D72可分离变量微分方程58661PPT学习教案

1、会计学1D72可分离变量微分方程可分离变量微分方程58661yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )第1页/共14页0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y第2页/共14页) 1(sin2yxy

2、解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:第3页/共14页.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分离变量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有uue1积分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (积分第4页/共14页子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离

3、变量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO第5页/共14页成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)e1 (tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kg

4、mv t 足够大时第6页/共14页m1.cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为tVQddhgSk2即thgSkVd2d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhhO第7页/共14页对应下降体积hrVdd222)1 (1hr22hh 2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解问题:22d(2)dkSgh thhh 10th将方程分离变量:3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO第8页/共14页两端积分, 得2tk

5、 Sg 2334( h)5225Ch 利用初始条件, 得,1514C则得容10th器内水面高度 h 与时间 t 的关系:(s)737101(10068. 125234hht可见水流完所需时间为(s)10068. 14tm1rhhdhhO 因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8 . 9,m10,62. 0gSk第9页/共14页1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分;根据定解条件定常数 .解; 阶;通解;特解 y = x 及 y = C 第10页/共14页(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 例4例5例6第11页/共14页 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量(2) 方程变形为yxysin