【教案】4.5.2用二分法求方程的近似解-教学设计

1、课程基本信息课题用二分法求方程的近似解教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月教学目标教学目标： 1. 通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程中的应用，了解极限思想； 2. 通过总结二分法的实施步骤经历由特殊到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力； 3. 借助信息技术，理解二分法的算法思想，提升数学运算的素养.教学重点：用二分法求函数的零点的近似值的一般步骤教学难点：对二分法步骤和精确度的理解教学过程时间教学环节主要师生活动7分钟（一）引入问题，探讨方法. 引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点

2、存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数在开区间内存在一个零点，如何求出这个零点？ 追问1：你能求出函数零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验简单判断，思考. 教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（比如：当精确度为时：只要近似值与精确值之差的绝对值小于即可）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生可以想到：零点在区间内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时

3、，可以取2.5作为一个零点的近似值. 教师给出区间的中点的定义：一般地，称为区间的中点.追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？师生活动：学生思考：零点是在内，还是在内呢？这时就要考虑的符号. 由计算工具算得，由可知，零点在区间内，由数轴上和之间的距离为0.5可知,零点和之间的距离小于0.5，因此，可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生思考：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实

4、数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01. 根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值. 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围. 事实上，通过取中点缩小零点所在区间的方法，在李咏主持的幸运52节目的猜商品价格的游戏中

5、也有所体现，在这个游戏中，选手需要对主持人提供的商品进行有限次数的估价，如果猜对，则获得该商品作为奖励. 在估价过程中，主持人会提示，选手的估价与实际价格相比是高了还是低了. 为了尽快缩小实际价格的范围，选手通常采用估计较高价格与较低价格的中间价格来缩小范围，这个中间价格可以恰好是较高、较低两次价格之和的一半，也可以略有浮动. 因此，取中点缩小区间的手段合理，但不唯一. 设计意图： 通过研究如何求函数的零点，使学生理解二分法的基本原理.5分钟（二）解决问题，实施方法. 问题2：当精确度为0.01时，求函数零点的近似值.教师示范：根据问题1的研究，取区间的中点，算得，因为，所以零点在区间内.再取

6、区间的中点，用计算工具算得.因为，所以零点在区间内（如表1和图1），我们可以重复这样的步骤，继续缩小零点所在区间，直到区间长度小于0.01为止，如表2. 追问：根据填好的表格，请你给出函数零点的近似值.师生活动：学生可以想到：区间（2.53125，2.5390625）内任意一点都可以作为零点的近似值. 教师补充：为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以(或)可以作为函数零点的近似值，也即方程的近似解.设计意图：通过求函数的零点在一定精确度下的近似值，体会二分法的实施过程. 6分钟（三）总结提炼，归纳方法.问题3：在问题2中，我们用怎样的方法求函数零点近似值？这种方法适用于哪些函

7、数？师生活动：学生思考：通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值. 对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值.教师在学生回答的基础上形成“二分法”的定义：对于区间上的连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法.设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义. 问题4：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗？教师讲解：回顾求函数零点的

8、近似值的过程，我们主要经历了以下环节：1. 确定初始区间：由，得到的零点所在区间；2. 不断缩小区间：通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小. 具体可解为如下步骤：（1）计算区间中点；（2）计算中点函数值；（3）计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号；（4）确定零点所在区间.那么这个过程什么时候结束呢？当零点所在区间的长度小于精确度的范围时，重复操作结束.3. 得到近似值：当零点所在区间的长度小于精确度的范围，把区间的一个端点作为零点的近似值.由此，我们可以提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤：1. 确定零点的初始区间，验证.2. 求区间

9、中点.3. 计算，并进一步确定零点所在区间：（1）若（此时，）,则就是函数零点；（2）若（此时，），则令；（3）若（此时，），则令.4. 判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值为（或）；否则重复步骤24.设计意图：根据求函数零点的近似值的过程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤. 5分钟（四）例题实践，熟悉方法.问题5：借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.例题分析：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）.观察图2或表3可知，说明该函数在区间内存在零点. 取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以. 再取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以.同理可得，.由于，所以，原方程的近似解可取为1.375（1.4375也可以）.设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解. 2分钟（五）归纳小结，布置作业教师总结：本节课我们学习了用二分法求方程近似解的方法. 二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.回顾整个研究过程，我们通过求具体方