高二数学选修 参数方程的概念PPT学习教案

1、会计学1高二数学选修高二数学选修 参数方程的概念参数方程的概念1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何飞行员应如何确定投放时机呢？确定投放时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点第1页/共29页xy500o0,y 令10.10 .ts得10

2、0 ,1010 .xtxm代入得.1010 所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在 指定位置 txy解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以2100 ,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何飞行员应如何确定投放时机呢？确定投放时机呢？(x,y)第2页/

3、共29页( ),( ).xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(2) 所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(2) 就叫做这条曲线就叫做这条曲线的的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数, 简称参简称参数数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可

4、以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有也可以没有明显意义。明显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数第3页/共29页例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已

5、知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上上, 求求a的值。的值。23 ,()21.xttyt为参数 一架救援飞机以一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.在离在离灾区指定目标灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到少？（精确到1m）变式变式:第4页/共29页训练11、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、21,(43xttyt 为 参 数 ）25(,0);16(1, 3);

6、25(,0);16B)0 , 1 (),21,21()21,31()7 , 2()(2cossin2DCBAyx、，、的一个点的坐标是表示的曲线上为参数、方程( )C第5页/共29页 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上. （1）求常数）求常数a; （2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.212 ,().xttyat 为参数,aR解解:(1)由题意可知由题意可知: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C的方程为的方程为: x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得: 12xt

7、代入第二个方程得代入第二个方程得: 21() ,2xy2(1)4xy为所求.训练2：第6页/共29页小结：小结： 一般地，在平面直角坐标系中，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 ( ),( ).xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程， 系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。第

8、7页/共29页选修选修4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程信宜第二中学信宜第二中学 高二数学高二数学1、2班班第8页/共29页yxorM(x,y)0M第9页/共29页)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三，设，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt第10页/共29页转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取考虑到00)(sincosOM

9、OMOOMrOryrxt第11页/共29页圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数第12页/共29页由于选取的参数不同，圆有不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示不

10、同的参数方程，它们表示 的曲线可的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值数参数时，要注明参数及参数的取值范围。范围。第13页/共29页例、例、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)第14页/共29页例例2 如图，圆如图，圆

11、O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆作匀速圆周运动时，求点周运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ第15页/共29页)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM第16页/共29页径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx第17页/共29页选修选

12、修4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程信宜第二中学信宜第二中学 高二数学高二数学1、2班班第18页/共29页cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由参数方程得：所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。第19页/共29页（1 1）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方程如：参数方程如：参数方程.sin,cosrbyrax消去参数 可得圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y

13、-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取值范围保持一致。的取值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的. . 参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：第20页/共29页例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？表示什么曲线？1()12tytx= t(1)为参数sincos().1 sin2y

14、 x=(2)为参数(1)11231)1 1xtyx 解解 ： 因因 为为所所 以以 普普 通通 方方 程程 是是（ x x这这 是是 以以 （ ， ） 为为 端端 点点 的的 一一 条条 射射 线线 （ 包包 括括 端端 点点 ）2(2)sincos2 sin()42,2,2,2.因为：所以所以普通方程是xxxy x 第21页/共29页练习、练习、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）

15、（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。第22页/共29页例、例、求参数方程求参数方程)20()sin1 (21|,2sin2cos|yx表示表示（ ）（A）双曲线的一支）双曲线的一支, 这支过点（这支过点（1,1/2）：）：（B）抛物线的一部分）抛物线的一部分, 这部分过（这部分过（1,1/2）：）：（C）双曲线的一支）双曲线的一支, 这支过点（这支过点（1, 1/2)（D）抛物线的一部分）抛物线的一部分, 这部分过（这部分过（1,1/2)B第23页/共29页小结小结: : 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常参数方程化为普通

16、方程的过程就是消参过程常见方法有三种：见方法有三种：1.1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消然后代入消 去参数去参数2.2.三角法：三角法：利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3.3.整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征, ,从从 整体上消去。整体上消去。化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中注：在消参过程中注意意变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根据参数的取，必须根据参数的取值范围，确定值范围，确定f(t)f(t)和和

17、g(t)g(t)值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。第24页/共29页参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（2 2）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：直线如：直线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）为参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化为参数方程可以化为参数方程 .cot,tanyx （为参数）第25页/共29页例例3 3 (1)设x=3cos ， 为参数；2.tt(2)设y=， 为参数22194xy求 椭 圆的 参 数 方 程 。223 13 1222xtxtytyt （ ）参参数数方方程程是是或或22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32为参数思考：为什么思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？的参数方程？第26页/共29页x,yx,y范围与范围与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范围相同，的范围相同，2tytx代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，从而后满足该方程，从而D D是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程. .2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytyt