天津大学机械振动弹性体的一维振动PPT学习教案

1、会计学1 天津大学机械振动弹性体的一维振动天津大学机械振动弹性体的一维振动 第第6 6章章 弹性体的一维振动弹性体的一维振动 目目 录录 Mechanical and Structural Vibration 第1页/共48页 第第6 6章章 弹性体的一维振动弹性体的一维振动 Mechanical and Structural Vibration 第2页/共48页 6.1.1等直杆的纵向振动 6.1.2固有频率和主振型 6.1.3主振型的正交性 Mechanical and Structural Vibration 第3页/共48页 6.1.1等直杆的纵向振动 实际的振动系统，都具有连续分布的

2、质量与弹性，因此，实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为称之为弹性体系统弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时 间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但 是在物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个是在

3、物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个 自由度是相似的。自由度是相似的。 Mechanical and Structural Vibration 第4页/共48页 以杆的纵向作为以杆的纵向作为x轴，在杆上轴，在杆上x处取微元段处取微元段dx 6.1.1等直杆的纵向振动 均质等截面细直杆，长为均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，单位长度的质量为 ，横，横 截面积为截面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E,如图所示。如图所示。 设杆在纵向分布力设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截的作用下作纵向振动时，其横截 面保持为平面，并且不计横向变形。面保持为平面

4、，并且不计横向变形。 Mechanical and Structural Vibration 第5页/共48页 6.1.1等直杆的纵向振动 以杆的纵向作为以杆的纵向作为x轴，在杆上轴，在杆上x处取微元段处取微元段dx，其左端纵向，其左端纵向 位移为位移为u(x)，而右端即杆上，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为处的纵向位移为 x x u ud x x u d x u EE A N 应力为应力为 N是是x处轴的内力处轴的内力 )( x u EA xx N x u 应变为应变为 x u EAN dx段的变形为段的变形为 Mechanical and Structural Vibration 第6页

5、/共48页 6.1.1等直杆的纵向振动 微元段微元段dx受力如图。根据牛顿受力如图。根据牛顿 第二定律得到第二定律得到 xtxqNx x N N t u xAd),()d(d 2 2 ),()( 2 2 txq x u EA xt u A ),( 1 )( 2 2 2 2 txq Ax uE t u EA是常数，可写成是常数，可写成 这是杆作纵向受迫振动方程这是杆作纵向受迫振动方程 ， 常称为常称为波动方程波动方程。 a E 2 表示弹性 波沿杆的 纵向传播 的速度 ),( 2 2 txq x N t u A )( x u EA xx N Mechanical and Structural V

6、ibration 第7页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样， 假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有 点都做简谐运动。点都做简谐运动。 杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置 。 2 2 2 2 2 x u a t u 得到杆的纵向自由振动微分方程为得到杆的纵向自由振动微分方程为 ),( 1 )( 2 2 2 2 txq Ax uE t u q x t( , )

7、 0 Mechanical and Structural Vibration 第8页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 2 2 2 2 2 x u a t u 即为杆的主振动的一般形式。即为杆的主振动的一般形式。 u x tU xAptBpt( , )( )(cossin) 解可以用解可以用x的函数的函数U(x)与与t的谐函数的乘积表示，即的谐函数的乘积表示，即 Mechanical and Structural Vibration 第9页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 杆有无穷多个自由度系统，振杆有无穷多个自由度系统，振 型不再是折线而变成一条连续曲线型不再是折线而变成一条连续曲

8、线 。 0)( d )(d 2 2 2 2 xU a p x xU 2 2 2 2 2 x u a t u u x tU xAptBpt( , )( )(cossin) 振型函 数 振动规律 当当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下 ，求解值，求解值 p2及振型函数及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问称为杆作纵向振动的特征值问 题。题。p2为特征值，为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而又称为特征函数或主振型；而p是是 固有频率。固有频率。 代入代入 Mechanical and Structural Vibration 第10

9、页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 0)( d )(d 2 2 2 2 xU a p x xU a px D a px CxUsincos)( 解可表示为解可表示为 由杆的边界条件，可以确定由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数值及振型函数U(x)。 Mechanical and Structural Vibration 第11页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型 UU l( ),( )000 1. 杆两端固定的情况杆两端固定的情况 边界条件为边界条件为 a px D a px CxU

10、sincos)( CD p a l00,sin sin p a l 0 ), 2 , 1( i l ia pi ), 2 , 1( sin)(ix l i DxU ii 即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为 相应的主振型为相应的主振型为 Mechanical and Structural Vibration 第12页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 分别令分别令i =1,2,3，可得系统的前三阶，可得系统的前三阶 固有频率和相应的主振型为固有频率和相应的主振型为 . 3 sin)(, 3 ; 2 sin)(, 2 ; sin)(, 333

11、222 111 x l DxU l a p x l DxU l a p x l DxU l a p 杆的前三阶主振型表示如图所示。杆的前三阶主振型表示如图所示。 ), 2 , 1( i l ia pi), 2 , 1( sin)(ix l i DxU ii Mechanical and Structural Vibration 第13页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 2. 杆的左端固定，右端自由的情况杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为边界条件为 0 d d , 0)0( lx x U U a px D a px CxUsincos)( 即为一端固定，一端自由杆的频率方程。即为一端

12、固定，一端自由杆的频率方程。 解出固有频率为解出固有频率为 0cos 0cos,0 l a p x a p D a p C a l i pi 2 12 , 2 , 1i 相应的主振型为相应的主振型为 x l i DxU ii 2 12 sin)( , 2 , 1i Mechanical and Structural Vibration 第14页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 3. 杆的两端都是自由的情况杆的两端都是自由的情况 边界条件为边界条件为 0 d d ,0 d d 0 lxx x U x U 0sin 0sin0 l a p l a p C a p D， a px D a px

13、 CxUsincos)( a l i pi i 012, , , x l i CxU ii cos)( i 012, , , 即为两端自由杆的频率方程。即为两端自由杆的频率方程。 解出固有频率为解出固有频率为 相应的主振型为相应的主振型为 当当p = 0时，对应了杆的刚体振型。时，对应了杆的刚体振型。 Mechanical and Structural Vibration 第15页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 例例6-1 一均质等截面细直杆，长为一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，单位长度的质量为 ，横，横 截面积为截面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E。其一端固

14、定，另一端连接。其一端固定，另一端连接 弹簧常数为弹簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型 。 杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l) 之力。之力。 因此，边界条件为因此，边界条件为 )( d d , 0)0(lkU x U EAU lx x a p DxUCsin)(, 0EA p a p a lk p a lcossin a px D a px CxUsincos)( 解：杆的端部连接弹簧或带有解：杆的端部连接弹簧或带有 集中质量时，称复杂边界条件。集中质量时，称复杂边界条件

15、。 Mechanical and Structural Vibration 第16页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 EA p a p a lk p a lcossin tan p a l EA l k UxD p a x ii i ( )sin 频率方程频率方程 EA l x=l处杆的抗压刚度处杆的抗压刚度 相应于固有频率相应于固有频率pi的主振型为的主振型为 Mechanical and Structural Vibration 第17页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 相应的主振型为相应的主振型为 当当 时，相当于固定端，有时，相当于固定端，有 ,即即k 0 sin p a

16、l 0 讨论两个极端的情况讨论两个极端的情况 a l i pi i 12 , , a l i DxU ii sin)( i 12 , , 则频率方程为则频率方程为 若若 ，相当于自由端，即，相当于自由端，即k 0cos p a l 0 Mechanical and Structural Vibration 第18页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 例例6-2 与例与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另中所设参数相同的杆，若其一端固定，另 一端附有集中质量一端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有如图所示，试求杆作纵向振动时的固有 频率和主振型。频率和主振型。 lx t

17、u M 2 2 当杆作纵向振动时，附有集中质当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力量的一端相当作用有惯性力 因此杆的边界条件为因此杆的边界条件为 lxlx t u M x u EAU 2 2 , 0)0( a px D a px CxUsincos)( 得到得到C = 0 解：此系统仍属于复杂边界条件问题。解：此系统仍属于复杂边界条件问题。 x a p DxUsin)( Mechanical and Structural Vibration 第19页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 lxlx t u M x u EA 2 2 频率方程频率方程 EA p a p a lMp

18、 p a lcossin 2 Al M p a l, tan 无量纲因子无量纲因子 质量比 相应的主振型为相应的主振型为 UxD p a xD l x ii i i i ( )sinsin x a p DxUsin)( )sincos(sin )sincos(cos 2 2 2 ptBptAl a p Dp t u ptBptAl a p D a p x u lx lx Mechanical and Structural Vibration 第20页/共48页 6.1.2固有频率和主振型 对于对于 的情况，的情况， 将很小，即杆的质量远小于集中质量时将很小，即杆的质量远小于集中质量时 ，可以取

19、，可以取 AlM tan 2 则得到则得到 对于基频情况，有对于基频情况，有 M Al l a p 2 2 2 1 其中其中 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不 计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同 。 EA l lM EA p 1 Mechanical and Structural Vibration 第21页/共48页 6.1.3主振型的正交性 因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆 的质量密度、横截面积

20、等都可以是的质量密度、横截面积等都可以是x x的函数。因此可写出杆的纵的函数。因此可写出杆的纵 向振动微分方程式为向振动微分方程式为 )( 2 2 x u EA xt u A 讨论简单边界条件的杆的主振型的讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性正交性。 AUp x U EA x 2 ) d d ( d d 将杆的主振动的表达式将杆的主振动的表达式 0)( d )(d 2 2 2 2 xU a p x xU u x tU xAptBpt( , )( )(cossin) 代入 jjii UpUp,;, 22 ii i AUp x U EA x 2 ) d d ( d d jj j AUp x U E

21、A x 2 ) d d ( d d 取特征值问题的两个解取特征值问题的两个解 代入 Mechanical and Structural Vibration 第22页/共48页 6.1.3主振型的正交性 ii i AUp x U EA x 2 ) d d ( d d jj j AUp x U EA x 2 ) d d ( d d U j乘以 U i 乘以 分别沿杆长分别沿杆长l对对x积分，得积分，得 l jii l i j xUAUpdx x U EA x U 0 2 0 d) d d ( d d l jij l j i xUAUpdx x U EA x U 0 2 0 d) d d ( d d

22、 再利用分部积分，可将式中左边积分为再利用分部积分，可将式中左边积分为 l jii l j ili j xUAUpx x U x U EA x U EAU 0 2 0 0 dd d d d d ) d d ( l jij l j il j i xUAUpx x U x U EA x U EAU 0 2 0 0 dd d d d d ) d d ( Mechanical and Structural Vibration 第23页/共48页 6.1.3主振型的正交性 l jii l j ili j xUAUpx x U x U EA x U EAU 0 2 0 0 dd d d d d ) d d

23、 ( l jij l j il j i xUAUpx x U x U EA x U EAU 0 2 0 0 dd d d d d ) d d ( 杆端简单边界条件总可以写成杆端简单边界条件总可以写成 1. 1. 固定端固定端 2. 2. 自由端自由端 lxxxU或0,0)( lxx x xU EA或0,0 d )(d l jii l j i xUAUpx x U x U EA 0 2 0 dd d d d d l jij l j i xUAUpx x U x U EA 0 2 0 dd d d d d 等于零 相减，得相减，得 0d)( 0 22 l jiji xUAUpp ji pp 0d

24、0 l ji xUAUij 就是杆的主振型关于质量的正交性。就是杆的主振型关于质量的正交性。 Mechanical and Structural Vibration 第24页/共48页 6.1.3主振型的正交性 0d)( 0 22 l jiji xUAUpp ji pp ij l jii l i j xUAUpx x U EA x U 0 2 0 dd) d d ( d d 0d) d d ( d d 0 l i j x x U EA x U 0d d d d d 0 l j i x x U x U EA l jii l j i xUAUpx x U x U EA 0 2 0 dd d d d

25、 d 上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。 Mechanical and Structural Vibration 第25页/共48页 6.1.3主振型的正交性 0d)( 0 22 l jiji xUAUpp 当当i = j 时，式总能成立，令时，式总能成立，令jp l j MxAU 0 2 d 为第为第j阶主质量阶主质量 jp l j j l j Kx x U EA x Ux dx dU EA 00 2 d) d d ( d d d)( 第第j阶主刚度阶主刚度 l jii l i j xUAUpx x U EA x U 0 2 0 dd) d d (

26、d d l jii l j i xUAUpx x U x U EA 0 2 0 dd d d d d Kpj与与Mpj的大小取决于第的大小取决于第j阶主振动中常数的选择阶主振动中常数的选择 p K M j p j p j 2 关系 Mechanical and Structural Vibration 第26页/共48页 6.1.3主振型的正交性 与多自由度系统相似，可将主振型函数与多自由度系统相似，可将主振型函数Uj进行标准化。进行标准化。 如果主振型中的常数按下列归一化条件确定如果主振型中的常数按下列归一化条件确定 1d 0 2 jp l j MxUA 则得到的主振型则得到的主振型 称为正

27、则振型，称为正则振型， U j 2 jjp pK这时相应的第这时相应的第j阶主刚度阶主刚度 Mechanical and Structural Vibration 第27页/共48页 第第6 6章章 弹性体的一维振动弹性体的一维振动 Mechanical and Structural Vibration 第28页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 6.2.2 杆对任意激励的响应 Mechanical and Structural Vibration 第29页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析与有限多自由度系统一样，在对杆进行

28、的纵向自由振动分析 的基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应的基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应 。 杆的自由振动微分方程杆的自由振动微分方程 )( 2 2 x u EA xt u A 假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正 则振型。则振型。 p i i (, ,) 12 ( ) (, ,)Uxi i 12 u x tUxt ii i ( , ) ( )( ) 1 根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为 第i阶正则坐标 第i阶正则振型函数 1d 0 2 j

29、p l j MxUA Mechanical and Structural Vibration 第30页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 )( 2 2 x u EA xt u A u x tUxt ii i ( , ) ( )( ) 1 0) d d ( d d 11 i i i i ii x U EA x UA 0d) d d ( d d d 1 0 1 0 i l i ji i l jii x x U EA x UxUUA Ui通乘通乘以并沿杆长并沿杆长l积分积分 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。 , 2 , 10

30、 2 ip iii 考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 Mechanical and Structural Vibration 第31页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 u xux u xux ( , )( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 uxUx uxUx ii i ii i 00 1 00 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 设杆的初始条件为设杆的初始条件为正则坐标变换正则坐标变换 l j i l jii xUxAuxUUA 0 0 1 0 0 d )(d l j i l jii xUxuAxUUA 0 0 1 0 0 d )(d

31、 AUx j ( )乘以乘以 沿沿x杆长对积分，得杆长对积分，得 l ii l ii xUxuA xUxAu 0 00 0 00 d )( d )( 将正交性和归一化条件代入 Mechanical and Structural Vibration 第32页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 iii i i i p t p p ti 0 0 12cos sin, , u x tUxp t p p t i i ii i i i ( , ) ( )(cos sin) 1 0 0 得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 得到杆对初始条件的总响应得到杆对

32、初始条件的总响应 u x tUxt ii i ( , ) ( )( ) 1 Mechanical and Structural Vibration 第33页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 例例6-3 一端固定，一端自由的等直杆，长为一端固定，一端自由的等直杆，长为l。自由端受到轴。自由端受到轴 向常拉力向常拉力P的。设在的。设在t=0时突然去掉此力，求杆的纵向自由振动。时突然去掉此力，求杆的纵向自由振动。 0 P EA 杆的初始条件为杆的初始条件为u xuxx u xux ( , )( ), ( , ) ( ) 0 00 00 0 杆的固有频率及主振型为杆的固有频率及主振型为 ,

33、5 , 3 , 1 2 sin)( , 5 , 3 , 1 2 ix l i DxU i l ai p ii i 解：根据题意，解：根据题意，t=0时杆内的应变为时杆内的应变为 Mechanical and Structural Vibration 第34页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 杆的固有频率及主振型为杆的固有频率及主振型为 , 5 , 3 , 1 2 sin)( , 5 , 3 , 1 2 ix l i DxU i l ai p ii i 将主振型代入归一化条件，得将主振型代入归一化条件，得 Al D xx l i DA i l i 2 1d) 2 sin( 0 2 得到

34、正则振型为得到正则振型为 , 5 , 3 , 1 2 sin 2 )( ix l i Al xUi Mechanical and Structural Vibration 第35页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 得到正则坐标表示的初始条件为得到正则坐标表示的初始条件为 , 5 , 3 , 10)0( 2 sin 4 d 2 sin)0( 22 2 0 0 0 i i i l DAxx l i xDA i i l ii iii p t( )cos0 , 3 , 1 22 0 , 3 , 1 22 2 0 , 3 , 1 cos 2 sin 2 sin 8 cos 2 sin 4 2

35、sin)( ),( i i i iii i ii tp l xi i i l tp i i l DA l xi DtUtxu 得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 于是杆的自由振动为于是杆的自由振动为 l ii l ii xUxuA xUxAu 0 00 0 00 d )( d )( , 5 , 3 , 1 2 sin 2 )( i x l i Al xUi Mechanical and Structural Vibration 第36页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 令x=l，其中 ， ), 5 , 3 , 1(1 2 sin2 1 i

36、 i i , 3 , 1, 3 , 1 1 22 0 22 0 cos 1 8 cos 2 sin 2 sin 8 ),( ii i tip i l tp i i i l tlu 若将若将t=0代入上式，可得初始时自由端的位移。代入上式，可得初始时自由端的位移。l a p 2 1 EA Pl l l i l u t lx 0 2 2 0 22 0 08 8 ) 1 25 1 9 1 1 ( 8 杆的自由端的自由振动杆的自由端的自由振动 Mechanical and Structural Vibration 第37页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 此题也可以用直接求解方法解出。根据已

37、解出的固有频率此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为及主振型函数可写出杆的振动方程为 , 3 , 1 ) 2 sin 2 cos( 2 sin),( i ii t l ai Bt l ai A l xi txu 常数常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为由初始条件确定。初始条件为 u xuxx u xux ( , )( ), ( , ) ( ) 0 00 00 0 再利用三角函数的正交性可得再利用三角函数的正交性可得 0 2 2 sin)0 ,( 2 sin)0 ,( , 3 , 1 0 , 3 , 1 i i i i l ai B l xi

38、 xu x l xi Axu Bi 0 Mechanical and Structural Vibration 第38页/共48页 6.2.1 杆对初始条件的响应 三角函数的正交性三角函数的正交性 0 2 2 sin)0 ,( 2 sin)0 ,( , 3 , 1 0 , 3 , 1 i i i i l ai B l xi xu x l xi Axu Bi 0 ll i x l xi xx l xi A 0 0 0 2 d 2 sind) 2 (sin 2 sin 8 22 0 i i l Ai i 135, , , , 3 , 1 2 cos 2 sin),( i i t l ai A l

39、xi txu t l aii i l l xi i 2 cos 2 sin 8 2 sin 22 0 , 3 , 1 , 3 , 1 22 0 cos 2 sin 2 sin 8 i it p l xi i i l l xi 2 sin Mechanical and Structural Vibration 第39页/共48页 6.2.2 杆对任意激励的响应 u x tUxt ii i ( , ) ( )( ) 1 并沿杆长l积分 ),()( 2 2 txq x u EA xt u A 11 ),() d d ( d d i i i i ii txq x U EA x UA 受迫振动微分方程受

40、迫振动微分方程 通乘以 U j l j l j i i i l ji i i xUtxqxU x U EA x xUUA 00 1 0 1 d ),(d ) d d ( d d d 这就是在激励这就是在激励q(x,t)作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的 运动微分方程。运动微分方程。 , 3 , 2 , 1d ),( 0 2 ixUtxqp l iiii 利用正交性及归一化的条件利用正交性及归一化的条件 Mechanical and Structural Vibration 第40页/共48页 6.2.2 杆对任意激励的响应 , 3 , 2 , 1d ),(

41、 0 2 ixUtxqp l iiii 将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入,便得到杆的初始便得到杆的初始 条件下对任意激励的响应为条件下对任意激励的响应为 sincosdd)(sin),( 1 )()( ),( 0 0 00 1 tp p tpxtpxqU p U txUtxu i i i ii t i l i i i i ii 写出第写出第i个以正则坐标表示的响应为。个以正则坐标表示的响应为。 t i l i i i i i iii xtpxqU p tp p tpt 00 0 0 dd)(sin),( 1 sincos)( Mechanical a

42、nd Structural Vibration 第41页/共48页 6.2.2 杆对任意激励的响应 例例6-4 如图所示两端固定的杆，突然受到均布纵向力如图所示两端固定的杆，突然受到均布纵向力q(常数常数)的的 作用，试求其响应。设初始条件均为零。作用，试求其响应。设初始条件均为零。 解：得该杆的固有频率和主振型为解：得该杆的固有频率和主振型为 , 3 , 2 , 1 sin)(, i l xi DxU l ai p iii , 2 , 11d sind 0 22 0 2 ixx l i ADxUA l i l i 2 ) 2 2sin ( 2 1 d) 2 cos1 ( 2 1 d sin 0