现代信号处理

1、1第四章 自适应信号处理郑宝玉2v随机信号的最优预测和滤波随机信号的最优预测和滤波v最优滤波理论与最优滤波理论与维纳滤波器维纳滤波器v横向横向LMSLMS自适应数字滤波器自适应数字滤波器v横向横向RLSRLS自适应数字滤波器自适应数字滤波器v自适应格型滤波器自适应格型滤波器v自适应格自适应格- -梯型滤波器梯型滤波器v无限脉冲响应自适应滤波器无限脉冲响应自适应滤波器 v盲自适应信号处理盲自适应信号处理v自适应滤波器应用自适应滤波器应用 3盲自适应信号处理盲自适应信号处理 v 引言引言v 基本概念基本概念v 基本思想基本思想v 盲自适应算法盲自适应算法4引引 言言v 盲信号处理盲信号处理 全盲全

2、盲: 只有观测的输出数据只有观测的输出数据 半盲半盲: 除可利用接收数据外除可利用接收数据外, 还可利用某些辅助信息还可利用某些辅助信息 实际的半盲方法实际的半盲方法：本节讨论的：本节讨论的信道辨识和均衡信道辨识和均衡v 盲信号处理算法盲信号处理算法 盲信号分离盲信号分离 信道盲辨识与盲均衡信道盲辨识与盲均衡 盲反卷积盲反卷积 基于高阶统计量基于高阶统计量(HOS)(HOS)的算法的算法 基于循环平稳统计的算法基于循环平稳统计的算法v 全盲与半盲全盲与半盲5 基本概念基本概念v 平稳过程与循环平稳过程平稳过程与循环平稳过程 定义定义: 统计特性不随时间变化的随机过程统计特性不随时间变化的随机过

3、程，即其统计特性，即其统计特性 具有时移不变性具有时移不变性(注意注意: 随机过程的瞬时值是随时间变化的随机过程的瞬时值是随时间变化的.) 平稳平稳随机过程有随机过程有严格平稳严格平稳和和广义平稳广义平稳之分。广义平稳也称之分。广义平稳也称 为弱平稳、协方差平稳、二阶平稳，简称平稳。为弱平稳、协方差平稳、二阶平稳，简称平稳。 一个严格平稳的随机过程必定是平稳的，但一个平稳过程一个严格平稳的随机过程必定是平稳的，但一个平稳过程 不一定是严格平稳的。只有高斯过程例外：二者完全等价。不一定是严格平稳的。只有高斯过程例外：二者完全等价。 平稳过程平稳过程6 基本概念基本概念v 平稳过程与循环平稳过程平

4、稳过程与循环平稳过程 定义：定义：统计特性随时间周期性变化的非平稳过程称为循环统计特性随时间周期性变化的非平稳过程称为循环 平稳或周期平稳平稳或周期平稳(CS)过程。过程。 循环平稳过程可进一步分为一阶循环平稳过程可进一步分为一阶(均值均值)循环平稳、二阶循循环平稳、二阶循 环平稳环平稳(相关函数相关函数)和高阶循环平稳。循环二阶统计量可用和高阶循环平稳。循环二阶统计量可用 来辨识非最小相位系统。来辨识非最小相位系统。 周期平稳性周期平稳性是是通信信号通信信号的一个的一个重要特性重要特性.例如例如, 调制信号调制信号, 信信 号的编码号的编码,对接收信号进行过采样对接收信号进行过采样, 均会产

5、生周期平稳性质均会产生周期平稳性质 雷达和声纳系统中的一些人工信号、自然界信号雷达和声纳系统中的一些人工信号、自然界信号(水文、气水文、气 象、海洋、天文象、海洋、天文)、人体信号、人体信号(如心电图如心电图)具有周期平稳性具有周期平稳性 循环平稳过程循环平稳过程7 基本思想基本思想v 反卷积的基本考虑反卷积的基本考虑 假设假设:图图1所示的未知时不变系统或信道所示的未知时不变系统或信道h, 其输入为其输入为x(n), 它它 由概率分布已知由概率分布已知,但本身不能直接被观测的信息但本身不能直接被观测的信息(符号符号)序列组成序列组成问题问题:给定系统输出端的观测序列给定系统输出端的观测序列y

6、(n),我们要恢复输入的信息我们要恢复输入的信息 序列序列x(n), 或等价地辨识系统或等价地辨识系统h的逆系统的逆系统h-1, 通常称为通常称为反卷积反卷积。 可行性可行性 如果系统或信道如果系统或信道h是是最小相位最小相位的的(即信道传递函数的所有零极即信道传递函数的所有零极 点均位于点均位于z平面单位圆内平面单位圆内), 则不仅信道则不仅信道h是稳定的是稳定的, 而且逆信道而且逆信道 h-1也是稳定的。这时也是稳定的。这时,逆信道逆信道h-1恰好是一恰好是一白化滤波器白化滤波器。很容。很容 易用已有的知识易用已有的知识(二阶统计量二阶统计量)得到解决得到解决(如用线性预测方法如用线性预测

7、方法)。 如果系统或信道如果系统或信道h是是非最小相位非最小相位系统系统(如电话信道和无线衰落如电话信道和无线衰落 信道信道), 将是一个将是一个很难解决的问题很难解决的问题。线性时不变线性时不变 系统系统 h不能观测的信息序列 x(n) 可测的输出数据序列 y(n) 图18 基本思想基本思想v 反卷积的基本考虑反卷积的基本考虑 非最小相位非最小相位系统中系统中反卷积反卷积问题的求解必须满足的问题的求解必须满足的条件条件: 信息序列信息序列x(n)必须是必须是非高斯非高斯 输出数据输出数据y(n)的处理必须包含某种的处理必须包含某种非线性估计非线性估计反卷积的典型应用反卷积的典型应用 数字移动

8、数字移动通信和数字广播中通信和数字广播中信道辨识和均衡信道辨识和均衡 地震信号处理中的地震信号处理中的反卷积反卷积 上述反卷积和系统辨识的实现方法有三种：上述反卷积和系统辨识的实现方法有三种：非盲非盲: 利用已知的发射利用已知的发射(训练训练)序列序列, 但降低了信道的有效速率但降低了信道的有效速率;全盲全盲: 只有观测的输出数据可资利用只有观测的输出数据可资利用;半盲半盲: 除可利用接收数据外除可利用接收数据外,还可利用某些辅助信息还可利用某些辅助信息,该信息以该信息以 概率模型形式描述了被发射数据序列的统计量概率模型形式描述了被发射数据序列的统计量(即时间结构即时间结构) 全盲与半盲全盲与

9、半盲9 基本思想基本思想v 反卷积的基本考虑反卷积的基本考虑 常用信号的几种典型时间结构常用信号的几种典型时间结构通信信号的时间结构主要反映信号的性质通信信号的时间结构主要反映信号的性质, 包括调制方式、包括调制方式、 脉冲成形和字符的星座图。典型的时间结构如下脉冲成形和字符的星座图。典型的时间结构如下: 恒模恒模(CM: constant modulus) 许多无线通信应用许多无线通信应用(如调频如调频)中中, 发射的波形均有恒定的包络发射的波形均有恒定的包络, 其典型例子是高斯最小频移键控其典型例子是高斯最小频移键控(GMSK)调制信号。调制信号。 非高斯分布非高斯分布: 数字调制信号的分

10、布为非高斯分布数字调制信号的分布为非高斯分布. 利用这一利用这一 性质性质, 可以使用高阶统计量来估计非最小相位信道。可以使用高阶统计量来估计非最小相位信道。 循环平稳性循环平稳性: 通过时间过采样通过时间过采样(即采样速率高于码率即采样速率高于码率)或空间或空间 过采样过采样(多天线多天线)的通信信号是循环平稳的的通信信号是循环平稳的. 有限字符有限字符(FA: finite alphabet) 移动通信系统的时间结构具有有限字符特性移动通信系统的时间结构具有有限字符特性, 即其用户的发射即其用户的发射 信息是由有限个字符构成的集合信息是由有限个字符构成的集合. 所有调制方式均有这一结构所有

11、调制方式均有这一结构10 基本思想基本思想v 反卷积的基本考虑反卷积的基本考虑 关于循环平稳性的进一步讨论关于循环平稳性的进一步讨论 循环平稳性的重要意义循环平稳性的重要意义: 过采样的通信信号的循环平稳性过采样的通信信号的循环平稳性 携带了信道相位的重要信息携带了信道相位的重要信息, 可用来辨识非最小相位的信道可用来辨识非最小相位的信道; 而信号的平稳性只能用来辨识最小相位信道而信号的平稳性只能用来辨识最小相位信道.。过采样增加。过采样增加 了通信信号的样本个数和信道矩阵了通信信号的样本个数和信道矩阵H内的相位个数内的相位个数, 故可用来故可用来 辨识最小相位信道，而不改变符号周期间隔内的数

12、据值。辨识最小相位信道，而不改变符号周期间隔内的数据值。 各种统计量的作用：各种统计量的作用： - 对平稳信号而言对平稳信号而言, 二阶统计量二阶统计量(自相关函数和功率谱自相关函数和功率谱)只能只能 辨识最小相位的信道辨识最小相位的信道, 不能辨识非最小相位信道不能辨识非最小相位信道. - 高阶统计量高阶统计量(三阶和四阶累积量或双谱和三谱等三阶和四阶累积量或双谱和三谱等)虽然可辨虽然可辨 识非最小相位信道识非最小相位信道, 但要求使用较长的观测数据但要求使用较长的观测数据. - 循环二阶统计量循环二阶统计量既可辨识非最小相位信道，又不需要较长既可辨识非最小相位信道，又不需要较长 的观测数据

13、的观测数据.11 基本思想基本思想v 盲均衡问题的数学描述盲均衡问题的数学描述盲均衡问题的盲均衡问题的数学描述数学描述考虑一考虑一未知未知、时变的离散时间传输信道、时变的离散时间传输信道h(n), 其输入信号其输入信号x(n)假定是均值为零、方差为假定是均值为零、方差为 的非高斯随机过程的非高斯随机过程; 如如图图2所示所示. 如暂不考虑信道噪声如暂不考虑信道噪声, 则接收信号取如下形式则接收信号取如下形式:22)(xnxEiinxihnxnhny)()()(*)()( 盲均衡问题的求解盲均衡问题的求解为了自恢复为了自恢复x(n), 引入盲均衡器引入盲均衡器(或盲反卷积或盲反卷积)u(n)。为

14、了求解盲均衡问题为了求解盲均衡问题, ,需要规定数据序列需要规定数据序列x(n)的概率模型的概率模型. .通常作如下假设通常作如下假设: : 假设输入假设输入x(n)由零均值的独立同分布随机变量组成, 并 服从对称均匀分布 假设假设x(n)存在二、三、四阶矩存在二、三、四阶矩.12均衡器均衡器(反卷积反卷积)信道信道 h(n)输入序列 x(n) )(nw接收序列 y(n) u(n) 恢复的序列)( nx图图2 13 基本思想基本思想v 盲均衡问题的数学描述盲均衡问题的数学描述 盲均衡问题的求解盲均衡问题的求解(续续)现在的问题是根据观测的接收序列现在的问题是根据观测的接收序列y(n) 恢复恢复

15、x(n), 或等或等价辨识信道的逆滤波器价辨识信道的逆滤波器(即均衡器即均衡器) u(n).从图从图2可以看出可以看出, 均衡器均衡器u(n)的输出序列的输出序列 为为)(nx)(*)(*)()(*)()(nxnhnunynunx盲反卷积的目的是使盲反卷积的目的是使) 1 ()()(jeDnxnx为了实现上式为了实现上式, 要求要求jeDnnhnu)()(*)(取上式的傅立叶变换取上式的傅立叶变换, 则有则有)()()(DjeHU或或)2()(1)()(DjeHU结论结论: : 均衡器的目标就是实现上式所示的传递函数均衡器的目标就是实现上式所示的传递函数. .14 基本思想基本思想v 盲均衡问

16、题的数学描述盲均衡问题的数学描述 盲均衡问题的求解盲均衡问题的求解(续续)上述表明上述表明, , 我们希望设计均衡器的抽头系数我们希望设计均衡器的抽头系数 , ,使得输使得输出序列出序列 与输入序列与输入序列x(n)满足式满足式(1). 若令若令 代表信道代表信道(滤波器滤波器)与均衡器与均衡器(逆滤波器逆滤波器)的组合系统的抽头系数的组合系统的抽头系数, 且且)(nxiuis)()()(UHS则则kikukihiuihs)()()(*)(由于由于jiieDnxinxsnx)()()(1)3(0,.,0 , 0,.,01TjDe个s显然显然, ,有限维向量有限维向量 是一个只有一个非零元素是一

17、个只有一个非零元素( (其模等于其模等于1)1)的向量的向量TLsss,.,21s这就是盲均衡中的所谓这就是盲均衡中的所谓“置零条件置零条件”.15 盲自适应算法盲自适应算法v 概述概述 盲反卷积和盲均衡盲反卷积和盲均衡 盲反卷积是一种以盲的或自恢复的形式进行反卷积的盲反卷积是一种以盲的或自恢复的形式进行反卷积的 自适应算法的总称自适应算法的总称. 盲反卷积本质上是这样一类自适应算法盲反卷积本质上是这样一类自适应算法: 它们不需要外它们不需要外 部提供期望响应部提供期望响应, 就能够产生与希望恢复的输入信号在就能够产生与希望恢复的输入信号在 某种意义上最逼近的滤波器输出某种意义上最逼近的滤波器

18、输出. 换言之换言之, 算法对期望响应是算法对期望响应是“盲盲”的的. 但实际上是但实际上是, 算法算法在在 自适应过程中通过一非线性变换产生期望响应的估计自适应过程中通过一非线性变换产生期望响应的估计. 这种自适应滤波器习惯上称为盲均衡器这种自适应滤波器习惯上称为盲均衡器, 因为它们完全因为它们完全 不用期望响应不用期望响应(“盲盲”), 但欲使滤波器输出与希望恢复的但欲使滤波器输出与希望恢复的 输入信号相等输入信号相等(“均衡均衡”).16 盲自适应算法盲自适应算法v 概述概述 盲均衡分类盲均衡分类 按非线性非线性无记忆无记忆变换所在的位置，盲均衡算法分为三类：变换所在的位置，盲均衡算法分

19、为三类： Bussgang算法算法: 非线性非线性无记忆无记忆变换函数在均衡器的输出端变换函数在均衡器的输出端; 高阶或循环统计量方法高阶或循环统计量方法:非线性变换在均衡器的输入非线性变换在均衡器的输入 端端, 这类算法使用高阶或循环统计量作为数学工具这类算法使用高阶或循环统计量作为数学工具; 非线性均衡器算法非线性均衡器算法:非线性存在均衡器的内部非线性存在均衡器的内部, 即使用非即使用非 线性滤波器线性滤波器(如如Volterra滤波器滤波器). 盲均衡器盲均衡器信道信道 h(n)数据序列 s(n) )(nv接收信号 r(n) 恢复的序列)( ns图3)(nu17 盲自适应算法盲自适应算

20、法v Bussgang自适应均衡算法自适应均衡算法 基本原理基本原理 考虑图考虑图3的数字通信系统的基带模型的数字通信系统的基带模型, 它由线性通信信道它由线性通信信道 和盲均衡器级联而成和盲均衡器级联而成. 为简化讨论为简化讨论, 假设信道冲激响应为假设信道冲激响应为 实数实数, 信道输入与输出之间的关系可表示为信道输入与输出之间的关系可表示为)4(,.2, 1, 0, )()()()(*)(nnvknshnvnshnrkkn式中式中, v(n)表示加性高斯白噪声表示加性高斯白噪声;*为卷积符号为卷积符号. 令令 表示一表示一“理想逆滤波器理想逆滤波器”的冲激响应序列的冲激响应序列, 它与信

21、它与信道道 冲激响应序列冲激响应序列 之间满足之间满足“理想逆关系理想逆关系”，即，即iwnh)5(,nhwinini 现用现用 对接收信号对接收信号r(n)进行滤波进行滤波,并利用式并利用式(4)和和(5), 有有iw)6()()(iinsinrw结论结论: :式式(5)(5)定义的逆滤波器可正确恢复原发射的数据序列定义的逆滤波器可正确恢复原发射的数据序列. . 18 这样就得到用横向滤波器近似实现逆滤波器这样就得到用横向滤波器近似实现逆滤波器. 下面分析下面分析所实现的逆滤波器的性能所实现的逆滤波器的性能. 为此为此, 将式将式(7)改写为改写为 盲自适应算法盲自适应算法v Bussgan

22、g自适应均衡算法自适应均衡算法 理想逆滤波器的实现理想逆滤波器的实现 设用一个长度为设用一个长度为2L+1的逆滤波器的逆滤波器 表示截表示截 尾的理想逆滤波器尾的理想逆滤波器, 则该滤波器的输出为则该滤波器的输出为),.,1 , 0 , 1,.,)(LLinwi)7()()()(LLiiinsnwnyLinwinsnwnyiii，0)(, )()()(且或写作或写作iiiiiinswnwinswny)()()()(记记)8()()()(iiiinswnwnv则有则有)9()()()(nvnsnyv(n)称为卷积噪声称为卷积噪声, 即使用近似逆滤波器带来的残余码间干扰即使用近似逆滤波器带来的残余

23、码间干扰19横向滤波横向滤波器器无记忆非线性无记忆非线性估计器估计器 g ( . )接收信号 r(t)y(n)LMS自适自适应算法应算法)( nwie(n)( ns- +图420而而g(.)是某个无记忆非线性函数是某个无记忆非线性函数. .结论结论: :式式(7)(7)和和(10)-(12)(10)-(12)组成了实基带信道盲均衡自适应算法组成了实基带信道盲均衡自适应算法. . 盲自适应算法盲自适应算法v Bussgang自适应均衡算法自适应均衡算法 盲均衡器自适应算法盲均衡器自适应算法 算法推导：算法推导：如用卷积噪声作为误差信号来自适应调节横向如用卷积噪声作为误差信号来自适应调节横向 滤波

24、器系数滤波器系数 则得盲自适应均衡器的方框图则得盲自适应均衡器的方框图, 如图如图4所示所示. 图中使用的是图中使用的是LMS滤波器滤波器, 由于期望响应由于期望响应 是未知的是未知的, 故用故用 近似近似, 因此有如下自适应算法因此有如下自适应算法:)( nwi)()(nsnd)( )(nsnd)10()()()()(neinrnwnwii式中式中)12()()( )11()()( )(nygnsnynsne21 盲自适应算法盲自适应算法v Bussgang自适应均衡算法自适应均衡算法 盲均衡器自适应算法盲均衡器自适应算法 g g(.)(.)应满足的条件：应满足的条件：由式由式(10)知知,

25、 当当0)()()()()(nygnyinrEneinrE时时, ,横向滤波器权系数横向滤波器权系数 趋于收敛趋于收敛. .故均值收敛条件为故均值收敛条件为)( nwiLinnyginrEnyinrE,.,1, 0,)()()()(和对于大的)13()()()()()()(LLikiLLikiinrnwnygEinrnwnyE用用 同乘上式两边同乘上式两边, 并对变量并对变量i 求和求和, 则当则当n大时有大时有)(nwki注意到注意到, 由式由式(7)有有(当当n和和L足够大时足够大时)14()()()(LLikiinrnwkny式式(14)代入式代入式(13), 即知即知g g(.)(.)

26、应满足的条件为应满足的条件为）（和对于大的15,)()()()(LnknynygEknynyE结论结论: g(.)满足式满足式(15)的盲均衡算法称为的盲均衡算法称为Bussgang算法算法. .22 盲自适应算法盲自适应算法v Bussgang算法的特例算法的特例 决策指向算法决策指向算法无记忆非线性函数取为无记忆非线性函数取为)16()sgn()(g的的Bussgang算法称为算法称为决策指向算法决策指向算法; 其均衡器框图如图其均衡器框图如图5. Sato算法算法 g(.)取为取为)17()(sgn)(nynyg的的Bussgang算法称为算法称为Sato算法算法, 其中其中)18()(

27、)(2nsEnsE23横向滤波横向滤波器器阀值决策装置阀值决策装置接收信号 r(t)y(n)LMS自适自适应算法应算法)(nwie(n)( nx- +图图524 盲自适应算法盲自适应算法v Bussgang算法的特例算法的特例 Godard算法算法(恒模算法恒模算法)20()()(2pppnsEnsER 恒模盲均衡算法也是恒模盲均衡算法也是Bussgang算法的一个特例，它适合算法的一个特例，它适合于所有恒定包络于所有恒定包络(恒模恒模)的发射信号的均衡的发射信号的均衡. 在该算法中在该算法中, )19()()()()()()(121pppnynyRnynynynyg式中式中其中其中p是一正整

28、数是一正整数, 通常通常p=1或或p=2.25 盲自适应算法盲自适应算法v 基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡 当接收信号以波特率采样当接收信号以波特率采样(即即t=nT)时时设设 表示数字通信系统的发射字符序列表示数字通信系统的发射字符序列, 码元间隔为码元间隔为T, h(t)表表示线性时不变示线性时不变“合成合成”信道的冲激响应信道的冲激响应, 则接收信号为则接收信号为kskkkTthsty)()(时间序列的平稳性取决于取样速率。时间序列的平稳性取决于取样速率。kkTknhsnTy)()(将离散时间将离散时间nT简记为简记为n, 则上式可写为则上式可写为)21

29、()(*)()()(nhnuknhsnykk其中其中 . 由于通信信号一般为离散由于通信信号一般为离散(非非)平稳过程平稳过程, 因此接因此接收信号收信号 y(n) 也为离散也为离散(非非)平稳过程。这样的信号平稳过程。这样的信号只能利用高只能利用高阶统计量进行信道辨识与均衡阶统计量进行信道辨识与均衡.nsnu)(循环平稳性循环平稳性 一般采样信号一般采样信号(波特率采样波特率采样)26 盲自适应算法盲自适应算法v 基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡 过采样信号过采样信号 循环平稳性（续）循环平稳性（续）当接收信号以高于波特率采样当接收信号以高于波特率采样( (称

30、为过采样称为过采样) )时，时，假设接收信假设接收信号的采样间隔为号的采样间隔为 , 则有则有) 1(LLTtkkkTtnhstny)()(或记作或记作)22()(*)()()(nhnukTnhsnykkkkkTnsnu)()(其中其中故可用图故可用图6(a)和和(b)表示通信信号的过采样模型及其等效模型。且表示通信信号的过采样模型及其等效模型。且可以证明可以证明, 图图6(a)和和(b)的输出相同的输出相同, 而且是循环平稳的。但是高阶而且是循环平稳的。但是高阶统计量存在估计反差大的缺点，只适合观测数据很长的场合。统计量存在估计反差大的缺点，只适合观测数据很长的场合。27)(kTth)()(

31、)(tvkTthstykk)(tvks输入(a)(th)()()(tvkTthstykk)(tvkkkTts)(输入输出(b)图图628 盲自适应算法盲自适应算法v 基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡 过采样信道过采样信道 循环平稳性（续）循环平稳性（续）过采样信道的表示与循环平稳信号(过程)的两种等价平稳(过程)表示有关：一种是向量表示，另一种是多元时间序列表示(即单入多出信道表示)。下面考虑两种情况：1) 向量表示向量表示 y(n)=Hs(n)+v(n) (23) 29)()()(nnnvHsyTnTmtynTtyn)( , . ),()(00y) 1()() 1()(00000000TdKmthTKmthTdKthTKthHTdnTKsnTKsn) 1(,),()(00sTnTmtvnTtvn)(,),()(00v30 盲自适应算法盲自适应算法v 基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡基于循环平稳性的盲信道辨识与均衡 过采样信道过采样信道 循环平稳性（续）循环平稳性（续）2)2)多信道形式多信道形式 yl(n)=sk hl (n-k)+vl (n) (24) 其中hl(n),yl(n)和vl(n)分