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）MPa802021/3/1437例例 3-6 已知已知:P =7.5 kW, n =100 r/m

21、in, = 40 MPa,空心圆轴的内外直径之比空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径 d1 和空心轴的外直径和空心轴的外直径 D2;确定二轴的重量之比。确定二轴的重量之比。解解: 计算扭矩计算扭矩实心轴实心轴 33161616 716 20 045m=45mm40 10Td.7 595509550716 2N m100ePMTn. max13P111640MPaTTWd2021/3/1438空心轴空心轴d20.5D2=23 mm 3324461616 716 20 046m=46mm 1- 1-40 10TD. max234P2216

22、40MPa1TTWD 长度相同的情形下长度相同的情形下, ,二轴的重量之比即为横截面面积之比二轴的重量之比即为横截面面积之比: :28. 15 . 01110461045122332222121DdAA2021/3/1439作业作业:习题习题 3-42021/3/14403.5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件3.5.1 扭转变形扭转变形 作杆的刚度计算作杆的刚度计算 解扭转超静定问题解扭转超静定问题l 研究等直圆杆扭转时的变形的目的研究等直圆杆扭转时的变形的目的PddTxG IjPddLLTxGIjj2021/3/1441GIP扭转刚度扭转刚度。pTlGIjpi i

23、iTlGIj单位长度的扭转角单位长度的扭转角radml 扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴PddTxGIjj l 各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴PddLLTxGIjjoP180mTGIj 2021/3/14423.5.2 刚度条件刚度条件l 刚度条件刚度条件: : maxmaxPTGIjj 0maxmaxP180TGIjjoml 刚度条件应用刚度条件应用: :max j j maxp TIGj3)3)、确定外荷载、确定外荷载: :2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸: :maxP TGIjeM1)1)、校核刚度、校核刚度;2021/3/1443m1m2m3lABlACBCA例例

24、3-7 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知已知: m1 =1592 Nm, m2 = 955 Nm ， m3 = 637 Nm。截面截面 A与截面与截面 B、C之间的距离分别为之间的距离分别为lAB = 300 mm和和lAC = 500 mm。轴的。轴的直径直径d = 70 mm，钢的剪变模量为，钢的剪变模量为 G = 80 GPa。试求。试求:截面截面 C 对截面对截面B 的对扭转角。的对扭转角。 解法解法1 :假设假设A截面不动截面不动,先分先分别计算截面别计算截面B、C对截面对截面A的的相对扭转角相对扭转角j jAB 和和j jAC 。3949550.31

25、.5210rad80100.0732ABABABPTlGIj与与 m2 转向相同转向相同ABj2021/351.6910rad80100.0732ACACACPTlGIj与与 m3 转向相同转向相同m1m2m3lABlACBCAABjjAC计算截面计算截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 j jBC41.7 10 radBCACABjjj转向与转向与 m3 相同相同2021/3/144511ABBCBAPmlGIjj解法解法 2 :设截面设截面B固定不动固定不动,先分别计先分别计算算m1、m3 单独作用下截面单独作用下截面 C 对截对截面面 B 的相对

26、扭转角的相对扭转角 j jBC1 和和j jBC2，然，然后叠加，即采用后叠加，即采用叠加法叠加法。 m1单独单独作用下截面作用下截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角j j BC1 ABCm1BAj1BCj12BCBCBCjjj32()ABACBCPm llGIj41.7 10rad ABC2BCj转向与转向与m3相同相同 m3单独单独作用下截面作用下截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角j jBC2C截面对截面截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角m32021/3/1446例例3-8 已知已知:MA = 180 N.m, MB = 320 N.m， MC =

27、140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，j j = 0.5 ( )/m 。试。试校核轴的刚度。校核轴的刚度。解解:mN 1801 AMTmN 1402 CMTBCAllMAMBMC111pddTxGIjj 222pddTxGIjj 21 TT 因因1max1maxpd dTxGIjjj故max95-124180 N m1800.43 ( )/m (80 10 Pa)(3.0 1010m ) jj轴的刚度足够轴的刚度足够2021/3/1447例例3-9 一电机的传动轴直径一电机的传动轴直径 d = 40 mm,轴传递的功率轴传递的功率P = 30 kW，转

28、速，转速 n = 1400 r/min。轴由。轴由45号钢制成，其许用剪应力号钢制成，其许用剪应力 = 40 MPa，剪变模量为剪变模量为 G = 80 GPa ，许可许可单位长度扭转角单位长度扭转角 j j =2 /m 。试。试校核该轴的强度和刚度。校核该轴的强度和刚度。解解 : 计算外力偶矩计算外力偶矩309.559.55204N m1400ePMn204N meTM计算计算抗扭截面系数抗扭截面系数 WP33630.0412.55 10 m1616PdWmax620416.3MPa 12.55 10PTW计算计算 max2021/3/1448计算计算 单位长度扭转角单位长度扭转角 j jm

29、axmax981802041808 1025.1 100.58/PTGImjj计算计算 极惯性矩极惯性矩 IP44840.0425.1 10 m3232PdI所以所以,此轴同时满足强度条件和刚度条件。此轴同时满足强度条件和刚度条件。2021/3/1449例例 3-10 圆轴如图所示。已知圆轴如图所示。已知 d1 = 75mm,d2 =110 mm。材料的许用剪应力。材料的许用剪应力 = 40 MPa，轴的，轴的许用单位扭转角许用单位扭转角 j j = 0. 8/m，剪切弹性模量剪切弹性模量G = 80 GPa。试校。试校核该轴的强度和刚度。核该轴的强度和刚度。d2d1ABC8 kNm5 kNm

30、3 kNm+8 kNm3 kNm解解:作扭矩图作扭矩图32232P28 1030.1MPa 16TdW31131P13 1036.2MPa 16TdWo2221800.4mPTGIjjo1111800.69mPTGIjj满足强度和刚度要求满足强度和刚度要求2021/3/1450 例例3-11 传动轴的转速为传动轴的转速为 n = 500 r/min,主动轮主动轮A 输入功率输入功率P1 = 400 kW，从动轮，从动轮B，C 分别输出功率分别输出功率P2 = 160 kW，P3 = 240 kW。已知。已知 = 70 MPa， j j = 1 /m ，G = 80 GPa。 (1) 试确定试确

31、定AB 段的直径段的直径 d1 和和BC 段的直径段的直径 d2; (2) 若若AB和和BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径 d; (3) 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?119550PMn40095507.64kN m500211603.06kN m400MM312404.58kN m400MM解：解：1.1.计算外力偶矩计算外力偶矩 ABCd2d1M1M2M37.64kN m4.58kN m一一2. 2. 作扭矩图作扭矩图 2021/3/1451 331631616 7640 70 1082.2 10 m82.2mmTd按按刚度刚

32、度条件条件 44312923218032 7640 18086.4 10 m86.4mm80 101TdGj3.3.直径直径 d d1 1 的选取的选取 按按强度强度条件条件 186.4mmd 31max16dTjj1803241maxdGTABCd2d1M1M2M37.64kN m4.58kN m一一2021/3/1452 按按刚度刚度条件条件 4.4.直径直径 d2 2 的选取的选取 按按强度强度条件条件 mm3 .69m103 .6910704580161633632Td44322923218032 4580 18076 10 m76mm80 101TdGj276mmd 5. 5.选同一直径时选同一直径时186.4mmddABCd2d1M1M2M37.64kN m4.58kN m一一2021/3/14536.6.将主动轮装在两从动轮之间将主动轮装在两从动轮之间受力合理受力合理ABCd2d1M1M2M37.64kN m4.58kN m一一ABCd2d1M1M2M33.06kN m4.58kN m一一2021/3/1454作业作业:习题习题 3-3习题习题 3-6习题习题 3-10习题习题 3-122021/3/14553.6 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形3.6.1 矩形截面杆