二阶常微分方程解存在的问题

1、二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法拉普拉斯变换法。最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线

2、性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问

3、题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。19271945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山涛教授, 用从典范方程组

4、到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是C封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。1.2问题的研究现状在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越多学者的兴趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。常微分方程的概念、解法和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就

5、容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。由于大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。

6、微分方程的近似解法（包括数值解法）具有十分重要的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解的前提和理论基础。此外，我们将看到在定理的证明中还具体地提出了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。因此我们以它作为初值条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就产生了解对初值的连续依赖性问题

7、，即当初值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去了实用的意义，因为它可能与实际情况产生很大的误差。在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题，因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题，是十分重要的。1.3问题研究存在的不足与前景现今对于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二阶微分方程的解的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性，而且还有着广泛的应用。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比较

8、繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶变系数非齐次微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。2.常系数线性微分方程的解法2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法特征方程法若是二阶常系数齐次线性微分方程，其中均为常数（2.1）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成（为任意常数）由此可知，只要找到方程（2.1）的两个线性无关的解，就能求出（2.1）的通解。我们知道，当为常数时，函数

9、和它的各阶导数只相差一个常数。因此，可以设想（2.1）有形如的解，将代入方程（2.1）得：又，则必有（2.2）即如果是（2.1）的解，则必满足方程（2.2）.反之，若满足方程（2.2），则就是（2.1）的一个特解。我们称方程（2.2）是方程（2.1）的特征方程，它的根就称为特征根，且特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1）有两个不相等的实根:，易知和是方程（2.1）的两个线性无关的特解，则方程（2.1）的通解为：；2）有两个相等的实根:易知是方程（2.1）的一个特解，设另一特解为，将代入到（2.1）得：（2.3)又，则可得，不妨取，代入（2.3）得：，则方程（2.1）的通解为： ；3

10、） 有一对共轭复根：，易知与是方程（2.1）的两个线性无关的复值解。而，若取，由解的叠加性知，也是方程（2.1）的两个特解，又，于是，就是方程（2.1）的两个线性无关的实值解。从而方程（2.1）的通解为：。下面举个例子进行简单说明。例1：解：特征方程为特征根为（二重），故所求同解为.例2：特征方程为特征根为,故所求同解为2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程（2.4）的求解问题。这里是常数，是连续函数。我们可以由其对应的齐次线性微分方程(2.1)的通解出发，使用常数变易法求出（2.4）的特解。因而，只要能求出（2.1）的特征根，（2.4）的求解问题就已经

11、解决。但是，这样的方法往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算。事实上，只要求得方程（2.1）的通解，再求出该方程的一个特解，就可得出它的通解表达式。下面，我们讨论当是某些特殊形式的连续函数时，所适用的求解其特解的简便方法待定系数法。2.2.1类型:设是次多项式，即（）（1）当不是特征根时，（2.4）有形如的特解，其中是关于的次待定的多项式，即 （2）当是重特征根时，（2.4）有形如的特解，其中也是形如上述的次多项式。其中中的系数可以由待定系数法求得。例3：解：对应齐次方程的特征方程为特征根为，齐次方程的通解为由于0，1都不是特征根，故已知方程有形如的特解。将上式代入已知方程，得即因而，所求通解

12、为.2） 2.2.2类型：其中，分别为两个已知的关于的次和次多项式，为常数。由欧拉公式，得.故可以改写成（2.5）其中，分别是次和次多项式。可以看出，（2.5）式就相当于两个类型形状的函数相加。由非齐次方程的叠加原理，就可求出类型的特解了。 设有二阶非齐次方程（2.6）且分别是方程的解，则函数是方程（2.6）的解。根据叠加原理及类型讨论的结果，我们有1） 当不是特征根时，（2.4）有如下形式的特解即（2.7）2） 当是重特征根时，（2.4）有如下形式的特解 （2.8）即（2.9）其中为两个待定多项式，.注意：当中有一个恒为零时，方程（2.4）仍具有形如（2.8）、（2.9）的特解。即不能当时，

13、就令，而时，就令.例4：解：特征方程为，它有二重特征根。另一方面，方程的非齐次项为.由此可见，相应的与特征根是不相等的。因此，我们可设方程有特解其中常数a和b待定。把它代入原方程，得出,由此推知.所以，原方程的通解为.3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法3.1 可将阶的一些方程类型1.方程不显含未知函数和未知函数的一阶导数，即（3.1）若令,那么，则方程（3.1）即降为关于的一阶微分方程，两边积分得：，两边再次积分，就能得到方程（3.1）的通解.2. 方程不显含未知函数,即（3.2）若令，则方程（3.2）就变为，这是一个关于的一阶微分方程.例5：解：将方程化为令,则上式化为两边积分得因此再积分一

14、次的通解3. 方程不显含自变量，即（3.3）若令，那么则方程（3.3）就变为这是一个关于的一阶微分方程.例6：求解解：这是不显含的二阶方程。易见为一解。若,方程两边同除以得令,则方程可化为即有所以上式通解为从而得到将变量分离，两边积分得化简得原方程通解为为任意常数，这是特解包含于上述通解中。4.恰当导数方程型二阶微分方程也可以表示成的形式。若方程（3.4）的左端恰为某一函数对的全导数，即则称方程（3.4）为恰当导数方程。于是，方程（3.4）可写成则有，（为任意常数）这样就把原方程降为了一阶微分方程。例7：解：这是一个不显含二阶方程。将原方程写为积分一次得即两边积分得因而，原方程的通解为5.关于

15、未知函数及其各阶导数都是齐次的方程方程关于未知函数及其各阶导数都是齐次的是指满足.作变换（是新未知函数），则有,代入到（3.4）中，有因为方程关于未知函数及其各阶导数都是齐次的，约去非零公因子，得到上式经整理后可化为的形式，这就是关于新未知函数的一阶微分方程。注意:若，则可作变换。实际问题中，我们作变换后，还要考虑是不是方程的解。例8：求解方程解：这是左端关于的三次齐次方程。令则代入原方程，消去公因子,得到 (*)令 (*)则 (*)将（*），（*）代入（*），得到因此或由得即再积分可得即原方程的通解为由得,即也是解，但此解包含在上述通解中。 3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法二阶线性微分方

16、程(3.5)在近代物理学以及工程技术中有着广泛的应用，但是，当它的系数不为常数时，它的解往往不能用“有限形式”表示出来。而幂级数解法就解决了这个问题，它不但对于求解方程有意义，而且由此引出了很多新的超越函数，在理论上具有很重要的地位。定理1 如果在某点的邻域内解析，即它们可以展成的幂级数，且，则（3.5）的解在的邻域内也能展成的幂级数（3.6）定理2 如果在某点的邻域内解析，而是的重零点，是的不低于重的零点（若），是的不低于重的零点（若），则方程（3.7）至少有一个形如（3.7）的广义幂级数解，其中是某一常数。3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化对二阶变系数齐次线性微分方程（3.8）（其中

17、均为连续函数）作变换，则有，代入到（3.8）中，得（3.9）不妨令的系数等于零，即从而则代入到方程中，整理得（）当取某些特殊的函数时。我们有：1）（为常数），方程（3.9）可化为欧拉方程。2）（为常数），方程（3.9）可化为常系数线性方程。4.拉普拉斯变换我们已经知道二阶常系数线性方程（4.1）的通解结构和求解方法，但是，在实际问题中往往还要求（4.1）的满足初始条件的解。我们当然可以先求出（4.1）的通解，然后由初始条件确定其中的任意常数。此外，还有另外一种方法可以求解初值问题，即拉普拉斯（Laplace）变换法.因为它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在运算上得到很大简化

18、。拉普拉斯变换的定义设函数在区间上有定义，如果含参量的无穷积分对的某一取值范围是收敛的，则称（4.2）为函数的拉普拉斯变换，称为原函数，称为象函数，并且记为一些特殊函数的拉普拉斯变换1）2）3）4）5）6）7）拉普拉斯变换的基本性质1）线性性质：设函数，满足定理3的条件，则在它们的象函数共同的定义域上，有其中为任意常数。2）原函数的微分性质：如果均满足定理3的条件，则3） 象函数的微分性质：如果，则 4） 如果，则5 二阶微分方程的存在唯一性5.1 存在唯一性定理如果在二阶微分方程 （5.1）中，令，则，它就可化为方程组（5.2）我们称（5.2）为一阶微分方程组。从而，要讨论二阶微分方程的初值

19、问题的存在唯一性，就只需讨论一阶微分方程组的初值问题的存在唯一性。令，并定义：，则（5.2）可记成向量形式（5.3）初始条件可记为，其中则二阶微分方程（5.4） 的初值问题就可记为（5.5）此外，我们把二维向量的范数定义为. 下面，我们给出初值问题（5.5）的解的存在与唯一性定理。定理3 如果函数在三维空间的区域上满足：1）连续；2）关于满足李普希兹条件，即存在，使对于上任意两点，有，则初值问题（5.5）的解在区间上存在唯一，其中.类似于一阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理的证明，下面来简单证明一下定理3.引理：如果函数在三维空间的区域上连续，则初值问题（5.5）的解,与积分方程（5.6）在

20、区间上的连续解等价，其中，.由引理我们知道，要证明定理3，只要证明积分方程（5.6）的连续解在区间上存在唯一就行了。 存在性的证明下面用皮卡逐次逼近法来证明积分方程(6)的连续解的存在性，可分三个步骤进行。（1） 构造区间上的逐次近似的连续向量函数列.令，构造毕卡逐次逼近向量函数序列如下：向量函数 称为 （5.5）的第次近似解。 用数学归纳法可以证明： 即曲线未越出区域，保证了逐次逼近可以一直进行下去。（2） 证明函数序列在区间上一致收敛。考虑向量函数项级数（5.7）它的部分和是所以，要说明函数序列在区间上一致收敛，只需证明级数（5.7）在区间上一致收敛。 由数学归纳法，我们可以得到：而,易于

21、看出级数（5.7）每一项的绝对值都不会超过正项级数的对应项。上面的级数显然是收敛的。从而，级数（5.7）在区间上一致收敛。设其和函数为，从而函数序列在区间上一致收敛于。由于在区间上是连续的，因而也是连续的。（3） 证明是积分方程（5.6）的解。对两边取极限，得要证是积分方程（5.6）的解，只需证在区间上一致收敛，使时，有.则是积分方程（5.6）的解。 唯一性的证明设也是积分方程（6）的解，且满足则有于是由Bellman不等式得：得出矛盾。因此，(5.6)在的解唯一。综上，（5.5）的存在唯一性定理得证。结论关于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题和解

22、的存在唯一性定理等方面卓有成效。二阶微分方程的解的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性，而且还有着广泛的应用。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶变系数非齐次微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的，还有待于进一步的发展和研究。参考文献1 吴美捷，浅谈待定系数法A. 当代经理人，2006,(03).2朱思铭，王寿松，王高雄等. 常微分方程M.北京：高等教育出版社, 2006 .3 吴志坚,吴筱坚, 傅里叶变换与拉普拉斯变换J, 石油大学学报(自然科学版),1996,(10)4丁同仁,李承治,常微分方程教程M北京：高等教育出版社，2004.5朱乃明，李虹莉.常微分方程M重庆:西南师范大学出版社,2005.6 陈兆华,费仁允, 欧拉公式的证明与应用J.数学通报,2005.7都长清，焦宝聪，焦炳照.常微分方程M北京：首都师范大学出版社，2001.8黄启昌.常微分方程M北京：高等教育出版社，1982.9王克，潘家齐.常微分方程学习指导书M北京：高等教育出版社，2007.10田巍 ，李奇.二阶常系数非齐次线性微分方程特解的特征根公式