希尔伯特几何公理

1、希尔伯特几何公理佛山石门中学高二（2）邓乐涛、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用A,B,C,D来表示;直线用a,b,c,d来表示;平面用 点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素那么点，几何元素之间又有一定的相互关系点A在直线a上: AE a点A在平面a上：AQa直线a在平面a上：flUff （直线的每一点都在平面上）点B在点A与点C之间:BEAC （我自己规定的符号）线段AB与CD相等:AS =CD （原书是用三号的，不过对于我们不常见，所以我用了二号）艺与ZCOD相等：AOB =丄COD等等（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体

2、在叙述公理的时候再说）精选文库2在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的 最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。最简 单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对（x,y），定义线是tte刃|Av-hSy+C=O， 其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何 图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号E, U,=并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本 身没有含义，我只是借用过来化

3、简论述罢了。总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言, 我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几 何）公理I关联公理本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系:（为了方便论述，以后说二、三点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或 平面）li：对于两点A和B，恒有一直线a,使得（存在性）；12：对于两点A和B，至多有一直线a，使得几fie fl （唯一性）；（对于1,2,我们可以说两点确定一直线）13： 直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上;I4：对于不在同一直线的三点 A,B和C,恒有一平面a使

4、得化EGEff；（存在性）对于任一平面，恒有一点A，使得川盘;Is：对于不在同一直线的三点 A,B和C,至多有一平面a使得礼民CEff；（唯一精选文库3性）（对于4,5,我们可以说三点确定一平面）16：若且乩B E ff，贝y口 uflf;I7：若两平面厲，卩有一个公共点A，则他们至少还有一个公共点 B ；Is：至少有四点不在同一个平面上。以上。其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以 放弃了。公理II顺序公理本组公理有四条，规定了“在之间”这个关系。根据这个概念，直线上的, 平面上的，空间上的点才有顺序可言。IIi：对于点A,B,C,女口果BEAC,则点A,B,

5、C是直线上不同的三点；这时，S E G1也成立；（如图）II2：对于点A.B Efl.恒有一点cec，使得BE AC；（如上图）II3： 直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间;根据上面，我们就可以定义线段了:对于直线a和直线上的两点A,B ;我们把这一点对A,B称为线段，用AB或BA 表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。精选文库4II 4：设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a,若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段 AC或CB的一点（如图）以上。接下来定义射线先定义同侧：设A,A ,0,是直线a上的四点，而0在

6、A,B之间，但不在A,A之间,则A和A称为在a上点0的同侧，而A,B两点称为异侧。那么射线就定义为直线a上点0同侧的点的全体。比如与上图关于点0与B同侧 的射线我们记为0B （虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）公理III合同公理精选文库5本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。III1：对于线段AB和一点A恒有一点B使得线段AB与线段A等，记为因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同:= =，ABAB = = BABA BABA = = AA EAEA = = BBIII 2：若ABAB = = AA且ABAB = = AEAE，则=（根据1,2,我们才能得到线段

7、AB与自己相等，才能得到ABAB = = AA与等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根 据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一 个等价关系。）III 3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段A B在同一直线a上，且也无公共点。如果AB = AB RBC =出1,贝仏C =这条公理还要求线段能够相加，可以定义 AB+BC=AC （其中A,B,C共线）相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。我们先定义角的概念:对于不同一直线的三点O,A,B,射线0A,和射线OB的全体我们称为角，记为MOB。O称为阳的顶点

8、，射线OA，和射线OB称为召的边。精选文库6同样与A,B的次序无关。根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。III 4：对于 山。比 和一条射线O A在射线OAf在的一个平面内，有且只有一条射线O B使得以与必理0相等，记为AOB =以。而且有AAOB =以的。如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的AAOS = 叭 AAOB =上BOA = AAOBABOA =精选文库7然后先定义三角形：线段 AB,BC,CA所构成的图形，记为AEGIII 5：若ABC与A（r,有下列等式ABAB = = ABAB；ACAC = = ACZBACACZBAC = = wBZtwBZt则

9、有 ZABCZABC = = ZABTZACBZABTZACB = = ZACBZACB这条公理可以理解为三角形全等（SAS）,事实上SAS这个公理的直接推论。公理IV平行公理这条公理显得很苍白，但在历史上很重要先定义平行:对于同一平面上的两条直线线 a和b,a与b无公共点，则称a与b平行，记为mllb.IV（欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A 所决定的平面上，至多有一条直线 b，使得A &且比lib。根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。公理V连续公理Vi （阿基米德原理）：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n,使得沿着射线AB，

10、 自A作首尾相连的n个线段CD，必将越过B点。在这里必须说下数的阿基米德原理： 任意给定两个数a,b比1 0），必存在正整数精选文库8n,使 nabV2 （直线完备公理）：将直线截成两段a,b（不是直线），对于任意的A a, B b,则总存在一个点C，C AB。也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的 公理lIV的（书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的!、公理的相容性这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理 推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可

11、能的事 情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这 是根据哥德尔不完全定理得到的），那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向 了 “数”。我们只说明平面几何（因为好说明），立体几何类似。我们考虑的是实数域R。 点我们用实数对（笔y）来表示: 直线我们用Ax + Ey+C =0=0来表示:D =+= = C C。精选文库9两条直线A丄工+ Biy+G = 0 ,缶丈+比y+G = 0 0平行，当且仅当 点尸在直线I I上：FE/ 点BU卸）在点A伍丄訂与点C（程M1之间:(B E AC)：=(工 1 如 V2 2 C + (& rf) V (& =町 A(fl

12、 C)举个例子1 + 2说A 10000+说；3+ 2返詩十等等。也就是优先比较迈6的精选文库15x与y的后继数相等，则x与y相等大小.那么在这个顺序关系下，Q Q（说）并不满足阿基米德原理（由读者自己验证），所以 这是一个非阿基米德域。当然非阿基米德域还有好多好多， 比如说上面的域F,也可以找一个类似的序关系 来代替掉大小关系（这种序关系），使得F是一个非阿基米德域。再构造几何对象，那 就是一个除了连续公理（完备性和阿基米德原理两个个都不满足）的几何体系了。不过值得注意的是同 时满足阿基米德原理和完备性的就只有实数R了。这点也说明了希尔伯特几何的唯一性。些补充皮亚诺算术公理0不是任何数的后继

13、数2. VxVy(5x = Sy - X =y)3.（卩（心”灯龙3 T申3:0）讥兀为算术公理的任一公式这个就是数学归纳法4.+ O = jfA 龙1=北)存在零元和幺元精选文库165. VxVy(5C + y) = % + Sy)加法的定义6. VxVy(x * 5y =(X y) + x)乘法的定义这里Sx就是后继数，比如1的后继数就是2.这里的公理3,5,6决定了皮亚诺公理的不完备性，具体怎样就不说了，哥德尔不完备定理的证明用的是递归函数，然后递归函数又是以公理3,5,6所定义的。实数公理约定，所有实数记为庫，一部分实数X,记为XU底;X中存在实数X,则记为xex1.加法公理i) v%

14、Cjt + 0 = 0 + 咒=光)零元存在性2)VxB CX)U + (X)=(一兀!光=0)存在相反数3) VxVyVzfx + (y + 对=0+30+2)加法结合律精选文库174) VxVy (Jt + y = y + 咒)加法交换律2.乘法公理1)1)yr(xyr(x - - 1 1 = = 1 1 龙=工)幺元存在性2)2)Vx3x(CxVx3x(Cx 芷 0)0) T T (尤=x X = = 1)1)存在倒数3) VxVyVz(x (y 刃=(X y) z)乘法结合律4)4)VxVy(T-y=VxVy(T-y= y-xy-x；) )乘法交换律3.乘法对加法的分配率1)VxVy-

15、 (y + 刃y +X 刃4.序公理1)SfCx jf)反身性2)2)VxVyVxVy( (X(X y y AyAy - (x(x =y)=y)反对称性精选文库18x|x|x 2，3)3)VxVyVz(rcVxVyVz(rc y y 冷卩 刃 t (咒 刃)传递性4) VxVy (X y)V(y xj)任意两个实数都能比较大小5.加法和乘法与序的关系1)1)VxVyVz(xVxVyVz(x 刃 f f O O + + 盟 y y + + 刃)不等式两端同时加上一个实数，不等号方向不改变2)2)Vxyy(0Vxyy(0 幻 A A (0(0 y)y) T T (0(0 笙 K K y)y)正数之

16、积为正数6.完备公理1) VXVYVjrVy3c (仗 E X) A (y E-* (x y) t (x c 对于任意的两部分实数x,Y，满足对于任意实数xe X,yE Y,有无盂y.则存在一个实数C，使得xc2，那么不存在一个数xcy（区孤|忱|疋 2,ye復|玄2）,这个数就是返.精选文库19这里对应的就是直线的完备公理。关于公理系统什么是公理系统?一个公理系统可以这样理解：它是一个形式化的语言，由字符表（比如几何公理 中用A，a, a表示的点线面），形成规则（逻辑公理，就是推理的规则，还有非逻辑公理，就是我们给出的公理，比如说完备公理），还有公式（按照形成规则构成的字符串） 组成。他们没

17、有任何含义，就像一部按规则摆弄拼凑字符的机器罢了，它们给出的只是语法。而给出一个公理系统实际意义的，称为模型。比如实数1,2,3等等还有其加法乘法，就是上面实数公理的实际体现（把符号x,y,z映射到1,2,3,把符号+映射到“加法”这一概念上）。再比如说，这里几何公理中 A,B,C映射到真的点上等等。当然一个任何一个实际对象都可以放在公理系统中研究，只不过有时候会很难找到对应的实际意义。总而言之满足实数公理的对象，称作实数模型；满足几何公理的对象，称为几何而公理系统有几个特征:1.相容性：对于公理系统内任一语句 A，A和A不能同时成立;2.完备性：对于公理系统内任一语句 A，其真值都能得到判定;3.独立性：每一条非逻辑公理都不是其他非逻辑公理的推论。独立性没什么好讲的。在历史上引起巨大反响的是公理系统的相容性，还有独立性。精选文库20其中最出名的是哥德尔不完备定理:一、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系 中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到所有真命题、任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公