(完整word版)4与圆有关的计算(2014-2015)教师.doc

1、2015 年中考解决方案与圆有关的计算上课时间：学生姓名：毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 1 of 19与圆有关的计算中考说明内容基本要求略高要求较高要求弧长圆锥了解圆与圆的位置关系会计算弧长会求圆锥的侧面积和全面积自检自查必考点一、弧长公式由于圆周角课看做 360 的圆弧，而 360 的圆心角所对的弧长就是圆周长 C 2R ，所以在半径为 R 的圆中， n 的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：nRl180【注意】1. 圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；2. 公式中的三个未知量l ，n ，R 只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推得圆心

2、角的计算公式为：180lnR二、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度常见的多边形滚动问题有：1. 正三角形沿水平线翻滚；2. 正方形沿水平线翻滚；3. 各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；4. 各内角不相等的多边形沿水平线翻滚BACACBA毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 2 of 19ABCABAC三、扇形1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形2. 扇形的周长：在半径为 R ，圆心角的度数为 n 的扇形中，周长的公式为：nRC2Rl2R1803. 扇形面积的计算公式：nR2S36

3、01SlR （ l 为扇形的弧长）2【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算四、弓形面积的计算方法1.弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形2.弓形的面积计算： 弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算根据弧的情况不同，有以下三种情况：ABOAOBOAB当弓形所含的弧是劣弧时，S弓形S扇形 S ABC当弓形所含的弧是优弧时，S弓形S扇形 +S ABC1当弓形所含的弧是半圆时，S弓形S圆2毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 3 of 19五、圆锥1. 圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线

4、旋转而成的图形这条直线叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线2. 圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为 r ，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线l ，扇形的弧长就是圆锥的底面周长2 r ，因此圆锥的侧面积公式为：S rl3. 圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积公式为：S rl r 2【注意】圆锥面积计算公式中的r ，l 与扇形面积计算公式中的R，l 表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆4

5、.推论：已知扇形的半径为R ，圆心角为 n ， 扇形围成的圆锥的底面半径为r ，则可以三者之间的关系为：nr360R毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 4 of 19中考必做题模块一求弧长【例 1】 圆心角为60，且半径为 3 的扇形的弧长为（）A B C 3D 322【答案】 B【解析】本题考查了弧长公式：l = nR ，其中 n 为弧所对的圆心角的度数，R 为圆的半径180【例 2】 在半径为3 的圆中， 150的圆心角所对的弧长为（）A 1515C5D5B 4242【答案】 D【例 3】 如图， PA PB 是 e O 的切线，切点是A 、B ，已知P 60

6、 ，OA3，那么AOB所对弧的长度为（）APOBA 6B 5C3D 2【答案】 D【例 4】 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线 FK 1K 2K 3 K4 K 5 K 6 K 7叫做 “正六边形的渐开线 ”，其中?，的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，FK1， K1K2，K 2K3，K3K4，K 4K5，K5K6其弧长分别记为l1 ，l2，l3，l4，l5 ，l6 ， 当 AB 1时， l 2011 等于（）K5K6DEK4FCBA K 1K7K 3K2A 2011B 2011C 2011D 201123466012【答案】 L131806022L23180毕业班解

7、决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 5 of 196033L3180 36044L43180按照这种规律可以得到：n2011故选 BLn L201133【例 5】 如图，ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧 DE 、弧 EF 的圆心依次是A、 B、 C ，如果 AB1，那么曲线 CDEF 的长是 _【答案】 4 【解析】弧 CD 的长是 120 12 180，3弧DE的长是： 120 2 4，180 3弧 EF 的长是： 120 3 2，180则曲线 CDEF 的长是： 2+4+2 4+2 =433【例 6】 75的圆心角所对的弧长是2

8、.5cm，则此弧所在圆的半径是_cm 5756 cm【答案】由题意得：圆的半径R 1802【例 7】 如图，已知 RtABC 中，ABC90BAC30， AB23 cm，将 ABC 绕顶点 C 顺时针旋转至 A B C 的位置，且A 、B、C 三点在同一条直线上，则点A 过的最短路线的长度是（）cmABACBA 8B4 3C 32D 833【答案】弧长 = 120 481803故选 D毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 6 of 19【例 8】如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A 2cmB 4 cmC 8cmD 16cm【答

9、案】 B【解析】圆心移动的距离等于圆的周长【例 9】 在 RtABC 中， C 90， BC 4cm， AC3cm 把 ABC 绕点 A 顺时针旋转90 后，得到 AB1C1 ，如图所示，则点B 所走过的路径长为（）A5 2B 5cmC 5cmD 5 cm42【答案】在 RtABC 中， ABBC2AC 242325 ，?2 Rn 2590 5cmAB3602360故点 B 所经过的路程为5cm 故选 C 2【例 10】如图，把 Rt ABC 的斜边的位置若 BC 1 ，AC算结果不取近似值）AB 放在定直线 l 上，按顺时针方向在 l 上转动两次， 使它转到 A B C 3 ，则顶点 A运动

10、到点 A 的位置时， 点 A 两次运动所经过的路程 （计【答案】在RtABC 中，BC 1，AC3 ， AB 2，CBA 60 ，?1202 4?9033 AA3， A A1802180 点 A 经过的路线的长是4332【例 11】矩形 ABCD 的边 AB8，AD6 ，现将矩形 ABCD 放在直线 l 上且沿着 l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置 A1 B1C1 D1(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是_时毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 7 of 19【答案】 12【例 12】已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为

11、了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 米，半圆的直径为 4 米，则圆心 O 所经过的路线长是 _ 米【答案】 2+50【解析】解：由图形可知，圆心先向前走O1O2 的长度即 1 圆的周长，然后沿着弧O2O3 旋转 1 圆的周长，44最后向右平移50 米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，设半圆形的弧长为l，则半圆形的弧长(9090) 2，l =1802故圆心 O 所经过的路线长（2 50）米【例 13】如图，正六边形硬纸片ABCDEF 在桌面上由图1 的起始位置沿直线l 不滑行地翻滚一周后

12、到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O 运动的路程为 _cm 【答案】 4 【解析】解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60，正六边形的中心O 运动的路程正六边形的边长为2cm，运动的路径为：60 2=2；1803从图 1 运动到图2 共重复进行了六次上述的移动，正六边形的中心O 运动的路程62 =4 cm3毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 8 of 19模块二：求面积【例14】如图，点 A 、B 、C 在直径为 23 的 e O 上 ，BAC 45 ，则图中阴影部分的面积等于_（结果中保留 ）AOCBAOCB【答

13、案】连接OB ，OC ， BAC 45 ， BOC 90， e O 的直径为 2 3 ， BOCO3 ，2339033，13 S阴影 =S扇形 OBC S OBCS扇形 OBC3604SOBC233422【例151，从 9点到 9点 30 分，分针在钟面上扫过的面积是（）】钟面上的分针的长为A 1B 1C 1 D 248【答案】 A【例16ABC 中，C90 ，点 D 为 AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形 FBD 的】如图，在等腰直角三角形圆心分别为点A 、点 B ，且 AC 2 ，则图中阴影部分的面积为_（结果不取近似值）毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page

14、9 of 19CEFADB【答案】 BCAC ， C90，AC2， AB 22，点 D为 AB的中点，AD BD2 ，452 S阴影 =S ABCS扇形 FBD12222222360故答案为： 22【例 17】如图，等腰 RtABC 的直角边长为4，以 A 为圆心，直角边 AB 为半径作弧 BC 1，交斜边 AC 于点 C1 ， C1B1AB 于点 B1，设弧 BC1， C1B1 ， B1B 围成的阴影部分的面积为S1 ，然后以 A 为圆心，AB1 为半径作弧 B2C2 ，交斜边 AC 于点 C2 ， C2B2AB 于点 B2 ，设弧 B1C2，围成的阴C2B2 B2 B1影部分的面积为 S2

15、，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3 =_CC1C2C3S1S2S3AB3B2B1B【答案】根据题意，得AC1AB4 AC2 AB12 2 AC3 AB2 2 AB32阴影部分的面积S3454 121 36022【例185 ，圆心角等于 45的扇形 AOB内部作一个正方形CDEF ，使点 C 在 OA 上，】如图，在半径为点 D、E 在 OB 上，点?F 在 AB 上，则阴影部分的面积为 _毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 10 of 19ACF【答案】 53ODE B82【解析】连结 OF ，由勾股定理可计算得正方形CDEF 的边长为 1，则正方形

16、CDEF 的面积为1，等腰直角三角形COD 的面积为1 ，2扇形 AOB 的面积为 1525 ，88所以阴影部分的面积为 53 82【例 19】将 ABC绕 点B逆时针旋转到A BC使A、B、C 在同一直线上，若BCA90，BAC30，AB4cm ，则图中阴影部分面积为_cm2ACCBA【答案】 3【解析】此题需要把 BC 所在的圆补充完整，设它与线段AB 的交点为 D ，与 A B 的交点为 E 从而看出整个阴影部分可以割补成扇形ABA 的面积 -扇形 BDE 的面积即1224(42 ) 3【例 20】如图，正方形 ABCD 中，分别以 B、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶

17、形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A aB 2aC 1 aD 3a2【答案】 A【例 21】如图，一根5m 长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是？毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 11 of 19=【答案】 77 m212【解析】解：大扇形的圆心角是90 度，半径是5，所以面积 S90 2525m2；3604小扇形的圆心角是 18012060 ，半径是1m，则面积 S601 m2 ，3606小羊 A 在草地上的最大活动区域面积77 m212模块三：与圆锥有关

18、的计算【例 22】如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为_cm2（结果保留）【答案】纸杯的侧面积为 515=75cm2故答案为 75【例 23】一个圆锥的底面半径为4cm，将侧面展开后所得扇形的半径为5cm，那么这个圆锥的侧面积等于2（结果保留_cm）2【答案】圆锥的侧面积 = 45=20cm【解析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面半径 母线长，把相应数值代入即可求解【例 24】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO =8 米，底面半径 OB =6 米，则圆锥的侧面积是 _ 平方米（结果

19、保留 ）AOB毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 12 of 19【解析】根据勾股定理求得BO ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S 1 lr ，求得答案即可2【答案】 AO 8米，OB 6米， AB10米，圆锥的底面周长 = 2612米，1110 60 S扇形=lr12（平方米）2 2故答案为： 60 【例 25】一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1则这个圆锥形零件的全面积是_【答案】 底面半径为1 圆锥的底面面积为，侧面积为rl= 14=4， 全面积为+4=5， 全面积为5故答案为： 5【例 26】将一块含30角的三角尺绕较长直

20、角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3 3 ，则圆锥的侧面积是 _【答案】 圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30的直角三角形中， 底面半径是3，母线长是6， 底面圆周长是6， 圆锥的侧面积是166182故本题答案为：18【例 27】在 RtABC 中， C=90， AC=3 ，BC=4 ，将 ABC 绕边 AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是_【答案】由已知得，母线长l=5 ，半径 r 为 4， 圆锥的侧面积是slr5420故答案为20【例 28】如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），

21、则圆锥底面半径是_cm 【答案】 把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形， 扇形的弧长为：12 r 83 扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 2r=8 ，解得： r=4cm ，故答案为： 4【例 29】若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6 的扇形，则这个圆锥的底面半经是_毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 13 of 19【答案】 16=2r解得 r=8 故答案为： 8【例 30】若用半径为12，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长 _【解析】本题考查圆锥的的侧面展开图根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等

22、于圆锥底面圆的周长【答案】设这个圆锥的底面半径是12R，则有 2 R 120180解得： R=4故答案为： 4【例 31】将一个半径为 6cm，母线长为15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 _度【答案】 将一个半径为6cm，母线长为 15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平， 圆锥侧面积公式为：S=rl= 615=90，cm2 扇形面积为 90n152，360解得： n 144 ， 侧面展开图的圆心角是144故答案为： 144【例 32】一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是_度【答案】设母线长为 R，底面半径为r， 底面周

23、长 =2r，底面面积 =r2，侧面面积 =rR， 侧面积是底面积的2 倍， R=2r ，设圆心角为 n，有 nR2rR ，180 n=180【例 33】已知圆锥的底面直径为4，母线长为 6，则它的侧面展开图的圆心角为_ 度【答案】圆锥的底面周长 =4，=4，解得 n=120【例 34】将一个底面半径为5cm，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 _度【答案】圆锥的底面周长=2 5=10，=10， n=150【例 35】用半径为 9cm，圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为_cm【答案】扇形弧长为： L= 1209=6 cm，180设圆锥

24、底面半径为r，则： 2r=6 ，所以， r=3cm ，毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 14 of 19因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，设圆锥高为h，所以 h 2r 29 2 ，2即： h =72， h= 62 cm ，所以圆锥的高为62 cm故答案为：62 cm【例 36】问题探究：（ 1）如图所示是一个半径为3 ，高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，2 一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图中的矩形ABB A ，则蚂蚁爬

25、行的最短路程即为线段 AB 的长）；（ 2）如图所示是一个底面半径为2 ，母线长为 4 的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母3线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程；（ 3）如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程【答案】解：（1） BB 233 ，2AB5 即蚂蚁爬行的最短路程为5（2）连接 AA ，则 AA 的长为蚂蚁爬行的最短路程，设 r1 为圆锥底面半径，r2 为侧面展开图（扇形）的半径，则 r12 ，r2 4 ，3nr2由题意得：2r1180 n 60 ， PAA 是等边三

26、角形，最短路程为 AA PA 4 （3）如图 所示是圆锥的侧面展开图，过A作ACPA于点C，则线段 AC 的长就是蚂蚁爬行的最短路程毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 15 of 19 AC PA ?sin APA 4sin60 43，2 32蚂蚁爬行的最短距离为23 【例 37】铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二 （两个方案的图中， 圆与正方形相邻

27、两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？（ 1） 请说明方案一不可行的理由；（ 2） 判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由【答案】解：连接 AC， E 为两圆的切点，（1）理由如下：扇形的弧长 l161 8，圆锥底面周长2 r ，2圆的半径 O1 E4cm 过 O1作 O1F CD ， CO1 F 为等腰直角三角形， O1C2O1 F2O1E 4 2cm ，又 AEAB16cm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE EO1 O1C 16 4 4 2 20 4 2cm 20 42 162，方案一

28、不可行；毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 16 of 19（2）方案二可行求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为r cm，圆锥的母线长为R cm，在一块边长为16cm 的正方形纸片上，正方形对角线长为16 2 cm，故所求圆锥的母线长为320 2 128 cm，底面圆的半径为80 2 32 cm2323课后作业【题 1】 如图，有一长为4cm，宽为 3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向 )，木板上的顶点 A 的位置变化为 A A1 A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C 与桌面成 30角，则点 A 翻滚到 A2 位置时，共走过的

29、路径长为 ()A 10cmB 3 . 5 cmC4 . 5 cmD 2 . 5 cmAA 1A2BC【答案】 B【解析】 A 点走过的路径长要归结到 A 点在两次旋转过程中所走过的路线A A1 可看做是 A 点绕着点 B顺时针旋转 90得到，此段弧长即为半径为5cm 的圆周长的1，而 A1A2 的路线可看做是 A1 点4绕着点 C 顺时针旋转 60得到， 此时弧长即为半径为 3cm 的圆周长的 1 两段弧长加在一起即为本题最终答案 6【题 2】 如图，在 RtABC 中，BAC90o ， BC6 ，点 D 为 BC 中点，将 ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转 120o 得到 AB D ，则点 D在旋转过程中所经过的路程为_ (结果保留)DBDAC【答案】 2BD 在旋转过程中所经过的路程可以看做是一条弧这条弧所在【解析】根据题意在图中标注已知条件，点的圆的半径为AD1= 120n2BC =3，圆心角=旋转度数，带入公式lR，即可得出结果2180【题 3】 一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120，则扇形的面积是 _cm2【答案】 3毕业班解决方案模块课程初三数学 .与圆有关的计算.教师版Page 17 of 1947，在 Rt ABC 中， C 90，AC4，BC2 分别以 AC ，BC 为直径画半圆，则图