各类积分之间关系的研究

1、目 录1.引 言22.积分的概念22.1 定积分的概念22.2 曲线积分的概念32.3 二重积分的概念42.4 曲面积分的概念42.5 三重积分的概念63.各类积分的关系63.1各类积分的共同属性 73.2各类积分计算的一致性 73.3几个积分公式 94.几个积分公式之间的联系94.1积分公式的介绍 94.2牛顿莱布尼兹公式与格林公式的关系 104.3格林公式与高斯公式的关系 104.4格林公式与斯托克斯公式的关系104.5小结114.6积分公式在积分计算中的应用11结 论13参考文献 14致 谢15各类积分之间关系的研究某某,某某学院摘 要:本文从积分的本质属性和积分计算的一致性两个方面探讨

2、了重积分、曲线积分、曲面积分与定积分之间的关系,进而讨论了几个重要的积分公式,即牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式以及它们之间的联系,最后通过举例说明了这几个积分公式在积分计算中的重要作用.关键词: 定积分; 重积分; 曲线积分; 曲面积分; 牛顿-莱布尼茨公式;格林公式; 高斯公式; 斯托克斯公式On the relationship between various types of integralSiting Liang, School of mathematics and computer scienceAbstract: This paper discusses t

3、he relationship between the triple integral, curve integral, surface integral and definite integral from the perspective of the essence of integral and the consistency of the integral calculation. Then we discuss several important integral formulas, namely the Newton Leibniz formula, Green formula,

4、Gauss formula, Stokes formula and the relationship between them. Finally, we explain the important roles of these integral formulas in integral calculation through some examples.Key words: Definite integral; Triple integral; Curve integral; Surface integral;Newton-Leibniz formula; Green formula; Gau

5、ss formula; Stokes formula.1.引言微积分是数学研究中的重点课题,不定积分和定积分是两大基本问题.其中,定积分、重积分、曲线积分和曲面积分等概念都是通过实际的问题引入,最终又用于解决实际问题.各积分在计算上也存在着一致性,所有多元函数积分的计算最终都转化为计算定积分1,所以研究各类积分之间的关系在数学研究中显得尤为重要.2.积分的概念2.1 定积分的概念定义 12 设闭区间上上有个点,依此为 ,它们把分成个小区间.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割,记为或小区间的长度为,并记,称为分割的模.定义22 设是定义在上的一个函数.对于的一个分割,任取点,并作和式 .称此

6、和式为函数在上的一个积分和,也称黎曼和.定义32 设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数.若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有,则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分,记作.其中,称为被积函数,称为积分变量, 称为积分区间,、分别称为这个定积分的下限和上限. 2.2 曲线积分的概念2.2.1 第一型曲线积分定义43 设为平面上可求长度的曲线段,为定义在上的函数.对曲线作分割,它把分成个可求长度的小曲线段,的弧长记为,分割的细度为,在上任取一点.若有极限且的值与分割与点的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲线积分,记作.

7、若为空间可求长曲线段, 为定义在上的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分,并且记作.2.2.2 第二型曲线积分定义 53 设函数与定义在平面有向可求长度曲线:上.对的任一分割,它把分成个小曲线段,其中.记各小曲线段的弧长为,分割的细度.又设的分点的坐标为,并记,在每个小曲线段上任取一点,若极限存在,且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,沿有向曲线上的第二型曲线积分,记为 或.2.3 二重积分的概念设为平面上可求面积的有界闭区域,为定义在上的函数.用任意的曲线把分成个可求面积的小区域.以表示小区域的面积,这些小区域构成的一个分割,以表示小区域的直径,称为分割的细度.在每个上任取一

8、点,作和式.称它为函数在上属于分割的一个积分和.定义 63 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数. 是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于的任何分割,当它的细度时,属于的所有积分和都有,则称在上可积,数称为函数在上的二重积分,记作,其中称为二重积分的被积函数, ,称为积分变量, 称为积分区域.2.4 曲面积分的概念2.4.1 第一型曲面积分类似于第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块(设密度函数在上连续)时,曲面块的质量为,其中为曲面块的分割,表示小曲面块的面积, 为中任意一点,为分割的细度,即为诸中的最大直径.定义73 设是空间中可求面积的曲面, 为定义在上的函数.对曲面做

9、分割,它把分成个小曲面块,以记小曲面块的面积,分割的细度,在上任取一点,若极限存在,且与分割与的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲面积分,记作 . 2.4.2 第二型曲面积分定义83 设,为定义在双侧曲面上的函数,在所指定的一侧作分割,它把分成个小曲面,分割的细度,以分别表示在三个坐标面上的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定.若的法线正向与轴正向成锐角时, 在平面的投影区域的面积为正.反之,若法线正向与轴正向成钝角时,它在平面的投影区域的面积为负.在各个小曲面上任取一点.若存在,且与曲面的分割和在上的取法无关,则称此极限为函数,在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分,记作 或 2.5 三

10、重积分的概念类似于第一型曲线积分,求一个空间立体的质量就可导出三重积分.设密度函数为,为了求的质量,我们把分割成个小区域,在每个小块上任取一点,则 ,其中为小块的体积, .设是定义在三维空间可求体积的有界区域上的有界函数.现用若干光滑曲面所组成的曲面网来分割,它把分成个小区域.记的体积,在每个中任取一点,作积分和 .定义 93 设为定义在三维空间可求体积的有界区域上的函数, 是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某一正数,使对于的任何分割,只要时,属于分割的所有积分和都有 ,则称在上可积,数称为函数在上的三重积分,记作或,其中称为被积函数, ,称为积分变量, 称为积分区域.3.各类积分的关系3

11、.1 各类积分的共同属性 设在某一区域定义了点函数,我们定义在上的积分:(1)将任意分割为个子域,大小为;(2)在每一子域中任意取点;(3)作出和数.如果不论怎样分割、怎样取法,这和数当最大子域的直径趋于零时存在极限,这极限就称为在上的积分.这样看来,积分概念的本质是某种微元和式的极限,而构成定义的要素是:任意分割、任意取点、求和、取极限.“区域”的选择正是产生各种类型积分的原因.在一维数轴上，取“区域”为区间,被积函数为一元函数,上述积分即为定积分;在二维平面上,“区域”可以取一般平面区域,也可以取平面曲线,被积函数为二元函数,就相应地有二重积分、平面线积分;在三维空间,情形就更复杂些,可以

12、取空间立体空间曲线或空间曲面,就相应地有三重积分、空间线积分或面积分.3.2 各类积分计算的一致性各积分在计算上存在一致性,所有的多元函数积分的计算最终都转化为定积分的计算.累次积分法可将重积分化为定积分,两类曲线积分是通过基本计算公式将其直接转化为定积分，而两类曲面积分则是通过基本计算公式先将其转化为二重积分再转化为定积分的.3.2.1 重积分化为定积分10例 1 设是由直线,及围成的区域(如下图),试计算: 的值.解析 若用先对后对的积分,则.由于函数的原函数无法用初等函数形式表示,因此改用另一种顺序的累次积分,则有.由分部积分法,即可算得:. 3.2.2 曲线积分化为定积分例 2 计算,

13、其中为球面被平面所截得的圆周.解析 由变量之间的对称性知 ,所以 .3.2.3 曲面积分化为定积分例 3 计算积分:,其中为球面的外侧面.解析 先计算,其中是上半球面,取上侧,是下半球面,取下侧,所以.作变量代换,则得.由对称性知 , , 因此 .3.3 几个积分公式微积分中四个重要的积分公式,即牛顿莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式之间存在着密切的联系,并且在积分计算中,这四个公式也起着重要作用:1.格林公式可实现二重积分和第二型曲线积分之间的转化;2.高斯公式可实现三重积分和第二型曲面积分之间的转化;3.斯托克斯公式可实现第二型曲线积分和第二型曲面积分之间的转化;关于这四个公式

14、的关系以及它们在积分计算中的应用将在下一部分给出详细介绍.4.几个积分公式之间的关系4.1 积分公式的介绍4.1.1 牛顿-莱布尼兹公式定理12 若函数在上连续,且存在原函数,即,则在上可积,且 . 上式称为牛顿莱布尼兹公式,也常写成.4.1.2 格林公式设区域的边界是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时,区域总在它的左边.与上述规定的方向相反的方向称为负方向,记为.定理 23 若函数在闭区域上连续,且有连续的一阶偏导数,则有, 这里为区域的边界曲线,并取正方向.上式称为格林公式.4.1.3 高斯公式定理 33 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数,在

15、上连续,且有一阶连续偏导数,则,其中取外侧.上式称为高斯公式.4.1.4 斯托克斯公式定理 43 设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线.若函数,在(同)连续,且有一阶连续偏导数,则, 其中的侧与的方向右手法则确定.上式称为斯托克斯公式.4.2 牛顿-莱布尼兹公式与格林公式的关系牛顿莱布尼兹公式把一个函数在闭区间上的定积分与一个相关函数在该区间的“边界”(即区间端点)上函数值的增量联系起来.也就是说牛顿莱布尼兹公式把区间上的定积分(特殊的线积分)转化为端点处的函数值.而格林公式把区间上的二重积分(特殊的曲面积分)转化为边界曲线上的线积分,因此二者的实质是一样的. 牛顿莱布尼兹公式是格林公式的特殊

16、情况.4.3 格林公式与高斯公式的关系高斯公式把一个函数在空间区域上的积分跟一个相关联的函数在的边界曲面上的积分联系起来,即高斯公式把空间区域上的三重积分转化为该闭区域边界曲面上的曲面积分.因此高斯公式与格林公式在本质上是一样的,高斯公式是格林公式在三维空间的推广,在一定的情况下,高斯公式可以转化为格林公式.4.4 格林公式与斯托克斯公式的关系斯托克斯公式是把一般曲面上的面积分转化为的边界线上的曲线积分而格林公式把区域上特殊的曲面积分(二重积分)转化为的边界线上的线积分,因此可把斯托克斯公式看作格林公式在三维空间中的另一种形式的推广.在一定的情况下, 斯托克斯公式可化为格林公式.4.5 小结

17、通过上面对四个积分公式之间关系的讨论可以知道,格林公式、高斯公式、斯托克斯公式均是牛顿-莱布尼兹公式在高维上的推广.下面把四个公式之间的关系总结如图5:特例推广特例特例推广格林公式推广牛顿-莱布尼兹公式高斯公式斯托克斯公式总的来说,牛顿莱布尼兹公式是基础,格林公式是核心,它们具有共性,即在一定条件下,沿适当几何形体边界的积分可以转换为分布于这个几何形体上的积分.同时,格林公式、高斯公式和斯托克斯公式也为曲线积分和曲面积分的计算提供了途径.4.6 积分公式在积分计算中的应用4.6.1 格林公式的应用格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的线积分与它们所包围区域上的二重积分的关系:, 这里表

18、示沿的正向取积分.正向指前进时保持在左边的方向,当为单联通时即是逆时针的方向;当为多联通区域时,外边界为逆时针方向,内边界为顺时针方向.、要求在区域内直到边界上连续,并有连续的偏导数.由此可得的面积公式 . 在很多情况下利用格林公式可以把封闭曲线上的线积分化为二重积分来计算.例 4 计算积分 ,其中为椭圆,取逆时针方向.解析 (用格林公式计算)上 ,因此 .令,作变换,则,其中 .因此 .4.6.2 高斯公式的应用高斯公式在中给出了空间区域上的三重积分与边界上的曲面积分的关系.利用高斯公式将曲面积分化为三重积分,由于求导,被积函数常能简化.也省得逐块地计算积分. 例 5 计算曲面积分,其中,积

19、分沿曲面的外侧.解析 对于,取,则.在上: ,则在上:由于,且围成的球体在围成的球体内部,故.4.6.3 斯托克斯公式的应用斯托克斯公式建立了空间曲面积分与其边界上的曲线积分的关系.例 6 计算线积分 ,其中为上半球面与柱面的交线.从轴正向往下看, 正向取反时针方向.解析 (球面位于柱内的部分看成是上所张的曲面,用斯托克斯公式) 用表示上半球面在柱面(即：)的上侧.则与成右手关系.结论研究各类积分之间的关系在数学研究中十分重要.由于积分的概念大多数来自于实际的物理模型,因此积分的种类会随着实际问题的不同而不同.但积分的本质属性和内在联系是不会发生改变的,尤其是在积分运算之间存在着紧密的联系.积

20、分运算关键在于计算定积分,各类积分的计算最终都是转化为定积分的计算.而微积分中四个重要的积分公式,即牛顿莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式也起着重要的作用.它们实现了定积分、重积分与曲线积分、曲面积分之间的转换,揭示了各积分之间的运算联系.牛顿莱布尼兹公式是基础,格林公式是核心,而高斯公式和斯托克斯公式是前两个公式在高维上的推广.因此,关于积分之间关系的探讨,最重要的就是领会积分的本质特征和积分计算的一致性,运用几个重要的积分公式实现几类积分之间的转化,可以把几类积分之间的关系理解的更具体.参考文献1 张盈, 微积分中几类积分之间的联系J.吉林省教育学院学报,2012,28(11):149-150. 2 程其襄等,数学分析(上)M,高等教育出版社,2001,6(第三版).3 程其襄等,数学分析(下)M,高等教育出版社,2001,6(第三版).4 徐志科,浅谈积分概念的本质及内在联系J,赤峰学院学报(自然科学版),2012,28(6):8.5 敬石心,沙萍,关于几种积分之间