D12数列的极限98963PPT学习教案

1、会计学1D12数列的极限数列的极限98963自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项) .若数列nx及常数 a 有下列关系 :,0,N正数当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nx axn则称该数列nx的极限为 a ,第1页/共26页,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发

2、 散第2页/共26页,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn第3页/共26页,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明:

3、取11N第4页/共26页,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0 .1nq第5页/共26页23baab22abnabax证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab

4、2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式第6页/共26页),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有因此该数列发散 .nx第7页/共26页证证: 设,limaxnn取,1,N则当Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21

5、NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列第8页/共26页若,limaxnn且, 0a,NN则,时当Nn 有0nx)0()0(证证:对 a 0 ,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起, 0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)O第9页/共26页*,axkn证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有k

6、nKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx第10页/共26页由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .说明说明: 第11页/共26页azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N

7、第12页/共26页11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则 .1211222nnnnn22nnn22nn且lim22nnnnnn11lim1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由第13页/共26页Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab第14页/共26页, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . (P53P54)证证: 利用二项式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnn

8、nnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n!)!(!,)(0iinnCbaCbainniiniinn第15页/共26页11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知第16页/共26页nx记此极限为 e ,e)1 (lim1nnn e 为无理数 , 其值为590457182

9、818284. 2e 即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n内容小结 第17页/共26页数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N ,使当NnNm,时,mnxx证证: “必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时, 有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 证明从略 .,N有柯西 第18页/共26页1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则第1

10、9页/共26页1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时,下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim第20页/共26页P30 1 P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用数学归纳法证 2nx第三节 第21页/共26页故极限存在，1.1.设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211n

11、nnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx第22页/共26页, ),2, 1(0iai证证:显然,1nnxx证明下述数列有极限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即nx单调增,又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆项相消拆项相消” 法法第23页/共26页我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 .他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小,割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :第24页/共26页