计算方法-第2章-插值法拉格朗日插值ppt课件

1、第二章 插值法iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx 第二章 插值法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 2.5 分段低次插值分段低次插值本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单适用的方法就是插值.本章主要引见有关插值法的一些根本概念，及多项式插值的根底实际和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值。 2.1 引言引言且不利于在计算机上其函数形式可能很复杂对函数,),(xf个不同的点上的一

2、组在区间可以获得量假如可以通过实验或测运算1,)(,nbaxfbxxxxan210nixfyii,2 , 1 , 0),(上的函数值能否存在一个性能优良、便于计算的函数满足比如多项式函数),(xP一、插值问题niyxPii,2 , 1 ,0)()()(xfxP近似代替并且用这就是插值问题，上式为插值条件的插值函数为函数称函数)()(xfxP则称之为插值多项式为多项式函数如果,)(xP称为插值节点点, 2 , 1 , 0,nixi称为插值区间区间,ba个等分点上若给定如函数5,0,sinxy 其插值函数的图象如以下图00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.

3、80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy)()(xPxf和插值函数对于被插函数处的函数值必然相等在节点ix)()(xfxP的值可能就会偏离但在节点外必然存在着误差近似代替因此)()(xfxP二、插值法的类型上的代数插值多项式为在区间设函数,)(baxfy nnnxaxax

4、aaxP2210)(且满足niyxPiin,2 , 1 , 0)(其中 为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；假设P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；假设P(x)为三角多项式，就称为三角插值。ia本章只讨论多项式插值与分段插值 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 此插值问题可表述为如下： 问题 求作次数 多项式 ，使满足条件 这就是所谓的拉格朗日Lagrange插值。n ), 1 , 0( ,niyxLin)(xLn问题问题 求作一次式求作一次式 ，使满足条件，使满足条件 从几何图形上看，从几何图形上看， 表示过两点表示过两点 的直线，因此可表示为如下点斜式：的直线，

5、因此可表示为如下点斜式： 2.2.1 线性插值与抛物插值线性插值与抛物插值)(1xL)()(Lkk1kk1kk1xxxxyyyx1111)(,)(kkkkyxLyxL)(1xLy )y,(与),(1k1kxyxkk一、线性插值一、线性插值点斜式点斜式)()()11kk1xlyxly(xLkk)(1xLy )y,(与),(1k1kxyxkk从几何图形上看， 表示过两点的直线，因此也可表示为如下对称方式：其中，k1k1)(xxxxxlkk11kkkkxxxx(x)l显然，;)(x,l)(xl;)(xl,)(xlkkkkkkkk01011111为线性插值基函数及函数称我们1(x)l(x)lkk二、线

6、性插值二、线性插值对称式对称式线性插值举例线性插值举例例1: 知 ， ，求代入点斜式插值多项式得 y=10.71428准确值为 10.723805，故这个结果有3位有效数字。10100 11121 115y)()(0010101xxxxyyyxL 线性插值的局限性线性插值的局限性 问题问题 求作二次式求作二次式 ，使满足条件，使满足条件二次插值的几何解释是用经过三个点二次插值的几何解释是用经过三个点 的抛物线来近似调查曲线，故称为拋物插值。类似于线性的抛物线来近似调查曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足下式：插值，构造基函数，要求满足下式：)(2xL三、抛物插值三、抛物插

7、值) 1, 1()(2kkkjyxLjj)()()()11kk112xlyxlyxly(xLkkkk(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0)+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L2(115) =x0=100, x1=121, x2=144f(x0)=10, f(x1)=11, f(x2)=12 (100121)(100144)(115121)(115144)* 10+(121100)(121144)(115100)(115144)* 11+(144100)(144121)(115100)(115121

8、)* 12= 10.7228抛物插值举例抛物插值举例例例2 2：L2(x)=L2(x)=和用线性插值相比，有效数字添加一位为了构造 ，我们先定义n次插值基函数。)(xLn2.2.2 拉格朗日n次插值多项式定义：假设n次多项式),1 , 0()(njxlj在n+1个节点nxxx10上满足条件。基函数次插值上的为节点)(,),(),(式次多项个1就称这1010n,x,xxxlxlxlnnnn)()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkiiikixxxx0)()(), 2 , 1 , 0(nk)()(10nxxxxxx(x)n

9、1令)(xkn 1则)()()(1110nkkkkkkkxxxxxxxxxxn+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面曾经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：)()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl), 2 , 1 , 0(nk且)(xLnnkknknkxxxxy011)()()()()()(11knknxxxx从而为记为项式为插值基函数的插值多以上在节点于是)(), 1 ,0()(,), 1 ,0()(,xLnixlnixxfynji)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn)(xljnjiiij

10、ixxxx0)()(其中)()(11jjnnxxxx总总结结称)(xLn为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称), 1 , 0)(njxlj为n次拉格朗日插值基函数例3：求过点(2，0) (4，3) (6，5) (8，4) (10，1)的 拉格朗日插值多项式。拉格朗日插值多项式的缺陷：1插值基函数计算复杂2高次插值的精度不一定高 2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计一、插值余项插值的从上节可知Lagrangexfy)(,njjjnxlyxL0)()(满足nixfxLiin, 1 , 0)()(,bax但)()(xfxLn不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个

11、截断误差呢？)(xLn)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依赖于)()()(xLxfxRnn令上显然在插值节点为), 1 , 0(nixi)()()(iniinxLxfxRni, 1 , 0,0个零点上至少有在因此1,)(nbaxRn)()()(1xxKxRnn设)()()(101nnxxxxxxx为待定函数)(xK其中)()()()()(1xxKxLxfxRnnn证明：假设在区间证明：假设在区间a,b上上f(x)的插值多项式为的插值多项式为)(xLn)()()()(1xxKxLxfnn0)(x则有0的区分与注意xt)(ix且)()()

12、(1ininxxKxR0即个零点上至少有在区间若令因此,2,)(,nbatxxi,0)(xni, 1 , 0nixi, 2 , 1 , 0,0)()()()()(1xxKxLxfnn)()()()(1ininixxKxLxf)()()()()(1txKtLtftnn假设引入辅助函数根据罗尔定理,个零点上有至少在区间1),()(nbat再由罗尔定理,个零点上有至少在区间nbat),()( 依此类推阶导数为零的使得内至少有一个点在区间1)(,),(ntba0)()1(n)()1(tn)()()()()1(1)1()1(txKtLtfnnnnn由于)!1()()()1(nfxKn)()()(1xxK

13、xRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截断误差的余项为插值多项式称xLxRnn)()()()()()1(1)1()1()1(nnnnnnxKLf因此)!1()()()1(nxKfn0|)(|xRn那么)()!1()(1)1(xnfnn)()!1(11xnMnn留意1余项表达式只需在f(x)的高阶导数存在时 才干运用。2在ba,内的详细位置通常不能够给出，所以，设)() 1(1maxxfMnbxan例1:225,169,144,)(,. 1三个节点为若中在上节例xxf线性插值的余项为设LagrangexR)(1插值的余项为二次LagrangexR)(2解:.)175(截断误差

14、近似值的线性和二次插值做试估计用fLagrangexxf21)(2341)( xxf2583)( xxf|)(|max2251692xfMx |)169(| f 41014. 1|)(|max2251443xfMx |)144(| f 61051. 1| )175(|2|)225175)(169175(|300| )175(|3|)225175)(169175)(144175(|9300| )175(|1R)175(! 2122M3001014. 121421071. 1| )175(|2R)175(! 3133M93001051. 161631035. 2例2.5 , 5,11)(2xxxf

15、设函数ninhihxnni, 1 ,0,10,515 , 5个节点等份取将插值多项式次的作试就Lagrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2并作图比较.解:211)(iiixxfy插值多项式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10, 8 ,6 ,4 ,2n-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5