制动器试验台的控制方法-蒲敏

1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 四 川 文 理 学 院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 杨 彪 2. 张 明 3. 蒲 敏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张 斌 儒 日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法摘要行车制动器是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身

3、和车辆的安全。本文研究了行车制动器模拟试验台的控制方法。对于物理学问题一，采用量纲分析法建立等效惯量模型I（5.1.18），解出问题一的等效惯量。在问题二中，参照物理学惯量公式，计算出3种飞轮的转动惯量，建立了基于集合原理的组合计数模型II（5.2.4），得到飞轮可组成8种不同数值的机械惯量（如表1所示），再根据问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿的惯量。问题三是在假设条件的前提下，以时间为变量，建立电流为可观测量始末速度与时间的差分方程模型III（5.3.8），得到驱动电流。在问题四中，利用给出的某种试验数据，建立以损失能量的评判标准的评价模型IV（5.4.3），得到评价结果，说明

4、该模拟试验可行。问题五是模型三的改进，由于模型三中假设电流恒定不变与实际模拟不符，模型V避免该缺陷，把电流离散化处理，建立差分方程模型V（5.5.6），并对其进行评价。在问题六中，问题五中所建立的模型的不足之处笔者进行了详细的分析后，考虑到制动时车轮角速度与飞轮组角速度不始终一致的关系，确定出控制电动机补偿时间的方法，建立了计算机控制的完美模型VI（5.6.4)、（5.6.5)和（5.6.6)。最后，笔者对数字结果进行了合理的检验，建立了MATLAB程序验证（程序见附录）能通过的数据比例为：，检验显示结果完全符合实际。对制动器试验的重要性做出了明确判断，对汽车驾驶员正确使用刹车装置起到了指导性

5、作用，极符合实际生活生产之需要。【关键词】模拟试验；量纲分析；差分方程；离散化；计算机控制 一、问题的重述汽车的行车制动器是联接在车轮上的制动装置，其作用是使处在行驶过程中的车辆减速或者停止，它是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在各种不同情况下进行大量路试能够检测制动器的综合性能。但在车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上进行路试模拟试验。试验的原则是试验台制动器的制动过程与路试车辆制动器的制动过程尽可能一致。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后，电动机断电同时施加制动。当满足设定的结束条

6、件时就称为完成一次制动。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷，将此载荷在车辆平动时所具有的能量等效地只转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量在本题中称为等效的转动惯量。飞轮组由若干个飞轮构成，固定到主轴上的飞轮根据需要选择其个数，这些飞轮的转动惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。一般情况下，安装的试验台的机械惯量与等效转动惯量不等，不能精确地用机械惯量模拟试验。模拟试验的原则：把机械惯量设定为小于且最接近等效转动惯量，在制动过程中让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿因机械惯量不足而缺少的能量。试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，且试验台工作时

7、主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。制动器性能的复杂性导致电动机驱动电流与时间之间的精确关系难以得到。常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，再根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，逐次进行此过程，直至完成制动。所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差的大小是评价控制方法优劣的一个重要数量指标。现在的问题是：如何求解等效的转动惯量？电动机如何计算补偿惯量的大小？若干环形钢制飞轮能够组成哪些不同机械惯量的飞轮组？怎样建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型？假设制动减速度为常数时，发动机的驱动电流情况

8、怎样？对于与所设计的路试等效的转动惯量，利用已得到的数据评价该控制方法的优劣？如何设计离散化后的时间段电流值的计算机控制方法？此法的不足之处在哪里？如何完善？二、模型的假设（1）在车辆平动时，忽略车轮自身转动所具有的能量；（2）在模拟试验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致；（3）在路试过程中车辆所受其它阻力忽略不计而制动阻力恒定，则车辆作匀减速运动；（4）路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷且平动时，忽略车轮自身转动具有的能量；（5）假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，轮胎与地面无滑动；（6）制动器试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比；（7）飞轮组制动时，假设施加的制动矩

9、都是固定的。三、符号说明：表示载荷车辆平动时所具有能量的相应等效转动惯量；：表示试验台测量系统的机械惯量；：表示制动初始速度；：表示制动开始角速度；: 表示制动达到结束条件时主轴角速度；：为电动机电惯量应提供的能量；：为试验台飞轮储存的能量；：为试验台等效的能量。四、问题的分析根据题目可知由于车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验，使试验台模拟过程和车辆的路试制动过程尽可能一致。如图1所示：车辆路试是在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆车速降到某数值以下或完全停止下来。av加速vVt断开发动机同

10、时制动达到指定速度速度降到某值或为零图1 路试过程如图2所示：试验台模拟过程是电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时即达到模拟试验模拟车辆路的原则。电动机拖动主轴和飞轮旋转电动机断电并施加制动完成一次制动达到与设定车速相当的转速满足设定的结束条件图2 模拟实验的流程图 题目的第一问要求利用实际情况，即所给出的车轮滚动半径和单轮载荷，设计出载荷车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的等效转动惯量的计算方法。再代入题中数据计算出相应等效转动惯量。第二问要求对试验台飞轮组的设计给出分析。对飞

11、轮组的设计思想是用几个转动惯量固定的飞轮组成飞轮组，而一般地其机械惯量比等效转动惯量小。所以让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。第三问是要求建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。由于电动机是由其驱动力产生的扭矩而做功向外输出能量的，所以根据等效转动惯量制动能量损失量等于混合惯量（试验台的机械惯量和电动机提供的电惯量的结合惯量）制动能量损失量将可观测量与电动机产生的扭矩联系起来，再根据试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比而建立模型。第四问要求对附件中的数据进行分析，指出得到此数据的控制方法的缺点。第五问实质上就是对于

12、第二问的扩展深化。由于电动机驱动电流与时间之间存在一定的关系，那么在第三问建立的模型基础上进行一定的改动分析，从而得出“电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的”结论。正因为难以得到，所以要把整个制动时间离散化为许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。因此应该建立差分方程模型。第六问要求找出第五问中建立的模型的不足之处，通过对不足之处的分析建立新模型。五、模型的建立与求解51针对问题一：5.1.1问题一的分析：量纲齐次性原则【1】：我们在计算的时候，总要考虑其单位，如果在计算过程中的单位和所得结果的单位一

13、致，且符合题目的要求，则可能正确，否则不正确。这一点反映了在量纲分析法中就是量纲的齐次性原则。量纲的齐次性原则可叙述为：用变量之间的数学表达式表示一个物理定律时，等号两边必须保持量纲一致。这里用量纲分析法建立模型，也就是根据定理【2】建立数学模型。定理：设我们研究的系统有个物理量，并设它们满足具有指数乘积形式的表达式 （5.1.1）是一个与量纲单位选取无关的描述某一物理规律的待求的数学模型。又设是我们所涉及领域的基本量，其中。从而，物理量的量纲式为 （5.1.2）构造量纲矩阵为的秩为 （5.1.3）构造个变量的齐次线性方程组 （5.1.4）那么式（5.1.4）的方程组有个基本解为 （5.1.5

14、）可用个解对应作成个独立的无量纲量 （5.1.6）则个独立的无量纲量满足的一个未知表达式 （5.1.7）与开始我们要求的式（5.1.1）等价。对定理的说明：这个定理是说，如果我们研究对象是涉及个变量的系统，并建立其数学模型；如果这个变量的数学模型是这些变量的指数式的乘积的形式，那么就可以按照这个定理由前到后的作下去，一直得到个无量纲量。那么，这个无量纲量所满足的一个未知表达式（5.1.7）与我们开始要求的数学模型（5.1.1）是等价的。这就将求式（5.1.1）的问题转化为求式（5.1.7）的问题了。由于式（5.1.7）中的变量个数远少于式（5.1.1）的变量个数，使得其变得易求。尽管式（5.1

15、.7）的求法定理中并未给出，但在需要用量纲分析法解决较复杂的问题时必须用这个定理。另外，由此定理可以得到由原始的个变量构成的多个模型，其中有一个与我们要求的数学模型是等价的。下面就用此定理来解决问题一。5.1.2问题一的模型建立：（1）首先设研究系统所涉及的5个量满足关系式 （5.1.8）（2）这个领域的基本量为长度、质量和时间。5个量的量纲表达式为 （5.1.9）式中是由动能定理得到，为速度，为角速度，为转动惯量，为半径。（3）由式（5.1.9）可写出量纲矩阵。 （5.1.10）计算 （5.1.11）（4）解以为系数矩阵的齐次线性方程 （5.1.12）得到两个基本解 （5.1.13）（5）由

16、式（5.1.13）对应确定两个无量纲量 （5.1.14）（6）设有函数 （5.1.15）由式（5.1.15）解出 （5.1.16）在试验过程中，为车辆的前进速度，为单个车轮的负载重量（通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器）。则在假设（1）的条件下，在车辆平动时，忽略车轮自身转动所具有的能量，车辆平动时所具有的能量等于其运动时所具有的动能。根据动能定理，得。为车的车轮的半径，如图3所示：车轮在前后的运动情况。图3 车轮运动情况车轮边缘的线速度等于车辆移动的速度，可推出车轮的转动的角速度：。由于试验台上飞轮和主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，即主轴的角速度：。代表

17、飞轮和主轴的转动惯量，即汽车的等效转动惯量。于是试验台上飞轮和主轴的转动能量，由转动能量公式可得。根据模拟试验的原则需要，将车辆平动时所具有的能量等效转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时所具有的能量，则有，所以 (5.1.17)即得到模型I等效惯量模型 (5.1.18)这样可设为两个变量，用试验的方法的得到两组数据，从而得到的具体形式，然后即可得到飞轮和主轴的转动惯量，即汽车的等效转动惯量的表达式为。这样就用量纲分析法建立了模型。5.1.3问题一的模型求解：当车辆单个前轮的滚动半径，制动时承受的载荷，重力加速度，。将以上数据代入式（5.1.18）中，得到等效的转动惯量：。52针对问题二：5.2

18、.1问题二的分析：对于飞轮组这个规则的集合体，我们可以从测得内直径，外直径及其厚度和密度来求得飞轮组的质量。如图4所示：图4 飞轮转动惯量【3】是物理力学中，表示刚体绕轴转动惯性的度量。密度均匀形状规则物体的转动惯量，均可用积分法求出。飞轮组有内外直径，形如圆柱环，又已知圆柱环对柱体轴线的转动惯量为 （5.2.1）其中分别为内外半径，为圆环质量。根据物理学基本计算公式 （5.2.2）由式（5.2.1）和式（5.2.2）代换可得 （5.2.3）将代入式（5.2.3）可得 5.2.2问题二的模型建立：在惯量集合中，其中为基础惯量，表示第个飞轮的转动惯量。令集合，则求由这个飞轮和基础惯量组成不同数值

19、的机械惯量的种数，即是求集合的子集个数，记为,根据排列组合理论，即得到模型II基于集合原理的组合计数模型 （5.2.4）5.2.3问题二的模型求解：飞轮组由3个外直径、内直径的环形钢制飞轮组成，厚度分别为、，钢材密度为，基础惯量为。当时，则此时的3个飞轮，其单个惯量分别是：30、60、120，基础惯量，则可以组成10、40、70、100、130、160、190、220的8种数值的机械惯量。可以组成的各种机械惯量组及其机械惯量值，如表1所示：组合类型基础惯量飞轮组机械惯量（）104070130100160190220表1 机械惯量组合表电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 （5.2.6）根据约束

20、条件，解式（5.2.6）得即：（1）当飞轮组用转动惯量时，电动机补偿能量所相应的转动惯量为；（2）当飞轮组用转动惯量时，电动机补偿能量所相应的转动惯量为。 根据实际试验验证，电动机不能起制动作用，即不能补偿负电惯量，则当飞轮组用转动惯量时，电动机补偿能量所相应的转动惯量为不成立，舍去。即对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿的惯量。53针对问题三：5.3.1问题三的分析：首先由假设3可知车辆在制动过程中作匀减速运动，从能量角度对制动器惯性台架进行分析。对于纯机械惯量等于等效转动惯量的台架（理想台架），制动器消耗的能量(即飞轮储存的动能)由电动机在制动之前提供，在制动过程中没有外部能

21、量介入。而电模拟惯量台架不存在专门的储能机构(主轴和不能撤卸的基础设备除外)，制动时电动机持续做功，以补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。考虑到设备整体的经济性，电机容量一般不能过大，惯量模拟范围受到限制。一种有效的处理方法是在电惯量台架中引入储能机构，即在主轴上安装一定数量的惯性飞轮，构成机械惯量和电惯量混合模拟台架。这种台架所需制动能量由两部分组成，一部分是飞轮储存的动能，由电动机在制动前提供；另一部分是电动机在制动过程中根据不同控制策略补偿的能量。飞轮提供的能量所占比例越大，电动机补偿能量越少。合理配置飞轮的惯量可以有效扩大台架惯量模拟范围及减小电机容量。混合模拟惯量台架的典型结构，如图5

22、所示。1-端浮动驱动电机 2-弹性联轴器 3-移动式测力结构 4-机械可调惯量盘5-鼓式/盘式制动器 6-测力机构支承 7-气压泵站及操纵系统图5、测试台的结构简图5.3.2问题三的模型建立：路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷，将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量（由问题1的分析可知，下面的计算中用代替表示载荷车辆平动时具有的能量）。在我们考察的制动时间段内，由上述分析可知，混合模拟惯量台架中，电惯量应提供的能量为飞轮储存能量与制动能量的差值： （5.3.1）在汽车制动过程中，是以恒定的力踏下制动踏板，即以恒力矩制动

23、，且假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，轮胎与地面无滑动。不计风阻和轴承摩擦等阻力，这样电动机所做的总功即为电惯量所提供的能量，所以我们可以假设汽车在制动时是作匀减速运动，即减速度为常数。因此，减速度由试验惯量和可测量的制动瞬时扭矩来计算。根据牛顿第二定律可知：，又因为，即。由此可推导出减速度为 （5.3.2）此时，飞轮的瞬间的转速为 （5.3.3）为简化计算和控制，电动机在制动过程中输出恒定扭矩，则 （5.3.4）那么，由式（5.3.1）（5.3.4）可以得到 （5.3.5）制动器试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（在本题中比例系数取为）即 （5.3.6）解微分方程式（5.3

24、.5） 即简化之 （5.3.7）得到模型III微分模型 （5.3.8）5.3.3问题三的模型求解： 在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50，制动5.0秒后车速为零，即、。把上述数据代人模型III（5.3.8），再根据,得到电流值为在日常生活中，我国的法定照明电压一般为，研究用电器的功率就可以知道用电器的电流一般都是几安到几十安。而模拟车辆制动过程，车辆的功率比较大，模拟过程中电动机的电流也比较大，一般电压一定，功率与电流成正比。此外就需要额外给电动机配置变流装置。所以，是合理的电动机内部电路电流。54针对问题四：5.4.1问题四的分析：根据附录数据，使用MALTAB软件

25、描绘出关系图。图6 关系图在本文中，评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差大小。对于所设计的路试模拟试验过程中的能量变化关系进行分析，分析过程如下：（一）路试过程：在此过程中，其能量变化量为 （5.4.1）（二）模拟试验过程：由物体做功的原理，可得即 （5.4.2）即某段时间内，在扭矩为的作用下，以角速度为的旋转飞轮组，能量变化量为。试验得到的一组数据是以相同时间为步长的离散量。在同一个时间段，无法以试验数据获得连续的和，所以取同一时间段的两个瞬时值（即本时间段初始值和本时间段结束值）。（1）若都取初始值计算，记总减少能量为（2）若都取结束值计算，记总减少能量为所以，有模拟试验过程中。5

26、.4.2问题四的模型建立：令，取，同时令对此，建立模型IV评价模型 （5.4.3）对此模型，若，且，则说明此模型试验能量有消耗，此时若的值越大，则模拟试验消耗能量越大。若若，且，此模拟试验有维持能量的装置，即在模拟的同时有能量从外界传入模拟试验的飞轮组中，并转化为飞轮组的能量。5.4.3问题四的模型求解： 对问题中的数据用MATLAB软件进行处理，建立关于的计算程序（见附录），由计算程序得到则 对的数值大小进行简单分析判断：（1）当，的数值越小表示该模拟试验所消耗能量越小，试验值与理论值相当接近，即说明该模拟试验系统较好；（2）当：的数值越大表示该模拟试验所消耗能量越大，试验值与理论值相差很大

27、，即说明该模拟系统效果较差。通过程序计算所得与试验能量相比数值是相当小的，表示，则认为该试验是非常成功的，该模拟试验系统较好。55针对问题五：5.5.1问题五的分析：根据问题三导出的模型III（5.3.8）：此数学模型为简化计算和控制电动机在制动过程中输出恒定扭矩，即使电流恒定但是在模拟实验中电流与发动机输出扭矩成正比关系，而且电流是随时间随变化而变化的，即 （5.5.1）根据问题三可知：则飞轮的瞬间的转速为 （5.5.2） 而 （5.5.3）所以得 （5.5.4）5.5.2问题五的模型建立：由上式可以看出，由于未知关系式在积分号内，所以电动机驱动电流与时间之间的精确关系式是很难得到的。工程实

28、际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的可观测量，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。我们将制动时间,以为一段平均分个时间段，第个时间段可以表示为，其中，。因此我们认为在每个小时间段上电惯量应提供的能量表示方式为 （5.5.5）在把整个制动时间离散化后，有，即有经简化后，可以得到模型V差分模型 （5.5.6）5.5.3问题五的模型评价：对于连续问题很难得到精确关系式时，一般把连续问题离散化处理，离散精度确定了模型准确性。离散处理就是将连续的变量以离散精度分割为许多小块，离散精度越高，得到的结果就越靠近精确值，误差也就达到

29、合理的标准。56针对问题六：5.6.1问题六的分析不足之处的分析：问题五中我们给出的控制方法存在不足之处，因为此问题所建立的模型是建立在假设模拟试验的基础之上，并且认为试验中主轴的角速度与车轮的角速度始终一致的。然而在实际模拟试验中，主轴的角速度与车轮的角速度却不一定是始终一致的。由此，我们调整了此假设条件，对模拟试验的过程重新加以分析，再建立了一个尽量完善的计算机控制方法。（1）对电机给飞轮组加速过程的分析试验台开始工作时，需要用电动机拖动主轴和飞轮旋转加速，即对飞轮组提供一定的能量（飞轮的动能），储存在飞轮中。当飞轮组的动能值与我们模拟的载荷车辆平动时所具有的能量相等时，加速过程结束。由问

30、题一的分析可知，模拟载荷车辆平动时具有的能量值可表示为，这里的是车轮的角速度。而经过加速后飞轮组的动能可表示为（为试验台的机械惯量，是飞轮及主轴的角速度）。由分析得。又因为在实际试验中，电动机不可能补偿负电惯量，所以安装系统的机械惯量，从而。即是说，在加速过程结束时，模拟试验台的飞轮组的角速度是大于车轮的角速度的。（2）对飞轮组制动过程的分析试验台的飞轮组在加速过程后，将电动机断电同时施加制动。这时认为电动机完全停止工作，电机轴与飞轮组及主轴处于断开状态。在与模型五相同的试验条件下，即恒力矩制动时，等效的转动惯量台架（理想台架）作匀减速运动。此台架制动角速度曲线为一直线，初值为。等效转动惯量和

31、试验台混合惯量制动角速度曲线图，如图7中所示：图7 等效转动惯量和试验台混合惯量制动角速度曲线图其中，直线与两坐标轴围成区域的面积即是等效的转动惯量试验的制动“距离”。然而实验台的机械惯量小于等效的转动惯量，那么不足惯量就使得电动机在制动后，在一定时刻一定规律的电流驱动下，将电动机连入飞轮组机构参与工作进行补偿。于是飞轮组的制动过程就由三段不同减速度的减速过程组成，即能量未开始补偿阶段（角速度初值为）、补偿阶段和补偿完毕阶段,这三段曲线下的面积和应与直线下的面积相等。飞轮组制动时，我们认为施加的制动矩都是固定的，在没有外力作用的情况下，飞轮的减速度保持恒定。那么可知，与平行。因等效的转动惯量是

32、大于安装的机械惯量，所以有直线的斜率大于直线的斜率。而在电动机工作时，会产生一个与制动矩方向相反的扭矩，即合扭矩在电动机工作后变小了，但补偿阶段的合扭矩是恒定的，所以直线斜率小于直线的斜率。当制动时间到时刻时，飞轮组转动角速度达到设定的结束条件，制动过程结束。5.6.2问题六的模型建立尽量完善的计算机控制方法模型由飞轮组制动过程的分析可知，在等效的转动惯量台架制动过程中能量的变化量，应等于模型试验台架的三个制动过程阶段能量的变化量之和，即 （5.6.1）其中表示补偿阶段飞轮角速度与时间的变化关系；表示补偿阶段电动机输出的扭矩。又由图7知，多边形的面积等于三角形的面积，有 （5.6.2）其中，

33、（5.6.3）将（5.6.3）代入（5.6.2）和由（5.6.1）得 （5.6.4）（5.6.5）由电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，得 （5.6.6) 于是，得到了尽量完善的计算机控制方法，模型VI完美模型，即式（5.6.4)、（5.6.5)和（5.6.6)。由式（5.6.1）-（5.6.3）可分析出电动机在补偿阶段工作所需的驱动电流与时间之间的精确关系是难以得到的。而制动过程被分成了三个不同的阶段，我们可以将补偿时间离散化处理后，再分析离散后补偿阶段的驱动电流的变化情况。5.6.2问题六的模型评价关键参数控制规律的确定：由于以上提到了补偿起始（），补偿时间（）和补偿终点（）等关键参数，

34、所以还要对它们之间的控制规律进一步确定。由图7中直线的关系可知，直线平行于,多边形下的面积应与三角形的面积相等，而且直线或直线的斜率即飞轮的减速度为,因此能够求出满足的关系式 （5.6.7）式中为制动时间，为补偿时间。控制电动机在制动过程中，在时刻参与工作，驱动电流按式（5.6.6）变化，可以实现惯量的电模拟。由试验台架的电动机补偿能量时的扭矩很难控制，因此电动机模拟负惯量的情况暂时不考虑。试验前，先用制动器将主轴卡紧，对电机的加载力矩进行测定。在利用模拟试验时，制动力的大小是近似相同的。不考虑外力及其阻力的影响，以机械量数据为标准数据，与在试验中所得的电量数据进行对比分析。由于需要在试验中才

35、能得到数据，缺少的数据在此不作赘述。六、 模型验证当飞轮组具有与路试车辆相对应的速度时，开始制动。在建立模型三与模型五时，我们都假设飞轮在转动过程中的空气阻力以及轴承摩擦力等阻力都忽略不计。这就造成路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。先假设飞轮在转动过程中的阻力（空气阻力及轴承摩擦力等）恒定不变，记为，在制动过程中，阻力做功为: （6.1）路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷，将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量（）。在我们考察的制动时间段内，由上述分析可知，混合模拟惯量台架中，飞轮组储存

36、能量等于电惯量应提供的能量、制动能量与系统损失能量之和： （6.2）从模型III和模型V，可知 （6.3）由功能关系得： （6.4）那么，由式（6.1）和（6.2），得到 （6.5）制动器试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（在本题中比例系数取为）即 （6.6）与模型III和模型V相比，实际的模拟试验由于存在能量消耗，所以根据前一个时间段观测到的瞬时扭矩与瞬时速度计算出得到的电动机产生的电流值属于理论值，该值比实际电流值要偏大。然而，在制动开始后，从能量方面计算出飞轮上的能量包括电动机补偿能量始终小于路试车辆的能量。问题四中用某种控制方法试验得到的数据，依分析可知该数据计算出的飞轮

37、组的能量值应小于路试车辆的能量值。建立MATLAB程序验证，（程序见附录）能通过的数据比例为：比例系数越高，说明实际数据正确性越大。从经济方面考虑，我们先前已经阐明模拟试验是通过能量的等效性来模拟车辆的路试情况，路试车辆的动能等效在模拟台中主轴和飞轮旋转的动能和电动机的能量之和。在模拟台不存在专门的储能机构（主轴和飞轮除外），制动时，电动机需要持续做功，已提供制动所需的能量。但是电动机模拟惯量一般受电动机自身的影响，电动机容量越高，承受的电流越大，性价比越高。一种行之有效的方法就是在主轴上安装一定数量的飞轮，且飞轮组自身构成的机械惯量组较多（比如：），让电动机模拟范围减小。问题三中的答案为，在

38、居民生活中，用电器不会出现这么大的电流，但是在试验台，出现这样的电流是很平常的。因为电流在试验台是很小的一个电动机电流，电动机功率越大，其电容越大，能承受电流越高。为经济考虑，电动机电流在时大致功率为。七、模型的科学性分析在本文中，我们的思路、方法及数学模型的合理性主要体现在以下几个方面：（1）假设的合理性根据原问题说明在路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动；、在模拟试验中，认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，忽略车轮自身转动具有的能量等，符合试验的操作要求，整个试验进行的正确性，反映出假设的合理性。（2）思维的合理性本文我们按先后及由浅入深的逻辑关系展开了对问题求解的思

39、路，思路的流程图如图8所示：针对问题一的分析、模型的建立及求解针对问题二的分析、模型的建立及求解针对问题三的分析、模型的建立及求解针对问题四的分析、模型的建立及求解针对问题五的分析、模型的建立及评价针对问题六的分析、模型的建立及评价问题二中，使用问题一中的数据对整个问题的总体分析问题四中的数据可用于验证问题五的模型建立粗略模型改进模型五中的不足之处图8 思路流程图（3）方法的科学性本文针对不同问题，使用了各种可靠的科学的建模方法，其间我们运用了量纲分析法、定理、组合计数、差分方程等。通过使用数学软件MATLAB来求解这些问题也是合理的、科学的。（4）求解方法的的可靠性在对模型进行求解时，运用数

40、学软件MATLAB的结果进行相关的数据检验，比例系数较高，实际数据正确性越大。说明我们求解模型的方法是可靠的，结果是可信的。八、模型评价81模型的优点：（1）通过处理数据、分析图形，用简单通俗的语言向读者诠释了行车制动器的工作情况，结果采用图表法显示，使读者一目了然。（2）本模型成功的把多个问题转化各单个问题关联后的分析，使得本来难以得出结果，模型轻松得以解决。（3）通过对问题的不足之处进行充分分析，消除了极具约束性的条件后，进行进一步优化改进，此种细化分析具有较强的创新性。82模型的缺点：此模型也有少许不足之处，因为此模型将数据中的有误的数据忽略了，在此题目中可以用这个办法，但当有误数据占有

41、一定比例时，需对此模型进行一下改进，将有误数据考虑进去。九、试验的意义车祸猛于虎：正确使用刹车的重要性行驶中的汽车减速或停车，是依靠驾驶员合理准确地操纵制动装置来实现的。能否合理正确地运用制动器，是保证行车安全的重要条件。掌握制动器使用的技巧，对于任何一个驾驶员都是十分重要的，尤其是新手。同时，合理的使用制动器对于保证行车安全、节约燃料、减少轮胎的磨损、延长机械使用寿命、减少或避免事故的发生都有着至关重要的意义。平稳制动，是指驾驶员在驾驶车辆时、根据观察到的情况以及预见到将要出现的情况，抬起加速踏板，使发动机怠速运转，靠发动机的牵阻作用使汽车的行驶速度降低。然后根据道路上的情况，平稳踩下制动踏

42、板，降低汽车的行驶速度或停车。踩踏制动踏板的速度要根据当前道路上的情况变化来确定。如果危险情况消失，就应该迅速抬起制动踏板，使车辆恢复正常的行驶。如果情况更加紧迫时，要加大制动力进一步降低车速，在车辆要停住的一瞬间迅速踏下离合器踏板，使发动机不熄火而平稳地将车停在预定地点。这是驾驶员最基本、最常用的制动方法。这要求驾驶员有较强的预见性，动作要轻、稳使乘车人有舒适感。这样的操作方法可以使机件和轮胎承受的损失最小，并有利于节约燃料。汽车行驶中，制动器的使用一般分为平稳制动、紧急制动。紧急制动，是指驾驶员在驾驶车辆时，遇到突发情况采取的紧急措施。驾驶员迅速抬起加速踏板，用力踏下制动踏板，同时使用手制

43、动器，尽最大可能在短距离内将车停住，从而达到避免交通事故的目的。这种操作方法是在无奈的情况下进行的，它对车辆各部机件的损伤较大、对轮胎的磨损严重甚至会出现爆胎现象。正确的使用刹车，首先要对自己的爱车心中有数，熟悉车辆各部位的现状。有较强的预见性，常使用平稳制动，掌握好制动时机，同时学会利用发动机制动。行驶中的汽车，根据道路上的情况需要减速度时，驾驶员放松加速踏板，不踩离合器踏板，保持在档位上，不采取任何制动措施，仅靠发动机的牵阻作用，迫使汽车的行驶速度降下来。发动机制动是靠汽车的运动强迫发动机转速所产生的阻力来实现牵阻作用的，这种阻力主要来源于活塞与气缸壁以及曲轴同轴承的摩擦，因此，发动机制动

44、结合的档位越低，汽车在同样行驶速度下发动机转速越快，发动机所耗的能量越低，发动机阻力所耗的能量就越多，其牵阻作用的效果就好。汽车行驶在下坡路、泥泞、冰雪等路面时，使用发动机制动的方法，能产生良好的制动效果，还能防止车辆侧滑。通过试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致，为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。说明精确的制动器模拟试验将直接反映车辆上制动器的工作情况，那么正确、合理地使用刹车，确保交通安全显得更为重要。参考文献：【1】 姜启源，数学建模（第三版），北京：高等

45、教育出版社，2003年；【2】 白凤山，数学建模，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003年；【3】 漆安慎，普通物理学教程力学，北京：高等教育出版社，1997年；【4】 萧树铁，数学实验，北京：高等教育出版社，1999年；【5】 马继杰，制动器惯性台架电模拟惯量的研究，汽车技术，第4期：49页-51页，2009年。附录MATLAB的程序语句：程序1：B=40,40,40,41.25,43.75,45,47.5,50,53.75,55,57.5,58.75,62.5,62.5,67.5,67.5,72.5,75,81.25,86.25,91.25,96.25,101.25,105,110,115

46、,120,127.5,133.75,143.75,150,157.5,161.25,168.75,172.5,181.25,186.25,193.75,198.75,203.75,208.75,211.25,216.25,218.75,222.5,226.25,230,233.75,237.5,238.75,242.5,242.5,247.5,246.25,245,241.25,245,248.75,256.25,257.5,262.5,262.5,266.25,266.25,266.25,266.25,266.25,266.25,265,266.25,268.75,272.5,273.75,

47、276.25,277.5,277.5,272.5,272.5,268.75,272.5,267.5,272.5,270,277.5,278.75,282.5,282.5,282.5,282.5,280,277.5,276.25,273.75,273.75,275,276.25,280,280,282.5,281.25,283.75,282.5,278.75,276.25,275,277.5,280,281.25,285,283.75,283.75,282.5,281.25,278.75,277.5,273.75,277.5,277.5,281.25,281.25,283.75,285,285,

48、283.75,282.5,282.5,281.25,278.75,275,276.25,276.25,280,281.25,285,283.75,285,282.5,285,280,281.25,276.25,275,273.75,276.25,278.75,280,281.25,282.5,282.5,282.5,281.25,281.25,281.25,278.75,276.25,273.75,275,275,278.75,278.75,283.75,282.5,285,281.25,283.75,281.25,281.25,277.5,273.75,273.75,275,277.5,28

49、0,282.5,283.75,286.25,285,286.25,282.5,282.5,278.75,277.5,272.5,275,273.75,278.75,276.25,281.25,280,282.5,281.25,281.25,281.25,280,278.75,275,273.75,273.75,277.5,280,282.5,285,286.25,287.5,283.75,283.75,281.25,281.25,276.25,275,270,275,276.25,281.25,281.25,282.5,285,286.25,285,283.75,282.5,282.5,281

50、.25,278.75,277.5,275,276.25,277.5,281.25,281.25,285,282.5,286.25,281.25,285,281.25,282.5,278.75,277.5,275,273.75,275,278.75,280,282.5,283.75,283.75,285,283.75,285,282.5,283.75,277.5,277.5,271.25,275,271.25,276.25,275,281.25,282.5,287.5,287.5,287.5,286.25,285,283.75,283.75,282.5,278.75,276.25,275,276

51、.25,278.75,280,282.5,291.25,292.5,297.5,290,291.25,285,287.5,283.75,282.5,277.5,276.25,275,275,277.5,280,281.25,282.5,285,286.25,287.5,285,285,283.75,283.75,278.75,278.75,272.5,273.75,270,275,273.75,280,282.5,286.25,287.5,288.75,288.75,287.5,286.25,285,285,282.5,280,276.25,275,273.75,277.5,278.75,28

52、2.5,282.5,286.25,285,290,287.5,288.75,285,286.25,283.75,283.75,281.25,277.5,273.75,273.75,275,276.25,280,280,282.5,282.5,286.25,286.25,288.75,283.75,286.25,282.5,286.25,280,281.25,275,277.5,276.25,278.75,278.75,281.25,282.5,285,285,287.5,288.75,288.75,287.5,285,285,283.75,283.75,281.25,281.25,276.25,276.25,273.75,278.75,277.5,282.5,282.5,285,285,287.5,288.75,287.5,286.25,285,285,283.75,282.5,280,278.75,275,275,275,278.75,277.5,281.25,281.25,287.5,283.75,287.5,285,291.25,290,291.25,287.5,285,283.75,282.5,281.25,278.75,276.25,273.75,273