一线三角模型及例题.docx

1、相似三角形判定的复习：1. 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。2. 相似三角形的判定定理：(1) 两角对应相等两三角形相似。(2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。(3) 三边对应成比例，两个三角形相似。3. 直角三角形相似的判定定理：(1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2) 一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。相似三角形的性质 ：要点 1：相似三角形的性质 ：相似三角形的对应角相等，对应边成比例要点 2：相似三角形的性质定

2、理：相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点 3：知识架构图对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比相似三角形的性质周长之比等于相似比面积之比等于相似比的平方1、如图，锐角 ? ABC的高 CD和 BE相交于点O，图中相似三角形有多少对？请分别写出.ADEOBC2、如图，在锐角? ABC中， ADE= ACB，图中相似三角形有多少对？请分别写出.ADEOBC3、如图已知 BAC= BDC=90

3、， S EBC16, S ADE8 . 问： BEC的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由.ADEBC4、如图，在 ABC 中， BAC90o ， AD 是 BC 边上的高，点E 在线段 DC 上， EFAB， EGAC ，垂足分别为 F，G 求证：（1） EGCG ；ADCD（ 2） FD DGAGFBDEC5、如图，四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 E， AC AB ,BDCD. S?EBC =16，S?AED =8.(1) 求 AD 的值；BC（ 2）问： BEC 是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由.ADEBC5、如图，在 ABC 中，角ACB

4、为直角， CDAB于点D，又 ACE与 BCF 都是等边三角形，连结DE、 DF；求证 :DEDFFECBAD中考热点：一线三等角型的相似三角形一、问题引入如图，ABC中，B90 ，CDAC，过 D 作 DEAB交 BC 延长线与 E。求证：ABC :CEDADBCE三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角）（等腰梯形中底边上一线三等角）AEDFBC（直角坐标系中一线三等角）（矩形中一线三等角）等角的顶点在底边上的位置不

5、同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。（1）等腰三角形中一线三等角例 1、如图，已知在 ABC 中， AB =AC=6， BC=5 ， D 是 AB上一点， BD =2， E 是 BC 上一动点，联结DE，并作DEFB ，射线 EF 交线段 AC 于 F（ 1）求证： DBE ECF ；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段BE 的长；（ 3）联结 DF ，如果 DEF 与 DBE 相似，求 FC 的长AADFDBECBC讲解： 1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边

6、上有三等角，必有三角形相似；2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1 就是这类题型；3、第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。变式练习1 （浦东新区22 题）如图，已知等边ABC的边长为 8，点 D、F 、 E分别在边 AB、BC、 AC上， BD3，E为 AC中点，当 BPD 与 PCE 相似时，求BP 的值 .变式练习2（宝山 22 题）如图 6，已知ABC中， ABAC,点 E、 F 在边

7、BC上，满足 EAF =C. 求证： BF CEAB2；ABCEF变式练习3如图，在三角形ABC 中， AB=4 ，AC=2 ， A =900，点 D 为腰 AC 中点，点 E 在底边 BC 上，且 DEBD ，求CED 的面积。变式练习4已知 ABC=90 ， AD BC ， P 为线段 BD 上的动点，点Q 在射线 AB 上，且满足PQAD ，当 AD p AB ，PCAB且点 Q 在线段 AB 的延长线上时，求QPC 的大小（2）等腰梯形中一线三等角例 1、（长宁区 18 题）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC， AD2， BC4 2，B45?，直角三角板含 45 度角的顶点 E 在边

8、BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与 CD 交于点 F . 若 ABE 为等腰三角形，则 CF 的长等于.ADFBEC第18题例 2、如图，梯形ABCD 中， AB DC， B=90 ， E 为 BC 上一点，且 ABE ECD。（ 1）若 BC=8， AB=3 ，DC =4，求 BE 的长（2）若 BC= 43 ， AB=3 ，DC =4，求 BE 的长 .（ 3）若 BC=6， AB=3 ，DC =4，求 BE 的长 .例 3、如图，梯形ABCD 中， AB CD， ABC=900 ， AB=8 ，CD=6 ，在 AB 上取动点 P，连结 DP，作 PQ DP，使得 PQ 交射线

9、BC 与点 E，设 AP=x ， BE=y 。（ 1）当 BC=4 时，试求 y 关于 x 的函数关系式；（ 2）当 BC 在什么范围时，存在点 P，使得 PQ 经过点 C（直接写出结果） 。例 4、（徐汇区25）如图，在梯形中点，以 M 为顶点作EMFABCD 中， AD BC ，B ，射线 ME 交腰 AB 于点ABCDE ，射线BCMF 交腰6 ， CDAD 于点3点 M 为边F，联结EFBC的（ 1）求证：MEFBEM；（ 2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF 的长；（ 3）若EFCD ，求BE 的长例 4、（杨浦区基础考） 四边形 ABCD 中， AD BC ， ABC0o9

10、0o ， AB DC3，BC5 点P 为射线 BC 上动点（不与点 B 、C 重合），点 E 在直线 DC 上，且APE记 PAB1， EPC2 ，BP x， CE y （ 1）当点 P 在线段 BC 上时，写出并证明1 与 2 的数量关系；（ 2）随着点 P 的运动，（ 1）中得到的关于 1 与 2 的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（ 1）的数量关系，并指出相应的 x 的取值范围；（ 3）若 cos= 1 ，试用 x 的代数式表示y 3（3）坐标系中一线三等角例 1、（金山区 24）如图，住平面直角系中，直线AB ： y4 x 4a 0 分别交 x 轴、

11、 y 轴于 B 、 A 两点，直a线 AE 分别交 x 轴、 y 轴于 E 、 A 两点， D 是 x 轴上的一点， OAOD，过 D作CDx 轴交 AE 于 C ，连接B C ，当动点 B 在线段 OD 上运动（不与点 O 点 D 重合）且 ABBC 时(1)求证： ABO BCD ；(2) 求线段 CD 的长（用 a 的代数式表示） ；(3)若直线 AE 的方程是 y13 x b ，求 tan BAC 的值16例、如图，在直角坐标系中，直线y1 x 2 与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作2矩形，使AD5，求点的坐标变式练习1在平面直角坐标系XOY中，AOB 的位置如图所示，已知A

12、OB900 ,A60 0 , 点 A 的坐标为3,1（ 1） 求点 B 的坐标；（ 2） 若抛物线 y ax 2 bx c 经过 A、 O、 B 三点，求函数解析式。变式练习 2如图所示： RT AOB 中 AO B=90， OA=4 ，OB=2 ，点 B 在反比例函数 y2A 的双曲线解析图像上，求过点x式。变式练习 3如图，在平面直角坐标系中，OB OA ，且 OB 2OA ，点 A 的坐标是 (1， 2)求过点A、 O、 B 的抛物线的表达式；（4）矩形中一线三等角如图， 四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上， 点在轴上， 将边折叠，使点落在边的点D 处已知折叠线CE且C

13、E5 5 ， tan EDA3,求直线与轴交点的坐标；4例 6、（长宁区24 题）如图，在矩形ABCD 中，AB4 ，AD6 ，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E （ 1）判断EAP 与PDC 一定相似吗？请证明你的结论；（ 2）设PDx ，AEy ，求y 与 x的函数关系式，并写出它的定义域；（ 3）是否存在这样的点P ，是EAP 周长等于PDC 周长的2 倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由PADEBC“一线三等角”专题练习一、知识梳理：1、如图1， AB AC， B ADE，

14、 那么一定存在的相似三角形有；2、如图2， AB AC， B EDF ， 那么一定存在的相似三角形有；AFAEEBCBDCD图 1图 23、在等腰 ABC 中，腰长 10 厘米， 底边长 16 厘米，点 P 在底边上以0. 5 厘米 /秒的速度从点B 向点 C移动当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时，点P 的运动时间为秒二、经典例题解析1、如图，在ABC 中， AB AC=4，BC 6，、B ADE ，点 DE 分别在 BCAC上（点D 与BC 不重合），设BD x ，y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围。AEAEBDC2、如图：在直角梯形 ABCD中， AD BC， B = 90 ，

15、 DH BC于 H， AB = 6 ， BC = 16 ， DC = 10 ，线段 BC上有一动点 E（不与点 C重合），过点 E 作 EF DC交线段 DC于点 F.（ 1）求CH的长；（ 2）设BE = x， EF = y，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围；（ 3）当以E、 F、 C 为顶点的三角形与ABE相似时，求BE的长 .ADFBEHC3、如图，在RtABC 中， ACB=90o，AB=10 ， AC=6，点 E、F 分别是边AC、BC 上的动点，过点E 作 EDAB 于点 D，过点 F 作 FG AB 于点 G， DG 的长始终为2（ 1）当 AD =3 时，求 DE 的

16、长；（ 2）当点 E、F 在边 AC、BC 上移动时，设ADx ， FGy ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（ 3）在点 E、F 移动过程中， AED 与 CEF 能否相似，若能，求 AD 的长；若不能，请说明理由CEFADGB4、已知在梯形ABCD 中， AD BC， AD BC，且 BC =6 ， AB=DC =4，点 E 是 AB 的中点（ 1）如图 3， P 为 BC 上的一点，且BP=2求证： BEP CPD ；（ 2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、 C 不重合），且满足 EPF =C， PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点

17、M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时， 设 BP= x ，DF = y ，求 y 关于 x 的函数解析式， 并写出函数的定义域；当 S DMF9 S4BEP 时，求 BP 的长ADEBPC5、（ 2009 闸北 22 题）（本题满分10 分，第（ 1）小题满分 3 分，第（ 2）小题满分7 分）如图七，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形， CBOA，OA=7，AB=4， COA=60，点P 为 x 轴上的个动点，但是点P不与点 0、点 A 重合连结CP， D 点是线段 AB上一点，连结PD.(1) 求点 B 的坐标；(2) 当 CPD=OAB，且 BD = 5 ，求这时点 P

18、的坐标 .AB86、如图，已知在ABC 中， AB=AC=8 ， cosB= 5 ，D 是边 BC 的中点，点E、F 分在边 AB 、 AC 上，且 EDF=8 B，连接 EF（ 1）如果 BE=4 ，求 CF 的长；（ 2）如果 EF BC ，求 EF 的长7、（徐汇2009 年 25题）如图，ABC 中， AB AC 10 ， BC12 ，点 D 在边 BC 上，且 BD4，以点 D为顶点作EDFB ，分别交边AB 于点 E ，交射线 CA于点 F （ 1）当 AE 6 时，求 AF 的长；（ 2）当以点 C 为圆心 CF 长为半径的 C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的A 相切时，求

19、 BE 的长；（ 3）当以边 AC 为直径的 O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长AAEFBDCBCD知识总结：补 充：关于“一线三等角”图形的提炼及变式：当为锐角时：AADDEEEBCBCBCPPP当为直角时：当为钝角时：DEEFBPCBPC总结：在教学中要突出重点、深化学生对于“一线三等角 ”模型的理解；把握难点：“一线三等角 ”模型变式；通过问题建构，关注课堂再生资源的挖掘，引导学生对于几何综合习题的有效分解具体的1在教学中通过 “回忆旧知 ”环节的师生互动过程让 95% 学生掌握解函数型综合题需要的必备知识储备2在教学中通过一个 “一线三等角 ”模型综合题的有效分析引导过程，让95

20、% 的学生树立几何型综合题的解决的信心，让75% 的学生能够顺利解决前两小题，培养更多的学生具备解决最后压轴点一小题的能力3 在教学中通过有效分解策略的实施，打破他们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试着加强解后反思与培养他们欣赏试题的能力【课后作业】1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，P 是射线CD上一动点.将一把三角尺的直角顶点与P 重合，一条直角边始终经过点B ，另一条直角边所在直线与射线AD相交于点E. 设CP=x ， DE=y.（ 1）当点P 在线段CD上时

21、，求证：BPC PED；（ 2）当点P 在线段CD的延长线上时，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（ 3）当DE=1时，求CP的长.AEDPBC2、如图，在矩形ABCD 中， E 为 AD 的中点， EFEC 交 AB于点 F ，联结 FC ( ABAE) （ 1） AEF 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（ 2）设 ABk ，是否存在这样的k 值，使得 AEF BFC ？若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不BC存在，请说明理由DCEAFB（第 12题）3、等腰 ABC ， AB=AC= ， BAC=120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含3

22、0角的透明三角板，使30角的顶点落在点 P，三角板绕P 点旋转（ 1）如图 a，当三角板的两边分别交AB 、 AC 于点 E、F 时求证：BPE CFP；（ 2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点 E、 F探究： BPE 与 CFP 还相似吗？（只需写出结论）探究：连结EF， BPE 与 PFE 是否相似？请说明理由；设 EF=m ， EPF 的面积为S，试用 m 的代数式表示SAA EEFFBCBCPP4、如图，在边长为1 的正方形ABCD 中，点 E 在边 BC 上 (与端点不重合)，点 F 在射线 DC 上（ 1）若 AF=AE ，并

23、设 CE =x， AEF 的面积为y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（ 2）当 CE 的长度为何值时，AEF 和 ECF 相似 ?1（ 3）若 CE，延长 FE 与直线 AB 交于点 G，当 CF 的长度为何值时，EAG 是等腰三角形？4DFCDCEBB5、如图，在 ABC 中， AC=BC =2， C=900，点 D 为腰 BC 中点，点 E 在底边 AB 上，且 DE AD, 则 BE 的长为.CDAEB6、如图， ?ABC中， ACB=90， A=60，AC=2， CDAB，垂足为D.任意作 EDF=60， 点 E、F 分别在AC、 BC上 . 设 AE=x， BF=y.（