数与代数课标解读

1、数与代数内容分析与教学建议尊敬的各位领导，各位老师大家好！我是来自东小的数学教师贺蕾。首 先，感谢各级领导为我们提供本次交流、学习的机会。在这里我们三位工作 站成员主要对“数与代数”这部分内容，围绕以下四个问题，和大家交流我 们的认识及理解。在“数与代数”这领域中我们要研讨的主要问题分别是：1. 如何建立“数”的概念？2. 如何处理运算教学中的算理与算法的关系？3. 如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡？4. 如何在正反比例教学中体现函数思想？ 我将重点和大家交流数与代数领域中的数的认识这个话题，主要围绕 “如何建立“数”的概念？”和大家谈谈我对新课标的感悟。希望通过交流能够引

2、发大家更多的思考和共鸣。 下面我们先进入第一个话题的交流 问题一： 如何建立“数”的概念 一、课标中“数的认识”有何变化 。数的概念是数的认识这部分内容当中一个重要的内容， 那关于数的认识 在新课标当中又有那些变化呢？整体来说新课标中对数的认识的要求变化和调整不大， 主要是在第一学 段增加了“ 知道用算盘可以表示多位数 ” 。这一要求主要还是考虑到咱 们中国文化的因素， 以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学中 的作用问题所提出的建议。 在第二学段则重点强调了要加强对数的意义的理 解。那教学中我们如何建立数的概念呢？怎样把握这个教学重点呢？老师 们在实施这部分内容当中又要注意哪些问题呢

3、？二、在建立数的概念中要注意的问题 学习理解数的意义， 建立正确的数的概念应该说是我们认识数的教学中 重要的任务之一，我们一般从两个角度去理解数的意义， 一是从数的组成 去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联系生活实 际来体会 ，通过在具体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽 象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。在实际教学中 我们 要把这两种方式有机地结合起来 ，这样更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。那么关于如何建立数的概念，在这里我们给大家提五点建议，供老师们 参考：因为整数教学的重点是在于是学生从数量抽象到数， 而抽象就离不开直 观的现实的情景

4、做支撑，所以第一点要提到的就是：1、注重借助具体情境理解数的意义 学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感 知，他们会读、会写，会说一些具体的数。我们在教学中就要关注从现实情 景抽象出数的过程，例如从具体的 2 头牛， 2 个人，2 个小樱桃等等，抽 象为 2 这个数。这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把 具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“ 2 ”。反过来， 2 可 以表示任何具有 2 这样数量特征的事物，例如 2 只铅笔， 2 个人、 2 只 小动物等等，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富含义，比如计 数的数、数量的数、度量的数和计算的

5、数。也就是说在教学中我们要让孩子经历从生活具体到数的抽象的过渡， 然 后再由抽象到具体的一个过程。2、注重借助动手操作理解数的意义 我们还可以通过非常熟悉的计数器，小棒等等这些教具和学具，让孩子 通过数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，来感受具体的数量。3 、注重借助多种模型理解数的意义在数的认识过程中， 我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建 立数的概念，比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐 建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系， 并且能够知道这个大小和现实 中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。下面我们给老师举个 例子，就以方块模型为例， 比如说： 10 个

6、一是十， 10 个十是一百， 10 个 一百是一千， 10 个一千是一万，通过几何图形的点、线、面、体，使 学生在头脑中建立 “一、十、 百、千”的映像，同时建立十个千就是一个万， 在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一” ，对于学生理解基数单位 和位值制是有很大好处的。其实，在分数的认识中我们也可以借助多种模型帮助学生理解分数的意 义。首先，分数面积模型就很好的帮助孩子们理解分数的意义，教材中呈现 了部分和整体的关系表示分数，如一个圆平均分成四份，一份就是整体的1/4 ，引导孩子理解分数的意义呈现了许多面积模型；还有一种分数集合模 型，分数集合模型与面积模型有着密切的联系， 它是用子集和

7、全集表示分数。 不过从理解上看，集合模型更难，水平上升了一层。难就难在单位一不再是 一个整体，而是把几个或更多的物体看成一个整体，所取的一份也不再是一 个，可能是几个或更多。这就需要孩子有更高程度的抽象能力。核心在于把 整体看做一个整体，孩子们的认识更抽象了；在分数教学当中，数线模型也是孩子们认识分数的一个更高水平的体 现，从面积模型到有序地排列在一起，就抽象出了数轴，在数线上找到分数 的对应点， 每个分数都有了位置感。 反过来，每个分数又能找到相对应的点； 分数墙对帮助学生理解分数意义上也发挥着形象直观的作用， 尤其对分数单 位，分数单位的个数，简单的分数加减法，分数墙读能发挥很大的作用。这

8、 些模型在帮助学生理解数的概念起到了很好的作用。刚才说了 3 点要注意的问题，下面说一说第四点，也就是在数的概念建 立的过程中最重要的一点。4、注重把握核心概念理解数的意义 老师们都不陌生的，一说到数的认识，位置制，也就是十进制计数法， 包括数位， 计数单位等一系列都是孩子们在认数过程当中老师应当重点讲解 的核心概念，所以在这里还是要给老师们提出几点想法：第一点就是（ 1 ）重视 10 的概念的建立10 的认识应当说是学生认识整数的一个重要基础，因此在教学 10的认 识时，我们一定要注意要让学生在亲自动手操作当中去感受到由 9 再加 1 变成 10 的过程，在这里小棒的作用是相当重要的，可以通

9、过数、摆、捆、 拨、说等活动，让学生感受 10 个一是 1 个十。在后续教学当中， 比如 11-20 各数的认识中仍然要关注 10 的概念的建立，让学生体会满十进一的过程。 在这里给大家举个例子吧：比如在教学 1120 的认识时，为了凸显 10 的作 用，教师可设计摆小棒的活动，怎样摆一眼就能看出是多少根小棒呢？那肯 定是 10 根一捆的容易看出，如果有学生不认可，我们可以做个小游戏，同 样 13 根小棒，一种摆法是零散摆的，另一种是 10 根一捆，再摆 3 根， 2 秒 钟看谁能快速数出小棒的根数，那肯定是 10 根一捆这种摆法数得快，由此 让学生感受了 10 的作用。我想在我们的教学当中为

10、了帮助学生了解十进制计数法和位置制， 我们还要重视计数单位的建立，这就是第二点建议：（ 2 ）重视计数单位： 为帮助学生了解十进制计数法和位置制，要重视数计数单位 逐步建立 新的计数单位， 10 个一是 1 个十，10 个十是一百， 10 个百是一千， 10 个 千是一万， 10 个万是十万， 10 个十万是一百万， 10 个百万是一千万，从 而引出新的计数单位十万，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分 体会每数满 10 个单位就产生一个新的计数单位， 感受了两个相邻计数单位 间的进率是十。计数单位是数的核心，也是非常重要的一个概念，要让孩子亲身经历这 样数的一个过程，而不是把它作为一个

11、事实，让孩子记住就可以了，经历过 程很重要。（3）重视数位和位置制的理解 说到数位，大家都不陌生，为了表示更大的数，数位的概念的建立是必 要的，认识个位，十位，百位，千位，万位等不同数位，理解不同数位上的 数字表示的是大小不同的数，这对于孩子们理解整数概念是必须的，让孩子 们必须清楚的了解同样是这样一个数字， 比如3，在个位上，就表示 3个一， 在十位上，就表示 3 个十，在百位上就表示 3 个百，就把刚才孩子们在数数 的 大小的感觉用位置简洁明了地表示出来。刚才说到要重视数位和位置制的理解， 那所谓的位置制其实就是相同的 计数符号由于它所处的位置不同，它表示的数的大小就不同，有了位置值， 可

12、以说就是用有限的数字来表示无限的数， 应该说位置值是记录历史上一个 创造，一个奇迹。马克思在他的数学手稿当中就称十进位置值计数法为 最妙的发明之一，这也是人类文明的一个精华。（ 4 ）重视数位顺序表的使用 随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表， 从认识 20 以 内 的数起就让学生了解个位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认 识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表， 在认识整数的最后一个单元里 学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩 展，先扩展到万级，再扩展到亿级。数位顺序表有助于学生了解十进制计数 法，理解数的意义并掌握读、写数的方法。刚才在数概念的

13、建立的第 4 点建议“注重把握核心概念理解数的意义” 中，我讲了四个关键的着力点。关于如何建立数的概念，还有最后一点建议：5、注重在循序渐进中理解数的意义 学生对数概念的理解绝不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程，其 实教材的编排也体现了这个原则，比如说自然数，从 10 以内数的认识，然 后到 1120 各数的认识，百以内数的认识，甚至到万以内数的认识，亿以 内数的认识，到大数的认识都是遵循这种原则的。再比如小数分数的认识也 是这样的：从初步认识，到小数分数意义的理解，那么学生的认识也是在这 种不断地螺旋上升的过程当中来逐渐形成的， 因此在教学当中我们要注重把 握好每一阶段我们所要完成的任务

14、。那我们就以分数的认识的五个阶段来说明，我们共同来看一下：第一阶 段平均分，二年级时就认识，它对认识分数起着至关重要的作用；第二阶段 在分数初步认识的教学当中要帮助学生建立部分与整体关系的认识， 让孩子 去感受分数； 第三个阶段是在分数意义和基本性质的教学当中要重点使学生 理解分数的比率和度量这两个维度，比率也就是分数，它不仅表示数，比如 1/2 米， 3/5 千米，还表示一种关系，即部分与整体的关系，如把一个原平 均分成 4 份，每份就是它的 1/4 ，还有部分与部分的关系，如妹妹有 3 个苹 果，姐姐有 5 个苹果，那妹妹的苹果就是姐姐的 3/5 。这样就是让孩子从不 同方面加深对比率维度

15、的理解。度量是可以将分数理解为分数单位的累积， 比如 3/4 里面有 3 个 1/4 ，实际上就是将 1/4 作为单位来度量 3 次的结果， 着名的数学家华罗庚曾经说过“数起源于数，量起源于量” ，所以对度量的 研究可以大大的丰富学生对分数的认识， 那么度量维度的体验也直接作用于 分数加减法的学习当中去； 第四个阶段就是在与除法的关系的教学当中重点 发展学生对分数运作的理解， “运作”主要是将分数的认识转化为运算的过 程；到了第五个阶段就是在分数的运算和解决问题的教学当中要鼓励学生综 合运用对分数意义理解的多个维度。其实这五个阶段并不是孤立的，更不是线性的排列的。所以我们在教学 当中不能僵化的

16、理解为到了这个阶段就必须或者是只能达成对某个维度的 学习，在这五个阶段要不断的帮助学生去完成对分数的意义的认识，来共同 帮助学生实现对分数意义理解的不断地发展和整体的建构的这样一个过程。 总之，数的认识是一个循序渐进的过程，需要我们老师在日常的教学当中系 统的进行教学设计，这样才能让学生真正理解，熟练的运用。我感觉就分数这一个概念，其实孩子的认识是一个全面的过程，刚才提到了一个词叫整体建构， 我想作为老师首先应该对每一个核心的数的概念有 一个整体的认识，才能够全面布局，有的放矢，在不同的课时当中达到不同 的目的，也就是吴老师说的专业的读教材。那关于如何建立数的概念这部分教学， 接下来我结合刚才

17、的讲解给老师 们提一些具体可行的教学建议：三、 建立数概念教学的具体建议（一）在数认识中体现数感。 数感的建立非常重要，教师要设计多种 活动培养学生的数感。（二）整体把握内容之间的联系： 两个学段相关内容的整体把握和递 进与衔接。（三）鼓励学生进行数学交流，关注数的应用 。关于数的认识包括从 数的意义、数的表示、数和数之间的关系、数的应用；其中数的应用不仅仅 是一条主线，而且渗透在整个学习中。教学中要提供机会鼓励学生运用数来 表示日常生活中的一些事物，并进行交流。第一个问题“如何建立数的概念”我就和大家交流到这，下面请聂 秀琴老师继续和大家交流第二个问题 “如何处理运算教学中的算理与算法的 关

18、系？”下面由我和大家交流第二个话题。 二、如何处理运算教学中算理与算法的关系 。 大家都知道，在我们小学数学的学习当中，孩子们伴随对整数，分数和 小数的陆续的认识，还要系统学习加减乘除的运算法则，甚至还有综合在一 起的综合运算，那有关数的运算这部分教学内容老师们都不陌生，都是传统 的内容，但在我们以往的教学当中，一提到运算，似乎就是教会孩子们怎么 算，孩子们只要算对就好了，要是算的又对又好就更好了，只要结果对就达 到教学目标了。 那在我们课标的修订版当中对这部分教学内容又有哪些新的 要求呢？当我们面临着算理与算法如何有机结合的时候， 还是我们教师师教 学当中的一个难点， 那首先我先围绕课标这部

19、分内容的变化之处跟大家进行 交流。一、课标对“数的运算”有什么新要求新课程标准中明确指出， 在数学课程中，应当注重发展学生的运算能力。 那什么是运算能力呢？其实运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确 地进行运算的能力。 培养运算能力其实非常有助于学生理解运算的算理， 从而寻求合理简洁的运算途径解决问题。也就是说学生不仅要会算，更要关 注算理的理解。孩子如果掌握算理了，在运算的时候就会合理的选择，去运 用了。同时在课标解读中也强调“应当淡化对运算的熟练程度的要求。 注重选择正确的计算方法， 准确地得到运算结果， 比运算的熟练程度更重要， 更有价值。所以我们应当重视学生是否理解了运算的道理，是否

20、能准确地得 出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度。 ”这一目标的提出就要求教师 在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的掌握，更要注重学生理 解算理、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理与算法有机的 结合在一起，从而发展学生的运算能力。这样看来，虽然速度要求降低了，其实目标要求更多元了，对孩子综合 能力的要求更高了，也就是更关注孩子的思维发展了。其实学习数的运算的 过程就是发展逻辑思维、能力的过程，因为学生学习理解和掌握数的运算的 内容的时候，它首先要经过从具体到抽象，然后再从感性到理性的这样一个 过程。当他掌握了以后又要把这些知识应用到实际当中去，在应用的过程当 中其实他又

21、要经过一个由一般到特殊的这种演绎的过程。 因此数的运算的学 习确实有利于发展学生的思维能力。 这就需要我们教师在教学过程当中不仅 仅要关注结果关注方法，其实更要关注的是得到结果和得到方法的思维过 程，这个思维过程其实就是学生理解算理、掌握算法的过程。那小学生其实 仍然是以直观形象思维为主的，可是算理算法呢，又十分的抽象，因此如何 去结合学生的思维特点去处理好运算教学中算理与算法的关系往往就是我 们教学的难点所在。 那我们可以结合学生的年龄特点借助生动有趣的童话情 境、借助直观模型、借助学生已有的认知基础和生活经验，处理好运算教学 中算理与算法的关系。那在这里我结合具体的课例跟老师们交流三个策略

22、。二、如何处理运算教学中算理与算法的关系 策略一、借助生动有趣的童话情境，处理好运算教学中算理与算法 的关系。小学生，尤其是低年级的学生，他们更多的是以形象思维为主，因此创 设生动有趣的童话情境，不仅能够很好地调动他们的学习积极性，更能够借 助童话情境帮助他们理解算例、掌握算法。在这里我和老师们分享我的一个教学案例：在教学 20 以内进位加法 一课中，我就为学生创设了学生喜爱的小动物上车的童话情境来帮助学生理 解进位加的算理。首先孩子们看到了车上一共有 10 个座位，有 9 只小动物 坐上来了，这时又来了 5 只小动物，那么现在一共有多少只小动物呢？这样 就引出了 9+5=？这时孩子们借助自己

23、喜欢的情景立刻就会想到把 5 分成 1 和 4，那这个“ 1”自然而然就产生了， 孩子们觉得得让一只小动物先坐上去， 这样 10个座位就满了，就由刚才的 9+5通过分析要把 5分成 1和4，于是孩 子就转化成了 10+4=14。这样的一个情境学生在轻松、愉悦的童话情境中， 顺利的理解和掌握了进位加的算理与算法。这 10 个座位的设计，帮助孩子在解决小动物们坐车的问题当中就理解 了这个 9+5 怎么变成 10+？，而且是为什么是 10+？，很符合小学生的年龄 和心理需求以及他们的思维特点，这样就使枯燥的数学变得生动有趣，让抽 象的算理变得直观形象，使学生在明理中顺利、自然而然的掌握了算法。低年级

24、学生更多的是以形象思维为主， 我们可以借助学生喜欢的童话情 景、生活情景来帮助学生理解算理与算法，那到了中高年级我们就可以借助 一些直观模型来帮助孩子处理好运算教学当中理与法的掌握。策略二、借助直观模型，处理好运算教学中算理与算法的关系。 下面还是结合一个课例来和老师们交流： 皇城根小学史冬梅老师上的两位数乘两位数一课中，史老师就很好 的结合三年级学生的思维特点， 借助直观模型较好地处理了算理与算法的关 系。史老师在这节课上没有将会写“竖式”作为最终的教学目标，而是在学 生已经能够初步掌握竖式计算方法的基础上，引导学生探寻方法背后的道 理。并提供给学生直观的点子图作为研究素材，在研究中，学生们

25、呈现了丰 富多彩的成果。虽然学生们的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一 致的，这一点恰恰就是乘法竖式运算的基本思路。在这之后，史老师再次将 分点子图与竖式进行了对应， 引导学生一步步深入地理解竖式计算中每一个 细节背后的道理。“分点子图”不仅给学生创造了积累活动经验的宝贵机会， 同时又使学生能够借助直观模型，较好的理解了两位数乘法算法背后的道 理。其实在我们以往的教学中，并不太重视引导学生探索计算的过程，或者 当学生刚刚探索出方法后，就立即引导学生学习竖式，在学生对竖式运算的 每个环节没有真正理解的情况下就开始追求计算方法。 这就很可能造成学生 在没有真正理解道理的情况下，只能靠记忆法则

26、来习得方法和技能。这显然 对学生的发展是不利的，那史老师这节课恰恰是为学生真正地、扎扎实实地 经历理解的过程提供了鲜活而典型的案例。 所以在教学中教师要舍得拿出时 间让学生有机会经历，有机会感受，有机会理解，有机会创造。新的课程标 准中也明确提出了学生活动经验的目标， 它背后深远的意义还需要广大教师 在自己的实践中开动脑筋，深入挖掘，潜心感悟。老师们，刚才我们介绍的两位数乘法的这个案例是借助直观模型来 帮帮助孩子们理解算理和算法，那是不是所有的计算课都要借助直观模型 呢？当然不是这样的。应该说直观模型确实是在帮助学生理解算理、掌握算 法这方面发挥了很大的作用， 但是我们还要结合具体教学内容借助

27、学生已有 的认知经验、生活经验来理解算理与算法的关系。策略三、借助学生已有的认知基础和生活经验，处理好运算教学中算理 与算法的关系。我们还是结合一个案例来说明：北京小学于萍老师曾经上过的小数加 减法一课，在这节课中于老师就是借助学生已有的认知基础和生活经验， 帮助学生理解小数加减法的算理。于老师让学生自主进行编题，看谁能编出 新情况，其中就有一名学生编出了一道 += ，老师们一看就能敏锐的捕捉到， 这是一个一位小数加两位小数，这种类型将要揭示的“小数点对齐”是本节 课的重点所在，也是小数加减法处理算法讲算理的重要时机。为了让学生有 机会调动已有的整数加减法的认知经验， 经历判断、 推理、抽象的

28、思维过程， 于老师就让每个学生自己试做，并说明自己这样做的道理。当孩子试做完成 后，于老师就问孩子们：整数加减法都是把末位的数字对齐，可这道题为什么不末位对齐呢？ 有的孩子就说：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小 数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐。此时老师的这个问题就引发 了他的辨析和思考。还有的孩子说：把小数点对齐，也就是相同数位对齐了。 看来孩子对 方法有了理解了。除此之外还有的孩子说：如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十 分位的 8 就和百分位的 4 对齐了，相加之后肯定就不对了。那这时其实孩 子已经对计数单位有了理解了。 正是在这个问题的引导下孩子们思维得到

29、了碰撞，还有的孩子说：我举个例子说吧，比如买两样东西，一个是 元，也就 是 8 角，另一个 元，也就是 3 元 7 角 4 分，如果把末位的 8 和 4 相加， 就是用 8 角加 4 分，那肯定不对了。 孩子们一下就明白了为什么这样算， 浅显的例子说明了深奥的道理。 所以正是在这样的探究过程当中孩子们从小 数点对齐这个方法探寻到了背后相同数位对齐的道理， 以至于深入的理解到 了计数单位在计算当中的作用。那小数加减法在小学阶段数与代数这个学习领域当中到底占有什么样 的位置？我们又如何把握他与整数加减法的关系呢？在这节课上， 我们又如 何呈现知识的本质， 去抓住核心的概念进行教学呢？我想于老师的教

30、学实践 很好的回答了这个问题。 于老师在引导学生在探究小数加减法的过程当中于 老师始终抓住了本节课知识的“魂”实施教学，她没有满足学生能正确地计 算出结果，而是步步深入引导学生逼近数学本质的理解，来引发学生对小数 加减计算道理的深刻理解，也就是：小数加减法与整数加减法的本质意义是 一致的，即相同的计数单位相加减。像这样，将“讲理”与“明法”有机的 结合，让学生在理解算理的基础上总结算法，掌握算法，有助于学生更深入 地理解数学核心概念，才能够更好地 实现“培养学生根据法则和运算律正 确地进行运算的能力”的目标。在刚才这个案例当中提到了数学核心概念， 那数的运算当中核心概念到 底有哪些呢 ?我想无

31、论是整数小数还是分数的运算，其背后最核心的概念就 是计数单位。整数和小数运算当中的末位对齐也好，小数点对齐也好，其实 都是在统一计数单位，在计数单位相同的情况下，其实我们在算的就是计数 单位的个数。而分数运算同样也凸显了这个特点， 比如说同分母分数相加减， 为什么分母不变，分子相加减，就是计数单位是相同的，那到了异分母分数 要先通分，其实通分的目的也就是要统一计数单位。所以说从这一点来看， 应该说抓住了计数单位的教学，也就是抓住了数的运算的教学的核心。因此运算教学要讲理法融合， 只有让学生真切的理解了每一种运算背后 的道理，才能够让孩子更好的掌握算法，同时呢，也只有抓住了这种不变的 理，学生们

32、才能够可以具备自主探索运算方法甚至是创造性的选择运算方法 的意识和能力。新课程标准中对课程内容也有这样的表述，就是课程内容要 反映社会的需要，数学的特点要符合学生的认知规律，我想他不仅包括数学 的结果，也包括数学结果形成的过程，以及蕴含着数学思想方法的一个重要 的方面，那课程内容的选择要贴近学生的实际， 要有利于学生的思考和探索， 这种组织要注重过程，处理好过程和结果的关系。刚才我们的这个案例就是 要向老师说明就是在以往比较重视结果的教学当中如何把握好孩子们经历的学习过程。刚才在数的运算教学这个专题和大家进行了交流， 在这个专题的最后围 绕着数的运算给老师们提一些教学方面的建议：三、对“数的运

33、算”教学的建议（一）处理好算理直观与算法抽象的关系 。这个理是学生不容易理解 的，教师可以通过现实情境、直观的图、学生已有的知识基础等帮助学生去 理解。（二）处理好算法多样化与算法优化的关系 。算法多样化，要关注学 生的个性，可能这个学生适合这样的方法，那个学生喜欢另一种方法，但是 它们背后的道理是一样的，老师要想办法通过不同的方法，让学生去理解这 个道理，使学生能够更有效的进行数学学习。（三）处理好技能训练与思维训练的关系 。它不是一种单纯的、机械 的、做题量的积累， 在这个过程当中， 要注重帮助学生积累经验， 发展思维（四）注重计算与日常生活以及解决问题的联系 。学习加减乘除的计 算，最终

34、要为解决问题服务，在解决问题过程中，让学生体会到计算方法的 实际价值。以上就是我对前两个问题的感悟理解， 下面请赵丽君老师和大家谈谈关 于方程教学如何渗透代数思想三、如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡 下面我和老师们一起交流第三个话题： 如何在方程教学中帮助学生经历 从算术思维向代数思维过渡 ？有的老师也说这叫如何渗透代数思想。老师们都非常清楚： 数学思想方法呢，应该说它是人们对数学知识和本质规律的认识，也是 我们分析、处理与解决数学问题的根本途径。那么代数思想方法呢，它是数 学思想方法当中最重要的内容之一， 也是培养学生抽象思维能力的重要的素 材。那么到底什么是这种代数思想

35、呢？我想在这里简单地跟老师们做一个 解读。代数思想是运用字母来代替具体数值进行思考的一种思维形式。它是 一种特殊的抽象思维形式。老师们都知道，算术是“数” 的运算，而代数则是“式”的运算，这 也是算术与代数的一个根本的区别，一个差异。算术它应该是代数的基础， 没有算术那么孩子们很难去理解代数中的很 多的知识及一些核心的东西，所以说算术是代数的基础。而方程呢，则是我 们代数的一个主题。所以有关方程的教学也自然而然的就跟代数思维，和这 样的一个思维水平紧密的挂起钩了。算术思维方法应该说它主要是从具体问题的已知数出发， 通过对已知数 或计算产生的中间数来进行的一系列的计算而达到问题的解。 思考的过程

36、往 往是从已知数出发，最后达到未知数。它建立在数的运算之上的。而方程的思想方法呢，它是从设立未知数出发，根据未知数所应满足的 条件，把问题表示为含有未知数的等式，也就是建立我们的数学模型。然后 利用等式的性质对方程进行同解变形， 在变化的过程中它始终保持方程两端 对称的这种等量关系。从表示等量关系、保持等量关系，一直到求得方程的 解，它很好地体现了方程的这种结构的特点。所以维果茨基说代数对算术就 像书面语言对口头语言。这一比喻是非常形象的。那么如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维的过渡呢 ？在这里想提几点建议。 一是打好算术的基础，为学生从算术思维向代数思维的过渡做好积淀。 这一点

37、非常好理解就不再展开解读了。第二点是用字母代表数应该说是从算数思维迈向代数思维的起步， 所以 一定要提前做好孕伏。提到这个孕伏，我想一定不是等到了五年级学习字母 表示数，学习方程的时候，老师才想到，哦，我要培养孩子们的代数思维。 一定是在前期的很长的学习当中，老师就应该不断的有这样的一种意识，逐 渐地给孩子种下代数思维的种子，这样，到了五年级孩子们才能够比较好地 完成这样一次认识上的飞跃。从我们的教材来看， 其实也有很多这样的孕伏的契机， 值得老师们关注。 比如说在一年级的教材当中就有这种用括号来表示一个未知的数， 其实这就 是一个初步的孕伏。到了二年级也有一些用符号来表示未知数的，这是孩子

38、们初步感受的一个机会。 我们学校就有老师围绕这样的内容展开过一些深入 的研究，上过相关的研究课。再比如说教材当中还有一些用实物图片来表示 未知数的，在这里其实这个天平就已经是“方程”这样具体的这种模型的一 种初步的渗透了。到了字母表示数，其实就是对孩子们的这种代数思维提升 的一次重要的挑战。其实在教学当中，可能老师们也都有这样的感受，就是每一个孩子经历 从算术到代数的这种认识的转变，都会是一个很艰难的一个过程。而且这个 转变，对孩子们来说通常都不会是很快就完成的，需要经历一个比较漫长的 过程。我想这也体现了孩子们认知的一个客观的特点，需要我们老师们充分 的给予关注，并且给孩子漫长的转变过程、提

39、升过程，创造条件，并且给予 一些必要的辅导。下面以一些具体的案例和老师们交流一下。 用字母表示数这节课老 师们都非常熟悉。在这节课当中，老师一上来就给孩子们带来一个神奇的魔 盒，一下子就抓住了孩子们的兴趣点。一个数进去之后进行加工，出来了一 个数，好像看不出什么。换了一个数再加工又出来了一个，先后进去几个不 同的数，出来的数有规律，孩子自然而然地就感受到了这个魔盒神奇的地方 所在，也就感受到了数的一种统一的变化规律。在这之后呢，就是数青蛙的活动，这也是很多教材的一种呈现方式。孩 子们随着一只青蛙、两只青蛙、三只青蛙，以及很多只青蛙数的过程当中就 会感受到：几只眼睛，几张嘴，几条腿，数起来，用数

40、总这样表示下去有困 难，自然而然也就产生了希望寻求一种新的方式来表达这种规律的认知需 求。这个时候老师把机会和空间留给了孩子们，给每个孩子这样一个小条， 请你来填一填，根据你的思路，几只青蛙，几张嘴，几只眼睛，几条腿。于 是孩子们不同的认知水平， 也可以说我们课堂上丰富的课程资源就在这个填 空的过程当中呈现了。有的孩子写无数只，都是无数只，只要这样数下去。 有的孩子就写 a 只青蛙 b 张嘴， c 只眼睛 d 条腿。是不太一样，但是也都 用字母来表示了。也有的孩子说 a 只青蛙 a 张嘴，b 只眼睛 c 条腿。从这 就能看出，孩子已经能够关注到这个只数和嘴数是相关的，所以在选用字母 的时候他也

41、一定有自己的思考。 也有的孩子说 a 只青蛙 a 张嘴，aa 只眼睛 aaaa 条腿。其实很儿童化的一种表示方式， 已经展现出了孩子对字母以及抽 象的这样的一种理解水平。当然也有的孩子能够达到这种水平， a 只青蛙 a 张嘴， 2a 只眼睛 4a 条腿。老师在这节课当中呈现了学生不同的思维层次。 第一个学生我们看到他 还没有走近用字母来表示数， 而且他只停留在用语言来描述数量以及它们之 间的关系。而第二个孩子他已经逐渐地开始走近了用字母表示数，但是他没 有表示出数量关系。第三个孩子走近了“用字母表示数” ，而且有了一定的 数量关系，但是还不全面。到了第四个孩子，应该说不仅走近了“用字母表 示数

42、”，而且他还明白了数量之间的这种关系，但是表示得还不够准确，还 需要教师的引导。 那么最后一个孩子，应该说他是完全走进了“用字母表示数”，而且能够准确地用字母来表示出数量之间的这种关系。在这节课上，最重要的、特别宝贵的就是老师把孩子们这些不同的认知 水平的素材都拿到课堂上，和孩子们一起探讨，一起去交流，在对比当中让 孩子们感觉到这些不同方法，它们哪一种更好，它们表示的意思有什么不 同？其实这个过程就是在帮助孩子们从算术思维逐渐地走向代数思维的一 个重要的过程。第三点建议就是，抓住方程思想的本质、核心，体现它的价值和意义。那到底什么是方程呢？教材为我们呈现的概念是， 含有未知数的等式就 叫做方程

43、。那么西南大学的陈重穆教授呢，也有他的想法。他认为：教材这 样的定义要淡化，不要记，更无需背，更不要考，关键在于理解方程思想的 本质，它的价值和意义。比如函数也是含有未知数的等式，我们教材当中许多的数量关系，也都 是用关系式的形式来呈现的， 如 s=vt ，就容易和方程混淆。 用字母来表示运 算定律也存在这样的问题， 如 a+b=b+a，那它是不是方程呢？还有我们老师 经常有争议的，孩子们也经常会写的 x=0，到底是不是方程？其实这些在我 们小学阶段，我们是不研究的，因为它不能够帮助我们寻求未知的信息。那在我们小学要研究的，应该说是，为了寻求未知数，在未知数和已知 数之间建立起来的等式关系。应

44、该说方程是一种关系，它的特征是“等式” 的关系，这种等式的关系，就把未知数和已知数联系了起来。我们借助这一 关系，就可以帮助我们去寻求未知数。所以方程的核心是要求未知数，是把 未知当成已知来对待，并且参与到运算当中，进而求出未知数。而教材的定 义呢，应该说恰恰没有很好的体现出这一点。所以我想在教学当中，我们不 仅要让孩子知道含有未知数的等式是方程，更应该抓住方程的本质、方程的 核心，它的价值所在。也就是我们的数学教学不应该仅仅的把目光放在形式 化的定义上，而是真正的把握好它的核心的内涵，和孩子们共同地朝着理解 内涵的方向去不断地努力。在实践当中，我想关于方程教学这一部分，孩子们确实会经常出现很

45、多 各种各样的困难和困惑，老师们也都有自己的想法。比如说，有关方程很普 遍的一个现象， 就是孩子们不能够很快地理解已知数和未知数之间的这种平 等的关系。其实这种平等的关系恰恰标志着孩子从算术思维向代数思维过渡 的一个水平，比如教学中可能经常会有孩子列出这样的方程，你非要让我用 含有未知数的等式写， 那就 x=100-203，反正也符合要求了， 但是很显然， 这是一个披着代数思维外衣的一种算术解法。这仅仅是一个算术解法，只不 过是换了一个形式。那针对这个困难点， 到底我们该怎样去解决呢？在这里我也提供一个案 例供大家分享。解决办法的第一点，我想能不能利用直观，使孩子去感受“=”表示相等的关系。因

46、为对于孩子来说，从一年级到五年级之前他们认为等号就是让 他写出算式的结果，那对于等号表示左右相等关系的这层意思，应该说在孩 子认识的前期阶段还缺少一些感性的认识。在陈千举老师上的方程这节 课中。吴正宪老师建议：能不能在教具上做些文章，做一个可以让学生到前 面动一动的天平模型，充分发挥天平的作用。于是陈老师就很好地借助天平 这个直观的教具让孩子充分感受到了等号表示的这种相等的关系。 在这节课 的前期陈老师是用天平作为直观的一个支撑。在后面的练习当中，吴正宪老 师又提出建议：天平教具做得好，能不能用的再充分些？于是，陈老师就把 原来的问题：“想一想，你能在图中找到相等的关系吗？”进行了修改。这 样

47、就更充分发挥了天平的主作用。 针对图一他提出的问题是： 你能像“天平” 那样观察图中谁和谁相等吗？这其实就是让一个隐形的天平出现在孩子的 脑子当中，其实就是有一个隐形的天平在支撑着他。对于图二他提出的问题 是：用相等的式子表示这两幅图中蕴含的“天平” 。这样的问题实际上就是 让孩子在思考问题的过程当中， 借助这个隐形的天平来感受等号左右两边相 等的关系。这样，通过老师有效的练习，就更充分发挥了天平的主作用，也 就可以帮助孩子更好地去理解。解决办法的第二点，就是将模型与生活建立起联系。这节课，在吴老师 的建议下，陈老师还让学生结合方程来讲故事。陈老师请一名学生和自己站 在一起，问：我们两个往这儿

48、一站，有方程吗？然后让孩子去构造方程。在 这个过程中，孩子根据老师和学生的身高，老师和学生的年龄，老师和学生 的体重，真的构造出了不同的方程。这就是把孩子需要的方程植入到生活的 实际情境当中，更近一步的来理解。我和老师们分享的第三个方法， 是把算术方法和方程方法进行有效的比 较，在对比中强化孩子对方程的认识和理解。这种方法我觉得在实践当中老 师们用的也比较多。在我们有关方程的教学当中，刚才已经和老师们看了一 个孩子们普遍存在的一个困难，这个例子刚才已经看过了，就不再解读了。 另外一个困难，看上去是一个形式的困难，但实际上反映出的也是一个孩子 对方程的理解上的一个认识的差距， 就是孩子在书写格式

49、上总是容易出现各 种各样的问题。 尤其是类似这样的 x+6=10=10-6=4 ，很显然孩子的这种变换 方式，他是停留在这种恒等的变换方式上，并没有提升到对同解的变换的这 种理解。我想这种形式上的书写格式上的问题也不容我们忽视，也应该透过 这种现象去分析孩子在认识以及理解水平上的一些差异， 给予孩子一些更深 层次的指导，而不是仅仅停留在 “这样写不对，你擦了重新写，要这样来写” 而已。对这一问题，我们有没有更好的解决的办法呢 ?我想能不能更好地去发 挥等式的作用呢。因为孩子在学等式的性质之前，如果借助四则运算各部分 之间的关系，它同样也能够达到解方程，但是它毕竟还是停留在算术的思路 上，还没有

50、迈向方程思想， 所以这样的话， 利用四则运算各部分之间的关系， 可以，但它不利于中小的衔接，也更不利于孩子到中学学习的一个起步。所 以这样的话呢，我们可以借助等式的性质，更好地让孩子去体验、感受方程 左右两边相等的这种关系。这样就从表示等量关系、保持等量关系，再到求 得方程的解，应该说个过程就体现了方程的结构的特点，也更好、更有利于 孩子去理解、感受方程的这种本质。这样这个心里的天平就从始至终地发挥 着重要的作用。那针对方程的教学，也和老师们分享两个教学建议。第一点建议就是准 确地把握内容定位，正确地理解其价值。那这个定位是不是就指：关于老师 们在教学当中说的，等式的性质解方程有的时候并不好用

51、，我是不是只要用 代数方法，算术关系让孩子们能解出来就行了。对于这个问题，我想还是需 要我们不断地提升对 “用等式的性质解方程这样的一个教学要求的价值” 的 深入的理解，进而更好地来设计我们自己的教学。第二点建议就是有效地开 发教学内容，为学生代数思维的形成应该做好前期的铺垫和孕伏。关于方程教学的交流，我就交流到这，下面请艾主任和老师们交流第四 个话题“如何在正反比例教学中体现函数思想？” 。四、如何在正反比例教学中体现函数思想。在六年级的数学教学当中， 正比例和反比例一直都是一个很重要的内容， 这部分内容同样肩负了一次让孩子认识上经历飞跃的一个重要任务。可以 说，学生在此之前从大量的对“常量

52、”的也就是具体数据的认识和感受的经 验当中逐步的要过渡到认识“变量”，这也是函数思想渗透的重要契机。但是，函数在我们小学教学当中是不出现的，那么怎样在小学学习正比 例和反比例过程中有效地渗透函数思想呢？在第二学段中，引入正比例与反比例，它是一类常用的数量关系，这老 师们都很熟悉，那么这部分内容的学习是函数思想在小学的具体的体现。在现实中，其实有许多数量关系可以表示为成正比例的量或成反比例的 量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。 我们先来看一下正反比 例的含义：其实老师们都很熟悉了。如果一个量增加或者减少，另一个量按 一定的比例增加或减少，这两个量是成正比例的量；如果分别用 X 和 Y

53、表 示两个变化的量，则可以表示成 Y=aX（ 这里的 a0）; 反之如果一个量增加或 减少，另一个量按一定的比例减少或增加，两个量是成反比例的量；如果也 用 X 和 Y 来表示的话，就可以表示成 Y=a/X ，或 XY=a（ 这里的 a0） 。通过刚才所说的，我们更加明白了正反比例的关系，知道了正比例和反 比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，但要让学生 感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的认识和理解更加丰富，二 是为第三学段也就是孩子们进入中学的学习， 进一步学习正反比例函数以及 学习一般的函数知识做好充分准备。所以教学中应与实际情境紧密联系，用 具体的学生可以理解

54、的具体的方式呈现这些内容， 引导学生从数量关系的角 度，以及两个量之间变化的规律的角度来理解和掌握这个内容。那例如学生对“正反比例”的学习，其实就是从简单的“数量关系”过 渡到对“变化关系”的认识和学习。以前是“数量”关系，他现在得学会认 识“变化”，与以往的教材和教学要求相比，在方格纸上画图是一个新的要 求，以前就是让孩子认识正比例及反比例的关系，现在教材中也出现了“正 比例”及“反比例”的图像，那么这些图像它的价值是什么？教师该如何发 挥好“图像”的作用，更好地去体现和渗透函数思想呢？下面就结合具体的案例来谈一下这个问题。北京实验一小郭雯砚老师执 教的成正比例的量，在这节课上郭老师就紧紧抓

55、住了“图像”，作为帮 助学生认识和理解正比例关系的重要素材。我们先看一下郭老师是怎样讲的，在当时课堂上，孩子们通过数量的研 究，不难发现这样一组关系，而且也用字母表示出了这样一组关系，在这之 后，按以往的教学， 就已经达到目标了， 就是在这个时候， 郭老师把 “图像” 作为正比例关系表示的第三种方式隆重地介绍给了学生， 把它作为新朋友介 绍给孩子。因为孩子已经有了一些画折线统计图的经验，根据表格当中的数 据在图上去描点对于孩子们来讲并不难， 于是郭老师就把完成或者是寻求图 像到底长什么样子的经历放给了孩子们，让孩子们自己去描点去画，但是就 在画的过程当中，孩子们又找到了新的问题，也就是当孩子们

56、把点都连好之 后，在 0 和第一个数据之间该不该连成了孩子们聚焦的一个新问题， 这时候， 也就凸显了图像的作用，其实，想想孩子们对于找点连线这个过程并不难， 但是这个没有出现的这一段数据到底有没有，该不该连就困扰了孩子，其实 孩子有点困惑是在哪呢，就因为他在学折线统计图中，其实那样的认识迁移 到现在的知识点是错误的，是一种负迁移，可是就是对这一部分的分析恰恰 体现了变量的含义，我们看看郭老师针对孩子存在困惑的地方也是难点所 在，是怎么处理的？当时课堂上郭老师就非常巧妙地利用课件运用信息技术 的辅助手段把这个局部放大，让孩子们去理解，就在路程和时间的变化当中 它会不会从“ 0”一下就变化到这个点

57、，孩子们马上就明白了，其实在这个 过程当中，应该有很多很多点，比如说汽车从 0 小时开始，到小时、小时， 它是要经历这样一个过程的，孩子们是有这个生活经验的，这样孩子们发现 这里面会有很多点，甚至很密，甚至是连续的，连成了一条线，就在这个点 越来越密的过程当中， 孩子们就丰富了对整个这一条图像的完整的认识和理 解，在这基础上形成对正比例图像的完整认识，看得出来，郭老师在学生根 据表格、算式等熟悉的方式表示出正比例关系之后， 巧妙地引出了 “图像”， 把它作为新朋友隆重的介绍给孩子们。让学生通过初步的猜想和分析，对图 像有初步的感知，这样也为后面深入而细致的研究奠定了基础。其实，正比例教学就是从“常量”数学到“变量”数学学习的启蒙阶段； 那图像教学呢能够直观地呈现两个变量之间的相依的关系， 你变了它也随着 变，使学生加深对正比例意义的理解。通过这节课的教学，可以有效地渗透 函数思想，促进中小的这种认识的衔接，为孩子们今后的学习奠