直线与平面垂直的定义及判定

1、直线与平面垂直的定义及判定樊加虎一、教案例描述教学目 1.从熟知的生活中的事物中提 、概括出直 与平面垂直的定 和判定定理， 而 合 形用抽象化的数学 言 、表述出 些内容；2.培养学生的抽象概括、思 的理性精神和迅速 事物本 的直 能力；3.通 数学知 的形成与 用使学生 到真理来源于 践，并 用于 践的 一哲学理念；4.培养学生的数学 念，能自 地运用“数学地”思 方式 察世界、分析事物、解决 ，并在此 程中提高学 数学的 趣.教学目 是教 期的，在教学 程中自然 的内容 . 掩盖教育意 是 教育意 最好的途径，也是科学加 的教育技 的体 ，所以笔者一向不采用在 行新 前将 些内容展示 学

2、生的做法，而是在教学 程中于不知不 些目 .教学 程1.引言我 生活在三 空 中， 直 和平面是非常熟悉的，就拿学校旗 中的旗杆来 ，它与地面的关系 我 的印象是“互相垂直”的， 大家再列 一些生活中“直 与平面垂直”的具体事例，.不 我 在要用数学的眼光来 察、分析、研究 些事物，将旗杆（是 多事物的代表）看成直 l ，将地面（也是 多事物的代表）看成平面，今天就来研究直 l 与平面垂直的有关知 .l2. 行新 如 1，直 l 代表旗杆，平面代表地面，那么你图 1认为 l 与内的直 有什么关系？学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系. 在引言部分指出将“旗杆看成直线l ，

3、将地面看成平面”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线 l 看成旗杆，将平面看成地面，意图是运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换. 在教学中，教者试图用三角板来度量从而判断l 与 内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：“是的，立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是看不出来的，也是度量不出来的，而是用心想出来的 . ”这既复习了直线与直线互相垂直（特别是异面垂直）的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了条件 .反过来，如果 l （旗杆）与 （地面）内的直线都垂直，那么 l 与 是什么关系？要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的

4、定义，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖，相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言，这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆 .麻烦大了，要判断直线l 与平面垂直，必须确定直线l 与平面内的所有（或任意一条）直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式，现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.下面我们来模拟植树的活动，请一位学生上来演示，其他学生在课桌上同时演示，观察判断如何确定“树”是否与地面垂直，既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直方法的形成过程.提出下面的系列问题：（1）直线与平面内的一条直线垂直，

5、能判定这条直线与这个平面垂直吗？（2）直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（3 ）直线与平面内的一万条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（4 ）直 与平面内的无数条直 垂直，能判定 条直 与 个平面垂直 ？（5）要想 直 与平面垂直， 条直 至少要与平面内的几条直 垂直？（6）要想 直 与平面垂直， 条直 要与平面内的两条什么 的直 垂直？在上述研究的基 上提出猜想：如果直 与一个平面内的两条相交直 垂直，那么 条直 垂直于 个平面 .通 演示和 上述系列 的研 ，学生会慢慢 悟判定直 与平面垂直的本 ：如果直 垂直于平面内无数条直 ，也不能判定 条直 与 个平

6、面垂直 . 因 无数条直 有可能是互相平行的， 无数条直 只代表着一个方向，它只“相当于一条直 ” . 但是如果与平面内两条相交直 垂直，情况就完全不同了， 然只有两条，而它 是相交的，它 代表着不同的两个方向，人 在植 判定 是否与地面垂直运用的就 个原理 .猜想不能代替 明，我 要用 密的 推理来 明 个 .通 化 ：若直 l 与平面 内的两条直 垂直， 明直 l 与平面 内的lml任意直 垂直， 而 化 (如 2) ：由lnmmangnlg图 2 理的意 是：抓住本 ，排除干 ，使下面的目 能集中 于 明 l g . 具体 程略 . 在教学 必 指出， 里 用的是构造全等三角形法和最 的

7、平面几何知 ，消除学生的神秘感.3.小 ：（1）直 与平面垂直的定 ；（2）直 与平面垂直的判定定理（ 成 的口 ：“ 不在多，相交就若 lm ， ln,相交直线m、n 确定平面，则l.又 g行”，传神地点出问题的实质）；（3）将和（ 1）与（ 2）综合起来，得右面的重要数学模式：所谓数学模式，就是揭示事物本质的，具有相对固定格式的数学形式 . 模式由于它形式的简洁性，内容的深刻性，所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用 . 上述模式在以后的教学中，还要多次重复、强化，并与有关知识融合组装成有机的知识系统 . 该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器” . 用方框围

8、起来意在突出它的重要地位，再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然，以便运用时更加灵活自如、游刃有余 .4.a 组练习（1）将一本书掀开一点，直立在桌上（图略），那么书脊与桌面是什么关系？为什么？（2）屋面是由两个矩形组成的（图略），那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系？为什么？（3）设 abc ，若直线 l ab，l bc，求证： lca.（4）做一个三角架，使三条腿中的任意两条腿都互相垂直（如图3），那么 pa 与 bc、 pb 与 ca 、 pc 与 ab 分别是什么关系？为什么？p以上系列练习由浅入深，从具体到抽象，环环相扣，ab层层递进，组成了一个使学生能力

9、稳步增长的训练链条 .hde在教学中，运用多样化的手段增强训练的效果. 如先口c述，继而写出规范的论证过程，再用黑板擦将图形擦得图3模糊一些，要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程 . 若学生的基础较好，还可以将图形和字母全部擦去，借助于想象，运用动作和语言表述出论证过程 . 还可以运用“双簧”的表演形式，一个学生做动作，另一个学生口述. 总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来，并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程，使立体几何的学习从这里走上阳光大道. 虽然从本质看，这些都是重复性练习，但由于运用了多样化的形式，学生仍然乐于投入这样的教学活 ，且能取得极佳的教学效果.4.b 组练习（5）

10、在（ 4）的条件下，作 ph 平面 abc 于 h， h 是 abc 的什么心？ 什么？（6）如 3，若 pa bc ，pb ca ， pc 与 ab 是什么关系？ 什么？（7）如 3，若 pa bc ，pb ca ，作 ph 平面于 h， h 是 abc 的什么心？ 什么？a 是以b ，同 又是b 的拓展延伸 . 在（ 5）中，将上述模式重复运用了两次， 中 出了平面abc 的垂 ph，正好 （ 6）的 明以一定的暗示量 . 但在解决（ 6） ， 先将 ph 擦去， 学生感到有一定的困 . 教者 ：“估 到 是 pcab， 是如何 明 . 关 是如何建立几条 段之 的 系，” 思考后，在上

11、的启示下，学生定会感悟到作 ph面 abc于 h，那么 便迎刃而解 . 教者 ：“我 在学 平面几何 ，感到最 困 的是作 助 ，似乎 助 是从天而降，非常神秘， 以捉摸 . 怎么 ， 在在立体几何中，我 不是 利地作出了一条关 性 助 ，从而使解 取得重大突破了 ！将已知与欲 分析透 了， 助 就能自己 出来，一点也不神秘，我 完全可以熟 它 . 助 ph 好似一座 ，架 路是解数学 的永恒的法 . 除了 助 外，我 以前曾引 ，今后 将引 多 助角色，如 助 、 助体、 助球、 助角、 助元、 助函数、 助数列、 助不等式等等 些 助角色都将成 我 的好朋友和合作伙伴 . ” 今后的教学

12、下了良好的伏笔 . 做了 番工作后，解决（ 7）已是水到渠成之事 . 学生通 极的活 取得了丰 的成果， 堂气氛越来越 烈，学生的情 越来越高 ，最 达到高潮，在 得成功感、 足感、喜悦感中下 ，并 未来的学 充 了信心， 切地盼望着再上下一 .二、教案分析高中数学 程 准（ ） 1 在立体几何部分有独特的要求：“通 直 感知、操作确 、思 ， 和理解空 中 面平行、垂直的有关性 与判定 . ” 是确定 部分教学理念、内容、方法和程序的重要指 原则 . 直 与平面垂直是人 在生活中司空 的事 ，充分利用学生在生活中已有的经验和感悟，经过提炼、概括形成抽象化的数学语言，并准确运用这些语言进行逻辑

13、推理或计算，以解决数学和现实中的问题，是这节课的主线 . 这部分内容中，既有严密的、理性化的思辩论证，又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想，所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点，是培养学生数学素养，发展学生数学综合能力的大好时机 . 学生开始学习立体几何往往有各种障碍，尤其是空间想象能力，画图、识图、辩图能力，三种数学语言（自然语言、图形语言、符号语言）的运用转化能力的不理想，严重地阻碍着前进的脚步 . 而学习直线与平面垂直应该是扫除这些障碍，从根本上提高这些能力的转折点 . 从这个意义上说，科学地设计并合理地实施这节课的教学程序，是学生从此走向立体几何学习的阳光大道的关键 .依据上述原

14、则与精神，笔者设计和实施了如上的教学方案，并在有关之处作必要的剖析或说明 .此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课，如何“出新”又“出彩”，确实是不容易的 . 笔者在四十多年的教学实践中，孜孜以求的就是用科学加艺术的教学方式努力提高课堂教学的效率 . 这一节课也上过几十遍，特别是在学习、执行高中数学课程标准（试验）的过程中，更是投入更多的精力和智慧来思考，从而在新教学理念的指导下，逐步形成了自己的一些想法和做法. 下面就这一节课再提出一些个人的见解，供方家参考，并请教正. （1）理性与悟性数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神，但这种理性精神应该与悟性思维方式融合，才能全方位地提高学生的数学素养

15、. 文1 中，除了上面所引外，还在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语，可见新教学理念决不排斥悟性 . 这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”，笔者在文 2 中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”，这在立体几何中体现得更加充分 . 直线与平面垂直的定义及判定，如果没有数学悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”（德国著名数学家克莱因语） . 解立几问题时，最终依靠的当然是思辩论证，但在探索、突破的过程中，却处处离不开悟性思考 . 因此，在本教案的设计和实施过程中，将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上 .（2）模式与创新提到“模式”，很可

16、能使人联想到“思维定势”，认为它是创造思维的障碍 . 这种认识是不全面的 . 文1 说：“形式化是数学的基本特征之一 . 在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求” . 当然“全盘形式化是不可能的”，也是不可取的 . 数学模式就是揭示数学对象的本质特征及其普遍规律的，具有相对固定样式的形式 . 它具有两重性，对创造思维确会产生一些束缚作用，但它又是创造思维的原型 . 每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现的，这就叫“原型启发”（巴甫洛夫的经典理论） . 问题的关键是处理好模式与创新两者间的辨证关系 . 上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”，从本质上掌握它，再处理好立几图形的变形

17、和变位问题，就可以出神入化地解决要求较高的问题 .（3）课堂容量课堂容量大好还是小好？其实这是不言而喻的，在学生基础较好、教案设计科学合理、教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智得到充分开掘、现代化教学技术的加盟等条件下，课堂容量就是越大越好 . 上述教学内容，在过去是用两个课时完成的，但现在只用一个课时，从知识的发生、发展到应用，一切都显得十分自然、流畅与和谐，学生感到学得轻松、学得愉快、学得实在 .（4）主体与主导笔者在这里提出一个“启发量”的概念. 用字母“”表示启发量，则有“ 0 ，1 ”，“=1”表示完全靠教师讲解，“=0”表示完全让学生活动，教师必须寻求的最佳值使教学取得最佳效果.但的值并不是越小越好，要根据教材的具体情况合理确定的值 . 如果片面强调学生的主体地位，完全忽视教师的主导作用，还要你教师干什么？像本节课中（图2），运用构造全等三角形的方法由“ l m ， l n”证明“ l g ”，的值就要适当地大一些，完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.（5）例题练习例题的讲解