专升本高等数学知识点汇总

1、专升本高等数学知识点汇总专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：(1)一般形式的定义域：xery =。尸 +bx + c(2) 丁 =七分式形式的定义域：xwox(3) y = 6根式的形式定义域：x20(4) = logflx对数形式的定义域：x0二、函数的性质1、函数的单调性当再 二时，恒有/(再) f(x2 ) , f(x)在xp x2所在的区间上是增加的o 当x f(x2) , f(x)在处占所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性定义：设函数)，= /(x)的定义区间。关于坐标原点对称(即若 则有-xeq)(1)偶函数/*)vxgd,恒有“t) = /(x)

2、。(2)奇函数/0)vxed,恒有t) = _/(x)。三、基本初等函数1、常数函数：)，=c,定义域是(-+，图形是一条平行于x轴的 直线。2、幕函数：)，= /,(是常数)。它的定义域随着的不同而不 同。图形过原点。3、指数函数定义：y =/(x)= ，(。是常数且a0, awl).图形过(0,1)点。4、对数函数定义：y = f(x) = log,x，(。是常数且00,。工1)。图形过(1,0) 点。5、三角函数(1)正弦函数:y = sinx7 = 2乃，)(/) = (,+s),/() = -1,1 o(2)余弦函数：y = cosx.t = 2乃,d(/) = (oo,4-oo),

3、/() = 1,1 o(3)正切函数：y = tanx.t =亢，d(f) = xxer.x(2k + ).k ez ,/() = (一s,+8).2(4)余切函数：y = cotx.t =冗，=ez ,/() = (s,+s).5、反三角函数(1)反正弦函数：y = arcsinx, (/)= -1,1, /()= _?,为。(2)反余弦函数：y = arccosr,=/(0 = 0 。(3)反正切函数: y = arctanv , )(/) = (-s,+s) , /(d) = (-y,y) o(4)反余切 函数：y = arccoir, )(/) = (-s,+s), /() = (0,

4、1)。极限 一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了 “初等函数在某点的极限，等于该点的 函数值j因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行 极限的求解。2、传统求极限的方法(1)利用极限的四则运算法则求极限。(2)利用等价无穷小量代换求极限。(3)利用两个重要极限求极限。(4)利用罗比达法则就极限。二、函数极限的四则运算法则设 lim = a , lim v = b ,贝(1 ) lim( v) = liin u iniv = a bx2nt /x%(2 ) lim(m v) = lim u - lim v = ab.xt/xfi .t-2推论(a) lim(c-v) = c-lim

5、 v ,(c 为常数)。a-2.v(b ) lim li = (lim u)nx-/ix-mlim u a(3)= j, (5wo).t v lim v bx3 / 18专升本高等数学知识点汇总(4)设尸3为多项式pa)= %x”+a产+勺,则lim p(x) = p(i)(5)设p(x),q(x)均为多项式，且q(x)h。，则布 烈=皿1。2*) 。(%)三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：丝i工-0时，sinxx, tanxx, arctanxx, arcsinx x, ln(l + x)x，1-cosx o对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当一() 时，sin,其余类似

6、。四、两个重要极限重要极限ilim处=1。它可以用下面更直观的结构式表示：= l -0 重要极限 iilimfl + iy=eo其结构可以表示为：项，1 + =e八、洛必达(l hospital)法则“q”型和“艺”型不定式，存在有iim3 = lim/m = a (或8)。 06i。g(x) g (x)4 / 18专升本高等数学知识点汇总元函数微分学 一、导数的定义设函数)，= /a)在点x。的某一邻域内有定义，当自变量x在x。处取 得增量(点x0+&仍在该邻域内)时，相应地函数)，取得增量 y = xo+ax)-/(xo)。如果当ax-0时,函数的增量q及自变量ax 的增量之比的极限lim

7、包二lim /(.+a)-x。)=:()注意两个符号机和凡在题目中 av-0ar-0可能换成其他的符号表示。二、求导公式1、基本初等函数的导数公式(1)(cy=o(。为常数)(2) (/)，=以1 (a为任意常数)(3 ) (/) =* in a (a 0,a 1)特殊情况()=屋(4 ) (log. x)，= logfl e = -! (x 0,a 0, a w 1), (in x)= xxhi ax(5 ) (sinx) =cosx(6 ) (cosx)= -sinx(7 ) (tanx)= cos- x(8 ) (cotx) =sin- x(9) (arcsinx) = . (-1(x(

8、1)vl-x2(10 ) (arccosx)=,(-1(x(1) vi-%2(11) (arctanx)=二1 +厂(12) (arccotx) = -1 +厂2、导数的四则运算公式(1 ) u(x) v(x)r = ux) vf(x)(2 ) m(x)v(x) = wz(x)v(x) + (x)u(x)(3)kq = w (%为常数) f。心)_()y(x)一心)/(x)lv(a)j v2(x)3、复合函数求导公式:设y = /()， = 9(工)，且仆)及(x)都可导, 则复合函数尸小的导数为半=孚.半=/ (皿oax an ax三、导数的应用1、函数的单调性/ 0则/（x）在（“力内严格

9、单调增加。/ （x） v 0则/（x）在（4/）内严格单调减少。2、函数的极值r（x）=。的点函数/（幻的驻点。设为与（1）若x0 ； xx0 时，/ （x）0 ,贝lj/（x（）为/（x）的 极大值点。（2）若xv 与时，/1（x）x（）时，/（x）o,则/（见）为/（x）的极小值点。(3)如果r(x)在与的两侧的符号相同，那么“x。)不是极值点。3、曲线的凹凸性f (x) 0 ,则曲线y = /(x)在(4,b)内是凹的。/ (x) 0,” w 1) j in a(5) jexdx = ex+c(6 ) |sin xdx = -cosx + c(7 ) jcosxdx = sin x +

10、c(8 ) f dx = tan x + c .j cos- x(9 ) f -dx = -cotx + c.j sin2x(10 ) f ,dx = arcs in x + c.(11) f :4工=arctanx + c.j 1 + x23、第一类换元积分法对不定微分jg(xwx，将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dx = fp(x) 0) 和直线x = 及4轴所围平面图形绕工轴旋转一周所形成的旋转体，如图所 示。则该旋转体的体积v可由下式求出： 匕=f k 2(x)x =乃 j f2 (x)dx多元函数微分学i、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：dz = df

11、(x, y) = aax + bny。3、复合函数的偏导数一一利用函数结构图如果 =*(x,y)、v = w(x,y)在点(x,y)处存在连续的偏导数四， ox黑，史，且在对应于(内,)的点()处，函数)存在连oy dx oy续的偏导数负，当,则复合函数i/时,)，)改(y)在点(2)处存 ou ov在对工及y的连续偏导数，且dzdz du& dv& dudz dv=+， =+odxdu dxdv dxdydu dydv dy对于方程rx,y) = o所确定的隐函数)，= /(x),可以由下列公式求出 y对x的导数y.:v _ e*，y)? 一 _fy(x, y)2、隐函数的偏导数对于由方程方

12、(x,y,z) = 0所确定的隐函数z = f(x,y),可用卜列公式 求偏导数：包=_ f；(x,y,z)& =尸、(内& f. (x,y,z)/(x,y,z)5、二元函数的极值设函数z = /(xq，。)在点(凡,儿)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导 数，且(与，儿)=。，/；(%，光)=。又 设 1(%，%)=从，；(/，凡)=8，则：(1)当lacvo时，函数/(x,y)在点(%,%)处取得极值，且当a0时有极小值。(2)当笈- ac0时,函数/(“)在点(入,凡)处无极值。(3)当炉-ac = o时，函数/(x,y)在点(%,凡)处是否有极值不能确 定，要用其它方法另作讨论。平面及直线

13、1、平面方程11 / 18专升本高等数学知识点汇总（1）平面的点法式方程:在空间直角坐标系中,过点“0（工0，加之），以 =4仇。为法向量的平面方程为a（x-/） +例丁-凡）+ c（z - z。） = 0称之为平面的点法式方程（2）平面的一般式方程ax+by+cz + d = o称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程ax+ by + cz = 0表示过原点的平面方程ax+by+q = 0表示平行于q轴的平面方程ax+by = 0表示过oz轴的平面方程q + o = 0表示平行于坐标平面xoy的平面方程3、两个平面间的关系设有平面4:ax + 3），+ gz + 2 =0乃2 :+ b2y

14、+ c2z + d2 =0平面町和/互相垂直的充分必要条件是：+ bib2 + c,c2 = 0平面町和,平行的充分必要条件是：&=与=2工幺a2 b2 c2 d2平面再和小重合的充分必要条件是：a） b, c. d） 4、直线的方程（1）直线的标准式方程过点m）（xo，yo，zo）且平行于向量s = 肛小p 的直线方程= = 口 = =称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、 m n p对称式方程）。13 / 18专升本高等数学知识点汇总将初等函数展开成塞级数1、定理：设/(x)在u(x0)内具有任意阶导数，且lim h(x) = o，rn(x) = 0广川(xf严则在u(x0)内称上式为/

15、*)在点xo的泰勒级数。或称上式为将/(x)展开为“x。的事级数。2、几个常用的标准展开式一81 x8r2n+, sinx = (-)，2 + 1)!xr2ncosx = (一1)”(2)!ln(l + x) = (-l)n n-0常微分方程1、一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程若一阶微分方程rx, y, v) = 0通过变形后可写成g (，)力=f(x)dx或 y = fwg(y)则称方程尸(x, y, v) = 0为可分离变量的微分方程.2、可分离变量微分方程的解方程gcv)dy = /(x)dx必存在隐式通解g(y) = nx) + c。其中：g( 丁) = j g (y)力，f(x

16、) = j fxdx.即两边取积分。(2) 一阶线性微分方程1、定义：方程y+p(x)y = q(x)称为一阶线性微分方程.(1)非齐次方程。)0；(2)齐次方程y + p(x)y = o.2、求解一阶线性微分方程(1)先求齐次方程了 +尸尸。的通解：)，= cew,其中。为任 意常数。(2)将齐次通解的c换成心)。即)，=心)中(3)代入非齐次方程v + p(x)y = q(x),得-pixydx f p(x)dxy = e i q(x)ej ax + c2、二阶线性常系数微分方程(1)可降阶的二阶微分方程1、)， = /)型的微分方程例3:求方程y = g e -sin %的通解.分析：y

17、 = j yndx = ：e + cosx + c);16 / 18专升本高等数学知识点汇总y = |ydx = g + ski a +cx + c2 .2、 y = /(x)型的微分方程解法：(1)令 = y，方程化为” = /*,)；(2)解此方程得通解 = (x，g)；(3)再解方程y = .g)得原方程的通解y = j例xgmx + c?.3、y = /(y)型的微分方程解法：(1)令=一 并视为y的函数，那么,， = ? =?孚=p半, dx dy dx ay(2)代入原方程，得”=)，,) dy(3)解此方程得通解p = e(y，g)；(4)再解方程)、奴乂g)得原方程的通解= x

18、 + g.j e(y，g)例4:求方程”-尸=0的通解.分析：(1)令 =了，并视为)，的函数，那么)严=虫=虫曲虫，dx dy dx dy代入原方程，得即先.哼 解上方程,得 lnlpl=lnlyl + lnc=p = g)1(c1=c).17 / 18专升本高等数学知识点汇总(4)再解方程=l = g =ln lyl=crv + c；. y(5)于是原方程的通解为尸g,(g=q)(2)常系数线性微分方程(1)、二阶常系数齐次线性方程+)，+分，=o的解。写出特征方程并求解r2 + pr + q = 0 .下面记 = /-4g,小马为特征方程的两个根.(1)a = pj4q0时,则齐次方程通解为:y = c”+c产。(2) = p2-4g = 0时，则齐次方程通解为y = g + c2xerx = e(g + gx).(3) a = p2-4q v。时,有 r=a